Art.88a — Esempi pratici di calcolo teorico dell’energia liberata dalla fissione nucleare — Antonio Dirita

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Per quanto riguarda il calcolo su esempi reali di fissione, una notevole semplificazione deriva dal fatto che operiamo in uno spazio
conservativo
e quindi l’energia liberata dall’evoluzione del sistema dipende solo dalla configurazione di partenza e di arrivo, che sono fisse.
Quella di partenza è data dal nucleo  A₀(Z₀ ; I₀)  e quella di arrivo, qualunque sia il percorso teorico scelto per ottenerla, sarà sempre
data dai due nuclei A₁(Z₁ ; I₁A₂(Z₂ ; I₂)  separati alla distanza R → ∞.

Possiamo quindi scegliere arbitrariamente il livello sul quale immaginiamo che venga
realizzata la sintesi del nucleo satellite.

Come primo esempio di calcolo, possiamo riprendere il caso già citato dell’isotopo    Fm₁₀₀²⁵⁸

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 913. 38)/(1913. 7)) Fm₁₀₀²⁵⁸ (258.09746)/(258.0 97076) 100n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 1+24 0+0 (-/(FS370μs))

con fattore di forma :             
Consideriamo inizialmente la fissione simmetrica.

Dalle tavole (   Art.77N    ) si ricava la configurazione dei nuclei generati :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1082. 86)/(1082. 7)) Sn₅₀¹²⁹ ((128.91328)/(128.91348)) 50n 2+0 8+0 10+4 0+16 0+9 1+0 0+0 ((4.040M)/(β⁻2.23m))

con fattore di forma :         
Si noti che si ottiene una buona approssimazione anche con la relazione     
Nell’  Art.81   , trattando la teoria delle forze nucleari, per il raggio del nucleo atomico abbiamo ricavato l’espressione teorica :
                
e, con la correzione dovuta alla presenza dei deutoni  il raggio dell’orbita di confine del nucleo vale quindi :

la forza d’interazione nucleare risulta :
       
Per valutare l’energia fornita dal trasferimento dei neutroni, tenendo presente che ciascuno di essi si muove in uno spazio rotante diverso,
si dovrebbe fare la somma di tutti i contributi, ossia :
            
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Noi non eseguiamo la somma, ma ci limitiamo ad assumere il valore medio tra l’energia fornita dal primo e l’ultimo trasferimento.
Per il primo si ha :

Essendo praticamente uguale a zero l’energia fornita dall’ultimo neutrone, che porta alla condizione di equilibrio, quella fornita da  50 
trasferimenti si può assumere  :         
Dopo aver completato il trasferimento dei 50 neutroni attivi e l’assestamento del nucleo sintetizzato, l’energia di eccitazione che si rende
disponibile sarà data da quella fornita dal trasferimento più quella liberata dalla sintesi del nucleo satellite, che coincide con l’energia di
legame dell’isotopo   Sn₅₀¹²⁹  dalla quale bisogna però detrarre l’energia di sintesi dei deutoni orbitali, in quanto sono stati utilizzati
quelli già presenti nell’isotopo di partenza    Fm₁₀₀²⁵⁸  .  Si ha dunque l’energia disponibile per l’estrazione :

              E= EZN(50 ; 129) + Et50n– I(50 ; 129) ⋅ 2,2246 MeV =

                                  = 1082. 86 + 95.4875 – 29 ⋅ 2.2246 = 1113.834 MeV

Per avere il nucleo  Sn₅₀¹²⁹  sul raggio di confine del nucleo iniziale, la configurazione dei livelli ci dice che bisogna spostare 129
unità di massa dal quarto livello al sesto e l’energia che bisogna fornire vale quindi :

Per allontanare il nucleo sintetizzato dall’orbita di confine fino alla distanza R = ∞ , in modo che sia indipendente dallo spazio rotante,
sarà necessario compiere un lavoro contro la forza nucleare dato da :
        
L’energia disponibile per l’estrazione, dopo il trasferimento sul confine, vale :

                                      E = Ed– ESn4/6 = 592.302 MeV

L’energia liberata dal processo dopo l’allontanamento dei nuclei sarà :

                              EFm/Sn-Sn = E – LSn6/∞ = 178.062 MeV

Si noti l’inutilità, ai fini del calcolo, del trasferimento del nucleo satellite sul sesto livello, che è stata considerata per maggiore chiarezza
dell’esposizione.  Lo stesso risultato si ottiene calcolando direttamente il lavoro di estrazione dal quarto livello, che vale :
      
Consideriamo ora la scissione asimmetrica, che, come abbiamo visto, porta ai nuclei :

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((8 27. 730)/(827. 91)) Sr₃₈⁹⁸ ((97.92864)/(97.92845)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 0+2 0+1 1+0 ((5.867M)/(β⁻653ms))

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 303. 21)/(1303. 3)) Sm₆₂¹⁶⁰ ((159.93526)/(159.93514)) 62n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+15 1+3 1+0 ((2.830M)/(β⁻9.60s))

