Art.30a -- Calcolo teorico della formula empirica del potenziale di Lennard - Jones e dei raggi atomici -- Antonio Dirita

Art.30a -- Calcolo teorico della formula empirica del potenziale di Lennard - Jones e dei raggi atomici -- Antonio Dirita

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Nell' Art.29  abbiamo ricavato per il raggio della sfera planetaria di una massa  in moto sull'orbita di raggio  Rdello spazio
rotante  Ks², generato da una massa centrale ms , l'espressione :   
Ponendo :          
e quindi si ottiene :                                                Rn = R⋅ Z1/3

Se si applica la relazione all'atomo,    Rp  rappresenta la sfera planetaria del protone, coincidente con il raggio  R11e 

dell'atomo di idrogeno, e   il numero di protoni presenti nel nucleo  che genera lo spazio rotante        KZP² = Z ⋅ Kp²  ,

Rn  diventa la sfera planetaria del nucleo formato da  Z  protoni e quindi,

se abbiamo un atomo neutro, con tutte le orbite occupate, Rn coincide con l'orbita di confine della fascia elettronica
dell'atomo
e viene indicata  RPS .
Sostituendo, nell'espressione della forza le relazioni :

                        m = me    ;   Ks² = Z ⋅ Kp²   ;    Rp = R11e ⋅ Z1/3 ⋅ ps²
si ottiene :
 
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Indicando con    F11e   la forza d'interazione tra protone ed elettrone nell'atomo di idrogeno, si ha :
           
l'espressione della forza che lega un elettrone in moto sull'orbita periferica sarà
         
Se consideriamo, per esempio, un atomo di zinco, con   Z = 30  e  ps = 4  si ottiene :

       

Per    r = R/Req < 1   si ha   FZPe > 0    e quindi l'azione è repulsiva

Per  r = 1 e  r → ∞  si hanno le condizioni di equilibrio con  FZPe = 0 .  Per  r > risulta    FZPe < 0  e si ha quindi
una forza attrattiva che raggiunge il valore massimo in corrispondenza del valore  r  = 3/2  Art.30    ) .

Nelle teorie correnti non sono disponibili equazioni ricavate teoricamente per descrivere le forze interatomiche e quindi ci si affida a
espressioni che vengono ricavate empiricamente.

La più nota di queste funzioni è il potenziale di Lennard -- Jones, che si può scrivere nella forma :

     
in cui  ε  rappresenta il valore della buca di potenziale, che viene associata all'atomo considerato e  δ  sono le sue dimensioni.
Da questa relazione si ricava l'espressione empirica della forza :
     
generalmente di difficile applicazione in quanto i parametri    ε e  δ   non sono noti.
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Se poniamo :           
la relazione risulta formalmente coincidente con l'espressione teorica da noi ottenuta :
   
Con riferimento allo spazio rotante atomico, l'energia  EPZe  che lega la massa  m , in moto sull'orbita associata al numero quantico
, al nucleo formato da   protoni vale :

            
semplificando e sostituendo i valori numerici, si ottiene
L'espressione della forza diventa quindi :  
oppure, per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio, si ha :             R ≃ Rp = R11e ⋅ Z1/3 ⋅ p²
e quindi, sostituendo si ottiene :
           
La relazione è stata ricavata considerando l'interazione di una sola massa su una sola orbita e quindi si può applicare identicamente solo
in questi casi.
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Per esempio, la forza che lo spazio rotante solare esercita sulla Terra, se viene spostata dalla sua orbita di equilibrio risulta :     
e quindi :                     
con l'andamento tipico delle forze di  Van der  Waals.
L'espressione è dunque di validità generale e si applica sia agli spazi rotanti atomici e nucleari che a
quelli astronomici.
Ne caso in cui si considera l'interazione tra due spazi rotanti organizzati con molte masse distribuite su molti livelli stabili, come per
esempio due galassie oppure due atomi o due nuclei, l'interazione si realizza come è schematizzato nella figura seguente.
Van der Waals 1
Quando le due masse periferiche arrivano nella zona centrale  , interagiscono attraverso la loro sfera planetaria di raggio RP0  con
una accelerazione :

Dove  Veqm  rappresenta la velocità di equilibrio imposta dallo spazio rotante generato dalla massa  m  sull'orbita di raggio uguale alla
distanza  dmm  tra le due masse interagenti e  Vmm  la loro velocità delativa, che coincide con il doppio della velocità di equilibrio che
le masse avevano sull'orbita iniziale dello spazio rotante centrale.
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Dato che La massa che genera lo spazio rotante centrale è sempre molto più elevata di quella in moto sulle orbite, risulta
Vmm >> Veqm .

L'accelerazione risulterà dunque repulsiva e le due masse si scambiano la loro posizione sulle orbite, come è indicato in figura.
In definitiva le due masse si trovano a percorrere un'orbita deformata attorno ai due nuclei, come se si trattasse di uno solo.
Naturalmente, il processo si ripete per tutte le masse presenti sul livello di confine e  quando queste sono esaurite, l'interazione passa sul
penultimo livello, poi sul terzultimo e così via fino al livello fondamentale, associato a p = 1.

Se indichiamo con mA ed mB le due masse solari, alla fine del processo si avranno tutte le masse satelliti in orbita attorno ai due
nuclei, che formano un sistema doppio alla distanza minima uguale alla somma dei raggi delle loro orbite fondamentali :

                                          dAB = R1A + R1B .

Generalmente, quando il calcolo viene riferito all'atomo, si fa riferimento a due atomi dello stesso elemento e quindi si
ottiene teoricamente :
                                     dAB = 2 ⋅ R₁ = 2 ⋅ R11e ⋅ Z1/3

Il raggio della sfera planetaria associabile ad un singolo nucleo della coppia di atomi dello stesso elemento,viene assunto come
raggio di Van der Waals e risulta, in prima approssimazione :

                                       RVdW ≃ R₁ ≃ R11e ⋅ Z1/3

Secondo tale relazione il raggio atomico risulterebbe una funzione continua e derivabile del numero atomico Z . Noi però abbiamo visto,
nell'  Art.10  , che gli elettroni si distribuiscono sulle orbite quantizzate secondo la relazione :

                                       Np+1 = Np + 4 ⋅ p + 2    con   N = 0

che fornisce la divisione in falde e sotto falde, seguendo lo schema ripetitivo seguente.
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                          N₁ = 2
                          N₂ = 2 + 6 = 8
                          N₃ = 2 + 6 + 10 = 18
                          N₄ = 2 + 6 + 10 + 14 = 32
                          N₅ = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50
                          N₆ = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72
                          N7 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 = 98

Nello schema che abbiamo tracciato, ciascun addendo che entra nella composizione della falda definisce il numero massimo delle unità
che possono essere presenti sulla sotto falda completa.
Per esempio, un atomo che abbia quattro orbite complete, si presenterà con lo schema seguente.

                        2 + (2+6) + (2+6+10) + (2+6+10+14) = 60

Su ciascuna orbita si ha un numero massimo di particelle uguale a  2⋅p².

Con la quantizzazione delle orbite, mentre l'aumento di  Z di una unità su un'orbita non satura porta a una modesta variazione del raggio,
l'aumento di una unità su un'orbita satura comporta il passaggio all'orbita successiva con notevole aumento del raggio.
Nella valutazione del raggio atomico bisogna dunque considerare separatamente l'influenza del numero quantico  passociato all'orbita
di sponda e la variazione legata ad un incremento di  sulla stessa orbita.
Secondo lo schema indicato, il numero atomico Z di un atomo completo con un numero pS di orbite sature risulta :
             
Il valore massimo del numero atomico associato a ciascun valore di  pS  risulta

ZS1 = 0----------------------------------------------------------- + 1 = 1
ZS2 = 2----------------------------------------------------------- + 1 = 3
ZS3 = 2 + 8 = 10----------------------------------------------- + 1 = 11
ZS4 = 8 + 10 = 18--------------------------------------------- + 1 = 19
ZS5 = 8 + 10 + 18 = 36---------------------------------------+ 1 = 37
ZS6 = 8 + 10 + 18 + 18 = 54--------------------------------+ 1 = 55
ZS7 = 8 + 10 + 18 + 18 + 18 + 14 = 86------------------+ 1 = 87

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Le orbite di confine pS , individuano quindi un periodo atomico che inizia con gli elementi :

pS1 = 1 → H(Z₁=1)
pS2 = 2 → Li(Z₁=3)
pS3 = 3 → Na(Z₁=11)
pS4 = 4 → K(Z₁=19)
pS5 = 5 → Rb(Z₁=37)
pS6 = 6 → Cs(Z₁=55)
pS7 = 7 → Fr(Z₁=87)

Si hanno quindi sette periodi : il primo comprende i primi due elementi chimici, seguito da due con   elementi e altri due formati da 18 
elementi ciascuno. Si ha poi un periodo formato da  32  elementi e l'ultimo che comprende gli elementi chimici restanti.
Il valore   ZS  di ciascun periodo rappresenta il valore massimo di elettroni che può avere l'atomo sull'orbita satura  pe quindi anche il
valore del numero di particelle in orbita in corrispondenza del quale si ha il valore massimo della forza d'interazione fra la
fascia elettronica (satura) ed il nucleo centrale, dunque anche il valore minimo del raggio orbitale.

Se si passa all'elemento successivo    (ZS +1 , l'elettrone aggiunto non può fermarsi sull'orbita satura   pS   e quindi salta sull'orbita
più esterna (PS +1, iniziando un nuovo periodo con il raggio massimo.
E'chiaro che l'aumento del raggio che deriva dal passaggio da   ZS  a  (ZS1si potrà calcolare con la relazione approssimata che
abbiamo ricavato, ma si dovrà prendere in considerazione il fatto che l'incremento sarà tanto minore quanto più elevato è il valore del
raggio dell'atomo di partenza, e quindi quanto più elevato è il valore   pS   ad esso associato, per cui al posto di    Z₁1/3  si sostituirà
(Z₁/pS)1/3  .

Il valore massimo del raggio di ciascun periodo sarà dunque :
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Nel diagramma seguente è riportato l'andamento del raggio in funzione del numero atomico ricavato ottenuto per via  sperimentale .

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Aumentando all'interno del periodo aumenta la forza che lega l'orbita di confine al nucleo e quindi il raggio diminuisce.
Si può descrivere la riduzione con un fattore del tipo              α⋅ (1 – eZ₁/Z – 1)

L'espressione teorica capace di descrivere il raggio atomico RZe  in funzione del numero atomico   risulta dunque :

                RZe ≃ 2⋅R11e⋅ (Z₁/(pS)1/3 (3/2) ⋅ (1 – eZ₁/Z – 1)

dove con Z₁ è stato indicato il numero atomico del primo elemento del periodo.
Nelle pagine seguenti in tabella sono riportati i valori calcolati  R e messi a confronto con quelli che si ricavano con un'analisi statistica
di circa 250.000 valori sperimentali forniti dal Cambridge Structural Database.
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              Tavola dei raggi atomici teorici e sperimentali

Z S Rs(A°) RT(A°) Z S Rs(A°) RT(A°)
1 H 0,5292 0.5292 61 Pm 1,99 2. 074
2 He 0,46 0.468 62 Sm 1,98 2. 055
3 Li 1,28    1. 212 63 Eu 1,98 2. 036
4 Be 0,96 0.880 64 Gd 1,96 2. 018
5 B 0,84 0.717 65 Tb 1,94 2. 001
6 C 0,69 0.621 66 Dy 1,92 1. 985
7 N 0,71 0.559 67 Ho 1,92 1. 969
8 O 0,66 0.515 68 Er 1,89 1. 954
9 F 0,57 0.482 69 Tm 1,9 1. 94 0
10 Ne 0,56 0.457 70 Yb 1,87 1. 926
11 Na 1,66 1. 632 71 Lu 1,87 1. 912
12 Mg 1,58 1. 512 72 Hf 1,75 1. 900
13 Al 1,43 1. 418 73 Ta 1,7 1. 887
14 Si 1,17 1. 343 74 W 1,62 1. 875
15 P 1,1 1. 281 75 Re 1,51 1. 864
16 S 1,05 1. 229 76 Os 1,44 1. 853
17 Cl 1,02 1. 186 77 Ir 1,41 1. 842
18 Ar 1,06 1. 149 78 Pt 1,36 1. 832
19 K 2,03 1. 779 79 Au 1,36 1. 822
20 Ca 1,76 1. 706 80 Hg 1,32 1. 812 5
21 Sc 1,7 1. 643 81 Tl 1,45 1. 803
22 Ti 1,6 1. 588 82 Pb 1,46 1. 794
23 V 1,53 1. 540 83 Bi 1,48 1. 785
24 Cr 1,39 1. 497 84 Po 1,4 1. 777
25 Mn 1,39 1. 459 85 At 1,5 1. 769
26 Fe 1,32 1. 425 86 Rn 1,5 1. 761
27 Co 1,26 1. 394 87 Fr 2,6 2. 452
28 Ni 1,24 1. 367 88 Ra 2,21 2. 435
29 Cu 1,32 1. 342 89 Ac 2,15 2. 418
30 Zn 1,32 1. 319 90 Th 2,06 2. 402
31 Ga 1,22 1. 298 91 Pa 2 2. 387
32 Ge 1,2 1. 278 92 U 1,96 2. 372
33 As 1,21 1. 261 93 Np 1,9 2. 358
34 Se 1,2 1. 244 94 Pu 1,87 2. 344
35 Br 1,2 1. 229 95 Am 1,8 2. 330
36 Kr 1,2 1. 215 96 Cm 1,69 2. 317
37 Rb 2,2 2. 063 97 Bk -- 2. 304
38 Sr 1,95 2. 024 98 Cf -- 2. 292
39 Y 1,9 1. 987 99 Es -- 2. 280
40 Zr 1,75 1. 954 100 Fm -- 2. 268
41 Nb 1,64 1. 923 101 Md -- 2. 257
42 Mo 1,54 1. 894 102 No -- 2. 246
43 Tc 1,47 1. 867 103 Lr -- 2. 236
44 Ru 1,46 1. 842 104 Rf -- 2. 225
45 Rh 1,42 1. 818 105 Db -- 2. 215
46 Pd 1,39 1. 796 106 Sg -- 2. 205
47 Ag 1,45 1. 775 107 Bh -- 2. 196
48 Cd 1,44 1. 755 108 Hs -- 2. 186
49 In 1,42 1. 736 109 Mt -- 2. 177
50 Sn 1,4 1. 719 110 Ds -- 2. 168
51 Sb 1,39 1. 702 111 Rg -- 2. 160
52 Te 1,38 1. 687 112 Cn -- 2. 151
53 I 1,39 1. 672 113 Uut -- 2. 143
54 Xe 1,4 1. 657 114 Fl -- 2. 135
55 Cs 2,44 2. 215 115 Uup -- 2. 127
56 Ba 2,15 2. 188 116 Lv -- 2. 120
57 La 2,07 2. 163 117 Uus -- 2. 112
58 Ce 2,04 2. 139 118 Uuo -- 2. 105
59 Pr 2,03 2. 116 119 Uue -- 2. 098
60 Nd 2,01 2. 095 120 Ubn -- 2. 091

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Si deve tenere presente che la fascia elettronica non ha confini netti, per cui la misura del raggio risulta in qualche misura dipendente dal
metodo utilizzato per i rilievi.
Anche se l'espressione del raggio atomico che abbiamo ricavato è molto approssimata, in quanto non prende in alcun modo in
considerazione la reale distribuzione degli elettroni sulle diverse orbite, i valori calcolati risultano comunque in ottimo accordo con quelli
sperimentali.
raggio lantanidi
Generalmente nei rilievi sperimentali l'interazione tra gli atomi delle sostanze solide si realizza con una parziale sovrapposizione delle due
sfere fondamentali di circa  (10÷20)% in rapporto all'elemento considerato, dunque mediamente del 15 % . Di questa condizione non
abbiamo tenuto conto, per semplificare l'espressione finale.
Per esempio, nei lantanidi e negli attinidi il valore sperimentale Rs si ottiene  da quello teorico RT con la relazione

                                            Rs = 0,15 ⋅ RT  .
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Art.34a -- Origine del sistema Solare, distribuzione teorica dei pianeti sulle orbite -- Antonio Dirita

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Nell'  Art. 33  abbiamo descritto uno scenario verosimile  dell'evoluzione della ipotizzata esplosione della stella compagna del sole
( stella D), che secondo la nostra ipotesi ha dato origine alla configurazione attuale del Sistema Solare.
Per quanto riguarda la componente tangenziale della velocità  Vt  , che determina il momento angolare specifico   , ricordiamo che i

detriti che si muovono verso il Sole sono solo quelli che hanno ricevuto un impulso nella direzione opposta al moto di rivoluzione della
stella esplosa con velocità  V₀.
Indicando quindi con  Vti  la componente tangenziale della velocità di espulsione, la velocità tangenziale che definisce il momento
angolare sarà :
                                                      Vt = V₀ – Vti .

Gli aggregati che vengono emessi con velocità  Vti  più elevata hanno
dunque un momento
angolare minore e quindi andranno ad occupare
le orbite più vicine al Sole.

Con riferimento alla figura, per una corretta analisi, è dunque fondamentale considerare l'angolo di emissione di un oggetto in quanto esso,
a parità di velocità iniziale, definisce il rapporto fra la componente radiale e quella tangenziale della velocità orbitale, e quindi anche l'orbita
di raggio  Rn  associata al momento angolare, e l'eccentricità associata al valore dell'energia.

In figura 34-3 è schematizzato, per esempio il caso dei pianeti Terra e Venere che, pur avendo dimensioni maggiori degli asteroidi ,
sono andati ad occupare orbite stabili più basse, passando attraverso la fascia dei pianetini " che era stata occupata
in precedenza
  da un enorme numero di piccoli asteroidi
  emessi dallo strato superficiale della stella esplosa.
figura 34-3
Fig. 43-3
Entrambi i pianeti prima dell'esplosione sono in moto con la stessa velocità  V₀ .
Con l'esplosione ricevono un impulso che incrementa la velocità di  ViT  e  ViV   con  ViT < ViV .
Essendo però    αT < αV   , per le componenti tangenziali, che definiscono il momento angolare e l'orbita stabile  Rn , risulta
VtT > VtV   e quindi per le orbite si avrà   RnT > RnV  .

Vedremo nell' articolo  Art.43   la formazione nel Sistema Solare primordiale dei sistemi doppi  Terra--Luna  e
Venere--Mercurio (  Art.45    ) con la loro evoluzione nel tempo e craterizzazione durante il passaggio attraverso le fasce di
pulviscolo e
asteroidi formatesi in precedenza.
1
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Una situazione analoga a quella vista per terra e Venere si presenta per Giove e Saturno  (  Art.40     e    Art.41     )  .
Anche in questo caso, i due pianeti provengono dallo stesso strato, in quanto presentano, approssimativamente, la stessa composizione,
analoga a quella centrale della stella, ricca di idrogeno ed elio.

Abbiamo infine i pianeti Urano  (  Art.39   ) e Nettuno  (   Art.38b    ), che presentano una composizione ricca di composti gassosi e
molecole
leggere, la quale indica una provenienza dal secondo strato, immediatamente sotto la superficie, ricco di tali composti.
Nell'   Art.38a       viene analizzata la formazione del sistema doppio Plutone - Caronte  e nell'  Art.37       la fascia di Kuiper formata dai
detriti lasciati sul posto dalla stella esplosa.
Possiamo rappresentare, schematicamente, l'origine di questi pianeti come in Fig. 34-4 .
figura 34-4
Fig. 34-4
Innanzitutto osserviamo che, secondo l'origine che abbiamo proposto, tutti i detriti emessi dalla stella con l'esplosione, prima della
disintegrazione della stella avevano tutti la stessa velocità V₀
.

Dato che gli asteroidi che si legano definitivamente al campo gravitazionale solare sono solo quelli che vengono emessi nella direzione del
Sole e la distanza stella D -- Sole è molto grande in rapporto all'angolo di emissione, possiamo dire che tutti gli oggetti arrivano
verso il Sole dalla stessa direzione.
Questa direzione ( la congiungente D--S ) con la velocità iniziale  V₀  individua il piano sul quale si evolvono le orbite.
Questa circostanza trova conferma sperimentale nel fatto che tutto
il Sistema Solare giace su un piano 
preciso, entro l'approssimazione dovuta al fatto che nella
nostra analisi abbiamo trascurato il piccolo angolo di emissione ed il punto
di emissione, variabile entro il diametro della stella.
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Vediamo ora una possibile evoluzione del sistema schematizzato in figura.
Immediatamente dopo l'esplosione, le polveri ed i gas presenti nello strato superficiale, si allontanano e, irradiando energia, si
raffreddano rapidamente e 
si dispongono quindi sulle orbite periferiche.
Gli aggragati aventi piccole dimensioni vengono emessi con velocità elevata e giungono per primi in prossimità del Sole.

In corrispondenza dell'orbita di Marte il raggio minimo richiesto agli asteroidi per non disgregarsi vale :
             
Gli asteroidi non coesi che hanno un raggio minore di  6,7 Km , se giungono a una distanza dal Sole minore di  224⋅10⁶ Km ,
vengono disgregati dall'azione del campo gravitazionale solare.

Riprendendo la descrizione dell'esplosione fatta nell'  Art.33    , in un evento di questo tipo, se   P  è la pressione prodotta e che agisce sui
detriti, l'incremento della velocità  V , con ovvio significato dei simboli, si potrà esprimere con la relazione
       
semplificando e ponendo :                 (3/4)⋅P = α = costante    si ottiene :     
oppure, con                               
si può scrivere :                               
Dato che la velocità con la quale vengono emessi gli asteroidi è inversamente proporzionale al loro raggio, con una certa approssimazione,
si può dire che la distanza percorsa da un asteroide in un dato tempo è direttamente proporzionale al suo raggio.
Possiamo dunque anche affermare, con una certa approssimazione, che "il raggio Rn dell'orbita circolare
stabile sulla quale andrà a posizionarsi un asteroide è inversamente
proporzionale al suo raggio ".
Gli asteroidi che per primi si spostano verso il Sole si distribuiranno quindi in tutto lo spazio con le dimensioni crescenti con la
distanza.

Questo fatto è ben confermato dalle osservazioni fatte su un gran
numero di 
asteroidi ( la nostra verifica è fatta su circa 21000 asteroidi ).

Dopo gli asteroidi, l'oggetto che presenta la velocità di emissione più elevata è il pianeta Marte  (  Art.42    ).
In base al valore della velocità tangenziale   VtM  esso attraversa la fascia degli asteroidi per collocarsi sulla parte bassa.
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L'abbondanza di asteroidi giunti precedentemente nella fascia ha prodotto una forte craterizzazione della superficie, che si
presenta ancora oggi con numerose cicatrici.
Essendo comunque un pianeta di piccole dimensioni, presenta un punto neutro relativamente basso perciò lungo tutto il percorso ha
lasciato una situazione praticamente inalterata.

Il corpo successivo che presenta la più alta velocità di emissione è il pianeta Venere, che presenta anche un basso valore della velocità
tangenziale VtV .
Anche se Venere ha dimensioni maggiori di Marte, essendo  VtV < VtM  , si colloca su un'orbita stabile di raggio minore. Esso però è
più lento di Marte e arriva dopo a destinazione.

A questo punto è il turno della Terra che, avendo dimensioni maggiori di Venere, si stabilisce sull'orbita successiva. Vedremo in un
prossimo articolo la ragione per cui è riuscita ad attraversare tutto lo spazio disseminato di asteroidi senza subire apprezzabile
craterizzazione.

A questo punto il pianeta che presenta la più alta velocità di emissione è Nettuno, il quale presenta però anche il più alto valore della
velocità tangenziale  VtN  e quindi si colloca sull'orbita più esterna, subito sotto il punto neutro, senza attraversare lo spazio occupato
dagli asteroidi, perciò non subisce alcuna craterizzazione.
In quella zona, dopo l'esplosione si sono fermate solo le componenti leggere e gassose della stella e quindi vengono in parte assorbite da
Nettuno.
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Il corpo che presenta ora la velocità di emissione più alta è Urano, che però ha una velocità tangenziale VtU< VtN e quindi si colloca
su un'orbita più bassa rispetto a Nettuno.
Abbiamo a questo punto un corpo di grandi dimensioni, Saturno, il quale presenta una velocità tangenziale   VtS < Vtu   e quindi
attraversa tutto lo spazio compreso fra il punto neutro del Sole e l'orbita di Nettuno per collocarsi sull'orbita che precede quella di
Urano  (  Art.39    ).
Essendo un pianeta di grandi dimensioni, presenta un punto neutro rispetto al Sole molto elevato, precisamente :

L'osservazione astronomica conferma tale valore indicando il satellite più lontano, Fornjot, con un raggio orbitale uguale a
23,8 ⋅ 10⁶ Km .
Durante il percorso per portarsi sull'orbita di equilibrio, il pianeta ha attraversato tutto lo spazio disseminato di polveri, piccoli ciottoli e
asteroidi di grandi dimensioni che ha acquisito nel suo spazio rotante all'interno del punto neutro, collocando le polveri e i ciottoli
più piccoli sulle prime orbite dove hanno formato numerosi anelli, generati dalla aggregazione delle polveri circostanti e separati
dai sassi 
più grandi che, inglobando i materiali lungo la loro orbita, creano la fascia di separazione degli anelli.

Abbiamo infine il pianeta Giove che ha la più bassa velocità di espulsione ed è quindi il più lento. Esso presenta però una componente
tangenziale della velocità    VtG < VtS   e quindi andrà a collocarsi sull'orbita stabile compresa tra la fascia degli asteroidi e quella di
Saturno.
Si tratta di un pianeta di enormi dimensioni, dunque con un valore del punto neutro molto elevato

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L'osservazione astronomica conferma la posizione di tutti i satelliti su orbite interne al
punto neutro.

Anche questo pianeta acquisisce durante il percorso, entro tale raggio, tutto ciò che incontra e, quando giunge a destinazione,
cattura nel suo spazio rotante "tutta la parte alta della fascia dei pianetini", salvando, come compagni di viaggio solo
gli asteroidi troiani ( Art.33   ) , che, per la particolare posizione occupata, restano 
stabili sull'orbita e non possono
essere inglobati.

Nel punto in cui si trovava la stella esplosa, restano tutti i detriti che, per la posizione
occupata ( zone centrali ), hanno 
ricevuto durante l'esplosione un impulso nullo o
trascurabile
.

Naturalmente, quelli che hanno ricevuto impulso uguale a zero hanno ancora il momento angolare specifico della stella e si muovono
ancora sulla stessa orbita, mentre quelli che hanno ricevuto un piccolo impulso positivo si spostano su
orbite più esterne e si
forma così la nota fascia di Kuiper.

Tale fascia, essendo oltre il punto neutro del Sole, lentamente si allarga, fino a disperdersi, con tutti gli oggetti componenti
destinati a finire 
sotto l'azione diretta del sistema stellare locale.

Per quanto riguarda la ipotizzata nube di Oort, penso che sia destinata a restare solo
un'ipotesi, in quanto, seppure 
esistesse, si troverebbe comunque decisamente nello spazio
rotante del sistema stellare locale, fuori dall'azione del Sole.

Del resto, abbiamo visto che l'origine di asteroidi e comete è la stessa, quindi la distinzione potrebbe essere solo nelle dimensioni, dalle
quali derivano tutte le caratteristiche orbitali, dunque anche il comportamento di tipo cometario.
Esso è dovuto infatti solo al fatto che la permanenza in prossimità del Sole di aggregati che si muovono su orbite molto eccentriche ha una
durata molto breve in rapporto al periodo, per cui "la cometa", dopo aver disperso nello spazio una piccola quantità di gas, torna a
raffreddarsi per un lungo periodo, riacquistando, lungo il percorso, parte o tutto il materiale disperso.
Infatti, la capacità di aggregazione aumenta notevolmente con la distanza dal centro dello spazio rotante. Per esempio, una cometa avente
raggio    rSP = 5 Km   e densità     δ = 2  g/cm³ alla distanza   R= 100 UA  presenta un punto neutro :
               
6
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La cometa, durante il percorso, aggrega tutte le particelle che incontra entro tale raggio.
Osserviamo ancora che le comete hanno praticamente tutte l'afelio oltre il punto neutro del Sole, per cui il loro
numero si riduce gradualmente nel tempo, fino a scomparire del tutto.

Quelle che noi osserviamo oggi "sono solo un residuo di quelle iniziali" e non
abbiamo 
nessuna sorgente che faccia crescere il loro numero.

Finora abbiamo descritto una possibile evoluzione dell'esplosione della stella D , che ha portato alla distribuzione attuale di asteroidi
e comete.
Nello stesso scenario vogliamo ora inserire la formazione dei pianeti con i satelliti ad essi legati.
Tenendo conto che, nel momento in cui vengono emessi, tutti i detriti si trovano certamente
oltre la temperatura di fusione,
quindi con forze di coesione fra le molecole praticamente nulle, possiamo calcolare
il valore del raggio minimo di 
un detrito per essere emesso come corpo unico alla distanza dal Sole  RKu  con la relazione :
           
Essendo un valore molto piccolo, dopo l'emissione i corpi di queste dimensioni, irradiando energia dalla superficie, in
un tempo molto breve, si raffreddano conservando una forma irregolare.
Gli agglomerati che escono dall'esplosione con una dimensione minore, non sono stabili e, sotto l'azione del campo gravitazionale
solare, si disgregano fino al livello molecolare.

In realtà, raffreddandosi rapidamente, di fatto vengono emessi già come molecole ad alta temperatura. Possiamo quindi dire che la 
stella esplosa emette gas e aggregati di raggio minimo uguale a 6, 2 m .
E' da notare che tale valore rappresenta anche la dimensione minima dei corpi coesi in orbita nella fascia
di Kuiper.

Gli aggregati di dimensioni maggiori, come, per esempio, la Luna e i satelliti presenti nel Sistema Solare, quando vengono emessi allo
stato fuso, anche se nell'istante iniziale hanno una forma irregolare, subito dopo la separazione il loro campo gravitazionale radiale, a
simmetria sferica, regolarizza la forma che tende ad essere uno sferoide.

Tale forma assume poi un aspetto definitivo e stabile con il raffreddamento dello strato superficiale,
per irraggiamento. 
Per semplicità, per la nostra analisi, assumiamo che la massa di tutti i corpi presenti nel Sistema Solare attuale
sia uguale
a quella iniziale.
L'evoluzione dell'esplosione della stella che abbiamo descritto è perfettamente compatibile con le situazioni che si presentano
attualmente nel Sistema Solare.
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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------figura 26a
Con riferimento alla figura, trascurando il caso in cui si ha   m = m₂  ( molto raro ), che, se il tempo di volo è sufficienemente
lungo, termina con la fusione dei due corpi,
consideriamo solo il caso  m ≠ m .

Quasi sempre negli spazi rotanti reali, sia atomici che astronomici, abbiamo in orbita non una, ma diverse masse, per cui, per studiare
l'equilibro è necessario considerare anche la loro interazione reciproca.
figura 23
L'equilibrio nel punto M della figura 23 è possibile su orbite ellittiche in tutto l'intervallo :  Veq² ≤ vM² ≤ 2 ⋅ Veq² = Vf²
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dove  vM  rappresenta la velocità relativa del punto   rispetto al punto   :

Se la massa  m  arriva nel punto   con una velocità uguale al valore limite 
continua regolarmente la sua corsa sull'orbita di raggio    RM   dello spazio rotante centrale   Ks²   senza essere influenzata in
maniera apprezzabile dalla presenza della massa  m.

Se teniamo conto che normalmente risulta    RP >> (RM–RP)  ,  la velocità relativa tra le due masse, può essere calcolata, in
prima approssimazione, con la relazione :

                                    vM² = (VM – VP)² = (ΔVP

con :             
in definitiva si ha :                
Questa espressione fornisce un valore di prima approssimazione della velocità relativa che esiste tra due masse che si trovano nello
stesso spazio rotante  KS²  su due orbite distanti tra loro  r.

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Questo valore può dunque essere utilizzato per calcolare il valore massimo della distanza tra le due masse in orbita prima che si
manifesti un'apparente forza di repulsione.
Ponendo dunque :                                                                   vM² = 2⋅VeqpM² 

 

ossia :                                                                         
si ricava la massima distanza :       
Il raggio Rmaxa  così calcolato può essere assunto, in assoluto, come valore massimo del raggio d'azione di una massa in moto
su un'orbita alla distanza  RP  dal centro dello spazio rotante  Ks² .
La variazione del raggio d'azione di un aggregato materiale con la posizione occupata nello spazio è determinante per l'evoluzione nel tempo
sia del suo eventuale sistema di satelliti che dello stesso aggregato.