      
Per quanto riguarda la distanza di equilibrio tra i due nuclei, si deve tenere presente che, ai fini del calcolo, la scelta è ininfluente, in
quanto
ci troviamo in uno spazio conservativo. Scegliamo quindi il raggio dell’orbita di confine.
Dalla tavola dei nuclidi (  Art.77N    ) vediamo che entrambi i nuclei hanno il settimo livello come confine. I valori dei raggi nucleari
risultano dunque :

la forza d’interazione nucleare risulta :
             
Si tenga presente che le due forze non sono riferite allo stesso sistema, ma a due possibili condizioni di equilibrio, ugualmente probabili.
Si deve infatti considerare che lo spazio rotante nucleare, come qualsiasi altro, ha le orbite stabili quantizzate e quindi è possibile avere
diverse condizioni di equilibrio.
Ci troviamo, a questo punto, con un sistema di nuclei doppio che può essere considerato, arbitrariamente, formato da un nucleo di numero
atomico uguale a  Z₂ = 38  in orbita nello spazio rotante generato da un nucleo attivo formato da  Z₁ = 62  neutroni attivi,
oppure da un nucleo di numero atomico  Z₁ = 62  in orbita nello spazio rotante generato da un numero di neutroni attivi uguale a
Z₂ = 38 .

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Per il calcolo si può procedere considerando separatamente i due sistemi e assumere come energia liberata dalla fissione il valore medio.

Consideriamo la prima reazione con trasferimento di 38 neutroni attivi e 62 che restano nel centro dello spazio rotante iniziale.
Il primo trasferimento fornisce l’energia :

Assumendo uguale a zero l’energia fornita dall’ultimo neutrone trasferito, con 38 neutroni si può ritenere l’energia fornita pari a :

Dopo aver completato il trasferimento dei  38  neutroni attivi e l’assestamento del nucleo che è stato sintetizzato, l’energia che si rende
disponibile sarà data da quella fornita dal trasferimento più quella fornita dalla sintesi del nucleo satellite, che coincide con l’energia di
legame dell’isotopo  Sr₃₈⁹⁸  alla quale bisogna però detrarre l’energia di sintesi dei deutoni orbitali, in quanto sono stati utilizzati quelli
già presenti nell’isotopo di partenza  Fm₁₀₀²⁵⁸  . Si ha dunque :

E= EZN(38 ; 98)+Et38n–I(38 ; 98)⋅2,2246 MeV = 8 27. 730+72.571–22⋅2,2246 = 851.360 MeV_

L’energia che bisogna fornire al nucleo   Sr₃₈⁹⁸ per portarlo dal quarto livello al punto di equilibrio, che coincide con la distanza
RZP7(62 ; 160)  risulta :
           
Per estrarre il nucleo sintetizzato dall’orbita di raggio  RZP7(62 ; 160)  si dovrà compiere il lavoro :

L’energia disponibile per l’estrazione vale :          E = E– ESr4/7 = 315.357 MeV

L’energia liberata dal processo dopo l’allontanamento dei nuclei vale :

                                   EFm/Sm-Sr = E – LSr7/∞ = 57.354 MeV

Consideriamo ora il secondo processo, che prevede il trasferimento dei  62  neutroni, lasciandone sul posto  38  . Si avrà :
                      
                    Ed = EZN(62 ; 160)+ Et62n–I(62 ; 160)⋅2.2246 MeV =

                                = 1 303. 21+118.405–36⋅2.2246 = 1341.529 MeV

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L’energia che bisogna fornire al nucleo  Sm₆₂¹⁶⁰  per portarlo dal quarto livello al punto di equilibrio sul settimo livello risulta :

il lavoro che si deve compiere per l’estrazione :

L’energia liberata dal processo dopo l’allontanamento dei nuclei vale :

                      EFm/Sr-Sm = E– ESm4/7 – LRb7/∞ = 345.035 MeV

Essendo le due configurazioni speculari, sono ugualmente probabili e quindi l’energia sviluppata dal processo sarà uguale al valore medio

                     EF = (1/2) ⋅ (EFm/Sr-Sm + EFm/Sm-Sr) = 201.195 MeV

A questo punto notiamo che, i nuclei sintetizzati, prima di separarsi si trovano con un grande eccesso di energia, rispetto al valore
richiesto
per l’equilibrio, ed un enorme eccesso di deutoni in orbita rispetto al valore corrispondente alla condizione di massima
stabilità,
precisamente :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3   4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((8 27. 730)/(827. 91)) Sr₃₈⁹⁸ ((97.92864)/(97.92845)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 0+2 0+1 1+0 ((5.867M)/(β⁻653ms))

L’isotopo   Sr₃₈⁹⁸  , presenta già una naturale tendenza ad emettere neutroni e quindi, utilizzando parte dell’energia di eccitazione
disponibile, non appena è terminata la sintesi, ” prima ancora di separarsi scinde due deutoni “ i quali liberano due protoni, che si
fermano nel nucleo, e due neutroni che, con l’energia di eccitazione acquisita già precedentemente , raggiungono la velocità di fuga e
fuoriescono dal nucleo.
Dopo breve tempo si scinde ancora un deutone con fuoriuscita di un altro neutrone e il nucleo si trasforma nell’isotopo  Sr₃₈⁹⁵  con
la seguente configurazione (   Art.77N   ).

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3   4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((812. 266)/(812. 16)) Sr₃₈⁹⁵ ((94.91925)/(94.91936)) 38n 2+0 8+0 6+6 1+12 1+1 1+0 0+0 ((6.089M)/(β⁻23.90s))

Gli eventi che si verificano per realizzare la trasmutazione sono :
— scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 3 , con assorbimento dell’energia :

— scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 5 , con assorbimento dell’energia :
              
— scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 6 , con assorbimento dell’energia :
            
— transizione di un protone dal livello 7 al 3 con liberazione dell’energia :
            
L’energia complessivamente richiesta per l’emissione di tre neutroni vale quindi :

                 E3n→∞ = En3/∞ + En5/∞ + En6/∞– Ep7/3 = 15.48224 MeV

In ottimo accordo con il valore sperimentale, uguale a 15.5554 MeV

L’energia teorica liberata dalla fissione risulta :

                       EF = 201.195 MeV– 15.48224 MeV = 185.713 MeV

Si noti che i neutroni non vengono emessi spontaneamente, e quindi in realtà essi, quando vengono emessi, non forniscono energia,
ma assorbono dall’energia di eccitazione posseduta dal nucleo (prima ancora di dividersi) una quantità uguale al valore necessario per
poter raggiungere la velocità di fuga dall’orbita.
E’ chiaro che questa energia viene sottratta dal valore dell’energia cinetica acquisita dal nucleo dopo la separazione. Dunque, se non
venissero emessi i neutroni, l’energia fornita dal singolo evento di fissione sarebbe maggiore del valore che abbiamo calcolato
,
che comunque coincide con quello sperimentale.

E’ da tenere presente che, anche se si presenta vantaggioso dal punto di vista energetico, il trasferimento di un neutrone attivo dal centro
dà origine a un nucleo inizialmente squilibrato, con una particella in eccesso sulle orbite, quindi con tendenza iniziale a riportare il sistema
all’equilibrio, riportando il neutrone al punto di partenza.
L’energia fornita dall’ultimo neutrone trasferito è molto bassa e non è sufficiente per far superare al nucleo satellite la velocità di fuga.
Il nucleo satellite nella condizione di equilibrio finale è molto eccitato, molto vicino alla velocità di fuga ( infatti talvolta si verifica una
fissione spontanea ), ma non la raggiunge.

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Per questa ragione, il processo per poter iniziare necessita di un’energia di attivazione, che può essere fornita attraverso un’onda
elettromagnetica oppure facendo assorbire al nucleo un neutrone sul quarto livello ( dove si trova in equilibrio il nucleo satellite ),
che fornisce l’energia :
  
E’ chiaro che, se si verifica En∞/7 > Ecr = energia mancante per generare la fuga è sufficiente inviare un neutrone
avente energia cinetica praticamente uguale a zero, comunque coincidente con il valore associato all’agitazione termica ( per questo
il 
neutrone è indicato come neutrone termico).
Se invece risulta   En∞/7 < Ecr  , il neutrone inviato dovrà possedere un’energia iniziale  En0  tale che risulti :

                                        En∞/7 + En0 > Ecr .

In questo caso il neutrone viene detto veloce.
Fissato il valore   Z  del numero di neutroni attivi centrali del nucleo, la tendenza a dividere nuovamente il deutone, appena sintetizzato
dal neutrone trasferito sull’orbita, aumenta con il numero dei deutoni già presenti sulle orbite, e dunque con il rapporto   I/Z .
Tenendo presente che la fissione, come l’emissione   α  si manifesta solo con nuclei che presentano un numero isotopico  I < I₀  ,
possiamo anche dire che il valore dell’energia di eccitazione aumenta con la stabilità del nucleo considerato.
In generale quindi, se viene fissato il numero atomico   , l’energia di eccitazione aumenta con l’aumentare del numero di massa   ,
mentre, se si fissa il numero di massa   , aumenta con il diminuire del numero atomico   .
In figura è riportato il valore dell’energia di eccitazione dei nuclei più comuni.
energia di eccitazione

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Dal diagramma vediamo che, nell’esempio da noi considerato  Fm₁₀₀²⁵⁸  l’energia di eccitazione risulta  Ecr ≃ 2.9 MeV.

Questa energia può essere fornita dal nucleo stesso, con una transizione isomerica, e in
questo caso si ha fissione spontanea,
oppure dall’esterno con un qualsiasi mezzo.
Talvolta si usa irradiare l’isotopo da scindere con raggi  γ  aventi un’energia   Eγ ≥ Ecr .
Più in generale si usa far assorbire un neutrone all’isotopo avente numero di massa (A – 1) . Si ottiene così l’isotopo desiderato di
numero di massa   , che, immediatamente dopo la sintesi, dispone di un surplus di energia dato da :

                                             Ed = En∞/p+ E+ En0

dove   En0   è l’energia cinetica del neutrone,   ED   l’energia liberata dalla sintesi del deutone e  En∞/p  l’energia di legame del
neutrone catturato sul livello   , data dalla relazione :        
L’energia  Ed  lascia il nucleo  A  eccitato (purtroppo) per un tempo generalmente di valore molto piccolo e quindi viene emessa quasi
subito come raggio  γ  di pari energia.
La probabilità che il fotone  γ  esca dal nucleo è molto alta e in questo caso il nucleo si diseccita senza nessun effetto vistoso.
In alcuni casi esso interagisce con il nucleo e viene utilizzato come energia di attivazione della fissione.
dovendo essere  Ed ≥ Ecr  , si ricava il valore minimo dell’energia cinetica del neutrone :

come esempio numerico consideriamo l’isotopo   U₉₂²³⁶ .
Dal diagramma si ricava un’energia di attivazione    Ecr(92 ; 236)   uguale a circa  6,2 MeV.
Le configurazioni dei due isotopi  U₉₂²³⁵  e  U₉₂²³⁶  sono le seguenti (    Art.77N     ).