Facendo riferimento alla figura 24, consideriamo più dettagliatamente la interazione tra gli spazi rotanti per definire meglio le condizioni
di equilibrio.
figura 24
Se in uno spazio rotante   KS² , alla distanza   Rp   dal centro, poniamo una sfera planetaria di raggio  r , essendo, in condizione di

equilibrio, il valore della velocità di rivoluzione imposto dallo spazio rotante centrale ( dato dalla relazione V = (KS²/R)1/2 )
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nel punto   risulta maggiore di quello che si ha nel punto  .
Dato che la condizione di equilibrio del sistema è quella corrispondente alla minore dissipazione di energia,

la differenza di velocità      ΔV = VB – VA     impone alla sfera in orbita di raggio   rp   una rotazione nel verso indicato in
figura e nello stesso tempo si produrrà uno spostamento sull'orbita alla velocità media in modo che il moto
rotorivoluente avvenga
senza strisciare (
dunque senza scambio di energia ) .

La velocità di rotazione risulta dunque :   
con semplici sostituzioni, si ottiene :   
Indicando dunque con  Tp  e  Tn  rispettivamente il periodo di rotazione e di rivoluzione, si ricava
          
Questo risultato ci dice che, qualunque sia il valore di   rp   , e dunque indipendentemente dalla massa in orbita, in
assenza di satelliti,"
la sfera planetaria ha sempre un moto sincrono", ossia periodo di rotazione coincidente
con quello di 
rivoluzione.

Se la massa  mp   non ha satelliti, la sfera planetaria  r  ( che non coincide necessariamente con la sua superficie di raggio  rsp )
rappresenta il valore teorico del raggio che consente un moto di rotorivoluzione con un perfetto equilibrio tra
 lo spazio rotante
centrale  Ks² e quello del pianeta  Kp² .
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Questa condizione si realizza quando le velocità di rotazione imposte alla sfera di raggio  rp  dai due spazi rotanti coincidono.

Il raggio della sfera planetaria rotante  rp  può dunque essere calcolato anche ponendo :          vs = vp
con                                               
si ricava così il raggio della sfera planetaria di spazio fisico solidale con l'aggregato di raggio rsp :
               
e risulta, naturalmente :        
Anche il moto di rivoluzione sull'orbita deve realizzarsi con la minima dissipazione di energia e quindi attraverso una sfera di
raggio
  rP0  che rotorivoluisce senza strisciare con le velocità imposte dai due spazi rotanti aventi lo stesso valore.
Dovrà dunque essere :   VP0 = vP0    ossia :      
da cui si ricava :             
Se risulta   rP0 < rSP    ( ricordiamo che con  rSP  abbiamo indicato il raggio della superficie del pianeta ) , si ha un nucleo
interno di raggio
 rP0  che ruota su se stesso con una velocità periferica uguale a quella di
rivoluzione 
V.

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Esso sarà dunque capace di generare, "per attrito interno", una grande quantità di energia termica che contribuisce ad
elevare la temperatura
interna del pianeta con effetti spesso molto vistosi.

Vediamo ora come si modifica la situazione in presenza di satelliti.
Quando due masse, inizialmente in moto su due orbite indipendenti dello spazio rotante, interagiscono formando un unico sistema, il
satellite che entra in orbita attorno al pianeta genera un aumento dell'energia di legame ed una
riduzione del momento angolare rispetto al valore associato alle masse indipendenti iniziali.

Non avendo applicato al sistema alcuna forza esterna, per verificare il principio di conservazione, il momento angolare non può cambiare.
Per poter sostenere il satellite in orbita, il pianeta, che si trova al centro, dovrà acquisire una rotazione
su se stesso tale da fornire la differenza del momento angolare rispetto al valore iniziale.

Questa nuova rotazione modifica radicalmente l'equilibrio preesistente con il risultato finale che il raggio della sfera planetaria rp , il
periodo di rotazione e l'inclinazione dell'asse di rotazione del pianeta
dipendono notevolmente dalla presenza o meno di satelliti
in orbita nel suo spazio rotante.

Consideriamo ora il caso generale in cui siano presenti nello stesso spazio rotante  Ks² due masse  m ed m₂  , entrambe di valore
apprezzabile, in moto su orbite di raggio  RP1  ed RP2 .
Durante il moto la loro distanza raggiunge il valore minimo :                          dmin = RP1 – RP2

Considerando   ms >> m ; m₂  ,  i loro punti neutri,  RN , rispetto allo spazio rotante centrale si ricavano dalle relazioni :
               
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il raggio d' azione, entro il quale eserciteranno una forza attrattiva, risulta :
           
Per semplificare l'esposizione, supponiamo che sia  m > m  ; si potranno presentare le seguenti situazioni :

1-- Se  RN2S < dmin < RN1S , la massa  m viene trattenuta in orbita dalla  m la quale non riesce però ad essere trattenuta
dalla  mE' dunque solo la  m che orbita come satellite della  m stabilizzandosi su un'orbita di raggio:   
2 -- Se  dmin > Rmaxa1 ; Rmaxa2  le due masse si muovono praticamente su due orbite indipendenti .
Esse interagiscono quindi con una modesta forza di apparente repulsione ed inglobano le piccole masse che incontrano sulla loro orbita
fino a formare un anello avente larghezza :
                                             L = dmin – (RNS1 + RNS2)

3 -- Se  dmin < RN1S ; RN2S  ciascuna massa ruota come satellite su un'orbita dell'altra secondo le relazioni :
             
Si ha dunque :    
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Tenendo conto che :      d₁ = d₂ = d   e, posto       RP1 = RP2
si ottiene :           
Le due masse creano così un sistema doppio , che presenta un forte legame ed inizia a ruotare
attorno al comune centro di massa.

Per ciascuna massa satellite il periodo di rotazione risulta uguale a quello di rivoluzione e quindi esse, durante la rotazione, si
rivolgono reciprocamente sempre la stessa superficie come se formassero un sistema rigido.

Abbiamo visto che la forza di attrazione che un pianeta esercitata su un suo satellite si manifesta entro il limite assoluto Rmaxa .
Il calcolo è stato però condotto considerando sempre il piano orbitale del satellite coincidente con quello dell'orbita percorsa dal pianeta
nello spazio rotante Ks²In queste condizioni si ottiene :    ΔR = Δr .

Se si considera l'orbita del satellite inclinata rispetto a quella del pianeta, la variazione   ΔR   assume un valore diverso e raggiunge il
minimo se le orbite sono perpendicolari tra loro.
figura 25

Con riferimento alla figura 25, in questo caso si ha :             RB² = Rp² + r²
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e quindi, differenziando :                                           2 ⋅ R⋅ ΔR= 2 ⋅ r ⋅ Δr
da cui si ricava :                                     
con orbite complanari avevamo invece :                  RA = Rp + r    e quindi risultava :       ΔRA = Δr
il rapporto tra i due casi vale :  
Sostituendo nell'espressione del raggio d'azione, si ricavano le relazioni :
                   
il rapporto vale :          
Essendo sempre   Ks² >> (8⋅Kp²) , quest'ultima relazione ci dice che, lo spazio fisico in presenza di aggregati materiali,
rispetto alla capacità di aggregazione, presenta una forte anisotropia.

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Questo, su larga scala, porta ad uno spazio a due dimensioni (nel senso che una e' trascurabile rispetto alle altre due).
Questo fatto sinteticamente si può esprimere dicendo che una sfera immersa in uno spazio rotante presenta sul piano equatoriale un
raggio d'azione molto più basso di quello che essa manifesta nella direzione dell' asse di rotazione.

Conseguenza immediata della anisotropia dello spazio che abbiamo evidenziato è la formazione, sul piano equatoriale della sfera rotante,
di un disco, fatto di polveri ed aggregati di dimensioni minime, molto esteso e sottile.
Altra importante conseguenza dell'anisotropia dello spazio fisico è la possibilità che acquistano le sfere materiali di
trattenere in equilibrio satelliti a distanza più elevata su orbite inclinate.

Una conferma di questo fatto si ha osservando il Sistema Solare, nel quale le orbite dei satelliti più lontani sono sempre molto inclinate
rispetto a quella del pianeta .

A questo punto ricordiamo che, essendo il sistema Solare popolato da un numero di aggregati maggiore di un milione e le orbite circolari
stabili  Rn   indipendenti dal valore masse presenti, ma legate unicamente allo spazio rotante solare  KS²  per derivare delle regole
più precise di quelle ottenute osservando il numero molto limitato dei pianeti, utilizziamo 
i dati elaborati di circa
21000 oggetti.

Riprendiamo dunque il calcolo visto nell' Art. 31   "senza nessun particolare riguardo per le orbite dei pianeti ", che
non hanno nessuna particolarità rispetto a quelle degli asteroidi.
Ricaviamo quindi il sistema orbitale Solare completo, associato a tutti i numeri quantici che consentono l'evoluzione di orbite chiuse,
anche quelle, meno stabili, associate ai punti in corrispondenza dei quali la tangente alla traiettoria cambia segno senza tuttavia
passare per lo zero.

Si avrà quindi:                                                        RP = R⋅ p²

con                                              p = 1  ;  (1 +1/4)  ;  (1 +2/4)  ;  (1 +3/4) 

                                          2  ;  (2 +1/4)  ;  (2 +2/4)  ;  (2 +3/4) 

                                          3  ;  (3 +1/4)  ;  (3 +2/4)  ;  (3 +3/4) 

                                          4  ;  (4 +1/4)  ;  (4 +2/4)  ;  (4 +3/4) 

                                          5 .............................
Utilizzando sempre i pianeti Terra e Venere, dovrà essere :
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da cui deriva :             
e quindi si ottiene    pT = 6,693   il numero quantico più prossimo vale           pT = (6 +3/4)

L'orbita fondamentale del sistema Solare risulta dunque :   
I valori dei raggi orbitali stabili che si ottengono vengono riportati in tabella.

                     orbite quantizzate stabili del Sistema Solare ( 10⁶ Km )

Rn 3,283  5. 1297 7. 3868 10. 054 13. 132 16. 620  20. 519 24. 828
p 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75
Rn 29. 547 34. 677 40. 217 46. 167 52. 528 59. 299 66. 481 74. 073
p 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25 4,5 4,75
Rn 82. 075 90. 488 99. 311 108. 54 118. 19 128. 24 138. 71 149. 58
p 5 5,25 5,5 5,75 6 6,25 6,5 6,75
Rn 160. 87 172. 56 184. 67 197. 19 210. 11 223. 45 237. 20 251. 35
p 7 7,25 7,5 7,75 8 8,25 8,5 8,75
Rn 265. 92 280. 90 296. 29 312. 09 328. 30 344. 92 361. 95 379. 39
p 9 9,25 9,5 9,75 10 10,25 10,5 10,75

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                   orbite quantizzate stabili del Sistema Solare ( 10⁶ Km )

Rn 948. 79 976. 90 1005. 4 1034. 4 1063. 7 1093. 4 1123. 6 1154. 2
p 17 17,25 17,5 17,75 18 18,25 18,5 18,75
Rn 1185. 2 1216. 6 1248. 4 1280. 6 1313. 2 1346. 2 1379. 7 1413. 5
p 19 19,25 19,5 19,75 20 20,25 20,5 20,75
Rn 1447. 8 1482. 5 1517. 6 1553. 1 1589. 0 1625. 3 1662.0 1699. 2
p 21 21,25 21,5 21,75 22 22,25 22,5 22,75
Rn 1736. 7 1774. 7 1813.0 1851. 8 1891.0 1930. 6 1970. 6 2011.0
p 23 23,25 23,5 23,75 24 24,25 24,5 24,75
Rn 2051. 9 2093. 1 2134. 8 2176. 8 2219. 3 2262. 2 2305. 5 2349. 2
p 25 25,25 25,5 25,75 26 26,25 26,5 26,75
Rn 2393. 3 2437. 8 2482. 8 2528. 1 2573. 9 2620.0 2666. 6 2713. 6
p 27 27,25 27,5 27,75 28 28,25 28,5 28,75
Rn 2761.0 2808. 8 2857.0 2905. 7 2954. 7 3004. 2 3054.0 3104. 3
p 29 29,25 29,5 29,75 30 30,25 30,5 30,75
Rn 3155. 0 3206. 1 3257. 6 3309. 5 3361. 8 3414. 5 3467. 7 3521. 2
p 31 31,25 31,5 31,75 32 32,25 32,5 32,75
Rn 3575. 2 3629. 6 3684. 3 3739. 5 3795. 1 3851. 2 3907. 6 3964. 4
p 33 33,25 33,5 33,75 34 34,25 34,5 34,75
Rn 4021. 7 4079. 3 4137. 4 4195. 9 4254. 8 4314. 1 4373. 8 4433. 9
p 35 35,25 35,5 35,75 36 36,25 36,5 36,75
Rn 4494. 4 4555. 4 4616. 7 4678. 5 4740. 7 4803. 2 4866. 2 4929. 6
p 37 37,25 37,5 37,75 38 38,25 38,5 38,75
Rn 4993. 4 5057. 7 5122. 3 5187. 3 5252. 8 5318. 7 5384. 9 5451. 6
p 39 39,25 39,5 39,75 40 40,25 40,5 40,75
Rn 5518. 7 5586. 2 5654. 1 5722. 5 5791. 2 5860. 4 5929. 9 5999. 9
p 41 41,25 41,5 41,75 42 42,25 42,5 42,75
Rn 6070. 3 6141. 1 6212. 3 6283. 9 6355. 9 6428. 3 6501. 2 6574. 4
p 43 43,25 43,5 43,75 44 44,25 44,5 44,75
Rn 6648. 1 6722. 1 6796. 6 6871. 5 6946. 8 7022. 5 7098. 7 7175. 2
p 45 45,25 45,5 45,75 46 46,25 46,5 46,75
Rn 7252. 1 7329. 5 7407. 3 7485. 4 7564.0 7643.0 7722. 4 7802. 3
p 47 47,25 47,5 47,75 48 48,25 48,5 48,75

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                     orbite quantizzate stabili del Sistema Solare ( 10⁶ Km )

Rn 7882. 5 7963. 1 8044. 2 8125. 6 8207. 5 8289. 8 8372. 5 8455. 6
p 49 49,25 49,5 49,75 50 50,25 50,5 50,75
Rn 8539. 1 8623.0 8707. 3 8792. 1 8877. 2 8962. 8 9048. 8 9135. 2
p 51 51,25 51,5 51,75 52 52,25 52,5 52,75
Rn 9221. 9 9309,2 9396,8 9484,8 9573,2 9662,1 9751,3 9841,0
p 53 53,25 53,5 53,75 54 54,25 54,5 54,75
Rn 9931,1 10021 11428 12017 13134 13658 20231 21011
p 55 55,25 59 60,5 63,25 64,5 78,5 80

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Art.96 -- definizione di spazio e tempo, teoria e contraddizioni dello spaziotempo quadridimensionale di Minkowski e cono di luce -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

E' da notare che finora abbiamo trattato l'universo come se la sua esistenza fosse una realtà oggettiva, definita con precisione fin dalla
sua separazione come puro spazio fisico.
Sappiamo bene però che questo non può essere vero, ma abbiamo trascurato di affrontare l'argomento per necessità di esposizione.
Per esempio, abbiamo prima detto che l'universo non ha una sua origine, ma esiste da sempre fuori dal tempo e in seguito abbiamo
utilizziamo la velocità relativa come parametro fondamentale per rilevarne sia l'esistenza che l'evoluzione.
E'chiaro che, se abbiamo un sistema formato da due punti, per poter dire che essi occupano una posizione variabile nel tempo, e dunque
affermare che il sistema si evolve, è necessario disporre di una memoria per poter registrare la configurazione assunta in due punti di
memoria consecutivi

(    Art.2    e    Art.3    )       in modo da determinare la loro velocità relativa con la definizione :           V = Δd/Δt
dove   Δd  rappresenta la differenza tra le distanze memorizzate nei due punti di memoria consecutivi e Δt è la distanza temporale
caratteristica tra le due registrazioni.
La stessa definizione di velocità implica la presenza di una memoria capace di organizzare i rilievi.

Il problema fondamentale diventa dunque capire se possono esistere nello spazio fisico due punti in moto relativo senza la
presenza di un osservatore e quale significato può avere il moto, in questo caso.
In altre parole, dobbiamo capire che cosa, nell'universo, è realtà fisica e che cos'altro è invece pura costruzione del cervello.

Per molte ragioni, è per noi estremamente difficile distinguere le due cose e questo si può facilmente capire se confrontiamo
l'universo che "vedremmo", se fossimo privi di tutti i sensi, con quello che viene percepito nella nostra condizione attuale.
La conclusione che si potrebbe trarre da questo semplice esperimento è che al di fuori del nostro cervello non esiste assolutamente nulla e

che  tutto quello che percepiamo è solo una nostra costruzione teorica.
Qualsiasi oggetto che non è codificato con un nome, una forma definita teoricamente in una teoria, un colore codificato, ecc., non può
entrare nei nostri pensieri e dunque è invisibile.
Non possono esistere per noi oggetti fuori dal pensiero, che non abbiano cioè un codice che li distingua dal resto dello spazio.

Se anche si accetta questa drammatica conclusione, ci si deve comunque chiedere qual'è il " fenomeno elementare " che,
se applicato ripetutamente, porta alla impressionante varietà di eventi percepiti.
Penso che a questa domanda non potremo mai dare una risposta, in quanto nel tentativo di farlo ci troveremmo costretti a negare anche
l'esistenza dello spazio fisico puro e dunque dell'universo primordiale stesso.
Negli  Art.2   e  Art.3   abbiamo parlato dello spazio e del tempo percepiti, che, per definizione stessa di percezione, traggono origine da
un processo di ricostruzione del cervello e dunque esistono solo come realtà soggettive.
Rimane dunque senza risposta la domanda su che cosa innesca il processo di percezione e in definitiva su che cosa è lo spazio che noi
percepiamo.
Nella realtà, dare una definizione dello spazio fisico nel quale ci muoviamo non è facile e ci vediamo costretti ad assumerlo
come concetto
primitivo, accontentandoci di descriverlo solo indirettamente attraverso le sue proprietà che rileviamo quando
interagiamo con esso.
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L'idea primitiva dello spazio è sempre stata quella associata a un'estensione " vuota " all'esterno dell'uomo.
Ci si accorge dell'impossibilità di definirlo solo quando si abbandona questa idea per considerarlo, non più come un contenitore
vuoto della realtà, ma il " luogo " in cui esiste la materia più rarefatta, evanescente.

Rapportando la posizione del proprio corpo a quella degli altri, si acquisisce facilmente la consapevolezza dell'esistenza dello spazio, ma
quando si cerca di dare una definizione chiara , ci si rende subito conto che, per farlo, si deve allargare l'indagine su molti suoi aspetti, in
particolare : sulla sua natura, sulla sua esistenza oggettiva e sulla sua struttura metrica (geometria).

Con l'indagine e l'elaborazione di tutti questi aspetti, il concetto di spazio è cambiato molto nel corso della storia del pensiero e la sua
evoluzione è andata di pari passo e si è identificata con l'evoluzione del nostro modo di osservare la realtà.
Per questa ragione, storicamente, lo spazio, così come il tempo, viene rappresentato e gli viene dato un significato diverso a seconda della
cultura prevalente.
Senza dubbio, il concetto di spazio più noto è quello che, scientificamente, viene descritto come un luogo di punti geometrici
attraverso un sistema di assi cartesiani.

A questo punto, lo spazio, come sistema di riferimento, diventa indipendente dai corpi in esso contenuti ed acquista un valore assoluto.

Un concetto legato allo spazio è quello di luogo, inteso come posto occupato dagli oggetti, necessario per la percezione sia dell'esistenza
(nel luogo) che del movimento, inteso come traslazione da un luogo all'altro.
Come abbiamo visto trattando l'origine del tempo  Art.2   , esso nasce proprio dalla esigenza di descrivere i cambiamenti spaziali e quindi
tutto ciò che si muove o si trasforma nello spazio viene acquisito dalla memoria e descritto anche a livello temporale.
La percezione del " tempo " diventa così la presa di coscienza che la realtà di cui siamo parte si è modificata.

Attraverso lo spazio di memoria occupato viene anche percepita la rapidità con la quale si realizzano i cambiamenti e non solo il "prima"
e "dopo".
Dunque, prima ancora di introdurre il concetto di velocità, che lega lo spazio al tempo, il legame tra le due entità veniva già percepito,
anche se non esistevano le condizioni per fare una valutazione quantitativa.
La prima percezione del tempo è stata quella legata al moto ciclico dei corpi celesti e quindi il tempo stesso, insieme allo spazio era ciclico,
ripetitivo.
Il sorgere del Sole non segnava l'inizio di un nuovo giorno, ma il ritorno dello spazio "esterno" nella esatta condizione del giorno
precedente, al fine di consentire il ripetersi degli eventi.
Anche la morte, per lungo tempo, è stata avvertita come la fine di un ciclo che sarebbe comunque iniziato nuovamente con la rinascita.
Fu poi nel pensiero cristiano, con sant'Agostino che il tempo venne concepito in senso lineare, progressivo e non più ciclico come nel
mondo pagano.
E'di questo periodo la definizione fondamentale di Newton, secondo il quale il tempo scorre immutabile, sempre
uguale a se stesso.

Secondo la concezione del tempo e dello spazio immutabili, quando si passa dalla percezione alla valutazione scientifica, la rapidità del
cambiamento di una configurazione viene sostituita dal concetto di velocità, apparentemente semplice nella definizione, solo se non si
considerano le reali misurazioni richieste per poterla valutare.
Se abbiamo un punto nello spazio, rivelarne l'esistenza vuol dire localizzarlo nel tempo e nello spazio.
Per farlo è necessario interagire con esso e questo si realizza attraverso dei segnali.
2
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In uno spazio assoluto come quello immaginato da Newton il rilievo degli oggetti non pone alcun problema in quanto essi, in quanto
visibili, sono presenti contemporaneamente in quei punti dello spazio e quindi anche tutte le interazioni sono sempre presenti.
Questo significa che tutti i punti dello spazio si scambiano le loro azioni con una velocità infinitamente elevata. Nella realtà però se anche
per lo spazio la situazione fosse questa, non lo è certamente per noi osservatori, che non conosciamo segnali con velocità
di propagazione infinita.
Se un osservatore  O  vuole verificare la presenza nel punto  P  dello spazio al tempo  t  di un oggetto alla distanza r, invia un segnale
che si propaga con la velocità  Vm  , raggiunge il punto  P e viene riflesso per essere intercettato nel punto  O .
Il segnale inviato al tempo  t₀  raggiunge il punto P dopo un tempo  Δt₁  dato da :           Δt₁ = r / V.

Dopo essere stato riflesso il segnale impiega un tempo         Δt₂ = r / Vm             per ritornare all'osservatore.

Dado che la risposta si rende disponibile solo al tempo   tr = t₀ + Δt₁ + Δt₂  , l'osservatore non può essere certo che quello

che osserva sia la situazione attuale, e può solo affermare che l'oggetto era presente nel punto  P  al tempo    t₁= t₀ + Δt₁ .
Quello che abbiamo detto può sembrare banale, ma lo è molto meno quando si deve rilevare un oggetto a grande distanza utilizzando un
segnale piuttosto lento nella propagazione.
Con riferimento alla figura, supponiamo di voler rilevare la presenza di aerei nello spazio entro il raggio di  10 Km  , utilizzando degli
ultrasuoni.

Nell'istante  t₀  inviamo due segnali  s₁  ed  s₂  nelle direzioni indicate in figura e riceviamo due segnali di ritorno dopo gli intervalli
di tempo :
                                           Δt₁ = 52.94 sec  e    Δt₂ = 58.82 sec

Tenendo conto che la velocità di propagazione degli ultrasuoni nell'aria vale  Vm = 340 m/sec , deduciamo la posizione di due
aerei alle distanze :
                r₁ = Δt₁⋅ Vm/2 = 8.9998 Km   ;   r₂ = Δt₂⋅ Vm/2 = 9.9994 Km

Questa interpretazione dei risultati non è però l'unica.
Se consideriamo la distanza tra gli ipotetici aerei : d₁₂ = r₂ – r₁ = 999.6 m , il segnale a ultrasuoni per propagarsi da un

aereo all'altro impiega un tempo             Δt= d₁₂/Vm = 2.94 sec .

Se  P₁ è un aereo ultrasonico, in un tempo minore di  Δts  può spostarsi dal punto  P₁  al punto  P₂  e riflettere quindi il segnale
s₂ in arrivo.
Non potendo noi distinguere i due casi, ci chiediamo : Qual'è la realtà ?
La risposta è che è reale quello che osserviamo e dunque non esiste
una sola realtà.
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Naturalmente, per noi che siamo abituati a identificare la realtà con tutto ciò che cade sotto i nostri sensi, diventa difficile accettare l'idea
che quello che " vediamo " con il nostro segnale non sia vero.
Se analizziamo in dettaglio i due casi, vediamo che il problema nasce perché, anche se i segnali inviati sono simultanei, qualunque sia il
tipo di segnale, che viene utilizzato, propagandosi con la stessa velocità  Vm  , non è possibile farli giungere nello stesso istante in due
punti a distanza diversa dalla sorgente.
Questo vuol dire che, se identifichiamo il tempo t₀ , in cui partono i segnali per l'osservazione, con il presente, nello spazio non
possono esistere nello stesso istante due realtà "osservabili" in punti a diversa distanza dalla sorgente di segnali. La realtà presente
è data solo dai punti equidistanti dall'osservatore.
Essendo il tempo presente, per definizione, quello rilevato dall'osservazione in atto, ad ogni valore dello spazio r si associa un valore del
tempo, per cui ogni presente dello spazio è individuato dalla coppia di coordinate  (r ; t)  e ogni punto P  del presente dai
valori  
(r ; ϑ ; ϕ ; t) .
E' chiaro quindi, a questo punto, che se un osservatore è in moto rispetto allo spazio, considerato solidale con il mezzo in cui si propagano
i segnali, i valori delle coordinate dei punti dello spazio risulteranno variabili in rapporto alla posizione che l'osservatore occupa nel tempo.

Nasce quindi il problema di definire come le coordinate spaziale e temporale di un punto dello spazio, rilevate da un osservatore immobile,
si trasformano se lo stesso punto viene osservato da uno mobile.
Il problema verrà trattato diffusamente in seguito, per cui facciamo ora solo i pochi cenni necessari agli scopi attuali.

Con riferimento alla figura, indicando con  (x ; t)  le coordinate della sorgente  S  rilevate dall'osservatore immobile, solidale con la
sorgente e con il mezzo di propagazione dei segnali, le coordinate  (x' ; t')  della stessa sorgente rilevate dall'osservatore in moto
rispetto al mezzo ( e alla sorgente ) con la velocità V , si ottengono osservando che, mentre il segnale s₂ si muove verso O', quest'ultimo
si sposta verso la sorgente con la velocità V.
Il segnale intercetterà dunque l'osservatore  O' nel punto  A , dopo un tempo t' dato dalla :           V ⋅ t' = x – x'

con :                                                                           x = Vm⋅ t  e  x' = Vm⋅ t'
da cui si ottiene la trasformazione :


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Un problema speculare è quello di esprimere la coordinata   x' , nel riferimento immobile O.
La posizione del punto , valutata dall'osservatore immobile   , si ricava con le relazioni :   
da cui :  
dove tutte le misure vengono rilevate dall'osservatore immobile.
Differenziando e dividendo membro a membro si ottiene :

che esprime la legge di composizione delle velocità generalizzata.
Si noti che :   

in quanto  ν' è la velocità misurata dal riferimento mobile O', mentre  νO'  è la stessa velocità misurata dal riferimento O.
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Ritornando all'esempio degli aerei, osserviamo che le realtà che sono state rilevate differiscono per il fatto che la prima è associata a una
configurazione stazionaria dello spazio, mentre nel secondo caso si ha una evoluzione della configurazione che non può essere messa in
evidenza perchè la velocità dell'aereo è maggiore di quella del segnale che potrà quindi raggiungerlo solo quando esso si fermerà, nel
punto P₂ .
Questo ci dice che un oggetto, per poter essere osservabile , non si deve muovere nello spazio con una velocità maggiore di
quella del segnale usato per rilevare la sua presenza. In termini equivalenti:
La velocità di propagazione del segnale, Vm , rappresenta il valore
massimo raggiungibile, " in quello spazio ", da un punto, per
poter essere ancora osservabile.

Questo limite viene messo in evidenza anche dalla relazione che esprime la composizione delle velocità. Infatti, se ν  e/o  V è uguale a
Vm , la velocità che viene misurata dall'osservatore  O  risulta sempre νO' = V.
Conseguenza rilevante dei risultati che abbiamo ottenuto è l'impossibilità di misurare " simultaneamente " la posizione di due
punti posti a diversa distanza dall'osservatore, anche se i due punti sono a distanza fissa e sono legati fra loro per mezzo di una struttura
rigida.
Abbiamo visto che a ciascun punto dello spazio sono associate le coordinate spaziale e temporale  (r ; t)  dove  r  è la distanza del
punto da osservare dalla sorgente di segnali e  t  l'istante in cui il segnale raggiunge il punto  P(r ; t) .
Secondo l'interpretazione corrente, la coordinata  r  è una scelta dell'operatore e quindi rappresenta una variabile indipendente.
La coordinata temporale  t  viene invece definita da due componenti :          t = t(O) + Δt

dove   t(O)   rappresenta il tempo che viene indicato dall'osservatore   O   quando la sua posizione coincide con l'origine degli assi
di riferimento.
Il suo valore è definito dal numero di cicli (oscillazioni) realizzati da un sistema periodico stazionario, o comunque che si possa
ritenere tale, che viene "scelto arbitrariamente" ed associato all'osservatore allo scopo di dare un'ordine alle osservazioni fatte.

E'chiaro che questo oscillatore è utile, quindi è necessario che sia operativo, solo quando l'operatore prevede di effettuare più osservazioni
e non sempre, per cui ogni operatore, di volta in volta, potrebbe scegliere il suo oscillatore e sarebbe perfettamente adatto allo scopo.
Questo modo di procedere darebbe all'ordine stabilito un valore unicamente locale, con ovvi problemi di comunicazione tra i diversi
osservatori, qualora si rendesse necessario farlo.
Per questa ragione sarebbe conveniente scegliere un solo oscillatore, posto in un punto dello spazio scelto arbitrariamente e
capace di inviare i suoi segnali a velocità infinita in qualsiasi punto dell'universo.
In questo modo tutti i punti dello spazio potrebbero essere forniti di un sistema capace di ricevere e contare gli impulsi in arrivo, partendo
da uno zero comune, in modo che sia possibile associare a ciascuna osservazione il numero dell'impulso in corrispondenza del quale è
stata realizzata.
La funzione di questo numero è solo quella di consentire di ordinare le osservazioni che vengono effettuate in qualsiasi punto
dello spazio
e quando viene considerato da solo, senza alcun riferimento a un'osservazione o eventi di qualsiasi natura, altro non
fa che testimoniare l'esistenza del lontano oscillatore che continua ad essere attivo.

Questo numero, che aumenta di una unità ad ogni impulso,
in qualsiasi punto dell'universo, senza alcun legame con gli eventi,
s'identifica con quello che indichiamo come tempo e che "scorre"
indipendentemente dalla nostra volontà
.

Nella realtà, non disponiamo di un oscillatore con le caratteristiche richieste e nemmeno di segnali capaci di trasferirsi nello spazio con
velocità infinita.
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Si pone quindi il problema di creare un sistema alternativo, capace di dare la stessa risposta.
Se il segnale non si propaga con velocità infinita, con un unico segnale non è possibile associare ad ogni impulso lo stesso numero in punti
distanti tra loro nello spazio.
Ogni osservatore dovrà quindi essere corredato di un oscillatore locale che dovrà generare sul posto l'impulso per realizzare il conteggio.
Naturalmente, per fare in modo che allo stesso evento, osservato in due punti diversi, venga associato lo stesso numero, gli oscillatori
locali devono essere tutti perfettamente uguali tra loro e sincronizzati con l'oscillatore centrale, assunto come campione.
Per poter fare questa operazione, è necessario conoscere con precisione la velocità di propagazione del segnale campione, che potrà
anche non essere dello stesso tipo di quelli utilizzati per le osservazioni.
Per esempio, è possibile utilizzare un segnale luminoso per inviare l'impulso fornito dall'oscillatore e fare le osservazione con segnali a
ultrasuoni.
Se indichiamo con   VSC  la velocità del primo segnale, un oscillatore posto alla distanza   r₀   dal campione, quando riceve il segnale

deve essere tarato in modo che l'indicazione sia       t₀ = r₀ / VSC   .

Questo tempo s'incrementa di una unità ad ogni ciclo dell'oscillatore e questo indica solo che esso esiste e continua ad oscillare non per
noi, ma per conto suo, anche se non si osserva assolutamente nulla. " Il tempo numerico è quindi una grandezza
che ha solo significato convenzionale ".