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 783. 54)/(1783. 9)) U₉₂²³⁵ (235.04427)/(235.043930) 92n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 0+17 0+0 ((4.6802M)/
(α7.04⋅10⁸a)/(0.7204%)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ (236.04599)/(236.045568) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

Il neutrone incidente giunge sul quarto livello dell’isotopo   U₉₂²³⁵  e, con uno dei protoni presenti, sintetizza un deutone.
Il quarto livello si trova così in sovrassaturazione e quindi un protone si sposta sul sesto livello.
L’energia che viene liberata con l’assorbimento del neutrone risulta :

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Il trasferimento del protone dal quarto al sesto livello assorbe :

L’energia disponibile per l’attivazione della fissione risulta :

                             Ed = En∞/4 + E+ Ep4/6 = 6.47974 MeV

l’energia cinetica che dovrà avere il neutrone incidente sarà :

                                     En0 ≥ Ecr – E= – 0.27974 MeV

Questo risultato ci dice che in questo caso è sufficiente un neutrone termico, ossia con energia cinetica confrontabile con quella associata
all’agitazione termica.
Consideriamo inizialmente la fissione simmetrica :     U₉₂²³⁶ → 2 ⋅ Pd₄₆¹¹⁸
I nuclei prodotti hanno la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 991. 554)/(991. 90)) Pd₄₆¹¹⁸ ((117.91935)/(117.91898)) 46n 2+0 8+0 10+4 0+16 0+3 0+2 0+1 ((4.163M)/(β⁻1.90s))

con fattore di forma :                   

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ ((236.04599)/(236.045568)) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

Il fattore di forma dell’isotopo di partenza U₉₂²³⁶ vale :   
Per il primo neutrone trasferito si ha :
              
Con il trasferimento di 46 neutroni attivi in orbita l’energia liberata sarà :

A questo valore dobbiamo aggiungere l’energia sviluppata dalla sintesi del nucleo in orbita, detraendo l’energia di sintesi dei suoi deutoni,
che erano già presenti in orbita come tali . Si ottiene così :

             E= EZN(46 ; 118) + E46n0/4 – I(46 ; 118)⋅2,2246 MeV =

                                  = 991.90 + 69.74067 – 26⋅2.2246 = 1003.801 MeV

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Considerando che la sintesi del nucleo in orbita è stata realizzata sul quarto livello dell’attuale nucleo  Pd₄₆¹¹⁸ , calcoliamo l’energia
di estrazione delle 118 unità di massa, del nucleo orbitante  Pd₄₆¹¹⁸ , dalla quarta orbita.
Si ha dunque :   
L’energia con la quale i due nuclei si allontanano vale quindi :

                               EU/Pd-Pd = E– EPd4/∞ = 183.074 MeV

Verifichiamo il risultato considerando l’energia di estrazione uguale a quella che il nucleo   Pd₄₆¹¹⁸   sviluppa quando, partendo da
una distanza  d = ∞  va a posizionarsi sulla quarta orbita dell’altro   Pd₄₆¹¹⁸ .
Il raggio dell’orbita vale :
        
la forza d’interazione tra i due nuclei risulta :
          
L’energia che si deve spendere per separarli sarà :
             
L’energia fornita dalla fissione, fino alla separazione dei due nuclei sarà quindi :


EU/Pd-Pd = Ed– LPd7/∞ = 188.995
MeV


Praticamente coincidente con il valore determinato per altra via.

Analizziamo ora la fissione asimmetrica più probabile

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ ((236.04599)/(236.045568)) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

L’isotopo U₉₂²³⁶ presenta un rapporto :      
Per cercare la coppia di prodotti della fissione più probabile, in base ai risultati teorici che abbiamo ottenuto ipotizziamo un valore iniziale

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Z₁ = 38  e quindi si ottiene :     
Si avrà quindi la coppia :

A₁(38 ; 97)  ;  A₂(54 ; 139)  con i rapporti :         k₁ = 1.809524  ;  k₂ = 1.741935

Vediamo se migliorano i rapporti diminuendo  Z₁ . Si ottiene :  
e quindi si ha la coppia :       A₁(37 ; 95)  ;  A₂(55 ; 141)     con i rapporti :

Quest’ultima coppia fornisce rapporti più vicini a quelli teorici e quindi risulta più probabile ; si formeranno i nuclei :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1169. 28)/(1169. 5)) Cs₅₅¹⁴¹ ((140.92028)/(140.920046)) 55n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+11 0+2 0+0 ((5.253M)/(β⁻24.84s))

         

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((80 4. 166)/(803. 69)) Rb₃₇⁹⁵ ((94.92878)/(94.92930)) 37n 2+0 8+0 4+7 0+12 1+1 1+1 0+0 ((9.229M)/(β⁻377.7ms))

        

E’ da osservare che la reazione  U₉₂²³⁶ → Rb₃₇⁹⁵ + Cs₅₅¹⁴¹  si può realizzare sia spostando in orbita  37  neutroni

attivi, lasciandone nel centro altri  55  , che spostandone  55  , lasciando  37  unità nel centro.
Data la simmetria del sistema, non abbiamo alcun motivo per privilegiare una delle due soluzioni, per cui pensiamo che vengano adottate
entrambe e che, come osservatori esterni, il risultato che osserviamo sia quello medio fornito dalle due reazioni, realizzate con la stessa
probabilità.
I valori dei raggi della quarta orbita nucleare risultano :
  
Sulle due orbite la forza d’interazione nucleare risulta :

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Consideriamo la prima reazione con trasferimento di  37 neutroni attivi e  55  che restano nel centro dello spazio rotante iniziale.
L’energia fornita complessivamente dal trasferimento dei neutroni vale:
        
                  EZN(37 ; 95) = E₀(37) ⋅ α(58) + (N– Z) ⋅ ED =

                                                = 196,70 MeV ⋅ 3.851667 + 21⋅2,2246 MeV = 804,34 MeV

L’energia libera disponibile per l’estrazione del nucleo vale :

                  E= EZN(37 ; 95) + E37n0/4 – I(37 ; 95)⋅2.2246 MeV =

                             = 804,34  + 56.0958 –21⋅2.2246 =813.72 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo   Rb₃₇⁹⁵  per estrarlo dalla quarta orbita dello spazio rotante del   Cs₅₅¹⁴¹  , di raggio
RZP4(55 ; 141) , risulta :
         
L’energia liberata dalla fissione risulta :     EU/Cs-Rb = E– ERb4/∞ = 86.319 MeV

Utilizzando la forza d’interazione nucleare, il lavoro che si deve compiere per la separazione risulta :
           
L’energia eccedente risulta :              E = E– LRb4/∞ = 91.558 MeV

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Consideriamo ora il secondo processo, che prevede il trasferimento dei  55  neutroni, lasciandone sul posto  37  . Si avrà :

           
EZN(55 ; 141) = E₀(55)⋅α(86) + I⋅ED = 244,80 MeV·4.495556 + 31⋅2,2246 MeV = 1169,5 MeV

           E= EZN(55 ; 141) + E55n0/4 – I(55 ; 141)⋅2,2246 MeV =

                     = 1169.5 + 83.3856 – 31⋅2.2246 MeV = 1183.923 MeV

L’energia che si dovrà fornire all’isotopo   Cs₅₅¹⁴¹  per estrarlo dal quarto livello dello spazio rotante del nucleo  Rb₃₇⁹⁵  vale :
          
L’energia eccedente, che viene liberata, sarà :       EU/Rb-Cs = E– ECs4/∞ = 317.214 MeV

Il valore medio fornito dalla scissione delle due configurazioni risulta :

                     EF = (1/2) ⋅ (EU/Cs-Rb + EU/Rb-Cs) = 201.766 MeV

il lavoro che si deve compiere per l’estrazione, utilizzando le forze nucleari risulta :
         
L’energia liberata dal processo dopo l’allontanamento dei nuclei vale :  EU/Rb-Cs = E– LCs4/∞ = 323.495 MeV

Il valore medio fornito dai due processi risulta :
                                                EU/Cs-Rb = 207.526 MeV

L’accordo tra i risultati ottenuti con le due vie è più che accettabile.

L’isotopo    Rb₃₇⁹⁵  ,  subito dopo la sintesi, prima della separazione, presenta un numero isotopico     I = 21 >> I₀    perciò
presenta una forte tendenza ad emettere direttamente neutroni e quindi ne emette due, trasformandosi nello isotopo  Rb₃₇⁹³ , che
presenta la seguente configurazione nucleare .

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((794. 267)/(794. 31)) Rb₃₇⁹³ ((92.92208)/(92.92204)) 37n 2+0 8+0 6+6 0+12 1+1 1+0 0+0 ((7.466M)/(β⁻5.84s))

partendo dal nucleo :

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((80 4. 166)/(803. 69)) Rb₃₇⁹⁵ ((94.92878)/(94.92930)) 37n 2+0 8+0 4+7 0+12 1+1 1+1 0+0 ((9.229M)/(β⁻377.7ms))

Dal confronto fra le due configurazioni vediamo che l’energia assorbita dai neutroni emessi risulta dalle seguenti reazioni :

— Sul terzo livello dell’isotopo  Rb₃₇⁹⁵ si scinde un deutone con l’espulsione del neutrone, lasciando sull’orbita il protone.
L’energia assorbita vale    
— Sul sesto livello si scinde il deutone che espelle il neutrone, mentre il protone si sposta sul terzo livello per saturarlo.
Il neutrone assorbe :
      
il trasferimento del protone libera l’energia :
         