L'unico tempo che ha significato reale è solo quello " percepito " dagli esseri viventi e utile per
la sopravvivenza.

Se si assume un sistema di assi di riferimento, l'oscillatore posto nell'origine indicherà un tempo uguale a quello del campione :

                                                       t(O) = tC

Se nel sistema di riferimento locale i segnali si propagano con velocità Vm , al punto  P  , che si trova alla distanza  r  dall'origine, sarà
associato un tempo universale dato da :
                                                  t = t(O) + r/Vm

in cui il tempo   t(O)  aumenta con il numero di cicli dell'oscillatore con lo stesso ritmo per tutti i punti dello spazio associato al sistema
di riferimento scelto.
Ogni punto dello spazio è quindi individuato dalla coppia di valori  (r ; t) con  r  che individua la posizione e t l'istante in cui il punto
viene osservato.
Se i rilievi vengono fatti da un osservatore mobile con velocità  V , la distanza da esso rilevata vale :            r' = r – V ⋅ t'
sostituendo si ha :

da cui si ricava il tempo misurato dall'osservatore mobile :                  
Dall'espressione del tempo si ricava :   
7
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Il primo membro rappresenta la differenza tra il tempo associato allo spazio posto alla distanza   r  dall'origine  O   e quello associato
all'origine stessa, così come in un sistema di assi cartesiani il valore della coordinata di un punto è uguale alla differenza tra il valore
associato al punto e quello dell'origine, che generalmente si assume uguale a zero.
In questo senso la quantità   (t – t(O))   si può interpretare come una coordinata
temporale
da associare alla distanza r ( superficie sterica di raggio r ).

Sostituendo alla distanza  r  le coordinate cartesiane, si può scrivere :

e quindi, con ovvio significato dei simboli possiamo scrivere la relazione tra le coordinate temporali :

                                            ts² = tx² + ty² + tz²

Analogamente, ponendo   ts²⋅ Vm² = r²    , la stessa relazione si può scrivere con le coordinate spaziali :

                                    r² = (ts⋅Vm)² = x² + y² + z²

Ricordiamo che fu Minkowski che, dopo la pubblicazione della teoria della relatività di Einstien, per primo, introdusse il tempo come quarta
dimensione, trattando per la prima volta spazio e tempo come " parti di una sola entità ", un continuum spazio -- tempo a
quattro dimensioni, " trattando spazio e tempo allo stesso modo ".

Facciamo però osservare che, le relazioni che abbiamo scritto sono corrette da un
punto di vista formale, ma presentano gravi
incongruenze fisiche e,
più in generale, concettuali.

Abbiamo infatti due relazioni "assolutamente identiche", scritte una volta in termini spaziali e l'altra usando notazioni temporali, senza
tener conto che lo spazio fisico ha caratteristiche peculiari proprie che non si possono attribuire al tempo senza conseguenze.
L'espressione con le coordinate spaziali                                r² = x²+ y²+ z²
è certamente corretta sia da un punto di vista fisico che matematico, in quanto uno spostamento ha caratteristiche vettoriali, nel senso che
è caratterizzato, oltre che dal valore numerico, anche dalla direzione e dal verso, per cui se si realizzano contemporaneamente tutti gli
spostamenti   x , y , z   nelle direzioni degli assi, si compie un'operazione in tutto equivalente ad un unico spostamento    nella
direzione risultante.
Per uno spostamento infinitesimo, si può anche scrivere :                              (Δr)² = (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²

In termini temporali, la relazione         ts² = tx² + ty² + tz²

risulta corretta, da un punto di vista matematico, in quanto è stata ottenuta dividendo entrambi i membri dell'espressione spaziale
per la stessa quantità.
Si deve però tenere presente che dalla relazione / definizione :  
si ricava correttamente :     dS = dt ⋅ V     che, integrata con  V = costante  , fornisce anche :
ossia :

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Queste relazioni dicono che il vettore  S , che descrive lo spazio percorso nel tempo  ts  da un punto materiale che si sposta con velocità
V , è equivalente alla somma vettoriale degli spazi percorsi nella direzione degli assi del sistema di riferimento nello stesso tempo t.

Dividendo le componenti per il tempo comune, si ottengono le componenti delle velocità necessarie per produrre lo spostamento
assegnato che in genere risulteranno diverse tra loro.
In definitiva, lo spostamento   S  del punto materiale, prodotto nel tempo  t, può essere descritto ( e in questo senso è equivalente )
come la somma vettoriale degli spostamenti prodotti dallo stesso punto nello stesso tempo lungo gli assi di riferimento, muovendosi con
le velocità :

Abbiamo dunque spazi diversi che vengono percorsi nello stesso tempo con velocità diverse. Naturalmente questa equivalenza si rivela di
grande utilità in tutta la fisica.
Il nostro problema non è però descrivere il moto di un punto materiale, ma rilevare la sua presenza ad
una distanza  r  dall'origine, in un
istante arbitrario  t ,  indipendente dalla posizione del punto nello
spazio.

Per farlo inviamo un segnale che si propaga con velocità Vm caratteristica del mezzo, indipendente dalla direzione di propagazione, e
misuriamo il tempo ts richiesto per raggiungerlo.
Se Vm non dipende dalla direzione di propagazione del segnale, diventa una grandezza scalare e
non si può parlare di componenti della
velocità, in quanto dovrà essere :

Vx = Vy = Vz = Vm

Non è quindi possibile usare, con qualche riferimento alla realtà fisica, la notazione vettoriale :   

Se  Vm  è costante per i tre segnali che si spostano sugli assi, per produrre gli spostamenti  x , y , z ,  diversi fra loro, dovranno

essere diversi i tempi sui tre assi, per cui si dovrà scrivere una relazione del tipo :


da cui si ricava :   

si ha quindi, con ovvio significato dei simboli : 
oppure con i moduli :                                                                ts² = tx² + ty² + tz²

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Sotto questa forma " possiamo dire che la relazione descrive un tempo a tre
dimensioni ".

Per mettere in evidenza l'esistenza dello spazio in cui i segnali si propagano, esprimiamo una dimensione esplicitando lo spazio percorso.

Si può, per esempio, sostituire :        ts² = r²/Vm²
e si ha quindi :    
A questo punto si deve osservare che per un punto dello spazio  P, che venga osservato nel generico istante  t  , le componenti che lo
caratterizzano   x , y, z, t   sono tutte indipendenti tra loro e non hanno nulla in comune con le componenti   x, y, z, t   che
vengono utilizzate per descrivere il moto di un punto, in quanto in questo caso, anche se non viene precisato, il tempo t è in realtà inteso
come l'intervallo di tempo ts che abbiamo già introdotto.
Dunque, mentre  t  è scelto arbitrariamente, indipendentemente da  x, y, z  il tempo ts è proporzionale al percorso r del segnale.

Se abbiamo una sorgente di segnali   S  ed un osservatore   O  a una distanza   x  costante, mentre il tempo  t   aumenta linearmente,
per la definizione stessa di tempo, sia per la sorgente che per l'osservatore, l'intervallo di tempo  t , che il segnale impiega per
raggiungere l'osservatore ha un valore costante e non ha le caratteristiche di un tempo.
Pur essendo intimamente legati, spazio e tempo sono due entità con
caratteristiche completamente diverse.

A parte l'aspetto quantitativo, la differenza fra due lunghezze è ancora una lunghezza " con le stesse caratteristiche ",
mentre la differenza fra due tempi dà " un intervallo di tempo ", che non ha più le caratteristiche di
un tempo.

Se abbiamo quindi un punto  P  alla distanza  r  dall'origine e viene osservato al tempo  t , il valore della quantità r² – Vm²⋅ t²,
rilevata da un osservatore immobile, dipende dal valore scelto per il tempo  t  , che non dipende da.
La stessa quantità, rilevata da un osservatore O', in moto rispetto al mezzo con la velocità , sarà espressa da una relazione del tipo :

                                                   r'² – Vm²⋅ t'²

dove r' e t' sono in relazione con  r  e t , ma t' sarà ancora indipendente da r' .
Se, seguendo il pensiero di Poincaré, si ricavano i nuove valori applicando le trasformazioni di Lorentz, con una sola coordinata spaziale,
si scrive :

Questa relazione non può essere corretta, in quanto si ha al primo membro il tempo t' indipendente da x' , la secondo membro il
tempo  t  dipende invece da  x  ed è uguale all'intervallo di tempo impiegato dal segnale a raggiungere l'osservatore, ossia si ha :

                                                 t = ts = x / Vm

Se al tempo si attribuisce lo stesso significato al primo e al secondo membro, la relazione fornisce correttamente :

                                     x'² – Vm²⋅ ts'² = x² – Vm²⋅ ts²

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Considerando le tre dimensioni  x, y, z, si ha così l'invariante di Poincarè :              x² + y² + z² – Vm²⋅ ts²

Si deve tenere presente che ts  non rappresenta il tempo che, secondo la definizione, aumenta regolarmente, indipendentemente dallo
spazio, ma un intervallo di tempo di valore definito.
Se si sostituisce l'intervallo di tempo  ts con un istante  t  scelto arbitrariamente per osservare il punto alla distanza   r  dall'origine,

l'espressione che si ottiene                                    x² + y² + z² – Vm²⋅ t²

non è invariante rispetto ai riferimenti inerziali e non è rappresentativa di nessuna
grandezza fisicamente significativa.

Proprio per l'arbitrarietà del tempo  t  , Hermann Minkowski. pensò
di interpretarlo come una quarta dimensione dello spazio.

La moltiplicazione per la velocità costante Vm è utile per rendere omogenea questa nuova dimensione con quelle spaziali.
Con questa interpretazione, in analogia con lo spazio a tre dimensioni, se il termine  (Vm²⋅t²)  fosse positivo, la quantità :

                                r(x,y,z,t) = x² + y² + z² + Vm²⋅ t²

potrebbe essere interpretata come "distanza" di un evento dall'origine O(0,0,0,0) di uno spazio con tre dimensioni spaziali
ed una temporale.
Nella forma, in cui la dimensione temporale viene espressa in termini spaziali, " si dice che l'espressione descrive i
punti di uno spazio-tempo "
, ossia un'entità a quattro dimensioni, in cui il tempo e lo spazio s'intrecciano
come realtà interdipendenti.
Anche se, con la sostituzione del tempo ts con la variabile  t , l'espressione di Minkowski non ha più nulla in comune con l'invariante di
Poincarè, egli non ha percepito l'importanza della sostituzione ed ha cercato di derivare da esso la sua relazione con diversi artifici
matematici.

Non sempre però un'equazione matematica, anche se viene correttamente formulata, fornisce risultati fisicamente accettabili e la
relazione
utilizzata da Minkowski, presenta molte incoerenze dal punto di vista fisico.

Innanzitutto, per avere il quarto termine positivo, egli introduce il coefficiente immaginario di Gauss :          i = √(–1)
e ottiene formalmente :
r²(x, y, z, iVmt) = x² + y² + z² + (i⋅Vm⋅t)²

Il fattore immaginario è stato introdotto unicamente per ottenere formalmente l'espressione pitagorica, ma si tratta comunque di un
artificio matematico che fisicamente non ha alcuna giustificazione ed è finalizzato solo al trattamento del tempo come quarta
dimensione.
Si ha dunque :
r²(x, y, z, iVmt) = x² + y² + z² – (Vm⋅t)²

che non è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz e lo diventa solo quando         t = ts .
In questo caso si ha :
r²(r, iVmts) = r² – (Vm⋅ts)² = 0
possiamo quindi scrivere :
                        r²(x, y, z, iVmt) – r²(r, iVmts) = (Vm⋅ts)² – (Vm⋅t)²
e quindi :
r²(r, iVmt) = Vm²⋅ (ts² – t²)

dividendo per la velocità  Vm² e ponendo :     t²(t, it) = r²/Vm²     si ottiene :      t²(t, it) = ts² – t²

Che rappresenta lo stesso spazio descritto in termini solo temporali, che potremmo chiamare  quadritempo .

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E' da notare che la distanza  r percorsa da un segnale nel tempo  ts  si scrive normalmente nella forma :

   

che mette in evidenza la somma vettoriale di tre percorsi nella direzione degli assi realizzati nello stesso tempo a velocità diverse, in totale 
disaccordo con la tesi dell'indipendenza della velocità del segnale dalla direzione di propagazione.

Più coerente con questa ipotesi si presenta invece la forma :  

dove  tx , ty, tz  non sono dei tempi, ma intervalli di tempo e dunque la relazione ha significato.
Per chiarire questo punto, realizziamo il seguente esperimento ideale.
Sappiamo che normalmente il rilievo della posizione di un punto dell'universo può essere realizzato inviando direttamente un segnale e
misurando il tempo impiegato per raggiungerlo.
Nota la velocità di propagazione dei segnali, si ricava :          r = Vm⋅ ts .

Analogamente, assumiamo un sistema di assi cartesiani come riferimento e inviamo un segnale dall'origine lungo l'asse x , che si propaga
per un tempo misurato  tx  . Viene poi riflesso nella direzione dell'asse  y , per propagarsi per un tempo ty .
Viene quindi riflesso definitivamente lungo l'asse z e si propaga per un tempo tz per essere poi raccolto da un osservatore nel punto P.
Se ora inviamo un segnale dello stesso tipo dall'origine O direttamente al punto P, l'esperienza dimostra che il tempo impiegato risulta :

ts² = tx²+ ty²+ tz²          e quindi si ricava :               r² = Vm²⋅ ts²

essendo la velocità  Vm  costante in tutte le direzioni, possiamo calcolare tutte le componenti e quindi la distanza  OP anche con la

relazione :                                                                                      r² = x² + y² + z²

In questo modo, se si assume un'origine come riferimento, corredata di un oscillatore indipendente, come abbiamo visto, ad ogni punto
si associa un tempo, che s'incrementa in tutto l'universo con lo stesso ritmo, secondo la definizione che abbiamo dato.
Questa descrizione risulta perfettamente coerente con le osservazioni sperimentali.
Con la relazione scritta con le coordinate spaziali, usata da Minkowski ed universalmente accettata, l'espressione è vista nella forma :

da cui :      

in disaccordo con l'indipendenza della velocità di propagazione dei
segnali dalla direzione.

Minkowski ha considerato, in maniera artificiosa, l'espressione nella forma "arbitraria",

che non esplicita quale dei due fattori è un vettore, per poter scrivere la espressione con i moduli, trattando

così il prodotto     (ts⋅Vm)     come il modulo di un vettore; scrive dunque :            Vm²⋅ ts² = x² + y² + z²

Si ricordi che, mentre per lo spazio la differenza tra due lunghezze è ancora una lunghezza e quindi conserva tutte le caratteristiche dello
spazio, per il tempo non è così.

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La differenza tra due tempi fornisce un intervallo di tempo, che è un valore definito e costante e quindi non ha le caratteristiche di
un tempo, che per definizione è un conteggio di impulsi e come tale aumenta con un ritmo costante.
Abbiamo visto che il tempo è indicato da un oscillatore indipendente solidale con un sistema di riferimento universale. Qualsiasi punto
dello spazio universale è quindi individuato dalla distanza che lo separa da questo riferimento, rilevabile inviando un segnale e l'istante in
cui il segnale viene inviato.
Se si deve analizzare uno spazio limitato dell'universo, si assume un sistema di riferimento locale, nella cui origine viene posto un
oscillatore uguale a quello campione, con esso sincronizzato.

Un punto dello spazio è completamente individuato dalla terna di coordinate spaziali e dall'istante t in cui viene realizzata l'osservazione.
Si scriverà quindi :    P(x , y , z , t)
Essendo la distanza dall'origine :            r² = x² + y² + z²     si può anche scrivere :         P(r ; ϑ ;ϕ ; t) .

Se  Δt è il tempo impiegato dal segnale inviato dall'origine  O per percorrere il tratto  OP , si ha :         r = (Vm⋅Δts)

e quindi le indicazioni richieste per individuare il punto  P saranno :              P((Vm⋅Δts) ; ϑ ;ϕ ; t)

Per semplicità di esposizione, consideriamo una sola componente spaziale e scriviamo quindi :                 P((Vm⋅Δts) ; t)

Se si vogliono riportare su assi cartesiani le due componenti ed operare su di esse, pur non essendo indispensabile, è conveniente renderle
omogenee, dividendo oppure moltiplicando per una velocità, scelta arbitrariamente.
La scelta più opportuna è la velocità del segnale utilizzato per i rilievi VmSi hanno così le indicazioni :

                                   P(Δts; t)     oppure          P(Vm⋅Δts ; Vm⋅t)

minkowski
Il diagramma di figura è quello proposto per la prima volta da Minkowski.
Un punto A fermo, nella posizione P0 , avrà una coordinata spaziale x = x₀ costante nel tempo, rilevata dall'osservatore O, solidale
con il mezzo in cui si propagano i segnali, nell'istante t = 0 .
L'oscillatore presente nell'origine continua comunque ad oscillare, indicando che il tempo " aumenta " per tutto lo spazio, quindi
anche per il punto   A  , che si sposta nella direzione dei tempi, aumentando la coordinata spaziotemporale da  P₀  a, poi a  P₁ e
così via.
Quando il punto   si trova nella posizione  P₁ , se si assumono le coordinate dell'origine  O(0,0,0 ,0)  , nello spaziotempo si
avrebbe un percorso  OP₁ dato da :
r² = x₀² + (Vm⋅t)² = Vm² ⋅ (ts² + t²)

che fisicamente non ha nessun significato.
Si deve dunque ritenere che il tempo aumenti anche per l'origine, assumendo O(0 , 0 , 0 , t). Questo vuol dire che l'aumento
del tempo si deve applicare a tutti i punti dell'universo, senza eccezioni.
In questo caso, quando il punto  A  si sposta in  P1 , l'origine si sposta parallelamente in  O₁  e , da un rilievo della coordinata spaziale,
con la velocità del punto  V = 0 , risulta ancora   x = x₀ .

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Se il punto è in moto con un'equazione del tipo :  x = x₀ + V ⋅ t  si può scrivere :
che sul diagramma è rappresentata da una retta inclinata come in figura , in cui abbiamo :                tg α = V / Vm
con il valore limite  tg α = 1 corrispondente al valore massimo  Vmax = V , si ha :

α= 45°    e   (x – x₀) = Vm ⋅ t

Per   V > Vm   osservare il punto in moto non è più possibile con quel segnale e bisogna ricorrere ad uno che abbia la velocità di
propagazione maggiore di   Vm .
Escludendo questa possibilità, normalmente la parte di spazio occupata dal punto in moto con una velocità  V > V ( zona associata
a  α > 45° ) viene indicata come " altrove ".
Supponiamo ora di avere due osservatori A e B equidistanti dall'osservatore   , come è indicato in figura.

minkowski
Secondo quanto abbiamo visto, i tre punti  A, O, B , fermi nello spazio, sono rappresentati nello spaziotempo da tre rette verticali.
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Supponiamo ora che dal punto  O  partano contemporaneamente, nell'istante   t = 0   , due segnali che, per quanto abbiamo visto,
saranno rappresentati da due rette inclinate di  45° .
I due segnali verranno intercettati dagli osservatori, che si spostano nel tempo lungo la verticale, nei punti   A' e B' , verificando che
risultano ancora simultanei.
Ci domandiamo ora come giudicano lo stesso evento ( emissione simultanea di due segnali ) due osservatori appartenenti ad un altro
sistema di riferimento in moto rispetto al mezzo in cui si propagano i segnali, quindi rispetto al riferimento O, considerato nel caso
precedente.
Per il riferimento O , immobile rispetto al mezzo, i punti   A, O', B  non sono più in quiete e quindi le rette che li rappresentano
saranno inclinate rispetto alla verticale, secondo la relazione :  
e rappresentate in figura con  a, o, b .
Queste rette, che rappresentano gli osservatori in moto, intercettano (e quindi rilevano) i segnali, che non sono cambiati, nei punti   a'e
b'
, chiaramente ad una diversa distanza dalla sorgente  O e in istanti diversi.
Per gli osservatori in moto i due segnali non risultano più simultanei.
Il rapporto tra i tempi coincide con quello che è stato ricavato analiticamente con la trasformazione di Galileo generalizzata :

Generalmente la rappresentazione che è stata data con una sola dimensione spaziale viene fatta considerando lo spazio piano con le
coordinate x , y e la dimensione spaziotemporale (Vm⋅t) .
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Ne risulta la figura di rotazione che, con riferimento ai segnali luminosi, viene indicata come cono di luce .

cono di luce 
Per un punto in moto con la velocità del segnale (dunque per il segnale) si ha     x = Vm⋅ t       ossia :     x – Vm⋅ t = 0 .

Il primo membro   x – Vm⋅ t  risulta invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz che, com'è noto, è scritta nella forma :


dove la quantità   (x – V ⋅ t )  indica il valore della distanza tra il punto da rilevare e l'osservatore mobile vista dal riferimento fisso.
" La trasformazione di Galileo generalizzata ", è stata ricavata invece nella forma :

dove la quantità (x – V ⋅ t') rappresenta la distanza del punto da rilevare dall'osservatore mobile, misurata nel riferimento mobile.
Rispetto a questa trasformazione, la quantità (x – Vm⋅t)  risulta invariante rispetto al sistema
di riferimento senza dover ricorrere
all'artificioso fattore γ .
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Applicando la trasformazione, si ha infatti :

che equivale alla :         
Questa relazione normalmente viene interpretata come invarianza assoluta della velocità del segnale rispetto alla
sorgente e all'osservatore.

In realtà il segnale, di qualunque tipo, dopo l'emissione è indipendente dalla sorgente e dunque si muove nel mezzo senza alcuna
sua influenza.
In queste condizioni il segnale continua il suo moto alla velocità  Vm  fino a raggiungere il punto da rilevare.
L'unico modo per far variare la velocità di accostamento del segnale al punto è quello di far muovere il mezzo contemporaneamente al
segnale.
Va precisato che per misurare la velocità di un segnale, l'osservatore mobile oppure immobile, invia un segnale su una superficie riflettente,
posta ad una distanza x nota, e rileva il tempo da esso impiegato per realizzare il percorso di andata e ritorno e

dalla relazione L / t = Vm ricava il valore medio della velocità sull'intero percorso.


Consideriamo un osservatore in moto, come in figura.
Dopo l'emissione il segnale s₁ , indipendente dalla sorgente, si muove verso la superficie riflettente S con la velocità Vm , percorrendo

la distanza x₁ = x₀ in un tempo    t₁= x₁ / V.

Dopo il tempo  t₁ il segnale viene riflesso, e indipendente dalla superficie  S , si muove verso O con la velocità  Vm e lo intercetterà
nel punto  O₁ , dopo un tempo  t₂ dall'istante in cui è stato riflesso.

Il percorso del segnale riflesso sarà :                  x₂ = x₀ – V·(t₁ + t₂)

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il tempo di transito del segnale riflesso s₂ risulta :

Il tempo totale, misurato dall'osservatore, impiegato dal segnale per tutto il percorso di andata e ritorno sarà :

Il percorso complessivo di andata e ritorno vale :  
La velocità osservata risulta :     
Da tale relazione, se è nota  Vm  , si ricava la distanza  xO  o viceversa.
Il valore della velocità  Vm  così calcolata rappresenta il valore medio su tutto il percorso xO .
Se si desidera conoscere " la velocità istantanea " del segnale rispetto all'osservatore, è necessario valutarla entro un piccolo
spazio in corrispondenza del punto in cui il segnale viene intercettato dall'osservatore.
I processi che si verificano sono stati analizzati studiando l'effetto Doppler (  Art.26   ) ed abbiamo visto che :
Il segnale emesso con frequenza  f0  , viene intercettato dall'osservatore, in moto verso il segnale, con frequenza maggiore, data da


La velocità istantanea del segnale, rispetto all'osservatore mobile, nell'istante in cui lo raggiunge per essere assorbito oppure riflesso, vale
dunque :       
E' da notare che il segnale, che si propaga attraverso il mezzo, durante il moto conserva invariate le sue caratteristiche e " l'aumento
della
frequenza che registra l'osservatore si verifica nel momento in cui avviene l'impatto fra il segnale
e l'osservatore ".

Ricordando che all'aumento di frequenza è associato un aumento di energia trasferita, espressa da una relazione del tipo Es = α⋅ fO ,
essendo "la velocità d'impatto" l'unica grandezza in gioco, tale aumento può solo essere dovuto ad un aumento della velocità relativa tra
segnale e osservatore che non potrebbe realizzarsi se venisse applicato il postulato di Einstein sulla velocità della luce.
In definitiva, l'aumento di energia del segnale, dovuto all'effetto
Doppler, risulta in contraddizione con la costanza della velocità della
luce.

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Art.95 -- Teoria e calcolo elementare del redshift gravitazionale senza ricorso alla teoria della relatività generale di Einstein -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

I processi che abbiamo visto trattando la deviazione della luce in un campo gravitazionale (  Art.49   ) e l'effetto Compton (  Art.53   ) , con
le stesse approssimazioni si possono verificare nel caso in cui si abbia una massa m che viene lanciata, come in figura, alla distanza R₀
dal centro dello spazio rotante Ks² , generato dalla massa inerziale ms , con velocità iniziale V₀

redshift gravitazionale     
si ottengono le relazioni :              

Allo stesso risultato si può giungere anche considerando la lunghezza d'onda associata alla massa  m  in moto con velocità  V  in uno
spazio rotante :        
Le relazioni che abbiamo ricavato sono estremamente interessanti, in quanto ci consentono di calcolare l'angolo di diffusione di qualsiasi
particella o massa ordinaria lanciata in qualsiasi spazio rotante, con una velocità maggiore di quella di fuga dal punto in cui viene immessa.
Inoltre esse mettono in evidenza che l'effetto Compton e la deviazione della luce, che si osservano quando essa passa entro il raggio
d'azione di un campo gravitazionale, seguono lo stesso meccanismo e le stesse leggi che vengono seguite dagli aggregati ordinari.

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La componente Compton che abbiamo analizzato (  Art.53    ) considera solo la variazione della lunghezza d'onda λ  dovuta al fatto che
la massa   inizia a interagire avvicinandosi in una direzione e termina allontanandosi nella direzione dell'asintoto, deviando
di un 
angolo uguale a β .
Noi sappiamo però che i principi di conservazione debbono essere verificati in ogni momento durante l'interazione e non solo prendendo
in considerazione l'inizio e la fine dell'interazione che genera il cambio di direzione.
Prendiamo quindi in considerazione anche la componente della variazione della velocità della massa in moto, oppure della sua lunghezza
d'onda associata, dovuta solo alla variazione della distanza dal centro dello spazio rotante, che si verifica durante il movimento.

Con riferimento alla figura, anche se il percorso reale è quello indicato con tratto pieno, per semplicità di calcolo, commettendo un errore
trascurabile, consideriamo la massa  m  in moto verso il centro, lungo la traiettoria tratteggiata.

Ricordiamo che a una massa in movimento si associa una energia di riposo uguale a    E₀ = m₀ · Cl²

ed un valore di energia a carattere ondulatorio, che si manifesta quando la massa interagisce e viene catturata da uno spazio rotante
Ks² ( Art.52   e   Art.54  ) .
Questa energia viene descritta associando alla massa in movimento il valore della lunghezza d'onda λ  del fotone che viene emesso dopo
l'assorbimento e vale :       
l'energia associata diventa :                                                     h ⋅ ν = m ⋅ V ⋅ Cl
l'impulso associato a questa energia sarà :     
L'impulso associato all'energia di riposo si assume :    
Queste due componenti dell'impulso non sono presenti simultaneamente con valore definito, ma si presentano sfasati tra loro in modo
che uno assuma il valore massimo quando l'altro si annulla e viceversa.
Esse si presentano dunque come componenti ortogonali dell'impulso totale e nella definizione dell'impulso associato alla particella
non sono sommabili direttamente, ma si deve assumere :

l'energia totale associata alla particella in moto risulta così :

2
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ricordando che per una massa che si muove a grande distanza dal centro dello spazio rotante si applica la nota espressione della massa
relativistica (  Art.94   ) :

sostituendo, si ottiene : 
In ogni istante l'energia totale E dovrà essere uguale alla somma dell'energia cinetica più quella di riposo :       E = Ec + E₀
L'energia cinetica risulta dunque :
       
si noti che, per  V << Cl  possiamo sviluppare in serie di Taylor , fermandoci al secondo termine :
     
e si ottiene così la nota relazione :
     
Se siamo in presenza di un fotone, che nasce come perturbazione dell'equilibrio dello spazio rotante (   Art.56   e   Art.57    ) , la massa di
riposo  m₀  vale zero e quindi si ha solo la prima componente dell'energia.
Possiamo dunque scrivere in ogni istante l'energia totale del fotone :                  Ef = mf⋅ Cl² = h ⋅ ν
da cui si ha la massa equivalente :        
oppure, sostituendo   λ = Cl/ν  , si può scrivere :

che esprime la lunghezza d'onda associata a una particella di massa mf in moto alla velocità della luce Cl .

Se una particella interagisce con uno spazio rotante di valore Ks² , partendo dalla distanza dal centro R →∞ , con energia totale ,

dovrà soddisfare in ogni istante l'equazione fondamentale degli spazi rotanti :          V²⋅ R = Ks²  ,
che differenziata fornisce :   
Al primo membro abbiamo il differenziale dell'energia totale riferito all'unità di massa, mentre al secondo si ha il differenziale del potenziale
associato ad un incremento  dR  della distanza dal centro dello spazio rotante.
Inserendo la massa della particella, possiamo scrivere la relazione usando la energia relativistica :

Se la particella è un fotone, sostituendo l'espressione della massa, si ha : 
ovvero :      
integrando tra i limiti   R = ∞   e R = r si ottiene :          
dove, al secondo membro abbiamo l'energia potenziale per unità di massa.
Ricordando che 
sostituendo, si ha : 
posto :     
E' da notare che generalmente si ha   r >> r1s   e quindi si sviluppa in serie di Taylor l'esponenziale, fermandosi al secondo termine,
per cui si utilizza la relazione approssimata :        
Se, per esempio, osserviamo l'orbita di un pianeta del Sistema Solare, con perielio RP  ed afelio R, fissato il fotone da utilizzare per la
misurazione, tra i due punti verrà osservata una differenza di frequenza complessiva :

che si traduce in una errata valutazione delle distanze.
Il rapporto        viene generalmente definito  redshift gravitazionale
ed è calcolabile senza ricorrere agli effetti relativistici.

3
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Art.94 -- Teoria della relatività ristretta e struttura del nucleo atomico, origine della massa relativistica, equivalenza massa-energia e paradosso del nucleo atomico -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

In qualsiasi problema fisico la massa inerziale viene trattata sempre come caratteristica nota della materia, senza mai chiarirne l'origine ed
il significato fisico. Senza questo chiarimento non sarà però mai possibile comprendere fino in fondo il suo comportamento.
Questo si verifica anche per la massa relativistica della quale viene data solo la relazione che descrive la sua dipendenza dalla massa
inerziale del corpo in quiete e dalla sua velocità            

ma non viene fornita alcuna interpretazione fisica della massa  m₀ .  Si verifica solo che la relazione risulta in accordo con il postulato
di Einstein sulla velocità della luce.
Non viene però dato alcun rilievo al fatto che essa risulta in totale disaccordo con il
comportamento delle 
particelle subnucleari,
le quali manifestano una riduzione della massa
rispetto al valore assunto in quiete, anche se raggiungono nel nucleo atomico velocità prossime a quella della luce.

Un numero  A  di nucleoni indipendenti, in quiete ha infatti una massa complessiva più elevata di quella del nucleo nel quale sono in
moto, in contraddizione con l'espressione della massa relativistica.

La riduzione della massa data dalla relazione di equivalenza tra l'energia di legame e la massa   Cl²⋅Δm = ΔE  risulterebbe infatti
di gran lunga minore dell'aumento relativistico     Δm = m₀ ⋅ (γ – 1) .
All'energia di legame di un protone in equilibrio sul livello p del nucleo è associata una riduzione della massa  che vale :

Con l'espressione della massa relativistica,  sullo stesso protone si dovrebbe verificare un incremento
della massa :

risulta : 

considerando lo sviluppo in serie di Taylor :    
risulta :     
e quindi, sostituendo si ha :          Δmr > [(1 + Δml) – 1]      da cui :                      Δmr > Δml

Tutti i nuclei dovrebbero dunque presentare un eccesso di massa e invece si ha sempre una massa in difetto.
Per esempio, per il nucleo di uranio, con    E₀(92= 306.37 MeV (  Art.75   )  , si ottiene :

-- sul livello fondamentale :                                          Δml = – 0.1644508 uma

                                                Δmr = + 0.2201293 uma

-- sul sesto livello :                                                          Δml = – 0.0045681 uma

                                                Δmr = + 0.0045994 uma

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Dato che tutti i nuclei presentano un difetto di massa, si deve concludere che negli spazi rotanti e quindi nel nucleo
atomico non si manifestano effetti relativistici.