I due neutroni emessi assorbono quindi complessivamente :

                E2nRb/∞ = En3/∞ + En6/∞ – Ep6/3 = 9.9131 MeV

in ottimo accordo con il valore sperimentale uguale a 9.919 MeV
L’energia realmente liberata dalla fissione risulta :

                          EF = EU/Cs-Rb – E2nRb/∞ = 197.613 MeV

 

Consideriamo ora l’isotopo più stabile dell’uranio, U₉₂²³⁸ , che si presenta con la seguente configurazione nucleare.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 801. 83)/(1801. 7)) U₉₂²³⁸ (238.05143)/(238.050788) 92n 2+0 8+0 18+0 8+12 1+24 0+18 1+0 ((4.270M)/
(α4.468⋅10⁹a)/(99.2742%)

il fattore di forma vale :      
25
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dal diagramma che abbiamo riportato si ricava l’energia di attivazione che risulta uguale a    Ecr(92 ; 239) = 6.5 MeV.
Dalla configurazione dei livelli nucleari vediamo che, se inviamo un neutrone sul quinto livello, con il protone presente viene sintetizzato
un deutone che, utilizzando parte dell’energia liberata, si trasferisce sul sesto livello, sintetizzando così l’isotopo   U₉₂²³⁹  , con la
seguente configurazione.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 806. 43)/(1806. 5)) U₉₂²³⁹ ((239.05436)/(239.054293)) 92n 2+0 8+0 18+0 8+12 0+24 0+19 1+0 ((1.2613M)/(β⁻23.45m))

con fattore di forma  
L’energia sviluppata dalla cattura del neutrone e sintesi del deutone risulta :
          
l’energia assorbita dal trasferimento del deutone dal quinto al sesto livello :
         
L’energia complessivamente liberata sarà :

                                E238/239 = En∞/5 – ED5/6 = 4.6075 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale   4.80638 MeV

Per attivare la fissione è quindi necessario che il neutrone abbia un’energia cinetica iniziale :

                               E₀ > Ecr(92 ; 239) – E238/239 = 1.8925 MeV

A questo punto vediamo che l’isotopo  U₉₂²³⁹  presenta sulle orbite un deutone in eccesso rispetto al numero associato alla massima
stabilità ( 54 ) e quindi, per aumentare la stabilità, lo riduce emettendo un  β⁻.
Si trasforma così nell’isobaro   Np₉₃²³⁹  che, con un’altra emissione  β⁻ genera l’isotopo  Pu₉₄²³⁹  con la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 806. 73)/(1806. 9)) Pu₉₄²³⁹ ((239.05236)/(239.052163)) 94n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 1+17 0+0 (5.24452M)/(α-FS24110a)

che, con la cattura di un neutrone, si trasforma in  Pu₉₄²⁴⁰

26
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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 813. 24)/(1813. 4)) Pu₉₄²⁴⁰ ((240.05 404)/(240.053813)) 94n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 0+18 0+0 (5.25576M)/(α-FS6561a)

avente coefficiente di riempimento            
L’energia sviluppata dal neutrone catturato sul sesto livello con la sintesi di un deutone vale :
                
L’energia di attivazione della fissione dalle curve risulta  Ecr = 4.9 MeV. Per produrre la fissione sono quindi sufficienti neutroni
termici. Analizziamo quindi la fissione di questo isotopo, iniziando dalla simmetrica.
si hanno due nuclei di    Ag₄₇¹²⁰

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((100 7. 96)/(1007. 4)) Ag₄₇¹²⁰ ((119.91823)/(119.91879)) 47n 2+0 8+0 8+5 0+16 1+3 1+2 1+0 ((8.306M)/(β⁻1.23s))

L’energia liberata dal trasferimento in orbita del primo neutrone attivo vale :
         
Con il trasferimento di 47 neutroni attivi in orbita l’energia liberata sarà :
             
Dopo la sintesi, l’energia libera disponibile risulta :

            E= EZN(47 ; 120) + E47n0/4 – I(47 ; 120)⋅2.2246 MeV =

                      = 100 7. 96 +77.2196 –26⋅2.2246 = 1027.34 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo  Ag₄₇¹²⁰  per estrarlo dal quarto livello risulta :
              
l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                               EF = E– EAg4/∞ = 182.803MeV

Utilizzando la forza d’interazione nucleare, si ottiene :

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Il lavoro che si deve compiere per la separazione risulta :
            
L’energia eccedente, che viene liberata :      E = E– LAg4/∞= 188.885 MeV

Consideriamo ora la fissione asimmetrica più probabile.

Il rapporto tra numero atomico e numero isotopico dell’isotopo   Pu₉₄²⁴⁰  vale :     k = 94/52 = 1.807692

Ipotizziamo inizialmente   Z₁ = 38  e otteniamo :  I₁ = Z₁/k = 21,021 →  21

si ricava così la coppia più probabile :    A₁(38 ; 97)    e   A₂(56 ; 143)   con le configurazioni :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((821. 514)/(821. 98)) Sr₃₈⁹⁷ ((96.92665)/(96.92615)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 1+1 0+1 1+0 ((7.539M)/(β⁻429ms))
Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1184. 43)/(1184. 3)) Ba₅₆¹⁴³ ((142.92051)/(142.920627)) 56n 2+0 8+0 14+2 0+16 1+11 0+2 0+0 ((4.234M)/(β⁻14.5s))

Consideriamo inizialmente il trasferimento in orbita di 38 neutroni attivi.
L’energia liberata vale :
          
Con il trasferimento di 38 neutroni attivi in orbita l’energia liberata sarà :
           
Dopo la sintesi, l’energia libera disponibile risulta :

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                   E= EZN(38 ; 97) + E38n0/4 – I(38 ; 97)⋅2.2246 MeV =

                        = 821. 514+62.4329-21⋅2.2246 = 837.230 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo  Sr₃₈⁹⁷ per estrarlo dal quarto livello :
             
l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                               EF = E– ESr4/∞ = 88.299 MeV

Considerando ora il trasferimento in orbita di 56 neutroni avremo :
             
Dopo la sintesi, l’energia libera disponibile risulta :

              E= EZN(56 ; 143) + E56n0/4 – I(56 ; 143)⋅2.2246 MeV =

                                    = 1184. 43 + 92.006 – 31⋅2.2246 = 1207.473 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo   Ba₅₆¹⁴³   per estrarlo dal quarto livello :
              
l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :         EF = E– EBa4/∞ = 314.751 MeV
Il valore medio fornito dalle due configurazioni risulta :

                    E = (1/2) ⋅ (88.299 + 314.751) = 201.525 MeV

Anche in questo caso, prima della separazione l’isotopo   Sr₃₈⁹⁷  espelle due neutroni, trasformandosi in :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((812. 266)/(812. 16)) Sr₃₈⁹⁵ ((94.91925)/(94.91936)) 38n 2+0 8+0 6+6 1+12 1+1 1+0 0+0 ((6.089M)/(β⁻23.90s))

partendo da :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((821. 514)/(821. 98)) Sr₃₈⁹⁷ ((96.92665)/(96.92615)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 1+1 0+1 1+0 ((7.539M)/(β⁻429ms))

Dal confronto fra le configurazioni, possiamo calcolare l’energia di estrazione dei due neutroni.

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— Sul sesto livello si scinde il deutone che lascia sull’orbita il protone ed espelle il neutrone.

— Sul terzo livello si scinde un deutone che lascia sull’orbita il protone mentre il neutrone viene espulso.

— Il terzo livello, non è più saturo e viene saturato dal protone che si sposta dal settimo livello.
L’energia assorbita dai due neutroni vale dunque :
   
Lo spostamento del protone dal settimo al terzo livello libera l’energia :
           
L’emissione dei due neutroni assorbe quindi complessivamente :

                                E2n = E2n3-6/∞ – Ep7/3 = 9.2266 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale uguale a   9.603 MeV
L’energia liberata dalla fissione risulta :

                E– E2n = 201.525MeV  – 9.2266 MeV = 192.298 MeV

Un isotopo importante per la fissione è il  Th₉₀²³²  che presenta si presenta con la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1766. 55)/(1766. 7)) Th₉₀²³² ((232.03820)/(232.038055)) 90n 2+0 8+0 18+0 10+11 0+24 0+17 0+0 (4.0816M)/
(α1.4⋅10¹⁰a)/(100%)

Se cattura un neutrone sul quarto livello, con uno dei protoni presenti, genera un deutone che si ferma sull’orbita.
Dato però che il livello diventa sovrasaturo, parte dell’energia liberata viene impiegata per spostare un protone sul quinto livello, dal quale
un deutone, con l’energia ancora disponibile, si sposta sul sesto livello.
L’energia liberata dal neutrone assorbito, dopo la sintesi del deutone, vale :
             
l’energia assorbita dal protone :
             
l’energia assorbita dal trasferimento del deutone :
           
l′energia complessivamente liberata sarà :

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                      E₂₃₂₋₂₃₃ = En∞/4 – Ep4/5 – ED4/5 = 4.58873 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale 4.786 MeV del lavoro di estrazione di un neutrone dall’isotopo formato,  Th₉₀²³³ ,
che presenta la seguente configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1771. 13)/(1771. 5)) Th₉₀²³³ ((233.0 4195)/(233.041582)) 90n 2+0 8+0 18+0 8+12 1+23 0+18 0+0 ((1.2461M)/(β⁻21.83m))

Per Z = 90  il numero di massa corrispondente alla massima stabilità vale :
                 
Il   Th₉₀²³³  ha dunque un deutone in eccesso e quindi emette un  β⁻ e diventa :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 772. 78)/(1771. 9)) Pa₉₁²³³ ((233.03934)/(233.040247)) 91n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+16 0+0 ((570.3M)/(β⁻26.975d))

e con un’altra emissione  β⁻ si ottiene l’isotopo  U₉₂²³³

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 772. 46)/(1771. 7)) U₉₂²³³ ((233.03884)/(233.039635)) 92n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 1+15 0+0 ((4.9087M)/(α1.592⋅10⁵a))

che presenta un’energia di attivazione    Ecr = 5.5 MeV

Con la cattura di un neutrone sul sesto livello si trasforma nell’isotopo   U₉₂²³⁴ .