Nella teoria degli spazi rotanti ci siamo già occupati del problema dell'origine della massa inerziale con un'analisi qualitativa (   Art.16    ).

Con queste note intendiamo affrontare il problema dal punto di vista quantitativo, per dare una definizione inequivocabile
di 
massa
inerziale,
che consenta di interpretare fisicamente la massa relativistica, in modo da poter derivare la relazione che ne
indica la dipendenza dalla velocità attraverso un percorso semplice e intuitivo, che chiarisce anche l'apparente
paradosso del nucleo
atomico.
In realtà, come abbiamo già detto, la massa inerziale non è una caratteristica propria della materia, ma dello spazio rotante, di cui esprime
la tendenza a ripristinare l'equilibrio quando esso viene perturbato da un agente esterno.
Il valore della massa che lo spazio rotante trasferisce all'agente che perturba l'equilibrio (attraverso la particella materiale in movimento)
sarà quindi variabile in rapporto al valore della perturbazione indotta e non esiste alcun legame definito con la velocità.

Un corpo in moto con la velocità V, se occupa punti dello spazio fisico diversi, presenta masse inerziali
diverse.

Questo vale per qualsiasi spazio rotante. Se la Terra occupasse l'orbita del pianeta Marte, avrebbe una massa inerziale più elevata
di quella
attuale, anche se con una velocità orbitale minore. L'aumento di massa che verrebbe registrato sarebbe uguale alla
riduzione dell'energia di legame con lo spazio rotante solare. L'espressione che abbiamo ricordato è tuttavia ben sperimentata
ed è dunque indiscutibile.

Quello che viene messo in discussione è invece la sua interpretazione corrente.
Se abbiamo una massa in orbita alla distanza  R  dal centro di uno spazio rotante   , le caratteristiche di moto associate all'equilibrio
sono definite dalla legge fondamentale  (   Art.5   ) :
                                                 V² ⋅ R = K² = costante

Se il moto avviene su un'orbita circolare stabile di raggio  Rn  , la velocità di equilibrio risulta quindi :   
alla quale si associa un'energia cinetica :          
Dove con mn abbiamo indicato il valore della massa inerziale  che si misura in queste condizioni di equilibrio.
Se alla massa in equilibrio forniamo l'energia    ΔE  ,  la sua velocità tende a portarsi al valore :
       
Sulla massa si manifesta dunque un'accelerazione centrifuga che perturba l'equilibrio dello spazio rotante, il quale manifesta una naturale
inerzia tendente a conservare l'equilibrio iniziale acquisito, implicita nella legge fondamentale che regola la sua organizzazione

V² ⋅ R = K² .
Esso infatti riduce nuovamente la velocità aumentando il raggio dell'orbita.

2
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L'azione dello spazio rotante, tendente a ripristinare l'equilibrio perturbato, si manifesta trasferendo alla massa in movimento un'azione
contraria a quella che ha generato la perturbazione.
All'azione dell'energia fornita   ΔE  , che accelera la massa in equilibrio, viene opposta un'azione frenante che agisce fino a quando viene
raggiunta una nuova condizione di equilibrio su un'orbita di raggio maggiore e velocità minore.

L'operatore che ha applicato l'azione perturbatrice avverte la reazione come se provenisse direttamente dalla massa sollecitata
e quindi associa
 direttamente ad essa la massa inerziale che è stata invece trasferita dallo spazio rotante.

Il valore della massa inerziale così introdotto dovrà dunque essere tanto più elevato
quanto maggiore è la perturbazione indotta nell'equilibrio
dall'energia fornita
  ΔE .

Dato che la stabilità dell'equilibrio è indicata dal valore dell'energia totale Et della massa in orbita (  più elevata è l'energia più forte sarà
il legame ), numericamente uguale all'energia cinetica, fissato il valore dell'energia fornita   ΔE  , la perturbazione indotta sarà tanto
più elevata quanto minore risulta l'energia di legame Ecn ( legame meno stabile e quindi più facilmente perturbabile ).

Essa potrà dunque essere descritta dal rapporto che esprime l'eccentricità dell'orbita

Lo spazio rotante trasferisce quindi alla massa in equilibrio sull'orbita una massa inerziale proporzionale a :

La perturbazione che una data energia    ΔE  produce sull'equilibrio di uno spazio rotante aumenta quindi con la distanza dal centro e
dunque con la diminuzione della velocità di equilibrio.
Studiando l'evoluzione dei sistemi legati (  Art.13   ), abbiamo visto che con un eccesso di energia  ΔE , rispetto al valore Ecn associato

all'equilibrio sull'orbita circolare, l'equilibrio si rende possibile su un'orbita ellittica con eccentricità data da :      

e le caratteristiche orbitali diventano :

L'energia cinetica (di legame) si riduce a :                E = Ecn ⋅ (1 – e²)

Si noti che queste caratteristiche orbitali rappresentano i valori medi, in quanto in realtà la massa oscilla attorno al valore del semiasse
maggiore dell'ellisse con periodo  T  e con un valore dell'energia cinetica variabile con legge sinusoidale, che raggiunge il valore massimo
al perielio e minimo all'afelio.

3
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La legge fondamentale   V² ⋅ R = K²  è verificata solo con i valori medi e non su tutta l'orbita.
Al perielio la massa in orbita possiede un'energia totale maggiore di quella associata alla condizione di equilibrio e quindi si sposta verso
l'esterno, con trasferimento di energia allo spazio rotante fino all'afelio, dove l'energia totale risulta minore di quella di equilibrio e quindi
inizia a riassorbire energia dallo spazio rotante avvicinandosi nuovamente al centro fino al perielio, dove il ciclo si ripete.
Questo continuo scambio di energia tra la massa in moto e lo spazio fisico, con l'oscillazione del raggio orbitale, è causa di un
irraggiamento di energia come " onde gravitazionali " 
 che porta a una graduale riduzione del raggio e dell'eccentricità
dell'orbita.
L'eccesso di energia  ΔE  che abbiamo fornito inizialmente si conserva quindi nel sistema come " energia di eccitazione ",
che viene scambiata continuamente tra spazio fisico e massa in moto sull'orbita.
L'energia totale della massa in equilibrio vale :

D'altra parte, essa verifica anche la legge fondamentale  Vn²⋅ Rn = K² , che si può anche scrivere        
       
moltiplicando per la massa, si ottiene :                
che coincide proprio con il bilancio energetico    Et = Ecn + Epn     con l'energia totale crescente con il raggio dell'orbita.

A questo punto osserviamo anche che le caratteristiche orbitali delle masse in equilibrio negli spazi rotanti non
dipendono dalla massa inerziale; 
si osserva, per esempio, che gli asteroidi troiani presentano orbite coincidenti con quelle
dei pianeti, benché abbiano dimensioni infinitamente più piccole. E' possibile quindi avere lo stesso equilibrio con qualsiasi valore della
massa in orbita.
Quando viene fornita l'energia   ΔE   alla sfera in equilibrio sull'orbita, è quindi sempre possibile verificare il principio di conservazione
dell'energia con un aumento della massa inerziale.

Dato che lo spazio rotante, per manifestare la sua inerzia, deve trasferire alla sfera planetaria una massa inerziale crescente con il raggio
dell'orbita, dunque crescente con l'energia totale della massa in moto sull'orbita,  il problema viene risolto se il valore
della massa inerziale
che lo spazio rotante trasferisce alla sfera planetaria risulta
proporzionale al valore dell'energia totale ad essa associata.

In termini differenziali, possiamo dunque scrivere una relazione del tipo :                       dm = α⋅ dEt
con la costante  α  da determinare.
Secondo tale relazione, l'intervallo di definizione della massa inerziale coincide con quello in cui è definita l'energia totale della
materia.

Con riferimento allo spazio rotante in cui la materia si muove, teoricamente si ha :

e quindi sarà         
4
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In realtà, avendo noi come limite di velocità osservabile quella della luce, la prima orbita stabile osservabile sarà quella sulla quale la
velocità di equilibrio coincide con quella della luce, che ha raggio            
L'intervallo di definizione, fisicamente significativo, diventa quindi :                         r₁ < R < .

Integrando tra  Et = 0  e il generico valore  Et  e indicando con m₀ il valore della massa associata a  Et = 0 , si ha :

                                                  m = m₀ + α⋅ Et
e quindi :                    
da cui si ottiene :            
e, sostituendo     V²⋅ R = K² ,     per una massa in equilibrio, diventa :
                      
Questa relazione fornisce il valore della massa inerziale che lo spazio rotante trasferisce alla materia in equilibrio sulle orbite.
All'interno di uno spazio rotante, se si trasferisce alla massa in moto l'energia   ΔE  , la reazione inerziale ripristina l'equilibrio con un

aumento del raggio dell'orbita che si realizza nel rispetto della legge    Vn² ⋅ Rn = K²  e quindi con una riduzione della velocità,

dunque anche dell'energia cinetica, ed un aumento della energia potenziale uguale al doppio della cinetica.
Quasi tutta l'energia ΔE che è stata fornita viene così immagazzinata come energia potenziale e la perturbazione prodotta sull'equilibrio
risulta quindi relativamente piccola e quindi modesto sarà anche l'aumento richiesto della massa inerziale.

Proprio perchè l'energia fornita   ΔE  viene immagazzinata praticamente tutta come energia potenziale, " entro il raggio
d'azione di uno
spazio rotante, e in particolare nel nucleo atomico,
non si manifestano effetti relativistici ".

Quando si giunge sul confine dello spazio rotante, con     R →   ,
l'energia potenziale tende a zero e quindi una ulteriore fornitura di
energia  ΔE  non ha alcuna possibilità di essere compensata e deve
necessariamente trasformarsi tutta in energia
cinetica ( deve comunque essere soddisfatto il principio di conservazione ).
L'incremento della massa inerziale si dovrà quindi scrivere :

da cui si ottiene :    
che si applica a una massa alla distanza dal centro  R → ∞  , dunque indipendente dallo spazio rotante.

5
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Si tenga presente che le due espressioni che abbiamo ricavato presentano delle analogie solo formali, ma descrivono situazioni diverse.
La prima si applica a una massa che percorre un'orbita chiusa in uno spazio rotante e ci fornisce una massa inerziale che aumenta con il
diminuire della velocità.
La seconda si applica invece a una massa libera, che s'intende in moto nello spazio rotante sull'orbita di raggio    R → ∞  , dove la
velocità di equilibrio è uguale a zero e dunque dove una massa in equilibrio è nella condizione di quiete.
In questo caso l'eccesso di energia rispetto alla condizione di equilibrio è uguale a tutta
l'energia cinetica
e la perturbazione che viene indotta sull'equilibrio risulta piuttosto elevata e si manifesterà con un elevato
valore della massa inerziale.
Tra le due espressioni non esiste però nessuna discontinuità, in quanto sono entrambe descritte dalla relazione    dm = α⋅ dEt
che, integrata diventa :
                                               m = m₀ + α ⋅ Et

Se si indica con   Ee   l'energia che viene fornita alla massa dall'esterno la sua energia totale, in qualsiasi punto, sarà espressa
dalla relazione :          
abbiamo quindi :  
e la massa inerziale risulta sempre crescente con l'energia totale, anche se non è sempre crescente con
la velocità.

Entro tutto il raggio d'azione dello spazio rotante si ha infatti :

-- Per     Ee = 0   → 
– Per     →               m = m₀
A questa condizione corrispondono le caratteristiche di equilibrio orbitale :

                             E= 0   ;   E= 0   ;   E= 0   ;   V = 0   ;   R → 

Oltre questo punto di equilibrio, una ulteriore fornitura di energia esterna alla massa in equilibrio (  in questo caso, in quiete  ) si dovrà
necessariamente trasformare in energia cinetica. In ogni istante l'energia complessivamente fornita sarà :

dove il primo termine rappresenta l'energia che è stata fornita per portare la massa dal livello minimo    ,
associato all'orbita di raggio r₁ , fino al valore  Et = 0 corrispondente a  R →  .

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--Per    R →  ,   l'energia totale della massa in moto sarà ( solo energia cinetica)  :                
-- Per   
da cui si ricava la massa inerziale, che risulta : 
-- Per       abbiamo ricavato l'espressione :
    
Queste relazioni mettono in evidenza che non è sempre vero che la massa inerziale aumenta con la velocità, mentre è sempre vero
che aumenta con il valore dell'energia fornita dall'esterno
sotto qualunque forma e " rappresenta una manifestazione
dell'inerzia dello
spazio rotante "che dipende dal punto considerato.

Questo aumento della massa inerziale si ottiene indipendentemente
dagli effetti relativistici, che non sono stati presi in considerazione
per ricavare le due espressioni.

Esse " non sono dunque da confondere " con l'espressione nota della massa relativistica.
Un altro aspetto importante che l'analisi che abbiamo fatto mette in evidenza è la non corretta interpretazione che normalmente viene

data della relazione, certamente tra le più note al mondo :    Cl²⋅ dm = dE

che coincide con quella da noi considerata, ponendo                     α = 1/Cl² .

La relazione viene utilizzata come una vera e propria identità ed interpretata come equivalenza tra massa inerziale ed energia nel senso
che massa inerziale ed energia ( sotto qualsiasi forma ) sono fisicamente ritenute la stessa cosa, potendosi trasformare una nell'altra.

Spesso si assume nei calcoli Cl = 1 e si discute di massa utilizzando l'unità di misura dell'energia, senza fare alcuna distinzione
concettuale.

S'introduce così una nuova forma di energia detta   energia di massa :           Em = Cl² ⋅ m

e rappresenta il valore che si ottiene trasformando tutta la massa in energia.

In questo senso la massa non presenta più alcun legame con l'inerzia.
L'interpretazione che abbiamo dato con la nostra analisi è sostanzialmente diversa.

Nella nostra teoria la massa inerziale rappresenta una caratteristica
che lo spazio rotante trasferisce alla materia in moto, e quest'ultima
all'operatore ,
per opporsi a una perturbazione delle condizioni di moto indotta sulla materia imponendo dall'esterno una
variazione della sua energia totale Et .

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La massa inerziale non è dunque una caratteristica propria della materia, ma dipende dal punto dello spazio fisico occupato.
Se si sottrae energia si riduce la distanza dal centro dello spazio rotante con aumento dell'energia di legame.
In queste condizioni, a parità di valore dell'energia ricevuta, la massa presenta una minore capacità di perturbare l'equilibrio ( più stabile )
e dunque le verrà trasferita una massa inerziale minore.
Si tratta ora di fissare il valore della costante   α  in base ai limiti di variabilità del valore della massa inerziale.
Il valore minimo si ha sull'orbita con raggio minimo  r₁ , la prima accessibile, sulla quale la velocità di equilibrio è uguale a quella della
luce e quindi è solo su quest'orbita che ha significato fisico parlare di massa inerziale minima e si ottiene :


Per ricavare il valore massimo, osserviamo che, se forniamo l'energia   ΔEe  a una massa in equilibrio sull'orbita  R → ∞ , l'energia
fornita "si dovrà trasformare tutta in energia cinetica in quanto non è possibile aumentare ulteriormente l'energia potenziale ",
e quindi dovrà essere :

e per la massa si avrà :     
Per bassi valori della velocità, fornendo alla massa l'energia   ΔEe   otteniamo un incremento dell'energia cinetica   ΔEc   dello stesso
valore, formato dai due contributi indicati, con il primo molto più elevato del secondo, in quanto si ha una piccola variazione della massa
mentre l'aumento della velocità è elevato.
Se consideriamo la velocità della luce come valore massimo osservabile, man mano che ci si approssima a questo valore gli aumenti della
velocità  ΔV  si riducono e dovranno tendere a zero per  V → Cl .
In queste condizioni il primo termine si mantiene praticamente costante, anche se si continua a fornire energia dall'esterno, mentre,
dovendo essere sempre   ΔEc = ΔEe   , il secondo aumenta notevolmente con incremento notevole della massa   Δm .
A questo punto si ha infatti :       
Per ricavare l'espressione della massa che verifica il limite della velocità della luce, si deve considerare che, qualunque forma abbia, per
V << Cl  deve ridursi all'espressione che abbiamo ricavato trascurando questo limite.
A questo punto notiamo che, considerando lo sviluppo in serie di Taylor :
      
i primi due termini coincidono con il denominatore dell'espressione della massa che abbiamo ricavato per V << Cl e quindi possiamo
assumere lo sviluppo completo per esprimere la massa per qualsiasi valore della velocità.
Avremo quindi :
-- per una massa legata :

-- per una massa libera :
       
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Dovendo la massa assumere valore reale , in tutto l'intrvallo   0 ≤ V ≤ Cl ,  sarà necessario assumere      α ≤ 1/Cl²

Se si continua a fornire energia  E , dovrà essere :                                 limEe V = Cl

per il principio di conservazione, si ha  Ee = Ec  e quindi :                   limEe∞ Ec =
da cui deriva :     
dalla seconda espressione si ottiene :        Avremo dunque le espressioni definitive :
-- per una massa legata :

-- per una massa libera si ha la nota espressione della massa relativistica :
         
Dalla prima espressione, per   V = Cl  , in corrispondenza dell'orbita minima si ottiene il valore minimo della massa inerziale
mmin = m₀/2 .

Le situazioni che abbiamo esaminato possono essere chiarite riportando su un diagramma cartesiano l'energia della massa in moto in
funzione di quella fornita dall'esterno.
massa relativistica  

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A questo punto risulta chiaro che non è possibile legare in maniera univoca la massa inerziale di un oggetto materiale in moto alla
sua
velocità, in quanto non si tratta di una sua caratteristica intrinseca, ma ha origine nello spazio rotante in rapporto al punto occupato.

Si hanno quindi situazioni in cui "lo spazio rotante assegna" alla massa in moto una massa inerziale che aumenta con la velocità ed altre
nelle quali la massa inerziale assegnata aumenta a fronte di una riduzione della velocità.
La variabilità della massa inerziale è dunque un effetto generato solo
dalla struttura e dalle leggi che reggono lo spazio fisico, organizzato
come uno spazio rotante.

La sola relazione valida in qualsiasi punto dello spazio fisico, dall'atomo agli spazi astronomici, è : 
   

Generalmente essa viene scritta in forma differenziale :                  ΔE = Cl² ⋅ Δm

ed " è universalmente interpretata come una identità " e letta come equivalenza tra
massa ed energia, trasformabili secondo la reazione :
                                                     ΔE    Cl² ⋅ Δm

Secondo questa reazione, se a una massa m forniamo la quantità di energia  ΔE , sotto qualsiasi forma, la sua massa inerziale
aumenta della quantità  Δm  indicata dalla reazione.  Viceversa, se si sottrae l'energia  ΔE , la massa diminuisce della stessa
quantità  Δm .

Se, per esempio, abbiamo un blocco di ferro che a una data temperatura ha una massa uguale a   m  e forniamo un'energia termica
ΔEe  , la temperatura aumenta e con essa anche la massa che si rileva con qualsiasi misurazione.
Se ora si sottrae energia, riportando il blocco alla temperatura iniziale, la sua massa diminuisce, ritornando al valore iniziale  e anche
questa riduzione è verificabile sperimentalmente.
Difronte a questi esperimenti, ma soprattutto difronte alle reazioni nucleari che verificano sempre l'espressione che abbiamo ricavato, la
più semplice interpretazione è quella che riflette i risultati rilevati :
La massa e l'energia sono equivalenti in quanto " rappresentano la stessa caratteristica della materia, che viene solo rilevata in due modi
diversi ".
Parlare dunque di massa o di energia della materia è la stessa cosa.

Nell'esempio che abbiamo citato, la grandezza che trasferiamo al blocco la rileviamo come energia.
Dopo il trasferimento, rilevando un aumento della massa " riconosciamo " in esso l'energia che avevamo trasferito e come prova esiste la
possibilità di realizzare il processo inverso.
La conclusione è una sola : L'energia si trasforma in massa inerziale e viceversa.
Dunque, i due principi di conservazione della massa e dell'energia non possono più essere distinti, ma debbono confluire in uno solo, in
quanto, quando in un processo fisico "scompare" energia compare massa inerziale.
Questa interpretazione è solo apparentemente corretta,  in quanto per poter
affermare che l'aumento della massa inerziale rilevato è stato generato dalla trasformazione dell'energia, per misurare l'incremento non
è sufficiente rilevare la massa iniziale e finale,, ma si deve anche rilevare l'energia totale del blocco prima e dopo il trasferimento, per
verificare che sia rimasta invariata, altrimenti non è possibile affermare che si è realmente verificata la trasformazione.

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Se procediamo a questa verifica, scopriamo che non si è verificato
nessuna trasformazione.

L'energia termica che abbiamo fornito ha eccitato gli elettroni atomici che si sono allontanati dai rispettivi nuclei, trasformando l'energia
ricevuta in energia potenziale.
A ciascun elettrone, nella nuova posizione, lo spazio rotante atomico associa una massa più elevata, che noi rileviamo su tutto il blocco.
Se si considera il sistema formato dall'agente che trasferisce l'energia e la massa che la riceve, l'energia totale si conserva durante il
trasferimento e in effetti possiamo verificare che riportando gli elettroni nella posizione iniziale, restituiscono l'energia ricevuta e riducono
la massa associata.
Questo non vuol dire che l'uso che viene fatto della relazione non sia corretto ; nei calcoli funziona perfettamente.
Semplicemente non c'è trasformazione, ma siamo noi che misuriamo l'energia dopo la reazione, attraverso l'incremento di una
caratteristica che il trasferimento di energia ha prodotto in maniera proporzionale, la massa inerziale.

Energia e massa inerziale sono due grandezze interdipendenti, quindi relazionate fisicamente, ma concettualmente molto lontane.
La relazione che le lega è :

Questa espressione ha validità assolutamente generale e non ha nessuna relazione con gli effetti previsti dalla teoria della
relatività.

Essa rappresenta la "definizione di massa inerziale"
e ne indica l'origine.

Normalmente essa viene interpretata nello spazio libero, indipendente dallo spazio rotante, trascurando l'energia potenziale  Ep  , che
fuori dal raggio d'azione dello spazio rotante vale zero, e questo fa nascere qualche incoerenza.
Se nell'espressione della massa poniamo Ec = 0 , otteniamo :

che indica il valore della massa inerziale di un corpo in quiete, in un punto qualsiasi dello spazio fisico, non necessariamente alla distanza
R → dal centro dello spazio rotante.
Se siamo in presenza di uno spazio rotante la massa di riposo  m  non è una costante caratteristica della materia considerata, ma varia
con il punto dello spazio fisico occupato.
La relazione descrive la massa inerziale di un corpo non in equilibrio nello spazio rotante, al quale viene fornita energia potenziale variando
la distanza dal centro, senza variare la velocità.
Se la distanza dal centro dello spazio rotante varia di ΔR , la massa subirà la variazione :       
Dato che le condizioni di moto non sono cambiate e l'unica azione presente sul corpo è quella esercitata dallo spazio fisico nel quale esso
si trova, si può essere certi che la massa  Δm  è stata trasferita al corpo dallo spazio fisico.
In base a questa osservazione, prima ancora di parlare di energia, possiamo certamente dire che " lo spazio fisico trasferisce alla materia
una massa inerziale dipendente dal punto da essa occupato ".

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La situazione che abbiamo descritto è la più comune nella nostra esperienza quotidiana è rappresenta quella in cui è maturato
il concetto 
di inerzia come tendenza naturale della materia ad opporsi a un'azione che " tende ad accelerarla ".
Quantitativamente, questa tendenza viene espressa dal valore della massa inerziale.
Se ora alla massa considerata forniamo un'energia cinetica  Ec  (positiva), la sua azione è contraria a quella dello spazio rotante, per cui
essa ha tendenza ad allontanarsi dal centro e l'espressione della massa inerziale che rileviamo risulta :

Quando l'energia fornita uguaglia l'energia potenziale, si ha :     Ec = Ep
ossia :

da cui                                                  V = √⋅ Veq = Vf = velocità di fuga

la massa in moto si sposta sull'orbita di confine  R →∞  , dove si verifica la condizione                     Et∞ = Ec + Ep = 0
e quindi si ottiene       m = m₀ .
Il valore della massa  m₀  in realtà non rappresenta la massa inerziale rilevata in quiete,
ma in quiete sull'orbita di confine dello spazio 
rotante, con Et∞ = 0.

Sarebbe quindi più opportuno denominarla massa di confine.
Dato che sul confine è sempre  Ep = 0 , l'espressione della massa inerziale diventa :

E' da rilevare che, pur essendo l'energia totale coincidente numericamente con il valore dell'energia cinetica, essendo solo oltre il confine
uguale a zero  l'energia potenziale, questa particolare circostanza non ci può autorizzare a modificare il significato del fattore  Et
che compare nella relazione.
Essa va dunque scritta sempre  :                                           m ⋅ Cl² = m₀⋅ Cl² + Et

da cui deriva :                                                                       Et = Ec = m ⋅ Cl² – m₀⋅ Cl²

Considerando il limite della velocità della luce , possiamo sostituire la massa relativistica ed abbiamo :

                                   Ec = m ⋅ Cl² – m₀ ⋅ Cl² = m₀⋅ Cl² ⋅ (γ – 1)

A questo punto osserviamo che la quantità (m₀⋅Cl²) è uguale all'energia potenziale della materia in equilibrio sull'orbita minima di
raggio  r₁ , che coincide con l'energia totale (cinetica più potenziale) che bisogna fornire per raggiungere la velocità di fuga dall'orbita che
porta la materia considerata dalla prima orbita accessibile di raggio r₁ a quella di confine  R →∞ con un aumento della massa fino
al valore m₀ .

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In definitiva questo termine rappresenta il valore di energia totale   Et∞   che si deve fornire per " creare " la massa  m₀  in equilibrio
sull'orbita di raggio  R∞ , ossia per avere la massa  m₀  libera in quiete.
Se a questo punto alla massa in equilibrio viene fornita, sotto qualsiasi forma, l'energia Ee , essa verrà immagazzinata tutta come energia

cinetica con un incremento della velocità da zero a  V  e della massa da  m₀  a  m = m₀⋅γ.

L'energia che complessivamente abbiamo fornito allo spazio fisico per poter generare prima la massa m₀ libera e successivamente per
accelerarla fino alla condizione indicata, risulta :
                                                  Et(m ; V) = Et∞ + Ee

Tenendo conto che per  R →∞  Ep  è sempre uguale a zero, si ha     Ee = Ec

e quindi :                                                                  Et(m ; V) = Et∞ + Ec = m₀ ⋅ Cl² + Ec

ovvero :                                                                                     Ec = Et(m ; V) – m₀ ⋅ Cl²

dal confronto con la relazione :                                               Ec = m ⋅ Cl² – m₀ ⋅ C

si ottiene :                                                                    Et(m ; V) = m ⋅ Cl² = m₀ ⋅ γ⋅ Cl²

Il prodotto   (m⋅Cl²)  rappresenta dunque l'energia che si deve spendere complessivamente per generare la materia di massa  m
con la velocità  V , partendo da spazio fisico puro.
La quantità   (m₀ ⋅ Cl²)  rappresenta invece la quantità di energia che si deve spendere per generare la massa   m₀  in quiete,
sempre partendo da spazio fisico puro e viene indicata come energia di massa .

 

 

 

 

 

 

 

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Art.72-- Calcolo delle formule empiriche di Weizsacker, Green, Wapstra, Rohlf ; calcolo delle masse nucleari con il modello del nucleo a goccia -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Premettiamo che non abbiamo oggi una teoria soddisfacente del nucleo atomico, per cui i dati noti sono praticamente tutti rilevati
sperimentalmente.

Prima di elaborare una teoria del nucleo atomico coerente con quella degli spazi rotanti, vediamo con quali ipotesi restrittive sono state
derivate le formule empiriche che vengono utilizzate per il calcolo approssimato delle masse e dell'energia di legame dei nuclei atomici.
Abbiamo visto che il nucleo atomico è completamente definito dal numero di protoni   Z  , di neutroni   N  e dell'energia di
legame EZN.

Questi valori vengono forniti tutti direttamente dall'osservazione sperimentale e quindi non siamo in grado di distinguere due nuclei che
abbiano tutti e tre i valori coincidenti entro i limiti di errore associati agli esperimenti.
Qualunque sia il modello che viene proposto per descrivere un aggregato di particelle diverse tra loro, il primo problema che si pone è
quello di definire la loro collocazione all'interno del volume occupato dall'aggregato.
Se immaginiamo le particelle con caratteristiche a simmetria sferica, tenendo presente che ciascuna di esse ha, nei confronti di tutte le
altre appartenenti a un certo tipo, lo stesso comportamento, si deve pensare a una distribuzione uniforme di un tipo nell'altro e se ne
ricava un aggregato che presenta ancora una simmetria sferica.
Questa distribuzione non crea nessun problema se il numero delle particelle presenti di ciascun tipo è lo stesso. Si ha infatti una serie di
legami del tipo :
                ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ 
                    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ 
                    ↑↓    ↑↓     ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ 
                    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ 

In questo caso sarà sufficiente ipotizzare che entrambe le particelle abbiano la capacità di legarsi stabilmente a più particelle dell'altro tipo,
caratteristica affatto intuitiva, dal momento che, per esempio, il protone esaurisce la sua capacità d'azione legandosi ad un solo
elettrone, nonostante esso abbia una massa molto più piccola.
La scelta del modello si complica ulteriormente se il numero di particelle dei due tipi è diverso, come accade nel nostro caso.
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Si pone infatti il problema di collocare le particelle in eccesso, che nel nostro caso sono neutroni.
La scelta più semplice sarà, naturalmente, una distribuzione uniforme nella matrice che è stata tracciata.
Dobbiamo decidere però se legarli ai neutroni già presenti, ai protoni oppure ad entrambi, senza alcuna distinzione. E' chiaro che la scelta
non potrà essere arbitraria, ma deve tener conto delle osservazioni sperimentali alle quali il modello deve dare risposte. Riportiamo qui
qualcuna delle più evidenti.
-- negli isotopi naturali si ha sempre un eccesso di neutroni e mai di protoni

-- contrariamente a quanto si potrebbe supporre, l'eccesso di neutroni, e non di protoni, crea instabilità nella struttura del nucleo

-- l'eccesso di neutroni accettabile, per la stabilità, aumenta con le dimensioni del nucleo considerato

-- in natura non si hanno mai aggregati liberi del tipo p ↔ p oppure n ↔ n

-- i legami semplici che si osservano sono :
  p ↔ n ( deutone ) stabile ;  n ↔ p ↔ n
 ( trizio ) instabile ( T ≃12,33 anni ) ; p ↔ n ↔ p ( elio ) stabile

-- in natura non si trovano neutroni liberi e quando essi vengono prodotti, in un tempo di circa 13 minuti, si trasformano in
protoni, liberando un elettrone.

Le ultime osservazioni indicano come unica possibilità quella di legare il neutrone in eccesso a un protone libero o " poco legato ", in
quanto, se esso è già legato anche a un solo neutrone, il nuovo legame risulta instabile.
Considerando anche le altre osservazioni, non solo risulta impossibile poter collocare in maniera stabile i neutroni in eccesso, ma si ha
anche una chiara incompatibilità con la matrice elementare proposta.
La stabilità del deutone e l'instabilità del trizio indicano che, legandosi ad un neutrone " a distanza piuttosto ravvicinata ", il
protone
esaurisce " quasi del tutto " la sua capacità d'azione ( ricordiamo che il discorso viene fatto altrove in termini più precisi con
il bilancio del momento angolare ) e non riesce più a legarsi stabilmente ad un altro neutrone. Il secondo legame potrà diventare
stabile solo se il primo è più debole.
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Tutte le osservazioni e le esigenze che sono state indicate possono essere soddisfatte se il nucleo viene pensato formato solo da legami
(neutroni)  (protoni polarizzati) , con livello di polarizzazione, e dunque di energia di legame, dipendente dalla loro
distanza ed è il modello proposto dalla teoria degli spazi rotanti.
Per semplificare la trattazione, si può prescindere da queste osservazioni e "considerare tutte le particelle equivalenti,
indicandole come nucleoni".