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 778. 94)/(1778. 6)) U₉₂²³⁴ (234.04055)/(234.040952) 92n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 0+16 0+0 ((4.8598M)/α2.455⋅10⁵a)/(0.0054%)

L’energia liberata vale :   

Essendo   En∞/6 > Ecr  sono sufficienti neutroni termici per attivare la fissione.
Il fattore di forma vale :    
Esaminiamo prima la fissione simmetrica, che, prima della scissione, forma i due isotopi :

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 984. 893)/(984. 89)) Pd₄₆¹¹⁷ ((116.91784)/(116.91784)) 46n 2+0 8+0 10+4 0+16 1+2 0+2 0+1 ((5.758M)/(β⁻4.30s))

Il trasferimento in orbita del primo neutrone attivo fornisce l’energia :
            
Con il trasferimento di 46 neutroni attivi in orbita l’energia liberata sarà :
            
Dopo la sintesi, l’energia libera disponibile risulta :

                  E= EZN(46 ; 117) + E47n0/4 – I(46 ; 117)⋅2.2246 MeV =

                              = 984. 893 + 70.3337 – 25⋅2.2246 = 999.612 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo  Pd₄₆¹¹⁷  per estrarlo dal quarto livello :
          
l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                                 EF = Ed  – EPd4/∞ = 185.841 MeV

Verifichiamo il risultato utilizzando le forze d’interazione nucleare.
La distanza tra i nuclei è uguale al raggio della quarta orbita, che vale :
           
La forza d’interazione risulta quindi :

L’energia che si deve spendere per separarli sarà :
                      
L’energia fornita dalla fissione, fino alla separazione dei due nuclei sarà :

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                              EU/Pd-Pd = E– LPd4/∞ = 191.71 MeV

Consideriamo ora la fissione asimmetrica con i prodotti più probabili.       k = Z₀/I₀ = 92/50 = 1.84

Assumendo inizialmente   Z₁ = 38  si ha :   I₁ = Z₁/k = 20,652 → 21

Si ottiene          k₁ = 1.8095  ;  k₂ = 1.8621

Spostandoci di una unità, abbiamo   A₁(37 : 94 e  A₂(55 : 140)   e i rapporti risultano : k₁ = 1.8333 ; k₂ = 1.85
Esaminiamo quindi quest’ultimo caso.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((798.018)/(798. 31)) Rb₃₇⁹⁴ ((93.92672)/(93.92640)) 37n 2+0 8+0 6+6 0+12 0+1 1+1 0+0 ((10.281M)/(β⁻2.702s))
((1 163. 66)/(1164.0)) Cs₅₅¹⁴⁰ ((139.91765)/(139.917282)) 55n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+11 1+1 0+0 ((6.220M)/(β⁻63.7s))

           
Con il trasferimento di 37 neutroni attivi in orbita l’energia liberata sarà :
                 
Dopo la sintesi, l’energia libera disponibile risulta :

                      E= EZN(37 ; 94) + E37n0/4 – I(37 ; 94)⋅2.2246 MeV =

                                                  = 798.018 + 56.573 – 20⋅2.2246 = 810.099 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo  Rb₃₇⁹⁴  per estrarlo dalla quarta orbita dello spazio rotante dell’isotopo  Cs₅₅¹⁴⁰ vale :
       
l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :           EF = E– ERb4/∞ = 90.999 MeV

Consideriamo ora l’isotopo  Cs₅₅¹⁴⁰  sintetizzato sulla quarta orbita del  Rb₃₇⁹⁴ .

                          E55n0/4 ≃ (1/2) ⋅ En0/4 ⋅ 55 = 84.095 MeV

                      E= EZN(55 ; 140) + E55n0/4 – I(55 ; 140)⋅2.2246 MeV =

                                   = 1163. 66 + 84.095 – 30⋅2.2246 MeV= 1181.017 MeV

L’energia che bisogna fornire al nucleo Cs₅₅¹⁴⁰ per estrarlo dal quarto livello :
             
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l’energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                                    EF = E– ECs4/∞ = 320.454 MeV

Il valore medio fornito dalle due configurazioni risulta :

                                  E =(1/2)⋅(90.999 + 320.454) = 205.726 MeV

Per concludere, osserviamo che invece di analizzare separatamente le due configurazioni e fare la media dei risultati, proprio perchè siamo
in presenza di uno spazio conservativo, è possibile considerare un solo sistema nel quale la sintesi del nucleo satellite si realizza a una
distanza uguale alla somma dei raggi di confine. Anche se può apparire tale, questo non è un artificio matematico per semplificare il calcolo,
ma un calcolo unico riferito a un istante in cui i due i sistemi assumono la stessa configurazione.
Un istante prima di allontanarsi definitivamente i due nuclei in entrambi i casi assumono infatti necessariamente la configurazione in cui
si ” toccano “ con le rispettive orbite di confine. Questa rappresenta per entrambi i casi l’ultima configurazione del nucleo di partenza
prima della fissione.

34
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 Art.88a — Esempi pratici di calcolo teorico dell’energia liberata dalla fissione nucleare — Antonio Dirita

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