In questo modo si rendono possibili tutti i legami di una particella con quelle direttamente a contatto.
E' chiaro comunque che, qualunque sia il modello scelto, per conservare una simmetria sferica, le particelle debbono disporsi su strati
concentrici e il numero di strati determina il raggio del nucleo.
Calcoliamo dunque il numero di strati che si ottengono nei casi reali con due diversi modelli.
In un'analisi di prima approssimazione, che siamo comunque obbligati a fare se non conosciamo i meccanismi che stanno alla base della
sintesi nucleare, possiamo ipotizzare un solo tipo di legame tra protone e neutrone, i valori  Z  ed  N  definiscono così in maniera
inequivocabile il nucleo.
Non potendo avere nuclei formati con gli stessi valori di  Z  ed  N  con legami diversi, anche il valore dell'energia di legame   EZN  è
univocamente definito.
Se invece si ammette l'esistenza, nel nucleo, di diversi tipi di legame, i valori  Z  ed  N  , da soli, non possono essere sufficienti per
caratterizzare un nucleo, in quanto sarà possibile avere nuclei con gli stessi valori di Z  ed  N e diversa energia di legame.
Le teorie correnti più accreditate, per giustificare la convivenza, nel nucleo, di protoni e neutroni, prevedono un solo tipo di legame che
non distingue il tipo di particella ed esercita quindi la stessa azione negli accoppiamenti  p n ; n p ; p p ; n ↔ n .
Si parla così di legame tra nucleoni, senza più alcuna distinzione tra protoni e neutroni.
Questa semplificazione viene comunque accettata anche se risulta in chiaro contrasto con il fatto che nella, ormai lunga, esperienza di
atomica e nucleare  non è mai stata osservata o prodotta alcuna forma di legame diretto tra
neutroni oppure tra protoni.

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Con questa scelta viene evitato così il problema della collocazione, all'interno del nucleo, dei neutroni eccedenti.
Senza alcuna distinzione, i nucleoni vengono semplicemente considerati con una distribuzione uniforme ad una distanza costante tra loro.

Se si indica con   r₀  il valore del raggio della sfera che " viene occupata " da un nucleone, il raggio del nucleo formato da  A  nucleoni
risulterà (  Art.17   ) :                
Normalmente, per il nucleo atomico, viene proposta la dipendenza, verificata sperimentalmente :

Dal valore di  R₀  si ricava :

in evidente contrasto con la incomprimibilità dei protoni.
Osserviamo ancora che, se i nucleoni si dispongono ad una distanza tra loro fissa uguale a  r₀  , formano necessariamente  n  strati
contigui su ciascuno dei quali si trovano  An  nucleoni, che vengono forniti dalla relazione :

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Individuato il numero di strati  ns  occupati da  Ans  nucleoni, il  raggio     rA = rns
del nucleo sarà :
                                          rA = rns = r₀⋅(1 + 2⋅ns)

sommando i nucleoni presenti su ogni strato, il numero complessivo di quelli presenti nel nucleo avente ns strati saturi risulta :


Possiamo verificare la relazione calcolando, per esempio, il raggio del Sole come aggregato di atomi di idrogeno, considerando che, in
questo caso, abbiamo ns >> 1. Si ha quindi :     
dove  ms  e mH  indicano le masse rispettivamente del Sole e dell'atomo di idrogeno. Si ricava quindi :
    
il raggio dell'atomo di idrogeno è noto e vale :

Il raggio del Sole risulta :                          rs = r⋅ (1 + 2⋅ns) = 695843 Km

in perfetto accordo con il valore fornito dall'osservazione astronomica.
Sviluppando il calcolo per i diversi valori di ns , si ottiene :

ns 0 1 2 3 4
Ans 1 13 63 176 377
rns r₀ (3 ⋅ r₀) (5 ⋅ r₀) (7 ⋅ r₀) (9 ⋅ r₀)

Secondo le ipotesi che stanno alla base delle teorie correnti, i diversi isotopi dovrebbero presentare " un valore del raggio nucleare
costante "
fino alla saturazione dello strato, con aumento improvviso di due unità quando si passa da uno strato al successivo.
Solo quando risulta ns >> 1 la discontinuità si elimina. Si ha infatti :

da cui si ricava : 
e quindi il raggio del nucleo :

relazione già nota per altra via.

Per i nuclei atomici si ha ns = (1 ÷ 4) e quindi la condizione che abbiamo indicato non è affatto soddisfatta.
L'espressione del raggio del nucleo atomico, che si ricava con le ipotesi che sono alla base del modello a goccia, non dovrebbe quindi
essere quella che 
viene proposta in quanto risulta incoerente con le ipotesi stesse.
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Dato però che l'espressione è verificata sperimentalmente, si deve pensare che le condizioni indicate con le ipotesi fatte non vengano
realizzate nel nucleo atomico e che al valore del raggio, fornito dalla relazione sperimentale, si dovrà dare un significato diverso da quello
che è stato indicato.
A questo punto ricordiamo che, trattando la teoria generale degli spazi rotanti, per il valore massimo del raggio della sfera planetaria,
associata allo spazio rotante Kp², in orbita alla distanza RP dal centro dello spazio rotante solare Ks², abbiamo ricavato la relazione

Art.29   e   Art.30   ):        
nella quale rpmax rappresenta il raggio della sfera entro la quale deve essere racchiusa la materia che forma la sfera satellite per non
perdere massa dalla superficie e quindi per essere stabile.
Se il sistema in esame è un aggregato di protoni con i protoni stessi in orbita, la superficie stabile è assegnata dal limite imposto dalla
velocità della luce :

La distanza  RP  indica invece il valore minimo del raggio dell'orbita per avere il sistema stabile ( in astronomia dicevamo per non avere
una disgregazione superficiale dovuta agli effetti di marea ).
RP  rappresenta, quindi il raggio della superficie stabile del nucleo centrale compatto, impenetrabile, che genera lo spazio rotante di
valore  Ks².
In definitiva,  RP  rappresenta il massimo accostamento al centro dello spazio rotante, che possiamo realizzare con un proiettile
proveniente dall'esterno e dunque il valore del raggio che è possibile rilevare con un esperimento di laboratorio.

Il nucleo atomico non è limitato al nucleo impenetrabile definito da  RP , ma comprende anche la fascia protonica orbitale penetrabile,
avente il raggio   RZNP >> RP   , che non viene rilevata dalle prove di laboratorio. Se il nucleo è formato da Z unità uguali a quelle

in orbita, si potrà scrivere :                                         Ks² = Z ⋅ Kp²
e quindi si ottiene :      
Dall'osservazione sperimentale, per gli isotopi naturali. si ricava la relazione :    
Sostituendo, si ha l'espressione definitiva del raggio della parte centrale del nucleo atomico ( nucleo impenetrabile ) :

che fornisce risultati in buon accordo con l'osservazione sperimentale. Per esempio, sperimentalmente si ha :

                                R₁(79) = 6⋅10⁻¹⁵ m     ;     R₁(238) = 8,68⋅10⁻¹⁵ m

i risultati teorici risultano :       R₁(79) = 6,045⋅10⁻¹⁵ m     ;     R₁(238) = 8,731⋅10⁻¹⁵ m

Si verifica così che l'espressione sperimentale ricavata per il raggio nucleare soddisfa il raggio di una goccia di liquido solo perchè presenta
ns >> 1 ma non è per la stessa ragione che è verificata dal nucleo atomico.
Anzi, essa risulta in contraddizione con il modello del nucleo a goccia, che presenta ns = 1 ÷ 4, come risulta dalla tabella seguente,
ottenuta con le relazioni che sono state ricavate poc'anzi.

modello N Z I A As Ns n₀ ns
a goccia 8 8 0 16 13  1,11 2
spazi rotanti 8 8 0 16 6 1,75 2
a goccia 33 28 5 61 50 2 2
spazi rotanti 33 28 5 61 5 3,16 4
a goccia 84 60 24 144 95 2.71 3
spazi rotanti 84 60 24 144 24 4,48 5
a goccia 146 92 54 238 140 3,31 4
spazi rotanti 146 92 54 238 36 5,50 6

I risultati che abbiamo ottenuto dimostrano che il modello nucleare ricavato applicando la teoria degli spazi rotanti soddisfa perfettamente
la relazione sperimentale, ma per ragioni diverse da quelle indicate dall'analogia. Viene così meno uno dei motivi per cui essa è stata
proposta. Un altro punto fondamentale dello studio del nucleo atomico è l'osservazione sperimentale secondo la quale :
l'energia di legame per ogni nucleone, in prima approssimazione assume un valore costante, indipendente dal numero di massa  A .
Questa osservazione farebbe pensare a una importante proprietà delle forze nucleari : esse dovrebbero essere a corto range.
In questo caso infatti ogni singolo nucleone all'interno del nucleo saturerebbe la sua azione interagendo solo con i nucleoni circostanti 
( solo con quelli che si trovano a contatto ) e non con tutti gli   nucleoni.
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Questa particolare condizione (saturazione dell'azione) attribuirebbe a tutti i nucleoni la stessa energia di legame, a patto che ciascuno
di
essi abbia la possibilità, nell'aggregato, di essere circondato dallo stesso numero di nucleoni.
Questa circostanza non può certamente essere verificata dai nucleoni che si trovano sullo strato periferico, i quali saranno trascurabili
solo se il numero di strati   n è molto elevato, come si verifica in una goccia di liquido.
Da questo punto di vista il nucleo atomico si trova in una condizione piuttosto sfavorevole, in quanto, ammettendo    Zmax = 118
con   Nmax = 175 , si ottiene   ns = 1 ÷ 3,58 .

Questo vuol dire che con    Amax293   si hanno 129 nucleoni interni mentre quelli superficiali risultano ben 164 .
Dunque per questa via "la costanza dell'energia di legame per nucleone non viene affatto giustificata".
Essendo la relazione ricavata sperimentalmente, essa dovrà certamente essere accettata e quindi, se si dimostra sbagliata l'analogia
tra il
nucleo atomico e la goccia liquida, la giustificazione deve essere ricercata attraverso altre vie.
Vediamo invece come, in maniera lineare e semplice, questa osservazione sperimentale, si giustifica, attraverso il calcolo teorico,
nell'ambito della teoria degli spazi rotanti.
Studiando l'equilibrio di una sfera materiale in uno spazio rotante centrale, è stato ricavato il valore del raggio della sfera planetaria che
consente un moto di rotorivoluzione sincrono in perfetto equilibrio alla distanza  RP  dal centro :

con   Ks² = Z ⋅ Kp² ,   si ottiene :               RZP = Z1/3 ⋅ rp

Analizzando la condizione di equilibrio dei due protoni nel processo di sintesi di un deutone (Z = 1), abbiamo ricavato :

distanza tra protone e neutrone :             R₁₁ = rp = 57,63978486⋅10⁻¹⁵ m

spazio rotante associato al nucleo/neutrone :               Kn² = – Kp²/2

Il raggio dell'orbita fondamentale del nucleo avente numero atomico  Z , sarà dunque :          RZN1 = R₁₁ · Z1/3

Tenendo conto della relazione che esprime la quantizzazione delle orbite     Rp = R₁⋅ p²
il raggio dell'orbita associata al numero quantico p  sarà :
       
Ricordando ora la legge fondamentale degli spazi rotanti  (   Art.5   ):       Vp²⋅ Rp = Ks² = Z ⋅ Kp²

sostituendo la relazione :            Ks² = Z ⋅ Kn² = Z ⋅ (Kp²/2)

si ricava quindi la velocità della particella in orbita nello spazio rotante nucleare :
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e quindi :      
Per ciascuna particella in orbita si ricava così il valore teorico l'energia di legame :
         
Nel processo di sintesi del deutone  (  Art.70  )  abbiamo visto che la massa in orbita non è tutta quella del protone, ma
m₁= (3/4)⋅ mp , in quanto (1/4)⋅ msi utilizza per polarizzare il neutrone accoppiato . Si ha quindi definitivamente :


Si noti che tutte le particelle che occupano il livello  p  hanno le stesse caratteristiche orbitali e quindi sono legate allo spazio rotante con
lo stesso valore di energia.
Se dunque consideriamo il livello  p  saturo, il numero di particelle su di esso presenti sono   np = 2 ⋅ p² e quindi il valore
dell'energia che lo spazio rotante trasferisce a tutto lo strato sarà :

indipendente dal livello considerato.

Questa rappresenta una proprietà fondamentale degli spazi rotanti, che analizzeremo in dettaglio in un prossimo articolo.
Sostituendo i valori numerici, si ottiene :


Se moltiplichiamo l'energia per strato  E₀(A)  per il numero di strati ( o livelli )occupati  n₀  , otteniamo l'energia di legame di tutte le
particelle in orbita.
Abbiamo visto che, con la sintesi di deutoni in orbita, il numero dei livelli occupati viene definito non dai protoni, ma dai neutroni, secondo
la relazione :     
Per gli isotopi naturali ns assume valori bassi, compresi nell'intervallo 2÷5 , e quindi si si può assumere N ≃ n₀³ .
Si ricava dunque :  n₀ ≃ N1/3  Sostituendo, si ottiene l'espressione approssimata  dell'energia di legame :


in buon accordo con i rilievi sperimentali.
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Anche se l'analogia del nucleo atomico con una goccia risulta assolutamente inutile, l'espressione dell'energia di legame, che si ricava
facendone ricorso, fornisce valori accettabili in un ampio intervallo di valori di Z e N.
Questo si verifica perchè, come vedremo, l'analogia viene citata spesso, ma in realtà nei calcoli non troviamo nessun riferimento ad
essa,
ma solo a risultati sperimentali.
In realtà si risolve il problema matematico di cercare un' espressione teorica, che sia capace di descrivere una curva assegnata, ma non la
giustificazione della curva attraverso l'analisi dei processi fisici che la determinano.
Cerchiamo dunque un'espressione del tipo :

      Eg(Z ; N) = α ⋅ f₁(Z ; N) + β ⋅ f₂(Z ; N) + γ ⋅ f₃(Z ; N) + δ ⋅ f₄(Z ; N)  ⋅

dove ciascuna funzione viene definita sulla base di osservazioni sperimentali oppure considerazioni di carattere fisico.
I coefficienti verranno invece determinati facendo coincidere la funzione con valori noti di   Eg(Z ; N)  , opportunamente scelti.

Considerando che all'interno del nucleo una particella ne ha sei confinanti, se si associa l'energia di legame  e₁  ad un solo legame, il
contributo di ciascuna di esse sarà  6 ⋅ e₁ .
Se  A  è il numero delle particelle presenti in tutto il nucleo, complessivamente l'energia di legame sarà :

dove la divisione per   è necessaria perchè altrimenti un legame verrebbe considerato due volte, da X verso Y a da Y verso X .

Sappiamo che l'osservazione sperimentale più importante è che, variando  ed  N  con  A  costante, l'energia di legame varia di poco,
mantenendosi su un valore medio di circa 8 MeV.
Naturalmente, questo rappresenta il risultato fornito da tutti gli effetti che sono stati indicati, agenti contemporaneamente.
Se poniamo   f₁(Z ; N)   ad indicare questo risultato, il primo contributo sarà :

Se il nucleo fosse analogo a una goccia liquida ( numero di strati ns >> 1 ) , il valore atteso del coefficiente sarebbe α ≃ 8 MeV.
Questo valore di energia è stato calcolato considerando tutti i nucleoni legati alla stessa maniera.
In realtà, quelli che si trovano sulla superficie hanno metà legami e quindi ad essi bisogna detrarre un contributo pari a      α/2

Il numero di particelle che occupano lo strato periferico del nucleo, anche se utilizziamo l'analogia con la goccia, essendo molto basso il
numero di strati, non soddisfa la relazione che è stata ricavata, ma :       
Ritenendo  arbitrariamente    ns >>>1 , si assume :        Rns = r₀⋅ A1/3
e quindi si ricava :         
che corrisponde all'approssimazione :  
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Se esprimiamo queste considerazioni con il termine   f₂(Z ; N)  ,  poniamo :

L'aspettativa per il coefficiente sarà :                           β ≃ 4⋅ π = 12,56 MeV.

A questo punto si considera la forza di repulsione tra i protoni, che vengono immaginati uniformemente distribuiti e, con la solita
approssimazione, si calcola l'energia potenziale associata, con il metodo classico.
Consideriamo quindi una sfera di raggio rA contenente una carica elettrica  (Z⋅e) , uniformemente distribuita.
La densità di carica sarà :         
Approssimando con funzioni continue, alla generica distanza  r  dal centro, la carica elettrica racchiusa nella sfera sarà :
           
l'energia di legame tra la carica interna  q(r)  e lo strato  dq(r)  risulta :
         
integrando e sostituendo   rA ≃ r₀⋅ A1/3 , si ottiene :
     
il coefficiente atteso è dunque :       
A questo punto osserviamo che i nuclei atomici presentano diversa stabilità, in rapporto al valore di  Z  e N .
E' chiaro che quelli che realmente esistono in natura avranno valori di  Z e N  corrispondenti alla massima stabilità e sono individuati
dalla relazione sperimentale :                      
dalla quale si ricava la relazione, valida per i nuclei stabili :    
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Sempre sperimentalmente, si osserva che, allontanandosi da questa curva, sia aumentando che diminuendo il numero isotopico
I = N – Z = A – 2 ⋅ Z la stabilità diminuisce e quindi diminuisce l'energia di legame per nucleone.

Per tener conto di queste osservazioni, si pone :            f₄(Z ; N) = I²/A
sostituendo nell'espressione di   Eg(Z ; N) , si ottiene :
        
derivando e uguagliando a zero, si ricava la curva sulla quale si trovano i nuclei in corrispondenza dei quali si ha la massima stabilità.
      
ossia : 
In definitiva, l'energia per nucleone Eg(A) in funzione della sola variabile diventa :

Diagrammando la funzione Eg(A) =f(A) , con i valori sperimentali, risulta un massimo in prossimità di   A = 60   e quindi,
derivando e ponendo :
si ricava il valore :  β = 19,605⋅γ

Sperimentalmente, sempre per A = 60 , si ottiene  Eg(60) = 8,818 MeV / nuc , che, sostituito nell'espressione teorica, ci
consente di ricavare il valore del coefficiente  α  , che risulta :

    

da cui si ottiene :                                                              α = 8,5069⋅γ + 8,818

Facendo riferimento alle osservazioni sperimentali, viene infine aggiunto un termine, detto di parità, che tiene conto del diverso
comportamento dei nuclei (pari--pari),(dispari--dispari) e (pari--dispari).
Vengono proposte diverse espressioni la più comune delle quali è :             ± 33/A3/4
dove il segno + vale per i nuclei (p--p), il per i (d--d), mentre si assume nullo per  A  dispari.

A questo punto bisogna definire il valore del coefficiente γ , che può essere assunto uguale a quello teorico oppure tale da fornire il
valore 
dell'energia di legame di un nucleo noto. Noi utilizzeremo comunque il valore che è ricavato teoricamente.
L'espressione definitiva dell'energia di legame risulta quindi :
    
I coefficienti sono stati calcolati sempre utilizzando i valori sperimentali delle masse atomiche ed il loro valore varia a seconda del metodo
usato. In tabella riportiamo quelli di uso più comune ( Wapstra usa come termine di parità ±11 /√A ).

coefficiente calc.app. Weizsacker Green Wapstra Rohlf altri
α 14.033 15,565 15,753 15,835 15,75 14,1
β 12.018/25.887 17,233 17,804 18,33 17,80 13
γ 0,613 0,699 0.708 0,714 0,711 0,595
δ 20.433 23,287 23,69 23,2 23,70 19

Nella tabella che segue riportiamo il confronto tra i valori sperimentali ( S ) e quelli calcolati con le diverse espressioni empiriche.
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I valori calcolati con l'espressione che abbiamo ricavato senza alcuna forma di ottimizzazione dei coefficienti  ( C ) , sono stati ottenuti
utilizzando i valori teorici, con la sola sostituzione del secondo termine con     E₂ = 25,887⋅ N4/7 ,      che tiene conto del basso
numero di strati presenti nel nucleo.

Sull'ultima riga è stato riportato il valore dell'energia di legame calcolato con l'espressione teorica di prima approssimazione ricavata
con la teoria degli spazi rotanti, utilizzando la energia per strato   E₀(N)  riportata a pagina 756 e considerando tutti i livelli occupati
con regolarità, senza alcun vuoto, come previsto dalla relazione :

Il risultato, già più che buono, potrà essere migliorato ancora, considerando la presenza dei deutoni in orbita.
Osservando la tabella dei pesi dei diversi effetti nucleari che sono stati presi in considerazione per ricavare l'espressione dell'energia di
legame, si vede chiaramente che il legame con il modello proposto risulta molto scarso.
Dato però che le formule empiriche ricavate soddisfano comunque i risultati sperimentali, è necessario capire le ragioni per le quali ciò
accade. Per fare questo, prendiamo in considerazione i valori sperimentali dell'incremento che subisce l'energia di legame del nucleo
quando ad esso viene aggiunto un protone oppure un neutrone. Nei prossimi articoli analizzeremo questo aspetto.
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Art.71-- Dimostrazione teorica della stabilità e decadimento apparente del protone, origine e decadimento del neutrone -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Il problema del decadimento del protone è molto discusso e si riduce sostanzialmente a stabilire se esso è oppure no una particella
elementare.
Dato però che le teorie correnti, anche le più accreditate, non forniscono una definizione precisa di particella elementare e danno il
significato preso dal linguaggio comune, intendendola genericamente come materia indivisibile senza ulteriori precisazioni, per poter dare
una risposta è necessario chiarire prima di tutto, in maniera inequivocabile, che cosa si deve intendere per particella elementare,
abbandonando la comune idea di costituente fondamentale della materia, scientificamente di nessuna utilità.
Trattando la teoria generale degli spazi rotanti, abbiamo visto che la materia manifesta la sua esistenza attraverso due caratteristiche di
comportamento :

-- Posta in un punto P₀ , attiva lo spazio circostante, rendendolo capace di esercitare un'azione centripeta su altra materia, creando
un equilibrio definito dalla legge fondamentale    (   Art.5  ) :
                                                  V²⋅ R = K² = costante

-- Quando è in equilibrio con uno spazio rotante, il tentativo di modificare la sua velocità con un'azione esterna crea una
perturbazione alla quale "lo spazio rotante" reagisce con un'azione
contraria per ripristinare la condizione di equilibrio.
La tendenza a conservare l'equilibrio viene indicata come inerzia, definita 
dal valore della massa inerziale associata m .
Sia "la gravità che l'inerzia" hanno dunque origine nello spazio rotante e non nella materia.

Si tratta comunque di due caratteristiche assolutamente indipendenti.
La gravità è proporzionale allo spazio rotante   K² generato dalla materia, mentre l'inerzia è proporzionale al volume si spazio
fisico occupato e dunque perturbato con il movimento.

Parlare quindi quantità di materia per indicare qualcosa che ha caratteristiche fisiche ben definite non è corretto. Bisogna sempre
precisare a quale delle due caratteristiche si fa riferimento. Proprio per l'indipendenza delle due caratteristiche, è infatti possibile avere
quantità di materia che sono uguali nell'azione  attiva, perchè generano lo stesso spazio rotante  , ma sono diverse nell'azione
passiva,
in quanto occupano un diverso volume di spazio fisico e quindi presentano una diversa massa inerziale m.

Ebbene, per le ragioni che sono state viste nella teoria generale, l'universo è fatto esclusivamente di materia nelle condizioni estreme:

La materia ordinaria, che presenta un'inerzia molto elevata e uno spazio rotante quasi nullo.

Le particelle elementari, che presentano invece uno spazio rotante molto elevato e inerzia quasi nulla.

Si tratta naturalmente della stessa materia, assoggettata alle stesse leggi fisiche, la sola differenza è nel volume occupato e questo dà
origine a effetti macroscopici tanto diversi da far apparire due mondi completamente differenti.
Ricordiamo che in tutta la materia l'orbita circolare osservabile di raggio minimo vale (   Art.9a  ) :       rmin = K²/Cl²

Trattando la teoria generale, abbiamo visto che per le orbite associate a numeri quantici sufficientemente piccoli, la distanza del perielio
dal centro dello spazio rotante, dunque la minima distanza che una particella in moto sull'orbita con energia in eccesso può raggiungere,
non dipende dall'eccentricità dell'orbita e vale metà del raggio dell'orbita circolare minima.
Questo significa che in una prova di scattering con energia sufficientemente elevata e orbita aperta ( iperbolica ), per quanto possa
essere elevato il valore dell'energia del proiettile, la minima distanza raggiunta è sempre uguale al valore :  
E' chiaro, a questo punto, che una qualsiasi quantità di materia compressa entro il raggio r₀  sarà irraggiungibile dall'esterno e dunque
ad essa non sarà possibile aggiungere altra materia.
D'altra parte, essendo la velocità di fuga dall'orbita data da    Vf = √2 ⋅ Veq ,  nulla potrà uscire dalla superficie di raggio r₀ senza
violare il limite della velocità della luce.
Data una quantità di materia che genera lo spazio rotante , diremo che essa è una particella elementare e quindi indivisibile, se
risulta 
confinata entro il raggio  r₀ .
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Prendiamo ora in considerazione il protone e verifichiamo se, in base ai dati sperimentali, risulta o meno divisibile.
Lo spazio rotante generato è uguale a :

                    Kp² = V11e² ⋅ R11e = 253.2638995 m³/sec²

il raggio della prima orbita vale dunque :

associato al numero quantico :

Per essere considerato una particella elementare, il protone deve risultare confinato entro il raggio :

                                 r₀ = (1/2) ⋅ r1p = 1.40897046⋅10⁻¹⁵ m

Dato che tutte le prove di scattering confermano questa condizione, possiamo ritenere
il protone una particella elementare. 

Dunque esso, per definizione, non potrà essere diviso, con qualsiasi mezzo a nostra disposizione, senza violare il limite della
velocità cella luce.

Con questa definizione viene bocciata la reazione di decadimento proposta per giustificare
l'emissione  β⁺ da parte del nucleo :

                                                p + E₀ n + β⁺ + ν

Secondo tale relazione, il valore di energia che si deve fornire al protone deve essere tale da consentire l'incremento della massa che si
verifica con i prodotti finali indicati.  Le più immediate osservazioni che possiamo fare sono le seguenti.

La reazione è stata ipotizzata per giustificare l'emissione  β⁺ da parte dei nuclei atomici, ma   mai verificata
direttamente.

Non è mai stato osservato il decadimento di un protone libero.

— I metodi per fornire energia al protone sono sostanzialmente due : urto con altre particelle oppure accelerazione con campi elettrici.
Per quanto elevata possa essere l'energia fornita con questi mezzi,  non si è mai verificato un solo
evento di decadimento.

— Esiste infine la possibilità di far interagire il protone con un fotone. In questo caso però, secondo le teorie note, si produce solo l'effetto
Compton (   Art.53   ) con scarso trasferimento di energia.

Secondo le teorie correnti, il decadimento del protone si dimostra
dunque solo un'ipotesi.

Dato però che il processo di decadimento βè provato sperimentalmente, si deve cercare una spiegazione del processo che non preveda
la scissione del protone anche se sperimentalmente all'interno del nucleo atomico sembrerebbe realizzarsi realmente la reazione citata
p + E₀ → n + β⁺ + ν .
A questo punto osserviamo che, se la massa inerziale di un aggregato è proporzionale al volume di spazio rotante perturbato, per
aumentarla, come richiede la trasmutazione indicata, l'assorbimento dell'energia  E₀  dovrà produrre un aumento del volume occupato
dall'aggregato.
Negli spazi rotanti con masse in orbita questo si realizza attraverso il trasferimento delle masse in moto sulle orbite da quelle interne a
quelle più esterne, con trasformazione in energia potenziale dell'energia  E₀ assorbita .
Incidentalmente facciamo notare che, se abbiamo un nucleo atomico su una bilancia e gli forniamo energia, noi diciamo  che essa si è
trasformata in energia di eccitazione ( cinetica ). In realtà, dal punto di vista macroscopico,quello che si osserva attraverso la bilancia è un
aumento della massa inerziale del nucleo  e l'introduzione dell'energia di eccitazione diventa solo un mezzo per non invalidare il principio
di conservazione dell'energia, che di fatto non si conserva, ma si trasforma in massa inerziale.
Nel caso del protone questo meccanismo non è realizzabile, in quanto non si hanno masse in orbita che possano assorbire l'energia E₀
per spostarsi.
2
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Il primo problema da risolvere è dunque quello di capire come il protone può assorbire energia senza trasformarla in energia cinetica.
Trattando la deviazione della luce e l'effetto Compton (  Art.53  ), abbiamo visto che un fotone può essere assorbito " solo da uno spazio
rotante sulla sua prima orbita accessibile ", sulla quale si ha velocità di equilibrio uguale a quella della luce.
Su tutte le altre orbite esso subisce solo una deviazione.
Consideriamo quindi il nucleo atomico del quale in figura sono schematizzati diversi protoni orbitali

Se un fotone  γ di energia E₀ incide sull'orbita minima del protone  P₁ , dato che la sua velocità coincide con quella di equilibrio
associata all'orbita, viene da esso assorbito e si ferma sull'orbita, cedendo la sua energia allo spazio fisico locale.
Il protone è però una particella elementare e come tale "non consente" alcuna perturbazione del suo spazio rotante sulla prima orbita
per cui elimina la perturbazione indotta sull'orbita dal fotone incidente.
Per farlo ha a disposizione due soluzioni :
riemettere due fotoni in direzioni opposte (per verificare la conservazione della quantità di moto) aventi energia uguale a metà del fotone
incidente, oppure generare un equilibrio con una coppia "particella e antiparticella", che insieme non cambiano lo spazio rotante
del protone.

Naturalmente, la seconda soluzione è subordinata al valore dell'energia resa disponibile dal fotone incidente.
Ricordando che lo spazio rotante nel quale una massa si muove in equilibrio non rileva effetti relativistici ( l'argomento verrà trattato con
la teoria del nucleo atomico ), la coppia di elettroni  β⁺e β⁻ in moto sull'orbita r1p , hanno complessivamente un'energia di legame :

con un difetto di massa della coppia uguale alla massa di un intero elettrone.
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Per creare la coppia in equilibrio sull'orbita, il fotone incidente spende quindi solo l'energia per generare due " semielettroni " , ossia :

                                Eγ1 = 2 ⋅ (me⋅Cl²) – E2eq0.5109991 MeV

Se il fotone dispone ancora di un'energia  Eγ2 = E₀ – Eγ10.5109991 MeV , la cede alle due particelle che raggiungono

la velocità di fuga e si allontanano dall'orbita in direzioni opposte con l'energia eccedente equamente distribuita

                                     ΔE₁ = ΔE₂ = (1/2) ⋅ ( Eγ20.5109991 MeV )

A questo punto osserviamo che, se il protone  P₁  è libero, sia per i principi di conservazione che per la geometria del sistema, la
probabilità che le due 
particelle create possano ancora interagire tra loro o con il protone è praticamente uguale a zero e quindi
si allontanano mettendo in evidenza all'esterno la loro creazione, mentre il protone rimane "inalterato" al suo posto.

La descrizione che abbiamo fatto del processo mette in evidenza che il ruolo del protone è solo quello di mettere
a disposizione l'organizzazione del suo spazio rotante che, come abbiamo visto trattando la teoria generale,
è la sede naturale dell'inerzia manifestata dalla materia.
Ricordiamo infatti che lo spazio rotante è organizzato in modo da presentare "una naturale tendenza a conservare l'equilibrio raggiunto"
e, quando esso viene perturbato da materia ( o altro ) che si muove con un eccesso di energia rispetto al valore di equilibrio, tende a
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ripristinarlo, trasferendo alla materia una massa inerziale che agisce in modo da opporsi al moto che ha generato la perturbazione.
L'esigenza di creare una coppia di particelle materiali è generata dunque proprio dalla
necessità di conservare invariato lo spazio rotante del protone.

Se invece il protone non si trova nello spazio libero, ma in orbita in un nucleo atomico con altri protoni, esiste una probabilità
non
trascurabile che possano verificarsi altre interazioni.
L'elettrone positivo, non potendosi legare ai protoni, esce dal nucleo come particella β⁺.
Per l'elettrone negativo si presentano invece diverse possibilità, in rapporto al valore dell'energia ancora disponibile.

Bisogna tener conto del fatto che nel nucleo i protoni si trovano fra loro a una distanza   d << R11e   e quindi l'elettrone che si
avvicina a un protone non può 
trovare nessuna posizione di equilibrio, per cui rappresenta per lo spazio rotante
del protone una perturbazione, che tende ad essere eliminata 
con un'azione centrifuga.

L'elettrone in queste condizioni viene quindi respinto dal protone ed esce dal nucleo andando ad occupare il posto che, nella fascia degli
elettroni, è stato lasciato libero da quello che si è annichilito con l'elettrone positivo.
Se però l'elettrone negativo ha un forte eccesso di energia, tale da fornirgli una velocità  Vβ– prossima a quella della luce, diventa
possibile trovare un equilibrio metastabile sull'orbita di raggio     
prossima a quella minima di raggio r1p .
Il sistema instabile così formato, è però neutro e quindi non è più in grado di restare in equilibrio sull'orbita nucleare e quindi si allontana .
L'esperienza dimostra che il valore minimo dell'eccesso di energia richiesto per realizzare questo equilibrio metastabile vale

                                       ΔE = 0.78229103 MeV.

L'aggregato che si è formato è quello che viene indicato come neutrone ed ha elevata probabilità di fondersi con uno dei protoni
presenti nel nucleo, 
in quanto, con l'aggiunta di un protone diametralmente opposto al primo, viene annullata la spinta verso l'esterno

che agisce sull'elettrone e si forma così una struttura simmetrica stabile, come viene schematizzata in figura.

L'aggregato che viene così sintetizzato è noto come deutone e può essere sintetizzato
anche con la fusione diretta di due atomi di 
idrogeno (   Art.70   ).
In questo caso la sintesi si realizza senza l'intervento del neutrone e l'energia di legame risulta

                                                Eγ = 1.44222056 MeV.

L'elettrone in questo aggregato occupa una posizione di equilibrio stabile e quindi durante la sintesi viene liberata sia l'energia di legame
dei due protoni che quella di eccitazione dell'elettrone   ΔE  ( che ritroviamo invece nel neutrone prima che decada ) .

Il deutone così formato si presenta assolutamente stabile e si comporta sull'orbita nucleare in maniera del tutto analoga al protone, in
quanto lo spazio rotante che lo lega al nucleo centrale è uguale a quello del protone.

In definitiva sulle orbite nucleari è avvenuta la sostituzione di due protoni con un deutone e di tutto il processo " l'unico
evento che viene 
osservato dall'esterno è la proprio "trasformazione
di un protone 
in neutrone ", con l'emissione di un elettrone positivo.
Per questa ragione,
 ossia, non essendo note le diverse fasi del processo che si realizzano all'interno del nucleo, 
il processo viene
descritto con la
 apparente reazione di trasmutazione :

                              p + E₀ → n + β⁺ + ν ( reazione visibile )

che viene letta come una scissione del protone ( del neutrino si parlerà in un prossimo
articolo).
In realtà il protone, come particella elementare, è indivisibile, e nel processo ha solo " prestato " lo
spazio rotante per rendere possibile la formazione 
delle particelle materiali.
La reazione, più correttamente, andrebbe scritta nella forma :

                      p + Eγ + 2 ⋅ ΔE → p + (e– + ΔE) + (e⁺ + ΔE)

                                                    p + (e– + ΔE)instabilen ( instabile )

e quindi complessivamente :
                                   p + Eγ + 2 ⋅ ΔE → n + β⁺ + ν

Se il neutrone non si fonde con un protone, subisce una fissione spontanea con liberazione del surplus di energia  ΔE .

Nella sintesi del deuterio con la fusione di due atomi di idrogeno, ricordando i valori delle masse :

                               mH₁² = 2.014101778    ;    mH₁¹ = 1.007825032

si ricava l'energia emessa                                   Eγ = 1.44222056 MeV  ,

che,
in valore assoluto, è uguale all'energia di legame dell'aggregato (H₁¹- H₁¹) .

La struttura del deutone libero, fuori dal nucleo atomico, per come l'abbiamo realizzata, si presenta assolutamente simmetrica con un
elettrone al centro e due protoni in moto sulla stessa orbita in posizioni diametralmente opposte .
In questa struttura non è dunque distinguibile nessuna particella o
aggregato che possa essere assimilato al neutrone,
  anche perchè, quando si perde la
simmetria della struttura si perde anche la stabilità, mentre il deutone si presenta stabile.

Se, a questo punto, iniziamo a fornire energia all'aggregato  (H₁¹- H₁¹)  per produrre la fissione, ci aspettiamo che, giungendo al
valore di energia Eγ , si debba produrre la separazione dei componenti, rigenerando i due atomi di idrogeno iniziali secondo la relazione :
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                               (H₁¹- H₁¹) + 1.44222056 MeV  H₁¹ + H₁¹

invece non accade assolutamente nulla.
Per poter realizzare la divisione del deuterio, benchè la sua energia di legame sia uguale a 1.44222056 MeV, è necessario fornire
un valore di energia maggiore, pari a :
                                                    ED = 2.22457 MeV
Si deve cioè fornire un surplus di energia :
                                              ΔE = ED – Eγ = 0.7822991 MeV

Questo vuol dire che nell'aggregato stabile   (H₁¹- H₁¹) il nucleo centrale (elettrone modificato) , grazie alla simmetria, si trova
in una condizione di equilibrio stabile. legato a ciascuno dei due protoni con un'energia  EHe Eγ/2 = 0,72111028 MeV

Se fosse possibile distribuire l'energia Eγ simmetricamente ed equamente ai due protoni, avremmo la scissione del deutone  dei tre
componenti iniziali : due protoni e un elettrone.

In realtà, se forniamo energia dall'esterno a questo sistema, la probabilità che essa si distribuisca in ogni istante equamente in modo da
rigenerare il 
sistema simmetrico iniziale è praticamente uguale a zero.
Avremo certamente, in qualche istante, uno dei due protoni che riceve energia prima dell'altro, aumentando la sua distanza dal centro.
Non 
essendo però il resto del deutone una particella indivisibile, allontanandosi il protone tende a trascinare con se l'elettrone del nucleo
centrale trasferendogli energia che, essendo eccedente rispetto alla condizione di equilibrio, lo mette in oscillazione.
L'energia sottratta in 
questo modo dall'elettrone rende il valore che rimane insufficiente per realizzare la scissione.
Con il valore di energia Eγ = 1.44222056 MeV si ottiene quindi solo un nucleo eccitato, senza scissione.
Per poter realizzare la divisione, oltre all'energia di legame dei due protoni, dobbiamo anche fornire prima l'energia che assorbe
l'elettrone per eccitarsi e solo dopo si potranno dividere i protoni.
E' chiaro che, avendo rotto la simmetria, ci sarà un protone che si allontana prima dell'altro e, catturando un elettrone sull'orbita
fondamentale, rigenera un atomo di idrogeno.
Il residuo è costituito dal secondo protone con l'elettrone eccitato che, dopo circa 13 minuti cade sull'orbita fondamentale 
di raggio
R11e 
, emettendo l'eccesso di energia   ΔE = 0.7822991 MeV  e rigenerando il secondo atomo di idrogeno.

Se aggiungiamo questa energia alla reazione di scissione teorica, si ha :

              (H₁¹- H₁¹) + 1.44222056 MeV + ΔE H₁¹ + H₁¹ + ΔE

ossia :                     (H₁¹- H₁¹) + 2.22457 MeV  H₁¹ + (H₁¹ + ΔE)

A questo punto osserviamo che nella reazione di fusione siamo partiti da una condizione di simmetria, con due atomi di idrogeno, ed
abbiamo ottenuto un atomo di deuterio, che si presenta come un aggregato affatto simmetrico.
Esso è infatti formato da un nucleo centrale compatto e un elettrone in orbita alla distanza R11e .
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In definitiva, se vogliamo scindere un deutone, dobbiamo fornire l'energia       ED = 2.22457 MeV
che viene assorbita in parte da un protone e utilizzata per allontanarsi dal nucleo centrale, mentre quella che viene assorbita dal nucleo,
essendo esso un aggregato, verrà immagazzinata in parte come energia di eccitazione dell'elettrone  Eecce  e in parte per allontanarsi
(come aggregato) dal protone.
Ripetiamo che l'energia  Eecce = 0.7822991 MeV assorbita dall'elettrone viene sottratta a quella destinata a distanziare i due
frammenti fra loro.
Per fornire loro il valore  Eγ  , necessario per raggiungere la velocità di fuga che li porta fino alla distanza  R → ∞ , si dovrà quindi
fornire l'energia :
                                          ED = Eγ + Eecce

A questo punto i due frammenti liberano l'energia fornita in eccesso rispetto al valore necessario per raggiungere la velocità di fuga.

Nel nostro caso l'energia liberata sarà :          Eecce = ED – Eγ

Dopo l'emissione dell'energia di eccitazione, l'elettrone, libero, si trasferisce sull'orbita fondamentale del protone e rigenera il secondo
atomo di idrogeno.
Se si considera il "ciclo completo di fusione e successiva fissione", si vede che non è corretto assumere come energia di legame
del
deutone il valore  ED = 2.22457 MeV.

Nel nucleo del deuterio non esiste nessun neutrone. Esso è formato da due atomi di
idrogeno legati da un'energia   Eγ = 1.44222056 MeV, come si ricava dal difetto di massa.

Se però la sintesi viene realizzata con la fusione di un neutrone ( prima che decada ) con un atomo di idrogeno, proprio perchè si deve
formare un nucleo stabile, " il neutrone, per potersi fondere stabilmente con l'atomo di idrogeno, deve prima liberarsi dell'energia
di eccitazione  ΔE = 0.7822991
MeV , trasformandosi in una coppia (e⁻⁻+ p) , richiesta per la formazione del nucleo.

L'energia ED che viene liberata dalla sintesi rappresenterebbe l'energia di legame totale solo se  ΔE  fosse l'energia di legame del
neutrone, in tal caso l'energia di legame risulterebbe dal calcolo    ED = ΔE + Eγ .
ΔE  non è però un'energia di legame (negativa), ma di eccitazione (positiva) e quindi si libera in seguito alla fissione del neutrone e non
durante la sua sintesi.
Questo vuol dire che la sintesi del deutone realizzata con il neutrone, richiede due fasi. Nella prima si ha la fissione del neutrone, con
liberazione dell'energia ΔE e la formazione della coppia (e– + p) .
Nella seconda, prima che la coppia si separi, si aggrega con un protone per formare il deutone, liberando l'energia di legame Eγ .
Complessivamente l'energia liberata è ancora  E , ma il nucleo nei due casi è molto diverso. Nel primo caso immaginiamo che nel
nucleo sia presente un neutrone, nel secondo due protoni e un elettrone, mentre il neutrone viene creato durante la scissione del nucleo,
fornendo il surplus di energia  ΔE .
Il neutrone non può esistere quindi come aggregato libero.
Esso si forma con la scissione del deutone come una coppia  (e– + p) eccitata, dunque instabile, e si diseccita spontaneamente o
durante la sintesi del deutone.
Comunque venga sintetizzato, secondo il calcolo, nel neutrone i due protoni si trovano in equilibrio alla distanza

                         R11P = rmin = 2 ⋅ RP0e = 57,63978486⋅10⁻¹⁵ .

Essendo questo dato di estrema importanza per la teoria del nucleo atomico, che analizzeremo in un articolo futuro, vediamo una sua
conferma attraverso un esempio.
Ricordiamo che nell'   Art.18   abbiamo visto che, se abbiamo due quantità di materia  Q₁ e Q₂  interagenti in uno spazio fisico alla
distanza R è chiaro che ciascuna di esse assumerà, nello stesso tempo, un ruolo attivo e passivo, per cui, con ovvio significato dei simboli,
si avranno le due forze d'interazione :

Non avendo posto limiti o condizioni per ricavarle, queste relazioni si applicano,senza alcun particolare accorgimento a tutta la materia,
qualunque sia il livello di aggregazione.
Per le ragioni che sono state indicate nell'   Art.18   , nelle teorie correnti, pur essendo l'azione della stessa natura, per la materia ordinaria
viene utilizzata l'espressione della " forza di gravità " ricavata da Newton, mentre per le particelle elementari si fa ricorso ad un'espressione
diversa, indicata come legge di Coulomb.
Per impostare una teoria in linea con le esigenze di unificazione, per poter descrivere le due leggi con una sola espressione, nella teoria
degli spazi rotanti, si è dovuto procedere a una nuova definizione di forza d'interazione.
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Dato che nelle teorie correnti sono noti solo risultati con F₁₂ = F₂₁ , risultano accettabili le due soluzioni :

in accordo con le leggi di Newton e Coulomb.
Utilizzando la seconda espressione, se, per definire la quantità di materia    , di qualsiasi natura, si assume la :

massa universale :   

Per due masse qualsiasi, per la forza d'interazione si ricava l'espressione:

Forza universale :            

Se la materia interagente è della stessa natura, si ha                        K₁²⋅ m₂ = K₂²⋅ m₁
e la relazione diventa semplicemente :

Anche se la prima espressione può sembrare la più suggestiva, in quanto evoca le leggi di Newton e Coulomb, senza costante universale,
per la loro semplicità e immediatezza, in tutta la teoria vengono utilizzate quasi esclusivamente le ultime due relazioni.

Anche se, nella teoria che stiamo elaborando, non è necessario, per poterci uniformare alle teorie correnti, abbiamo moltiplicato per la
costante  (10⁻⁷⋅Cl²) ottenendo così :

Ricordando la legge di Coulomb :     
Uguagliando le due espressioni, si ricava il valore teorico della carica elettrica associata
ad "una coppia di sfere" materiali qualsiasi :


per esempio, per la coppia protone -- elettrone, si ottiene :

        
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Se vogliamo associare la carica elettrica alla singola massa, ripetiamo il procedimento indicato, prendendo in considerazione la massa
unificata. Abbiamo, in questo caso :

Uguagliando all'espressione della forza di Coulomb :       
si ottiene il valore della carica elettrica che possiamo associare alle singole

particelle :    
Dato che nell'espressione della forza d'interazione compare il prodotto delle cariche elettriche, senza variare il valore della forza, è
possibile sostituire al prodotto il valore della media geometrica, associando alle due masse la stessa carica elettrica. Sostituendo i valori
numerici si ha :
                                   qp = 6.865386425⋅10⁻¹⁸ (Kg⋅m)1/2

                                   qe = 3.739006139⋅10⁻²¹ (Kg⋅m)1/2
e risulta ancora :
                        qpe = (q⋅ qe)1/2 = 1.602177331⋅10⁻¹⁹ (Kg⋅m)1/2

Possiamo generalizzare l'espressione della carica elettrica ed associare a qualsiasi massa universale una carica elettrica universale  Q .
Si ha quindi la relazione di proporzionalità tra massa universale e carica universale :

                                            M² = (10–7⋅Cl²) ⋅ Q²

Usando questa relazione, possiamo scegliere arbitrariamente di descrivere l'universo,
utilizzando indifferentemente le masse universali
oppure le cariche elettriche universali.

E' però da notare che non esiste alcuna differenza nei contenuti, ma solo nel linguaggio utilizzato, in quanto le due grandezze differiscono
solo per la inutile costante, che abbiamo aggiunto al solo scopo di uniformarci al linguaggio di uso corrente.

interazione protone -- protone, nel nucleo atomico elementare (deutone) :

molto più elevata di quella che si ricava utilizzando la legge di Coulomb alla stessa distanza :

Per interagire con la stessa forza, secondo la legge di Coulomb, i protoni dovrebbero avvicinarsi fino alla distanza :

Considerando ora la fascia elettronica dell'atomo, che è perfettamente nota, calcoliamo la forza d'interazione tra protone ed elettrone
periferico, utilizzando la stessa espressione della forza universale :

Per interagire con la stessa forza, secondo la legge di Coulomb, le due particelle devono trovarsi alla distanza :

La coincidenza delle due distanze nel caso noto ci dice che, nel caso non conosciuto, il valore dpp calcolato non è esatto, mentre risulta
corretto il valore  R11P .
Nel prossimo articolo ricaveremo l'espressione teorica della forza nucleare, utilizzando l'espressione della forza universale che abbiamo
ricavato.
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Art.70-- Sintesi e scissione del deutone, origine e decadimento del neutrone -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Abbiamo già applicato la teoria degli spazi rotanti all'equilibrio tra il protone e l'elettrone. Utilizzando ora la lunga esperienza che è stata
acquisita in fisica atomica ed i risultati noti, vogliamo estendere l'analisi a qualsiasi atomo.
Dell'atomo di idrogeno sono noti con precisione i seguenti risultati :

La nostra esperienza quotidiana ci dice che particelle elementari dello stesso tipo si respingono e non esiste un solo esperimento di
laboratorio in cui le particelle abbiano manifestato un comportamento diverso.
D'altra parte, osservando gli atomi, dunque l'intero universo, abbiamo un chiaro esempio di convivenza in un "piccolo spazio" di un gran
numero di particelle dello stesso tipo: gli elettroni .
Le due osservazioni sono chiaramente in contraddizione, benché supportate supportate entrambe da prove incontestabili.
Dobbiamo dunque pensare che non sia corretto affermare che due particelle dello stesso tipo si respingono in qualsiasi condizione e
quindi esisteranno condizioni in cui esse si attraggono e altre in cui si respingono.
Il problema diventa quindi capire quali sono le condizioni che determinano uno oppure l'altro comportamento.
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Trattando la teoria generale abbiamo visto (  Art.6  e  Art.10  ) che nello spazio fisico (   Art.3  e   Art.5  ) nei sistemi governati da forze
centrali ( in pratica tutti i sistemi naturali, nucleari, atomici e astronomici ) il rispetto dei principi di conservazione dell'energia e del
momento angolare impone alle masse il moto su orbite quantizzate con raggio e velocità espressi dalle relazioni :

                   RP = R₁⋅ p²   ;   VP = V₁/p              con   n = 1 ; 2 ; 3 ;.......

dove R₁ e V₁ rappresentano i valori che vengono associati al numero quantico  p = 1  caratteristici della massa centrale,
generatrice dello spazio rotante.

La Quantizzazione del raggio orbitale ha valore universale e si applica all'atomo come al sistema Solare.

Per esemplificare quanto è stato detto, consideriamo il confronto fra l'atomo di idrogeno e il sistema Solare.
Consideriamo inizialmente Sole e protone come particelle elementari, ricordando che:
Particella elementare è, per definizione, qualsiasi aggregato materiale associato a uno
spazio rotante , " confinato ", per aggregazione o 
per collasso, entro l'orbita minima
raggiungibile :
r₁ = K²/Cl²
La stessa relazione, scritta nella forma                                       ci dice che :
il rapporto tra lo spazio rotante generato ed il raggio della prima orbita, è una costante
caratteristica di tutte le particelle elementari.

Per il protone si ottiene :

Il Sole, che ha le caratteristiche :           rS = 695843 Km     ;     mS = 1.989085⋅10³⁰ Kg

per poter acquisire le caratteristiche di una particella elementare dovrebbe poter collassare fino a :
       
E' da notare che l'orbita minima visibile dall'esterno è quella associata a una velocità di fuga dall'orbita uguale a quella della luce (si dice
condizione di buco nero).
Essendo : Vf = √2 ⋅ Vn , per la la superficie minima visibile si ottiene un valore del raggio doppio.
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Il Sole nella condizione di buco nero avrebbe dunque una superficie visibile di raggio uguale a :

Attualmente la superficie visibile del Sole ha un raggio :                   rS = 695843 Km .

Il fattore di espansione che porta il Sole dalla dimensione minima in corrispondenza della quale sarebbe ancora visibile a quella
attuale vale :              
Con l'ipotesi che durante l'espansione dell'universo tutte le sue parti aumentino le dimensioni con lo stesso fattore di espansione, se si
confronta il Sole nella condizione di particella elementare con il protone, ovviamente nella stessa condizione, è possibile ricavare, in
prima approssimazione, il raggio della prima orbita (orbita fondamentale) dello spazio rotante solare.
L'orbita fondamentale dello spazio rotante del protone vale :

                        R11e = α²⋅ r1p= (137.0359896)² ⋅ r1p = 5.29177249⋅10⁻¹¹ m

dove α  è la costante di struttura fine (   Art.9   ).
Il Sole, come particella elementare, avrebbe quindi un'orbita fondamentale :

                          R11S = α² ⋅ r1S = (137.0359896)² ⋅ r1s = 27731.967 m

Il fattore di espansione fs , calcolato considerando la superficie visibile del Sole passando dalla condizione di particella elementare a
quella attuale, risulta lo stesso, se calcolato considerando l'orbita fondamentale.
Moltiplicando quindi  R11S  per il fattore di espansione  f , che ha subito il Sole fino alla condizione attuale, si ottiene l'orbita
fondamentale attuale :
                                              R1S = R11S ⋅ f6.533 ⋅10⁶ Km

in ottimo accordo con il valore ricavato utilizzando la quantizzazione delle orbite ( Art. 31   )
uguale a   6,276 ⋅10
Km , che, con la relazione :

              RP = R1S ⋅ p² = 6,276⋅10⁶ Km ⋅ p²   con    p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...........; 30

fornisce le orbite dei pianeti con una buona approssimazione.
I valori numerici che abbiamo ottenuto ci confermano che le leggi che abbiamo ricavato descrivono il comportamento della materia a tutti
i livelli di aggregazione.
Dunque la forza che le diverse parti di un aggregato si scambiano dovrà essere indipendente dal livello di aggregazione.
I comportamenti apparentemente in contraddizione, delle particelle elementari che noi vediamo sono in realtà in perfetto accordo con la
quantizzazione del raggio orbitale, in quanto, se così non fosse, con una forza sempre attrattiva o repulsiva, non
potremmo 
avere orbite circolari stabili.
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Se un elettrone, per una qualsiasi perturbazione, si allontana verso l'esterno dall'orbita stabile, la forza esercitata dal protone ( più
propriamente dallo spazio rotante protonico) diventa attrattiva e lo riporta in equilibrio. Se invece si avvicina al centro dello spazio rotante,
la forza esercitata diventa repulsiva e si ristabilisce l'orbita stabile iniziale.
In generale, si può dire che la forza esercitata tra particelle materiali è sempre tendente
a portare a una configurazione stabile o comunque di maggiore equilibrio.

Dunque, secondo lo spirito unitario che abbiamo posto alla base della teoria, tutti i comportamenti che osserviamo quotidianamente negli
esperimenti di laboratorio si devono poter applicare anche al microcosmo e in particolare al nucleo atomico.
E' da notare che una situazione perfettamente analoga a quella atomica e nucleare si presenta in astronomia, dove le masse planetarie
sono distribuite su orbite precise all'interno del punto neutro e comunque a notevole distanza dal centro della sfera solare e questo viene
visto come sistema analogo a quello atomico, con gli elettroni in orbita.
Quando invece si aggregano delle stelle rotanti su se stesse, si creano nuclei doppi (più in generale multipli) formati da stelle binarie
rotanti, entrambe nello stesso verso, ad una distanza tra loro sempre molto piccola.
In questo caso è per noi facile pensare che il sistema sia legato dall'azione gravitazionale e come tale viene studiato, senza alcuna
perplessità legata al fatto che si abbiano in realtà due aggregati identici, simili, nel comportamento, a particelle elementari, in equilibrio a
distanza molto ravvicinata.
Senza alcuna giustificazione, nascono invece problemi di interpretazione e perplessità se si hanno due protoni, in quanto si ritiene
che essi debbano necessariamente respingersi.
In realtà, in entrambi i casi le masse interagenti soddisfano le stesse definizioni con le stesse regole e l'unica differenza risiede nelle loro
dimensioni. Esse però non intervengono nelle leggi che definiscono il loro comportamento.
Vogliamo dunque analizzare il legame fra due elettroni e due protoni secondo i normali meccanismi di aggregazione che hanno portato
alla formazione dell'universo primordiale, partendo da spazio fisico puro (  Art.3  ).
Come abbiamo ricordato, l'esperinza quotidiana ci dice che sia gli elettroni che i protoni si respingono tra loro e dunque non riescono a
convivere a distanza ravvicinata.
Gli atomi sono però un esempio del contrario, in quanto abbiamo un numero elevato di elettroni in un volume molto
piccolo, che orbitano attorno a un nucleo.

4
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In questo caso la forza di repulsione tra gli elettroni si trascura e si considera solo la forza centrifuga che viene equilibrata dall'interazione
di ciascun elettrone con lo spazio rotante generato dai protoni centrali.
Con   Fee = 0 si ottiene infatti :

La coincidenza di questa relazione con la legge fondamentale degli spazi rotanti (   Art.5   ) viene a mancare se si considera anche la forza
di repulsione tra gli elettroni, che comunque è trascurabile, ma non uguale a zero.
Se quindi si trascura l'esistenza del nucleo, che esercita un'azione attrattiva, la convivenza degli elettroni nell'atomo non è giustificabile.

Del nucleo atomico non abbiamo il dettaglio noto per l'atomo e diventa per questo difficile giustificare la coesistenza di un gran numero
di protoni.
Secondo la teoria degli spazi rotanti, i processi che si realizzano nell'universo e le leggi fisiche che li regolano sono indipendenti dal livello
di aggregazione della materia e quindi dobbiamo pensare che,

se gli elettroni convivono nell'atomo solo per la presenza di un nucleo centrale, anche i
protoni nel nucleo potranno convivere solo grazie alla presenza di un nucleo centrale
che 
genera un'azione attrattiva.

Analizziamo questa possibilità considerando la struttura più semplice, ossia quella formata da un nucleo con due soli elettroni in moto
sulla stessa orbita in posizioni diametralmente opposte.
Essendo l'elettrone l'unica particella capace di formare un sistema equilibrato stabile con il protone, la configurazione analoga a quella
elettronica che prendiamo in considerazione è quella che prevede l'elettrone come nucleo centrale.
Immaginiamo quindi di realizzare l'aggregazione di due protoni partendo da un atomo di idrogeno, che ha già l'elettrone che serve, al
quale accostiamo,gradualmente un altro protone.
5
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Inizialmente si manifesta tra i protoni una forza attrattiva, tendente a far condividere ai due protoni l'unico elettrone disponibile sull'orbita
fondamentale di raggio R11e . Si origina così ad un certo punto un equilibrio tra i protoni molto debole ad una distanza circa uguale al
doppio del raggio dell'atomo di idrogeno.
A questo punto un ulteriore accostamento dei protoni tende ad avvicinare l'elettrone a ciascun protone su un'orbita di raggio minore di
R11e dando origine a una perturbazione dello spazio rotante.
A questo punto l'inerzia dei due spazi rotanti genera una forza repulsiva, che tende a ripristinare l'equilibrio Il sistema si presenta come è
indicato nella figura a.

Con riferimento alla figura, questa forza repulsiva fra i protoni permane ed aumenta proporzionalmente al volume perturbato (   Art.16   ),
raggiungendo il valore massimo quando il verso di rotazione della sfera planetaria dell'elettrone è completamente concorde con quello
della sfera planetaria di ciascun protone. La configurazione associata a questa condizione è quella indicata nella figura b.

Con un ulteriore accostamento fra i protoni si ha la sovrapposizione con versi di rotazione discordi tra lo spazio rotante centrale e quello
dei protoni, con conseguente riduzione della la forza di repulsione fino ad annullarsi quando si raggiunge la configurazione indicata nella
figura c
6
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A questo punto un ulteriore accostamento dei protoni porta alla sovrapposizione con verso concorde delle falde periferiche dei due spazi
rotanti con aumento della stabilità dell'aggregato, per cui nasce una forza attrattiva che provoca una evoluzione spontanea in
questa direzione.

La minima distanza raggiungibile è comunque limitata dalla sfera planetaria dell'elettrone centrale che, essendo una particella elementare,
è immutabile e vale :         
Si ha così un aggregato stabile con una struttura analoga a quella atomica, con un nucleo centrale, che genera lo spazio rotante
e due
protoni diametralmente opposti in orbita alla distanza :

Per il calcolo, consideriamo che sia A1 il protone libero ed assumiamo con segno positivo le accelerazioni centrifughe.
L'accelerazione che complessivamente agisce su A₁ vale :         
dove con VP abbiamo indicato la velocità di rivoluzione associata all'orbita
secondo la relazione         Kp² = Vp²⋅ rmin        che, sostituita nell' espressione della accelerazione, fornisce :
7
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Per poter avere il sistema in equilibrio, dovrà essere   aP = 0   e quindi dovrà essere verificata la condizione :

                                                      Ke² = KP²/2

Questo risultato ci dice che ciascun protone contribuisce alla formazione del nucleo con 1/4 della sua massa in modo da avere :

La massa realmente orbitante dei protoni legati vale dunque :                 mp = (3/4) ⋅ mp
La forza di legame corretta del protone orbitante A1  risulta perciò :

L'energia di legame dell'aggregato vale :       
che coincide con il valore medio sperimentale dell'energia di legame per ogni nucleone
presente nel nucleo atomico.

Il valore massimo della forza esterna che dobbiamo applicare per raggiungere l'accostamento necessario, per avere i due protoni in
equilibrio, vale :

lo stesso risultato numerico si ottiene, naturalmente, utilizzando l'espressione della forza universale (   Art.18   ) :

8
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Il calcolo è stato eseguito considerando un protone in orbita attorno ad un nucleo rotante centrale fermo, situazione che, come vedremo,
si verifica nel nucleo atomico.
Se l'aggregato che è stato sintetizzato è invece libero, non ha il nucleo vincolato al centro, ma entrambi i protoni orbitanti in una
posizione simmetrica.  In questo caso rispetto al centro di rotazione la velocità di rivoluzione risulta dimezzata.
L'energia dell'aggregato libero risulta dunque :
                             ED = Epn/4 = 8,600828035 MeV/4 = 2,1502 MeV

Il sistema che abbiamo discusso è stato da noi generato accostando un protone ad un atomo di idrogeno.  In realtà al termine della
fase di
evoluzione primordiale dell'universo che si è conclusa con la sintesi del protone come particella elementare di confine,
Art.9  ) nell'universo si aveva solo idrogeno racchiuso in un volume relativamente piccolo e quindi il nostro aggregato è stato sintetizzato
in un gran numero accostando due atomi di idrogeno, secondo la prima reazione di sintesi nucleare :

                                     (H₁¹+e) + (H₁¹+e) → (H₁²+e) + γ

E' stato così ottenuto il deuterio, il cui nucleo, per il nucleo atomico, svolge un ruolo fondamentale, analogo a quello che svolge
l'idrogeno nella struttura atomica.

Se ora si dispone di un atomo di deuterio e si vuole realizzare il percorso inverso, per ottenere i due atomi di idrogeno iniziali, fornendo
energia con una radiazione   γ contrariamente alle aspettative, il deuterio non libera i due atomi di idrogeno, ma si separa in due parti
non simmetriche, in quanto si libera un protone e lascia come residuo l'altro, che trattiene l'elettrone centrale e si presenta come un
aggregato instabile che, entro un tempo medio di 13 minuti, si scinde spontaneamente liberando l'elettrone e il protone.
Questo aggregato, per le sue caratteristiche, viene denominato neutrone e sarà l'oggetto di un prossimo articolo.

Secondo misure recenti, nell'universo ci sarebbe un atomo di deuterio ogni 40.000 di idrogeno. Questo numero risulta in totale
disaccordo con la teoria che abbiamo descritto, che prevederebbe una grande quantità di deuterio primordiale. Nei prossimi articoli verrà
giustificata questa apparente contraddizione.

9
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Art.69 -- Applicazioni e limiti dell'equazione di Schrodinger, significato e contraddizioni della funzione d'onda, costante di Planck generalizzata -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Se l'equazione di Schrodinger deve descrivere un sistema fisico reale, le costanti di separazione che abbiamo introdotto nell'  Art.68    per

giungere a una soluzione devono essere tali da portare a funzioni che possano avere un significato fisico, qualunque esso sia , esse
devono quindi essere, finite, continue e ad un solo valore.
Questo risultato si può ottenere solo con le condizioni :

               n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;........     ;     l ≤ (n – 1)     ;    | p| ≤ l

La massa  m  può dunque assumere solo posizioni associate a valori di energia che variano per quantità finite, passando da un valore di
n  al successivo. L'energia totale vale :

e quindi, sostituendo nell'espressione ricavata nell' Art.68   :

si ha :  
da cui si ricava il valore del raggio associato al numero quantico  n :        
e quindi anche : 
Se si assume  h  come costante universale, queste relazioni ci dicono che il raggio della
traiettoria è inversamente proporzionale al quadrato 
della massa considerata e
l'energia totale direttamente proporzionale 
al cubo della massa.
1
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Il primo risultato è in disaccordo con l'osservazione sperimentale e con
i risultati teorici ottenuti per altre vie, dai quali risulta che, con una massa generatrice dello spazio rotante molto più elevata di quella in
moto sull'orbita, il raggio dell'orbita non dipende dalla massa presente.
Per quanto riguarda la seconda relazione, osserviamo che l'energia totale in valore assoluto è uguale all'energia cinetica (in condizione di
equilibrio).
La dipendenza dell'energia dal cubo della massa m risulta dunque in
disaccordo con la 
stessa definizione di energia cinetica.

Le due relazioni risultano quindi fisicamente inaccettabili.
Del resto, la stessa contraddizione si osserva nell'equazione della lunghezza d'onda di De broglie applicata al moto orbitale di una massa
in uno spazio rotante. Si hanno infatti le due ipotesi :

             λ = h/(m ⋅ V)      ;      2 ⋅ π ⋅ rn = n ⋅ λ   ossia :     λ = 2 ⋅ π ⋅ r₁⋅ n

La prima relazione indica una lunghezza d'onda inversamente proporzionale alla massa, mentre la seconda fornisce una lunghezza d'onda
associata alla massa indipendente dal suo valore e dipendente solo dall'orbita sulla quale essa si muove.
Chiaramente non possono essere vere entrambe.
L'unica maniera per recuperare l'indipendenza del raggio orbitale dalla massa nel primo caso, la proporzionalità diretta dell'energia nel
secondo e la coincidenza delle due ultime relazioni è quella di "considerare h direttamente proporzionale alla
massa".

Sostituiamo quindi la costante di Planck con l'espressione generale che abbiamo già ricavato (   Art.51  ) :

                                           H = 2 ⋅ π⋅ m ⋅ V₁ ⋅ r₁ 

che si riduce alla costante di Planck  h  quando la massa in orbita è l'elettrone e quindi con  m = m.
Quindi, sostituendo, si ottiene :        
e sostituendo ancora  (    Art.5    )     Ks² = V₁²⋅r₁     si ha in definitiva :                     rn = r₁ ⋅ n²
2
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con la stessa sostituzione l'energia risulta :   
coincidente con il risultato ottenuto nella teoria generale degli spazi rotanti e confermato dall'osservazione astronomica.
Sostituendo  H  al posto di  h  , nell'espressione di De Broglie, anche in questo caso le due relazioni coincidono. Si ha infatti :

Per esempio, le orbite circolari minime stabili del sistema Solare risultano (   Art.31   ) :    Rn = 6.151⋅10⁶ Km ⋅ n²

e quindi, per la Terra, con  nT = 5 , si ricava l'energia di legame :

In buon accordo con il valore :   
Per Mercurio, con nMe = 3 , si ottiene :

3
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In ottimo accordo con il valore :    
Per il pianeta più lontano, Plutone, con nPl = 30 , si ricava :

In ottimo accordo con il valore :   
Se si vuole associare alla Terra o a qualsiasi altra massa in moto equilibrato sulla stessa orbita (anche m → 0) , una lunghezza d'onda,
si dovrà avere :

Le stesse relazioni possono essere utilizzate per il nucleo atomico.
Supponiamo, per esempio di voler estrarre un neutrone dal nucleo U₉₂²⁴² per trasformarlo in U₉₂²⁴¹.
Dall'  Art.77.92    della tavola dei nuclidi ( che verrà pubblicata nei prossimi articoli) , si ricava la seguente configurazione dei livelli nucleari.

          Ec/Es     Sa              mc/ms     n    1   2   3   4   5   6   7  E(eV)/T(1/2)
 1817.50)/(1817.0  U₉₂²⁴¹  241.05981/241.06033  92n  2+0  8+0 18+0 4+14 1+23 1+20  1+0   1.900M/(β⁻5m)
1822. 85)/(1822.7  U₉₂²⁴²  242.06273/242.06293  92n  2+0  8+0 18+0 4+14 1+23 1+20  0+1   1.200M/(β⁻16.8m)

La configurazione dell' U₉₂²⁴² mette in evidenza che la trasformazione si potrà realizzare solo con la scissione del deutone presente
sul settimo livello 7successiva espulsione del neutrone, lasciando il protone in equilibrio sulla stessa orbita.
4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'energia di legame di un protone sul livello fondamentale vale :
       
L'energia di estrazione di un neutrone dal settimo livello sarà :     
Aggiungendo l'energia necessaria per scindere il deutone, l'energia totale richiesta per estrarre il neutrone risulta :

                        En7(92) = E₇(92) + 2.2246 MeV = 5.8016 MeV

Il valore sperimentale risulta 5.6 MeV.

Utilizzando il valore corretto dell'energia per livello pubblicata nell'  Art.75    , risulta :

                En7(92) = E₀(92) ⋅ 1/(2⋅7²+2.2246 MeV = 5.3508 MeV

entrambi i risultati teorici sono in buon accordo con il valore sperimentale.
Se invece vogliamo estrarre un neutrone dall'isotopo U₉₂²³⁴ , la configurazione dei livelli nucleari ci dice che i deutoni meno legati si
trovano sul sesto livello

     Ec/Es        Sa         mc/ms  n  1  2   3   4   5   6  7  E(eV)/T(1/2)
1772.46/1771.7  U₉₂²³³   233.03884/233.039635   92n   2+0   8+0   18+0   14+9   0+25   1+15   0+0   2.100M/ce20.9m
1778.94/1778.6  U₉₂²³⁴  234.04055/234.040952  92n  2+0  8+0  18+0  14+9  0+25   0+16  0+0  4.8598M/α2.455⋅10⁵a)

e quindi l'energia necessaria per estrarre un neutrone sarà :
        
e con la relazione approssimata :
        
5
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entrambi i valori sono in accordo con quello sperimentale uguale a  6.8447 MeV.

Si deve notare che la quantizzazione del raggio orbitale è indipendente dalla massa e dunque ha carattere di legge universale,
mentre la 
quantizzazione dell'energia è legata alla massa in orbita e quindi è legata allo spazio rotante considerato.
Con le relazioni che abbiamo ricavato e gli esempi che abbiamo riportato, si rende possibile una discussione dell'equazione di Schrodinger
senza alcun riferimento al mondo atomico o subatomico.
Non solo, ma si deve anche riconsiderare il valore della costante di Planck fin dall'origine.
Essa è stata introdotta come costante di proporzionalità fra l'energia emessa durante la transizione di una massa planetaria  m  da un
livello di energia  En1  ad un altro associato a un valore di energia En2 <  En1 e la frequenza della radiazione emessa sottoforma
di fotone, secondo la relazione :
                                      E₁₂ = En1 – En2 = H ⋅ ν₁₂

L'energia totale della massa m₁ in equilibrio sull'orbita, in valore assoluto, è uguale alla sua energia cinetica e quindi si ha :

Ricordando che, per qualsiasi spazio rotante la frequenza orbitale vale      νn = ν₁/n³  ,  sostituendo, si ottiene :

6
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Applichiamo inizialmente la relazione a un sistema elementare, formato da un protone centrale o comunque una massa che genera uno
spazio rotante  Kp²  uguale a quello del protone e una sola massa in orbita  muguale a quella dell'elettrone.
Si avrà :    
Se ora poniamo nel centro Z  protoni (o masse equivalenti) e sulle orbite un ugual numero di elettroni, avremo uno spazio rotante e tutte
le caratteristiche orbitali modificate secondo le relazioni (   Art.17   ) :

Che verificano l'equazione fondamentale (  Art.5   ) :                          V₁²(Z)⋅ R₁(Z) = Ks²(Z)
L'energia totale di un elettrone sul livello n-esimo sarà :
    
La prima parentesi non dipende dal numero atomico   Z  e quindi, per tutta la materia ordinaria, formata da atomi,
rappresenta un fattore
di valore costante.
Essendo l'atomo il componente fondamentale di tutta la materia ordinaria, se consideriamo solo la fascia
elettronica dell'atomo
,
possiamo porre :

          ( 2 ⋅π ⋅me⋅V11e⋅R11e ) = he = costante ( per la fascia degli elettroni )

E' chiaro che, essendo l'atomo diffuso in tutto l'universo, se si considerano solo le transizioni degli elettroni,
he assume il valore di costante 
universale.
L'espressione dell'energia di legame dell'elettrone sull'orbita n-esima sarà :
7
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Se l'elettrone si sposta dal livello n₁ al livello n₂ , la frequenza " del fotone emesso " risulta :
    
e quindi la sua energia sarà :                                          E12e(Z) = h⋅ ν12e(Z)

E'da tenere presente che  E12e(Z)  rappresenta l'energia associata alla transizione di un solo elettrone.
Consideriamo ora due elettroni che, si spostano dal livello  n₁ al livello  n₂ in maniera del tutto indipendente, nei tempi e nella
direzione in cui si verifica la 
transizione. Verranno emessi due fotoni, in tempi e direzioni indipendenti, di energia

                            E12e(Z) = he⋅ ν12e(Z)   e frequenza   ν12e(Z) .

L'energia complessivamente emessa sarà :

                                       E12-2e(Z) = 2 ⋅ [h⋅ ν12e(Z)]

Più in generale, se gli elettroni indipendenti che migrano sono  Ne  avremo :

                                      E12-Ne(Z) = Ne ⋅ [he ⋅ ν12e(Z)]

dove il primo fattore indica il numero di fotoni emessi e il secondo l'energia e la frequenza di ciascuno di essi.
Supponiamo adesso che gli  Ne  elettroni realizzino la transizione nello stesso istante e nella stessa direzione, come se formassero un
aggregato compatto.
Dato che nel sistema nulla è cambiato, l'energia emessa sarà ancora quella del caso precedente, data dalla relazione :

                                       E12-Ne(Z) = Ne ⋅ he ⋅ ν12e(Z)

Avremo quindi un fascio molto compatto (teoricamente sovrapposti) formato da Ne fotoni perfettamente coerenti,
assolutamente indistinguibili, aventi frequenza ν12e(Z) .
8
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Il fattore di proporzionalità fra la frequenza e l'energia totale associata al fascio vale :     H = N⋅ he  .

Immaginiamo ora di lasciare invariata la massa centrale che genera lo spazio rotante e di sostituire gli elettroni presenti sulle orbite con
masse tutte uguali tra loro di valore :     m₁ = Ne ⋅ me .
In definitiva abbiamo una massa centrale che genera uno spazio rotante di valore :               Ks²(Z) = Z ⋅ Kp²
sulle cui orbite si muovono in equilibrio le masse elementari  m₁ .
Le caratteristiche dell'orbita fondamentale del sistema con le masse  m₁ in orbita risultano :
              
Se consideriamo, per esempio il nucleo atomico, si ricava :

9
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e quindi, in definitiva :                   
Se una sola massa  m₁ si sposta dal livello  n₁ al livello  n₂ , senza nessuna modifica possiamo ripetere il discorso che abbiamo già
fatto per l'elettrone.
L'energia associata all'unico fotone emesso sarà :
   
La frequenza della radiazione emessa risulta quindi :
       
Se consideriamo il nucleo atomico, con   m₁ = mp , si avrà :

Il valore dell'energia del fotone emesso con la transizione di un protone, si può anche scrivere :
       
sostituendo i valori numerici si ottiene :
10
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coincidente con il risultato ottenuto per altra via.
Le espressioni che abbiamo ottenuto ci dicono che la frequenza del fotone dipende sia dalla massa generatrice, che ha subito la
transizione che dallo spazio rotante centrale   Ks² = Z ⋅ Kp² .

La costante di proporzionalità  H₁ tra la frequenza e l'energia del fotone è invece dipendente dalla massa che
subisce la transizione.

Per definire l'energia di un fotone non è quindi sufficiente conoscere il valore della frequenza, ma è necessario conoscere anche la massa
m₁  che lo ha generato, per poter calcolare la costante  H  ( il problema non si pone se implicitamente si considera sempre
m₁ = me ).
Quando la relazione venne proposta da Planck, gli spettri ai quali poteva fare riferimento erano solo quelli associati a transizioni
di elettroni nell'atomo e quindi
  h  assumeva realmente valore di costante universale, in quanto non si
poneva il problema di individuare la massa generatrice del fotone.
Se però si considera un fotone emesso dal nucleo atomico in seguito a una transizione di un protone tra due livelli nucleari, per il calcolo
di  H  è necessario tenere conto del rapporto tra la massa del protone e quella dello elettrone. Si ha quindi :
            
Riprendiamo ora la funzione d'onda vista nell'  Art.68  , nella forma completa :

     

Affinchè possa avere tutte le caratteristiche matematiche e fisiche richieste ad una funzione d'onda per poter rappresentare un processo
fisico reale, la  ψ(r ; ϕ ; ϑ ; t)  deve soddisfare tutte le condizioni imposte dall'insieme dei parametri indipendenti (n;l;p) ,
che vengono detti " numeri quantici " :

                    n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;.....     ;      | p| ≤  l ≤ (n – 1)
11
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Ogni "terna di autovalori", individua quindi una diversa funzione d'onda, detta "autofunzione" ,

ψn,l,p(r ; ϕ ; ϑ ; t) ,  che si associa alla massa  m  descritta come onda.

Se quindi si fissano i valori delle variabili r₀ , ϕ₀ , ϑ₀ , t₀ , che individuano perfettamente il punto dello spazio fisico e l'istante,
non si ha una funzione precisa   ψ₀(r₀ ; ϕ₀ ; ϑ₀ ; t₀)  associata alla massa   , come ci si aspetterebbe, ma una serie di
funzioni, ciascuna associata a una terna di numeri quantici.
Una massa non puntiforme può ruotare anche su se stessa, aggiungendo così un momento angolare al quale si associa un momento
magnetico di spin, che può essere concorde o discorde con quello orbitale e questa condizione viene indicata con un altro numero
quantico ps .

In definitiva si hanno quindi quattro numeri quantici che definiscono " lo stato quantico " della massa considerata con

la funzione  ψn,l,p,ps(r ; ϕ ; ϑ ; t)  .

Se in ogni punto dello spazio  P₀(r₀ ; ϕ₀ ; ϑ₀)  alla massa considerata come onda si associano infiniti valori

ψn,l,p,ps(r0 ; ϕ0 ; ϑ0 ; t0), si deve capire che significato può avere ciascun valore e tutto l'insieme dei valori di ψ(P₀).

La funzione d'onda sarà espressa da :

         ψn,l,p,ps(r0 ; ϕ0 ; ϑ0) = Fp(ϕ₀ ; p) ⋅ Tp,l(ϑ₀ ; p ; l) ⋅ Rnl(r₀ ; n ; l)

Dato che, per ciascuna funzione componente   Fp(ϕ₀ ; p)  ;  Tp,l(ϑ₀ ; p ; l)  ;  Rnl(r₀ ; n ; l)   ad ogni valore

del numero quantico si associa un valore della funzione, ad un valore della variabile è associato un insieme di valori della corrispondente
funzione.
Non esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra variabile e funzione, ma solo tra il
valore della variabile e l'insieme delle autofunzioni associate 
ciascuna al corrispondente autovalore.
La domanda che, a questo punto, ci poniamo è :
12
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Se a un angolo  ϕ₀  corrispondono più componenti Fp(ϕ₀ ; p) , dal punto di vista fisico, che significato ha il valore  ϕ₀
della
variabile  ϕ  e dei diversi valori Fp(ϕ₀ ; p) ad esso associati ?
Naturalmente, la stessa domanda ci poniamo per le altre variabili e dunque per tutta la
funzione d'onda   ψn,l,p,ps(r0 ; ϕ0 ; ϑ0) .

Essendo l'equazione di Schrodinger un "oggetto" puramente matematico, le soluzioni che ammette non danno una risposta solo
al nostro problema, ma a tutti quelli che impongono le stesse condizioni.
Le condizioni che sono state poste per risolvere l'equazione non hanno fatto riferimento a un problema specifico, ma hanno carattere
assolutamente generale e quindi tale potrà essere anche la loro interpretazione.

Non esiste quindi un discorso logico che possa portare a una interpretazione corretta
della funzione d'onda. Se ne ipotizza una, coerente con il problema 
che si sta trattando,
e si procede poi alla verifica sperimentale.

Come abbiamo visto, l'equazione di Schrodinger è stata scritta senza alcun riferimento a casi particolari e quindi la soluzione potrà essere
riferita a qualsiasi massa in moto in uno spazio rotante.
Una massa che, nella descrizione corpuscolare è rappresentata dal punto  perfettamente individuato dalle componenti
(r; ϕ; ϑ; t),
  nella descrizione ondulatoria data dalla funzione d'onda di Schrodinger allo stesso valore della componente
spaziale, corrispondono diversi stati possibili della massa e dunque si perde la possibilità di localizzarla
attraverso la soluzione fornita 
dell'equazione ".

D'altra parte, proprio per la natura dell'equazione, le soluzioni sono in genere funzioni complesse, quindi difficilmente interpretabili
fisicamente.
A questo punto, per recuperare l'informazione sulla posizione della particella attraverso la funzione d'onda, Max Born osservò che un
fotone, che presenta 
comportamento ondulatorio, si trova in una condizione assolutamente analoga a quella della nostra massa.
La differenza fondamentale tra i due casi sta nel fatto che il fotone, anche se viene interpretato come un "pacchetto d'onde", si muove
nello spazio con una velocità costante e quindi può essere descritto da una funzione reale che soddisfa l'equazione delle onde di
d'Alembert, l'onda elettromagnetica.
13
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Per la particella materiale, dovendo verificare l'equazione di Hamilton, si ha una velocità dipendente dallo spazio e questo, porta a
soluzioni complesse dell'equazione di d'Alembert, senza un chiaro significato fisico.
Max Born superò questo problema osservando che Il quadrato dell'ampiezza dell'onda elettromagnetica valutata in un volume elementare
fornisce il valore dell'energia trasferita dall'unità di volume. Integrando in tutto lo spazio, si ottiene dunque il valore dell'energia associata
e trasferita complessivamente dall'onda.
Se si tratta di un fotone, l'ampiezza dell'onda è diversa da zero solo nello spazio " occupato dal pacchetto " e quindi l'integrale
fornisce l'energia associata e trasferita dal fotone.

Si può dire che l'integrale del quadrato della funzione d'onda localizza il fotone.
Per fare un discorso analogo su una funzione d'onda complessa, ricordiamo che il quadrato del modulo si ottiene come prodotto delle
funzioni coniugate e quindi è solo questo che potrà assumere un significato fisico.
Max Born, basandosi solo su un'analogia, dunque più o meno arbitrariamente interpreta
il
prodotto 
                                 ψ(P; t) ⋅ ψ(P; t) = |ψ(P; t)|²

come probabilità per unità di volume che la massa m  occupi il punto  .
Assunto quindi un volume elementare dυ  intorno a  , il contributo elementare  dP  che questo volume dà alla probabilità che
in tutto lo spazio υ la massa esista sarà :
                                          dP = |ψ(P; t)|²⋅ dυ

Affinché si possa dare questa interpretazione, è necessario che la funzione d'onda sia normalizzata, ossia deve essere verificata la
condizione che la massa è presente da qualche parte nell'universo con probabilità uguale a 1.
Si deve dunque avere :
                                    +∞|ψ(P; t)|²⋅ dυ = 1

Con riferimento al moto su un'orbita, l'insieme dei numeri quantici associati alla funzione d'onda consentono di localizzare la
particella
non in un punto, ma in tutti gli stati possibili, con una certa probabilità.
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Si dice che l'insieme di tutti questi stati individuano un orbitale all'interno del quale la probabilità di trovare
la particella assume il valore massimo in prossimità del raggio dell'orbita calcolato considerando un comportamento della massa di tipo
corpuscolare.
Se, per esempio, si considera l'atomo di idrogeno, con un protone al centro della sfera entro la quale si trova l'elettrone, il volume
elementare sarà uguale a       dυ = 4 ⋅ π ⋅ r²⋅ dr.

risulta quindi :                          dP = |ψ(P; t)|²⋅ 4 ⋅ π ⋅ r²⋅ dr

integrando si ottiene la probabilità  P(r)  di trovare l'elettrone entro il raggio r :

                                      P(r) = r|ψ(P; t)|²⋅ 4 ⋅ π ⋅ r²⋅ dr

Ponendo :         si ricava il punto in corrispondenza del quale risulta massima

la probabilità di trovare l'elettrone, che risulta coincidente con il raggio di Bohr.
A tale proposito osserviamo che la curva della probabilità  P(r) in funzione del raggio r non è simmetrica rispetto al valore  r₁
e quindi,
se la teoria degli orbitali e l'interpretazione probabilistica sono corrette, dal diagramma si vede che il valore medio del
raggio risulta più
 elevato del valore più probabile  r₁ e  questo dovrebbe essere verificabile
considerando un numero molto elevato di atomi ".

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L'opportunità di effettuare questa verifiva ci viene offerta dal Sole, che si può considerare una sfera di idrogeno con atomi perfettamente
a contatto fra loro.
Se indichiamo con As il numero di atomi di massa  mH presenti nel Sole, si potrà scrivere :
      
uguagliando le due espressioni si ha :      
essendo, per ipotesi, le sfere a contatto tra loro, sarà :     
sostituendo, si ottiene il valore di As e quindi si ricava la massa del Sole :    
essendo noti dall'osservazione astronomica :      rS = 695843 Km   ;   mS = 1.989085⋅10⁻³⁰ Kg

si ottiene il numero di atomi                    As = mS/mH1.1885536⋅10⁵⁷
sostituendo, si ricava il raggio dell'atomo di idrogeno :
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considerando anche la sfera planetaria dell'elettrone, il raggio dell'orbita sarà
        
perfettamente coincidente con il valore teorico r₁ .

Il risultato che abbiamo ottenuto ci dice che su 10⁵⁷atomi di idrogeno non si verifica uno spostamento apprezzabile
del raggio dal valore  r₁  e dunque :

" la curva della probabilità che abbiamo tracciato non può essere
corretta "; dovrebbe essere simmetrica rispetto a r.

A questo punto osserviamo che l'onda non è una realtà fisica, ma solo uno strumento matematico per descrivere una grandezza
perturbata che si sposta nello spazio.
Se lo spazio è vuoto, la grandezza perturbata coincide con una caratteristica dello spazio stesso. L'equazione d'onda viene associata ad
essa e l'onda si sposta con la velocità massima, caratteristica propria dello spazio.
Si deve tenere presente che la perturbazione di un equilibrio avrà una durata nel tempo uguale a quella della causa che la genera.
Per esempio, applicando per un tempo indefinito un generatore di tensione alternata ad un'antenna trasmittente, si genera un'onda
elettromagnetica che si propaga con continuità in tutto tutto lo spazio circostante e quindi essa sarà presente in qualsiasi punto dello
spazio.
Se invece il generatore è attivo solo per un tempo Δt = t₂ – t₁, è chiaro che la perturbazione ha inizio nell'istante  t₁  e termina
nell'istante  t₂  .
Se  V  è la velocità con la quale la perturbazione si propaga, lo spazio in cui essa si manifesterà sarà solo :

                                 Δr = V ⋅ Δt = V ⋅ (t₂ – t₁) .
Questo tratto di spazio perturbato dopo un tempo  t  si sarà allontanato dall'origine e diventerà rilevabile nel punto  r = V ⋅ t .
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La causa più comune di perturbazione dello spazio fisico è la presenza di una massa in moto sull'orbita con un eccesso di energia  ΔE
rispetto al valore di equilibrio (che vale zero per una particella libera) .
In questo caso il sistema si riporta all'equilibrio attraverso due meccanismi :
con un lento e continuo trasferimento di energia allo spazio circostante, fino ad esaurire tutto l'eccesso  ΔE  , oppure con l'emissione
nello spazio di tutta l'energia  ΔE  con un solo evento.  Con riferimento alla fascia elettronica dell'atomo, in questo secondo caso si
produrrà una perturbazione che inizia con la "caduta" dell'elettrone e termina quando esso ha raggiunto l'equilibrio sull'orbita
stabile,
dunque con la durata di un periodo orbitale medio Te .
Dato che il fotone emesso si propaga con la velocità della luce Cl , la sua estensione nello spazio sarà : Δr = C⋅ T.
La frequenza della perturbazione vale :
                                     ν = ΔE/h    e quindi :    λ = Cl
Il numero di impulsi che formano il pacchetto d'onda sarà quindi :
      
Sostituendo il valore medio del periodo orbitale :

A differenza dell'onda elettromagnetica, in questo caso la perturbazione è a carattere impulsivo, di durata molto breve, per esempio,
con n₁ = n₂ +1 , si ottiene  2 < N < 3.
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L'interpretazione della funzione d'onda  |ψ(P; t)|² = dP/dυ    come densità di probabilità, proposta per la componente

radiale di  ψ(r ; ϕ ; ϑ ; t), deve essere applicata a tutto l'angolo solido che, nella funzione d'onda è espresso dalle componenti

F(ϕ ; t) e T(ϑ ; t) , che si propagano nel tempo come la componente radiale.

Anche per queste componenti la durata della perturbazione  Δt  sarà uguale al tempo che necessita all'elettrone per passare dal livello
n₁  al livello  n₂  che, come abbiamo visto, è uguale al periodo orbitale medio Te .

Per la definizione stessa di periodo, nel tempo  Te  gli angoli  ϕ e ϑ variano di
2π   e quindi le due funzioni   F(ϕ ; t)  e T(ϑ ; t)   saranno non nulle in tutto l'angolo solido individuato da

Δϕ = Δϑ = 2π .
Questo vuol dire che il fotone emesso, quando viene intercettato alla distanza r dall'origine si manifesta contemporaneamente, con
grandezze associate di valore non nullo, in tutti i punti della superficie  4 ⋅ π⋅ r².
Il volume di spazio fisico perturbato dalla presenza del fotone e descritto dalla funzione d'onda con      ψ(r ; ϕ ; ϑ ; t) ≠ 0

sarà quindi :     Δυ = 4 ⋅ π⋅ r²⋅Δr .
Su tutto questo volume si dovrebbero distribuire l'energia e l'impulso forniti al fotone nel punto di origine.

L'osservazione sperimentale ci dice però che questo non si verifica.

Quando in un punto dello spazio viene assorbito un fotone, esso trasferisce in un solo
atto tutta l'energia e 
l'impulso che aveva in origine.

Il contrasto viene eliminato se si dice che  F(ϕ ; t)  e T(ϑ ; t) , al pari della componente radiale di  ψ(r ; ϕ ; ϑ ; t) ,
non rappresentano grandezze fisiche associate al fotone, ma solo la probabilità che esso possa trovarsi nel punto

 P(r ; ϕ ; ϑ ; t) .
Con questa interpretazione nascono però altri problemi, che vedremo in seguito.
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L'equazione di Schrödinger viene ricavata dalla equazione di d'Alembert che si applica a " qualsiasi perturbazione sinusoidale, che si
propaga nello spazio con velocità  V  caratteristica del mezzo , e periodo imposto dall'azione che genera la perturbazione ".
Ricordiamo che l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda si rese necessaria soprattutto per giustificare il comportamento di
fotoni ed elettroni quando passano attraverso fenditure o fori di dimensioni confrontabili con la lunghezza d'onda.
Le figure di interferenza che si ottengono sembrerebbero richiedere infatti un comportamento di tipo ondulatorio, mentre invece in altri
esperimenti, come, per esempio, nell'effetto fotoelettrico, il comportamento sembrerebbe di tipo corpuscolare senza alcun dubbio.

Noi abbiamo però dimostrato, nell'  Art. 62  , che, utilizzando i risultati ottenuti nell'  Art.61  , anche le particelle deviate possono produrre
figure di diffrazione generate dalla quantizzazione del raggio orbitale atomico, diverse naturalmente da quelle legate a processi ondulatori.
Ricordiamo brevemente i risultati dell'esperimento della doppia fenditura, per mettere in evidenza alcuni punti non del tutto chiari.

-- con fessura A aperta e fessura  B chiusa, inviando una sola particella alla volta, sullo schermo vengono visualizzati i singoli impatti
che, mediati su un lungo periodo, producono la classica distribuzione a campana, posizionata difronte alla fessura.

-- con fessura  B aperta e fessura  A chiusa il processo è del tutto analogo e la figura che si produce è la stessa.

-- Supponiamo ora di avere le due fessure a una distanza fra loro iniziale tale da non sovrapporre, nemmeno in parte, le figure ottenute
sullo schermo e di ripetere l'esperimento inviando le stesse particelle, con lo stesso ritmo e per lo stesso tempo, con entrambe le fenditure
aperte.
Naturalmente, la particella che nel primo esperimento aveva attraversato la fessura   , quando la   era chiusa, continuerà a farlo
nella stessa maniera, senza alcuna consapevolezza del fatto che la fessura  B adesso è aperta.
La stessa situazione si presenta per le particelle che passavano attraverso la fessura  B  durante la seconda prova.
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Avremo quindi le stesse figure separate e le particelle avranno conservato il comportamento della prima prova, corpuscolare oppure
ondulatorio e anche la nostra descrizione del processo potrà essere la stessa.
Supponiamo ora di ripetere più volte l'esperimento con le due fessure aperte riducendo gradualmente la loro distanza.
E' ragionevole pensare che le particelle, prive di libero arbitrio e senza alcuna consapevolezza dell'accostamento delle fessure, debbano
conservare lo stesso comportamento durante tutto l'esperimento, indipendentemente dalla distanza tra le fessure.
Il risultato atteso da questa prova è dunque una sovrapposizione delle figure prodotte sullo schermo in modo da avere una distribuzione
continua dei punti d'impatto.
Quello che si verifica è invece la comparsa delle tipiche frange di interferenza e questo come risultato sperimentale è inopinabile.
Per giustificare questo imprevisto risultato, è necessario analizzare il sistema nelle diverse condizioni sperimentali, per studiare gli effetti
prodotti da tutte le differenze rilevate.
Tralasciando le prove con una sola fessura aperta, consideriamo solo l'ultima prova, iniziando con le fessure alla distanza che genera sullo
schermo le due immagini distinte, senza alcuna sovrapposizione.
In queste condizioni possiamo considerare due sistemi identici, che operano alla stessa maniera, indipendentemente uno dall'altro.
La meccanica quantistica, con l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda associata alle particelle, ci dice che, nel momento in
cui, osservando un punto della figura  A , riusciamo a stabilire che la particella che l'ha prodotto è passata certamente attraverso la
fessura  A , la funzione d'onda "collassa" e la particella manifesta un comportamento corpuscolare.

In termini più comprensibili anche a coloro che non conoscono la meccanica quantistica, possiamo dire che il comportamento
della
particella è sempre lo stesso, indipendente dalle nostre teorie.
Tuttavia, quando non riusciamo a localizzare " la particella " nello spazio con una precisione tale da consentire una descrizione
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come corpuscolo, secondo Schrodinger possiamo descrivere la particella non individuabile, attraverso l'onda associata il
cui valore ci indica la probabilità di trovarla in un certo 
punto dello spazio.
Quando invece è possibile affermare che in uno spazio molto piccolo si ha probabilità uguale a uno, dunque la certezza, di trovare
la particella, diventa 
priva di significato la descrizione come onda e siamo obbligati a descriverla come corpuscolo.

Non è dunque la funzione d'onda che collassa, ma la nostra capacità di utilizzare questo
strumento per interpretare un risultato, che non può 
dipendere dallo strumento che
utilizziamo per descrivere la particella.

L'osservazione sperimentale dice che sia le due figure singole che le frange di interferenza si formano comunque, anche se l'invio delle
particelle avviene con un ritmo estremamente ridotto, per esempio una al minuto.
Quello che definisce le figure è il numero totale delle particelle che incidono lo schermo.
Se il ritmo è elevato le figure si presentano subito. Se invece è lento bisogna attendere per un tempo più lungo.
La figura si forma dunque come risultato statistico di impatti memorizzati nei punti dello schermo.
Supponiamo ora di inviare sulle fessure una particella al minuto e di disporre di un otturatore, che chiude alternativamente una fessura
alla volta, lasciando sempre solo una aperta.
Se l'otturatore è sincronizzato con la sorgente, sapendo qual'era la fessura aperta quando è stata inviata la prima particella, a seconda che
n  sia pari o dispari, possiamo sapere da quale fessura è passata la particella  n–esima in quanto le dispari che raggiungono lo
schermo passano tutte dalla fessura attraversata dalla prima e le pari dall'altra.
La differenza fra la prova senza o con otturatore sta nel fatto che nel primo caso il numero delle particelle che giungono sullo schermo
sono il doppio di quelle che vi arrivano in presenza di otturatore, in quanto mediamente esso blocca il 50% delle particelle su entrambe
le fessure, senza alcuna distinzione.
Il buonsenso direbbe quindi che, con un tempo di esposizione doppio, sullo schermo si dovrebbe riprodurre la stessa immagine, ossia le
frange.
La meccanica quantistica ci dice però che la presenza dell'otturatore, per il solo fatto che ci consente di conoscere il percorso delle 
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 particelle, provoca il collasso della funzione d'onda, attivando il comportamento corpuscolare, con conseguente impossibilità di
formazione delle frange.
Se ora ripetiamo l'esperimento nelle stesse condizioni, ossia con otturatore sincronizzato, ma senza nessuna informazione sulla
fessura aperta con la prima particella,
non abbiamo nessun elemento per risalire al percorso delle particelle e questo, sempre secondo
la meccanica quantistica, ripristina il comportamento di tipo ondulatorio.
E' da sottolineare che in questo caso è sufficiente solo l'informazione iniziale per cambiare il comportamento di tutte le particelle, per
tutta la durata della prova, senza esercitare nessuna azione fisica su di esse.
La meccanica quantistica si spinge oltre, dicendo che, se solo si dispone di un lettore capace di fornire l'informazione iniziale, non è
necessario leggerlo. La sola presenza è sufficiente per eliminare le frange presenti.
La spiegazione del processo che normalmente viene proposta, in sintesi è la seguente.
La sorgente emette le particelle con un' indeterminazione della direzione dello stesso ordine di grandezza della distanza  d tra le fessure.
Questa indeterminazione è uguale all'errore che possiamo commettere nel prevedere la traiettoria seguita dalla particella. In termini
probabilistici si può dire che abbiamo la stessa probabilità di trovarla in un punto qualsiasi di un cerchio di diametro  d .
Quando vediamo che la particella è giunta sullo schermo, non possiamo dire quale fessura essa ha attraversato, ma solo che è passata
attraverso una delle due con la stessa probabilità del 50% .
Il buonsenso e la indivisibilità, per definizione, delle particelle elementari direbbe, a questo punto, che, se la particella osservata sullo
schermo è una sola, esiste una probabilità del 100% che essa abbia attraversato una sola delle fessure, ed una probabilità del 50% che sia
la  A  oppure la  B .
creando una ingiustificata anisotropia nel piano perpendicolare al moto delle particelle nello spazio
prima delle fessure, la meccanica quantistica afferma che esiste la probabilità del 50% che la
particella in arrivo attraversi la fessura  A o la  B
trascurando completamente tutte le
altre direzioni che sono ugualmente probabili.

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Si deve infatti specificare se il fronte dell'onda associata alla particella deve intendersi localizzato in una piccola sezione oppure distribuito
come un'onda piana su tutta la sezione del cerchio. E' chiaro che il comportamento di una particella nello spazio prima delle fessure non
può ritenersi determinato dalla distanza tra le fessure o comunque dalle condizioni future, che si potranno verificare nello spazio oltre le
fessure.
Infatti, a questo punto la teoria ondulatoria continua dicendo che, per produrre le frange di interferenza, è necessario che l'onda attraversi
le due fenditure contemporaneamente.
Essendo però l'onda associata alla particella orientata in una sola direzione e non piana o sferica, per poter ottenere questo risultato, si
dice che essa si divide in due unità uguali, sfruttando il fatto che ha una probabilità del 50% di attraversare ciascuna delle due fenditure.

Dato che le figure d'interferenza si presentano anche se le fessure vengono fatte ruotare rispetto alla sorgente e la particella ha,
lungo tutto il percorso, la 
possibilità di muoversi in tutte le direzioni entro un cilindro di diametro d, non esiste nessuna ragione
teorica per la quale la divisione dovrebbe verificarsi 
nelle due direzioni delle fessure e non in tutte le altre ugualmente probabili.

Il volume entro il quale dovrebbe distribuirsi l'energia della particella sarebbe   Δυ = π⋅ d²⋅Δr  , in contrasto con l'effetto
fotoelettrico, che richiede un 
volume perturbato dalla presenza del fotone comparabile con le dimensioni dell'elettrone.
Tralasciamo l'analisi critica di questa operazione e diciamo solo che essa è in totale disaccordo con la definizione stessa di
probabilità, in quanto il valore 
della probabilità che un evento si verifichi non indica affatto la frazione di evento che si realizza
su uno solo possibile, ma il numero di quelli che 
si realizzano su un numero molto elevato di eventi possibili.

Un altro punto da chiarire è il meccanismo attraverso il quale si realizza sullo schermo l' interferenza costruttiva fra due funzioni d'onda
per ricostruire la probabilità del  100%  oppure quella distruttiva per avere probabilità uguale a  0%  di trovare la particella nel punto
P dello schermo.
Dato che il punto  P dello schermo non è in moto rispetto alle fessure, la sua posizione è perfettamente determinata entro gli errori
strumentali.
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Un istante prima e un istante dopo l'impatto della "semi-particella/semi-onda" con il punto P , " la sua posizione è definita " e questo
provoca, secondo la stessa teoria ondulatoria, il collasso della funzione d'onda.
Questo vuol dire che, proprio secondo la meccanica ondulatoria, l'impatto su uno schermo fisso si può realizzare solo con comportamento
corpuscolare e non ondulatorio.
Diventa così difficile pensare al " collasso della funzione d'onda in una semi-particella " e ancor più all'interferenza distruttiva
tra due
semi-particelle con la verifica di tutti i principi di conservazione .
Si deve ancora osservare che, se l'onda associata alla semi-particella passa attraverso la fessura come tale, non subisce solo una
deviazione. Secondo il principio di Huygens si produce infatti una diffrazione con distribuzione della energia su tutto il fronte.
Nei punti in cui si ha interferenza costruttiva non si ha quindi l'energia iniziale della particella, ma una piccola parte.
Se le frange si formano per interferenza di ogni singola onda (sdoppiata) con se stessa, come possiamo conciliare i massimi e i minimi con
i principi di conservazione ?
Dato che la formazione delle frange di interferenza è un fatto sperimentale non opinabile, è necessario cercare una giustificazione teorica
alternativa oppure chiarire questi punti.
La via non può che essere quella di riconsiderare i fatti sperimentali, primi fra tutti quelli che interessano fotoni ed elettroni, come la loro
deviazione da parte di spazi rotanti e l'effetto fotoelettrico.

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E' anche necessario tenere presente che è provato dall'esperienza che un fotone è indivisibile ; nasce e viene assorbito con un solo atto e
da solo, se passa in prossimità di uno spigolo non produce le frange di diffrazione che si manifestano con il gran numero di fotoni che
formano un raggio.
Con riferimento alla figura, supponiamo che la sorgente emetta una particella alla volta in direzione del punto  P₀  e che il foro abbia
diametro   regolabile, inizialmente di dimensioni ordinarie.
In queste condizioni, tutte le particelle incidono nel punto  P₀  e non si verifica nessun effetto particolare.
Se riduciamo gradualmente il diametro del foro, man mano che ci si avvicina
alle dimensioni atomiche, le particelle tendono a deviare dal punto  P₀  in una maniera apparentemente casuale in rapporto
all'indeterminazione del punto di partenza, definito con un errore pari al diametro del foro.
In base a questa prova possiamo certamente affermare che la deviazione è prodotta dall'interazione della particella con il materiale che
riveste il foro, la quale diventa significativa con l'avvicinarsi della particella al bordo del foro.
Per verifica, si può accostare la direzione di moto della particella ad uno spigolo qualsiasi e si ottiene lo stesso risultato.
Si tenga presente che la deviazione prodotta è rilevante. Il fotone che, con l'azione dello spazio rotante solare, subisce una deviazione data
da (   Art.49   ):   
dall'elettrone viene deviato di un angolo molto più elevato :
             
Registrando un numero di impatti molto elevato, l'esperienza dimostra che la simmetria del sistema porta nel tempo alla formazione di
anelli perfettamente centrati su  P₀ .
Possiamo dunque dire che la formazione degli anelli rappresenta il risultato statistico di un processo ripetuto su un gran numero
di particelle.

Altro fatto sperimentale rilevante è che, se le particelle inviate dalla sorgente sono fotoni, cambiando il materiale che riveste il
foro, la
configurazione degli anelli non cambia.
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Se invece le particelle sono, per esempio, elettroni, cambiando il materiale, cambia anche la configurazione degli anelli prodotti.
In entrambi i casi si tratta, apparentemente, di una interazione tra particella e atomo, intuitivamente dipendente dal tipo di atomo.
Trattando la deviazione della luce nell'  Art.49  abbiamo visto che la deviazione imposta alla particella dallo spazio rotante è indipendente
dalla massa, per cui, se una particella viene obbligata ad attraversare una fessura di larghezza paragonabile con le dimensioni atomiche,
subirà un'azione del tutto simile a quella che si manifesta su un raggio di luce quando attraversa la stessa fessura (   Art.54   ).
La differenza di comportamento rilevata tra fotone ed elettrone deve dunque risiedere nel fatto che l'interazione nei due casi si ha con
spazi rotanti diversi.
I fotoni interagiscono con lo spazio rotante associato agli elettroni periferici, che sono presenti in tutti gli atomi.
Gli elettroni interagiscono invece con lo spazio rotante generato dal nucleo e quindi la sua azione dipende dal numero atomico (  Art.54  ).
L'analogia con i noti fenomeni associati al moto delle onde e l'indipendenza dai materiali intercettati, nel caso dei fotoni favoriscono
l'interpretazione del loro comportamento come onde.
Naturalmente, degli esperimenti che confermano questo comportamento si può dare una doppia lettura.

Se si analizzano i risultati utilizzando l'equazione delle onde, si dirà che tutta la materia presenta un
comportamento ondulatorio come la luce.
Se invece i 
risultati sperimentali degli stessi esperimenti vengono analizzati utilizzando i principi della
meccanica classica, si dirà che la luce ha un 
comportamento corpuscolare come tutta la materia.
E' chiaro che il comportamento delle parti in gioco nell'esperimento
è unico, nè ondulatorio nè corpuscolare, ma solo in accordo con la

teoria applicata.
Per esempio, nell'  Art.54  , abbiamo visto che gli elettroni vengono deviati con formazione di frange sullo schermo e questo rappresenta
il risultato dell'esperimento.
La giustificazione teorica puo essere data, con la stessa validità, sia con un'analisi ondulatoria che corpuscolare.
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Se invece di una fessura o uno spigolo abbiamo una superficie piana formata da una distribuzione di atomi disposti su strati sovrapposti
e inviamo una particella, che può essere un elettrone oppure un fotone, l'interazione non può che essere quella che abbiamo già visto.
Naturalmente, essendo cambiata la geometria del sistema, cambiano anche i percorsi e quindi potranno non essere rilevabili le deviazioni,
che comunque si verificano.
Bisogna infatti considerare che alla prima deviazione, dovuta all'interazione con il primo strato di atomi, segue l'interazione con il secondo
strato, poi con il terzo e così via, fino all'esaurimento dell'energia disponibile.
Se le particelle inviate sono fotoni, l'esperienza dimostra che, aumentando il valore dell'energia, fuori dallo schermo non si ha nessun
effetto rilevabile fino a quando non viene raggiunto un valore di soglia  Es in corrispondenza del quale viene emesso dalla superficie un
elettrone.
Sperimentalmente si osserva che, per il superamento del valore di soglia a nulla serve aumentare il numero di fotoni di energia minore.
Questo vuol dire che l'interazione di un fotone di energia maggiore o uguale al valore di soglia ha una natura diversa da quella associata a
quelli con energia minore. L'emissione dell'elettrone è quindi prodotta da un solo tipo d'interazione.
Se le particelle inviate sullo schermo sono elettroni, come abbiamo già visto
nell'   Art.49   , con energia uguale a zero si ha una riflessione totale ( siamo in uno spazio conservativo ) con ritorno dell'elettrone al punto
di partenza.
Aumentando gradualmente l'energia, si ha una deviazione sempre minore,
fino a quando, raggiunto il valore di soglia  E, viene assorbito l'elettrone con espulsione dalla superficie di un fotone di energia uguale
a Es .
Anche in questo caso per superare del valore di soglia, a nulla serve un aumento del numero di elettroni con energia iniziale minore.
Ancora una volta, questo indica che l'emissione del fotone è prodotta da un solo tipo d'interazione che si verifica solo con energie maggiori
del valore di soglia.
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Il dettaglio di questi processi si spiega bene con la teoria degli spazi rotanti, che utilizza il comportamento di tipo corpuscolare delle
particelle. E' invece spiegabile con qualche difficoltà, se si fa uso della meccanica ondulatoria.
Studiando l'effetto Compton, nell'   Art.53   , abbiamo visto che, se si invia sullo schermo un fotone avente un valore di energia basso, a
seconda del punto d'impatto, esso può subire una deviazione da parte degli elettroni presenti alla periferia dell'atomo, oppure può essere
assorbito se l'impatto si verifica in prossimità della prima orbita raggiungibile , di raggio                         r1e = Ke²/Cl²
sulla quale la velocità di equilibrio coincide con quella della luce.

In figura è stato rappresentato un atomo con un protone che genera lo spazio rotante centrale ed un elettrone e in equilibrio sull'orbita di
raggio Rn con una energia di legame En .
Se il fotone  f  incide sull'atomo alla distanza  R  dall'elettrone, viene deviato in direzione f'per andare a produrre impatti con altri atomi
fino ad esarire tutta l'energia.
In questo caso l'energia iniziale del fotone viene dissipata nello schermo con successive deviazioni, come energia termica, senza produrre
nessun effetto esterno particolare.
Se il fotone interagisce con lo spazio rotante dell'elettrone in prossimità della sua orbita minima di raggio

r1e = 1.534698522⋅10¹⁸ m , sulla quale si ha una velocità di equilibrio uguale a quella della luce (coincidente dunque con la
sua velocità di propagazione) trova sull'orbita una condizione di equilibrio e quindi viene acquisito dall'elettrone, con tutta la sua energia
Ef .
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L'elettrone, che prima era in equilibrio sull'orbita, si trova ora con un eccesso di energia, rispetto alla condizione di equilibrio, e, come
abbiamo visto nell'   Art.13   , trattando la stabilità dei sistemi legati, si muove su un'orbita ellittica con eccentricità 
Anche in questo caso, con Ef < En , l'energia del fotone viene trasformata in energia termica nello schermo, senza nessun effetto
esterno.
Se però l'energia del fotone incidente aumenta fino ad avere    Ef ≥ En   , l'eccentricità dell'orbita diventa   e ≥ 1  , l'energia
dell'elettrone sull'orbita risulta   E ≥ 2 ⋅En   con una velocità maggiore del valore di fuga   Vf = √2 ⋅ Ve quindi l'elettrone
si allontana dal nucleo, percorrendo un'orbita parabolica, ed esce dalla superficie dello schermo.
Quello che, in definitiva, si osserva dall'esterno è che quando il fotone supera l'energia di soglia En , cede, in un solo atto, la sua energia
all'elettrone che viene emesso.
In una prova d'interferenza il valore di soglia potrà essere superato solo nei punti ni cui si verifica interferenza costruttiva.
In definitiva, possiamo dire che, per una spiegazione completa del processo di interferenza tra fotoni è necessario considerare la
diffrazione dei fotoni da parte degli elettroni con un'analisi di tipo corpuscolare, seguita dalla vera e propria interferenza tra fotoni sullo
schermo, condotta con un'analisi di tipo ondulatorio e infine con un'analisi corpuscolare si deve considerare
l'effetto fotoelettrico che consente la formazione delle figure sullo schermo.
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Art.68-- Origine teorica e risoluzione dell'equazione di Schrödinger e d'Alembert, significato teorico dello stato quantico -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Dare un significato all'equazione di Schroedinger è molto difficile, in quanto essa viene ottenuta attraverso passaggi solo formalmente
corretti, senza alcuna preoccupazione per l'aspetto fisico. Il passo più importante e piuttosto arduo è l'accostamento dell'equazione
di Hamilton a quella delle onde di d'Alembert.

Questa equazione rappresenta l'origine della meccanica ondulatoria e, come tutta la meccanica quantistica, viene considerata applicabile
solo ai sistemi atomici e subatomici, fino alle particelle virtuali presenti nello spazio vuoto.
Con la teoria degli spazi rotanti abbiamo dimostrato che la quantizzazione delle orbite stabili in un sistema organizzato da un'azione
centrale è imposta unicamente dai principi di conservazione dell'energia e del momento
angolare, che hanno valore universale.

Partendo da questa osservazione, vogliamo dunque dimostrare che tutta la meccanica quantistica, e dunque l'equazione di Schrodinger,
deve essere applicabile a qualsiasi spazio rotante, dal subnucleare all'astronomico.
A questo punto ricordiamo che, se in un punto dello spazio fisico si genera una perturbazione sinusoidale di una grandezza che definisce
l'equilibrio tra il punto considerato e lo spazio circostante, " la perturbazione generata si propaga per onde nello spazio e nel tempo "
(   Art.20   ) .
In altre parole, se indichiamo con              ψ(0 ; t) = ψ(0 ; 0)⋅ sen(ω⋅t)    la legge spazio--temporale che descrive

la perturbazione indotta sulla grandezza considerata, attorno alla condizione di equilibrio nel punto  O  di figura ( dove abbiamo
indicato una corda di lunghezza infinita ), l'esperienza ci dice che, attraverso il legame che esiste con i punti dello spazio fisico circostante,
la perturbazione  ψ(0 ; t)  si trasferisce ad essi con una velocità  Vs  costante e caratteristica dello spazio considerato.

Quello che si propaga è dunque una perturbazione dell'equilibrio dello spazio ( nell'esempio lo
spazio è corda ) .
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Se lo spazio è vuoto oppure i suoi punti non sono interagenti fra loro ( spazio geometrico ), non esistono caratteristiche da perturbare e
quindi nessuna perturbazione potrà essere trasferita.

Nel nostro caso il punto  , posto alla distanza  r  da  O  verrà costretto, dalla continuità dello spazio fisico, a subire questa
oscillazione con un ritardo dato da :        .
Nel punto  P si avrà dunque una perturbazione dello spazio espressa da :
     
    
si ha :      
oppure, con l'identità di Eulero :     
Secondo tale relazione, la perturbazione prodotta nell'origine  O , variabile nel tempo con legge sinusoidale, si propaga nello spazio con
la stessa legge, e risulta così variabile sia nel tempo che nello spazio.
Con due derivazioni, si ricava l'equazione di d'Alembert, che indica in forma differenziale la perturbazione presente nel punto
P al tempo t :

          
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In questa relazione   ψ(r ; t)  non rappresenta una grandezza precisa, ma una qualsiasi
grandezza che varia nel tempo con legge sinusoidale.

Se questa variazione si produce nello spazio fisico, per le caratteristiche stesse dello spazio, essa si propaga con la velocità V.
E' dunque la velocità di propagazione   Vs   che dipende dalla grandezza perturbata e
quindi dà un significato alla funzione  
ψ(r ; t)  .

Essa è però sempre una perturbazione prodotta su una caratteristica dello spazio.
Trattando le derivate come rapporto tra differenziali, l'equazione si riduce ad una identità, indipendente dalla funzione  ψ(r ; t) .
Si ha infatti :    
equivalente a   r = Vs⋅ t   qualunque sia la perturbazione  ψ(r ; t)  che viene presa in considerazione.

Per esempio, una particella in moto in un punto dello spazio può produrre una perturbazione della densità nello spazio occupato,
del livello di energia o del 
campo elettromagnetico o altro ancora e ciascuna di queste perturbazioni si propagherà con una
velocità caratteristica, che, sostituita nell'equazione, 
dà il significato alla funzione  ψ(r ; t) .
L'equazione ha valore assolutamente generale e si applica alla perturbazione della corda come a quella di una trave rigida o qualsiasi altro
mezzo capace di trasferire una perturbazione.
Per esempio, se nel punto  O  abbiamo una massa ferma, si crea uno spazio rotante con essa in equilibrio. Una oscillazione della massa
nel punto  O    crea una perturbazione dello spazio rotante che si propaga dal punto O a tutto lo spazio circostante.
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Le caratteristiche dello spazio che vengono perturbate, in questo caso, sono indicate come campo elettrico e campo magnetico
e si propagano come campo elettromagnetico associato ad una onda elettromagnetica, che soddisfa le equazioni di Maxwell (    Art. 59  )
      
coincidenti con l'equazione di d'Alembert.
L'equazione d'onda di d'Alembert ha dunque valore assolutamente generale e quindi l'elemento importante non è
la grandezza  
ψ(r ; t)   che si propaga, ma il meccanismo che essa descrive.
Possiamo sinteticamente dire che l'importanza dell'equazione di d'Alembert sta nella sua capacità di selezionare le perturbazioni
fisicamente realizzabili da quelle che non lo sono, " attraverso l'unico parametro presente nella relazione, Vs ".

Se   Vs  è una costante e risulta   Vs ≠ 0  ,∞  , qualunque sia la perturbazione che si considera, esiste sempre una funzione
ψ(r ; t)  che la descrive come una onda le cui caratteristiche dipendono da  Vs .
Se invece il parametro Vs , per qualsiasi ragione, dipende dallo spazio e /o dal tempo, l'equazione d'onda diventa :

Dato che la perturbazione considerata si sviluppa e si propaga comunque nello spazio fisico, sarà fisicamente realizzabile, e dunque reale,
solo se verifica tutte le condizioni imposte dallo spazio stesso.
Nello spazio fisico da noi considerato queste condizioni sono rappresentate dai principi di conservazione dell'energia e
del momento angolare.

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La condizione in cui il parametro   Vs   non è costante si verifica, per esempio, quando lo spazio in cui si sviluppa la perturbazione non è
omogeneo oppure se viene generata da una massa  m  in moto non equilibrato.
Il caso più comune, che si verifica in tutto l'universo, è quello di una massa in moto in uno spazio rotante, i cui punti devono verificare la
legge fondamentale   (   Art.5   )
                                             V²⋅ R = Ks² = costante

e quindi rappresenta uno spazio nè omogeneo nè isotropo.
In questo caso i principi di conservazione e la realtà fisica impongono a Vs la dipendenza da parametri indipendenti che
ammettono
soluzioni reali e non banali dell'equazione solo quando assumono valori ben precisi che vengono indicati
come autovalori e le soluzioni
associate autofunzioni.
Ricordiamo che, se una particella si muove in un campo conservativo, in ogni momento verifica il principio di conservazione dell'energia,

che, nella forma più semplice, si scrive :   E = Ec + E

dove  Ec , Ep  ed E  rappresentano l'energia cinetica, potenziale e totale.
Sostituendo l'energia cinetica         ,
si ottiene l'equazione di Hamilton, che descrive il moto :     
da cui deriva :      

A questo punto osserviamo che, se intercettiamo una massa in movimento, le caratteristiche attraverso le quali essa si manifesta sono
l'energia e l'impulso che vengono trasmessi al ricevitore.
Se abbiamo quindi due masse che trasferiscono la stessa energia e lo stesso impulso, intercettandole, non si possono
distinguere e dunque 
sono equivalenti ( solo dal punto di vista delle caratteristiche rilevate ).
Il ragionamento si applica, naturalmente, anche al fotone, in quanto anch'esso, durante il moto, trasferisce energia e impulso, che,
se
coincidono con quelli di un'altra massa, lo rendono da essa indistinguibile. Abbiamo quindi :
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per una massa  m  :         
per il fotone :           
Al fotone viene quindi associata un'onda che si sposta con la velocità di fase
      
Seguendo il ragionamento di De Broglie, se una massa trasferisce lo stesso impulso, per essere indistinguibile dal fotone, dovrà essere
rappresentabile con un'onda avente la stessa lunghezza d'onda, ossia :    
Se trasferisce la stessa energia, dovrà anche essere :
         
La velocità di fase dell'onda " materiale " risulta quindi :
        
" A parità di energia trasferita ", tra la frequenza dell'onda materiale  νm  e quella del fotone equivalente  νf  si ha quindi il rapporto :

In definitiva secondo De Broglie, analogamente a quanto è previsto per il fotone, una particella materiale che trasferisce l'impulso  P

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potrà presentare comportamento di carattere corpuscolare oppure ondulatorio in rapporto alle condizioni in cui vengono effettuati i rilievi.

Il ragionamento di De Broglie è stato fatto osservando energia ed impulso di una particella materiale, prendendo come riferimento il
fotone, e la coincidenza dei valori ci porta a dire che la particella, non conosciuta, si comporta come il fotone, noto, dunque come
un'onda.
In un esperimento equivalente, si ritiene noto il comportamento della particella materiale e si scopre quello del fotone, non conosciuto.
Perfettamente equivalente è quindi il ragionamento alternativo :
Se osserviamo energia ed impulso di un fotone, prendendo come riferimento la particella materiale, la coincidenza dei valori ci porta a
dire che il fotone, non conosciuto, si comporta come la particella materiale, nota.

Dopo aver effettuato i due esperimenti l'operatore si domanda :
Devo trattare il fotone come una particella oppure la particella come un fotone?
E'possibile che particella e fotone siano lo stesso oggetto, che può essere trattato con una sola teoria?
Per dare una risposta, è necessario realizzare un unico esperimento ideale, con valori e condizioni assolutamente identiche  per entrambi
gli oggetti da analizzare. Questo però non è oggetto di questo articolo.

Ritornando al nostro tema, la lunghezza d'onda associata al comportamento ondulatorio sia per il fotone che per qualsiasi massa " è
inversamente proporzionale all'impulso trasferito ". Si ha quindi per la massa   :

dove con  Ep  abbiamo indicato l'energia potenziale della massa  m .
La velocità di fase  vm  con la quale l'onda associata si propaga risulta :    
l'hamiltoniana diventa così :    
Si tratta, a questo punto di capire che cosa descrive questa relazione.

Nella rappresentazione come particella in moto in uno spazio conservativo, l'equazione di Hamilton, scritta nella forma :

    

indica il valore della velocità che la massa  m  deve avere per poter verificare il principio di conservazione dell'energia.
Analogamente, nella rappresentazione come un'onda in moto nello stesso spazio, la relazione
            
rappresenta la lunghezza d'onda che la massa  m  deve manifestare per poter verificare il principio di conservazione dell'energia.
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Per evitare errate interpretazioni della lunghezza d'onda   λ  , si deve ricordare che le onde rappresentano solo
uno strumento
per
descrivere il trasferimento di uno stato perturbato del mezzo da un
punto all'altro dello spazio fisico ".

In realtà oltre " allo stato perturbato " non esiste quindi nulla che si sposta e questo vale naturalmente per la
massa  m  come per il fotone.
La lunghezza d'onda  λ  non è quindi associata a una particolare caratteristica della particella in moto, ma a quella che si sta utilizzando
per il rilievo.
L'onda associata è sempre comunque estesa nello spazio da    ∞ a + ∞   con lunghezza d'onda  λ  costante e numero d'onda
k = (2 ⋅ π)/λ .

Su un'onda armonica di questo tipo, infinitamente estesa, i punti dello spazio sono tutti identici fra loro e quindi non è più possibile
individuare la massa  o il fotone con caratteristiche localizzate.
Se non esiste nulla che trasferisca energia e impulso, l'onda stessa non può trasferire nulla e quindi anche l'equazione di Hamilton
associata perde il suo significato iniziale senza acquistarne un altro.
E' chiaro che non ha nessun significato una perturbazione estesa per tutto lo spazio, presente da sempre e per sempre.
Una perturbazione ha fisicamente un significato solo se s'inserisce in uno spazio imperturbato, per un tempo limitato.
Se vogliamo recuperare l'informazione legata alla particella come corpuscolo e conservare, nello stesso tempo, quelle legate all'onda
associata, prendiamo in considerazione una perturbazione che si manifesta in uno spazio limitato  Δr  con una durata limitata  Δt  ,
come è indicato in figura.
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Così facendo non è però più possibile descriverla con un solo valore di   , ma solo attraverso la sua trasformata di Fourier, che ha un
numero di componenti e quindi un intervallo del numero d'onda  Δk  tanto maggiore quanto minore è l'estensione nello spazio Δx .
Lo stesso discorso può essere fatto utilizzando l'estensione nel tempo  Δt  e si parlerà in questo caso di intervallo di pulsazione  Δω .
E' da tener presente che gli intervalli  Δx  oppure  Δt  non si possono scegliere arbitrariamente, in quanto le trasformate di Fourier
soddisfano la condizione
                              Δx ⋅ Δk > 1          e analogamente         Δω ⋅ Δt > 1 .
Nel caso della particella in esame, abbiamo :
    
e quindi dovrà essere :      
analogamente, si ha :     
e dunque anche :       

In definitiva, se abbiamo una particella, potrà essere descritta solo come un pacchetto d'onda centrato su  , formato da onde di diverse
frequenze ν e diverse velocità di fase.
Qualunque sia la scelta di ψ(r ; t) , la limitazione dei due intervalli localizza il pacchetto d'onde caratterizzato da due velocità :
-- Velocità di fase :     
uguale quindi a metà della velocità della particella.
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Ricordando che :     
-- la velocità di gruppo sarà :
     
coincidente con quella della particella.
Il fotone invece non può essere descritto come pacchetto d'onda in quanto la sua velocità è costante e
quindi l'unica descrizione possibile
è quella data da Maxwell come onda elettromagnetica, che non
è un pacchetto d'onde.

Se si sostituisce l'espressione della velocità di fase dell'onda associata alla particella    
alla velocità di propagazione che compare nell'equazione di d'Alembert, si ottiene la relazione :
    
che è già in sostanza l'equazione di Schroedinger.
In base all'origine dell'equazione di d'Alembert e a quanto abbiamo ricordato, possiamo dire che :
In questa equazione, la funzione  ψ(r ; t)  può rappresentare qualsiasi perturbazione
indotta nello spazio dalla presenza di una particella, che 
si propaghi con la velocità di
fase vm .

Per risolvere l'equazione è necessario conoscere la legge con la quale varia l'energia nel tempo e nello spazio e in generale il calcolo non
è semplice.
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Per fortuna, nei casi più comuni l'energia non dipende dal tempo e questo ci permette di separare facilmente le variabili ponendo

                                             ψ(r ; t) = ψ(r)⋅ϕ(t)

sostituendo, derivando e dividendo per il prodotto   ψ(r)⋅ϕ(t)  , si ottiene :
      
In questa equazione il primo membro dipende solo dalle coordinate spaziali ed il secondo solo da quella temporale.
Essi potranno essere uguali solo se entrambi sono uguali ad una costante indipendente dal tempo e dallo spazio.
Ponendo la costante di separazione uguale a     ω² , si hanno quindi le due equazioni :

Le soluzioni della prima equazione sono del tipo :     
Per il nostro problema, trattandosi di una perturbazione imposta nell'istante   t = 0  , la funzione deve essere periodica con valore
iniziale uguale a zero e quindi si assume :
     
derivando, si ha :   
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sostituendo nella seconda equazione, si ottiene :
       
e quindi, in definitiva :
   
Questa equazione viene detta degli stati stazionari , in quanto le grandezze che vi compaiono non dipendono dal tempo.
L'energia  E  compare nell'equazione come parametro imprecisato, che non dipende dalla variabile r , e si dimostra che essa ammette
soluzioni non banali (non identicamente nulle) solo per determinati valori del parametro   , che vengono detti autovalori e
le corrispondenti soluzioni autofunzioni .

Per questi motivi l'equazione di Schrödinger sotto questa forma viene detta "equazione agli autovalori per l'energia totale"
ed è scritta normalmente nella forma più generale :
      
dove ∇² è l'operatore di Laplace, dato da :
-- in coordinate cartesiane :            
oppure, trasformando   ψ(x ; y ; z)     in   ψ(r ; ϑ ; ϕ)  con :


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              x = r ⋅ senϑ⋅ cosϕ   ;   y = r ⋅ senϑ ⋅ senϕ   ;   z = r ⋅ cosϑ
-- in coordinate sferiche :
   
e quindi, in definitiva si ottiene l'equazione :
          
Con il metodo della separazione delle variabili, poniamo :   ψ(r ; ϑ ; ϕ) = R(r)⋅T(ϑ)⋅F(ϕ)

sostituendo le derivate come sono indicate dall'operatore di Laplace , se si moltiplica per                      (r²⋅sen²ϑ)     

e si divide per                          R(r)⋅T(ϑ)⋅F(ϕ)  ,
si ha :

Il primo membro dipende solo da  r  e ϑ  , ed il secondo solo da ϕ . Entrambi devono quindi essere uguali a un valore costante che
indichiamo con   p².
Si ha dunque :                
Come abbiamo già visto, le soluzioni di questa equazione sono sinusoidi del tipo :       Fp(ϕ) = e ± i⋅p⋅ϕ

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Dovendo assumere la funzione d'onda un solo valore, le funzioni Fp(ϕ) , che si ricavano con i diversi valori della costante p , devono
essere periodiche rispetto alla variabile  ϕ  , con un periodo multiplo di quello associato a p = 1 .
La costante  p  dovrà quindi essere un numero intero :
                                                      p = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ......

Uguagliando il primo membro dell'equazione alla costante    p² , se dividiamo per    sen²ϑ    e separiamo le variabili ritenendo
(E– Ep) indipendente da  ϑ , otteniamo :

il primo membro dipende solo da r ed il secondo solo da ϑ e quindi devono entrambi essere uguali a una costante, che indichiamo con

                               l ⋅ (l + 1)   con  l = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;.......

in modo da avere al secondo membro l'equazione di Legendre associata al parametro , diversamente l'equazione non
potrebbe ammettere soluzioni periodiche con periodo uguale a  (2⋅π) .
Abbiamo quindi :
     
Per  p ≠ 0  le soluzioni sono le funzioni associate di Legendre, che sono polinomi del tipo :
 
Uguagliando il primo membro a  l ⋅ (l + 1)  e sostituendo l'espressione dell'energia potenziale :
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si ottiene l'equazione di Laguerre :

Le soluzioni di questa equazione sono date da :
      
dove  Pn+l2⋅l+1(α)  sono i polinomi di Laguerre dati da :
         
con la variabile  α  legata al raggio  r  dalla relazione :
       
Le soluzioni di Laguerre richiedono che l'energia  E  della particella assuma solo i valori legati al parametro  n  dalla relazione :
     
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