Art.76a — Teoria del nucleo atomico, calcolo teorico dell’energia di legame dei singoli nucleoni — Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Prima di utilizzare il modello nucleare proposto nell’  Art.76    per ricavare la carta dei nuclidi con una dettagliata descrizione della struttura
interna, riassumiamo brevemente il percorso attraverso il quale sono state ricavare le relazioni che utilizzeremo.

Trattando la teoria generale degli spazi rotanti atomico e nucleare, abbiamo ricavato l’espressione teorica dell’energia di legame
considerando tutte le particelle in moto sulle orbite tutte uguali tra loro e questo ha consentito di mettere in evidenza una caratteristica
fondamentale di questi spazi rotanti :
La massa centrale, generatrice dello spazio rotante, fornisce a tutti i livelli lo stesso valore di energia
potenziale, che abbiamo
definito ” energia per strato “.
Abbiamo così ricavato il valore teorico :    
in cui  K² è il valore dello spazio rotante,  R₁  è il valore del raggio dell’ orbita fondamentale (associata al numero quantico p = 1)
ed  m1  è il valore della massa elementare in moto sulle orbite.
Assumendo come unità di riferimento lo spazio rotante generato dal protone :

                                          Kp² = 253,2638995 m³/sec²

posto :                                                                                Z = K²/Kp²
abbiamo dimostrato che, per qualsiasi spazio rotante, si ha :      
dove  R₁₁  è il valore del raggio dell’orbita fondamentale dello spazio rotante associato a  Z = 1 .
Sostituendo, si ottiene l’espressione teorica generale dell’energia per strato di qualsiasi spazio rotante :

Tralasciando, per il momento, gli spazi rotanti astronomici, che sono stati già trattati ampiamente, con riferimento solo agli spazi rotanti
atomici e nucleari, per i primi la particella in orbita è l’elettrone e quindi si ottiene :
       .
Essendo il numero di elettroni che saturano il livello ne = 2 ⋅ p² l’energia che lega il singolo elettrone sull’orbita sarà :
      
1
———————————————————————————————————————————————————————————————-
Tenendo conto che nella relazione non abbiamo introdotto alcun fattore correttivo, l’accordo dei risultati forniti con   p = ps  ( orbita
elettronica di confine dell’atomo ) con i valori sperimentali dell’energia di ionizzazione sono da ritenere più che buoni.
Per quanto riguarda il nucleo atomico, nella teoria generale abbiamo dimostrato che  lo spazio rotante viene generato da un numero
di
” neutroni attivi “ uguale a.

E’ stato inoltre dimostrato che i neutroni eccedenti si legano in volo ai protoni per sintetizzare dei deutoni, che restano in orbita ad
occupare i livelli nucleari periferici in sostituzione dei protoni con i quali si sono legati.
In definitiva, nel nucleo atomico le masse in orbita sono protoni e neutroni , per cui si può assumere  m₁ = m.

Studiando il deutone, abbiamo visto che, per realizzare l’equilibrio, e dunque la sintesi, si deve realizzare la condizione :

Essendo il deutone polarizzato (deuterio come aggregato neutro ) l’elemento fondamentale ( l’omologo dell’atomo di idrogeno presente
nella struttura atomica), utilizzando l’espressione ricavata per il raggio atomico (  Art.17   ), ricaviamo il raggio della parte penetrabile del
nucleo atomico:
     
e quindi il raggio dell’orbita associata al numero quantico p :
     
Per l’energia associata a ciascun livello dal nucleo centrale abbiamo ricavato la relazione approssimata  (  Art.74    ) :
   
L’energia che lega la singola particella in orbita sarà quindi :

Per ricavare l’espressione dell’energia nucleare   E0p(Z)  è stata ricavata ipotizzando una distribuzione uniforme sulle orbite
di particelle tutte
uguali tra loro.
Questa condizione nel nucleo atomico, per la presenza in orbita dei deutoni non può essere verificata rigorosamente e quindi è necessario
introdurre un piccolo fattore correttivo per tenerne conto.
Prendendo alcuni valori sperimentali si ottiene l’espressione definitiva dell’energia nucleare per strato che abbiamo
adottato  (  Art.75     ) :
   
Dove  s  vale sempre zero e si assume s = 1 solo per Z > 83

La tabella dei valori numerici che si ottengono è riportata nell’  Art.75a   .
2
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Nota l’energia per strato, per calcolare l’energia di legame di tutte le particelle in orbita, e quindi di
tutto il nucleo, sarà sufficiente 
considerare il numero dei livelli  α  realmente occupati.

Il numero di particelle elementari presenti sulle orbite è uguale al numero dei protoni più
i neutroni legati che formano i deutoni ; quindi
complessivamente uguale al numero  N
dei neutroni presenti in tutto il nucleo.

Si noti che, contrariamente a quanto normalmente viene affermato,
all’interno del nucleo atomico non esistono neutroni liberi, che come

sappiamo non sono stabili e si scinderebbero immediatamente.

I neutroni che vengono emessi dal nucleo atomico o che originano l’emissione    β  provengono tutti dalla
divisione dei deutoni.

Indicando con   np   il numero di protoni e con   nd   quello dei deutoni presenti sul livello   p  , essendo   2⋅p²  le particelle che
saturano il livello, il numero di livelli occupati sarà :
        
Ricordiamo dalla teoria generale degli spazi rotanti che tutte le masse che si muovono sulle orbite scorrono verso il centro per saturare
tutti i livelli interni prima di passare su quelli più esterni.
I nuclei stabili avranno quindi (teoricamente) tutti i livelli saturi, ad eccezione di quello esterno che potrebbe non esserlo per mancanza di
particelle.
In questi casi, indicando con ps , il numero di livelli saturi, quelli occupati sono ps più la frazione occupata di quello non saturo.
Sarà dunque :    
L’errore che si commette con questa relazione aumenta man mano che ci si allontana dai nuclei stabili.
Per avere l’energia di legame di tutto il nucleo, all’energia di legame dei livelli occupati, data dal prodotto    E₀(Z)⋅α(N)  , si deve
aggiungere il valore dell’energia che lega le particelle fra loro sulle orbite.

Abbiamo già dimostrato, sia nell’atomo che nel nucleo atomico, che l’energia che lega gli elettroni e i protoni fra loro è assolutamente
trascurabile rispetto a quella che li lega allo spazio rotante centrale.
Non è però trascurabile l’energia di legame dei deutoni e quindi, in definitiva l’energia di legame del nucleo sarà :


E(
MeV) = E₀(Z) · α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z)

3
———————————————————————————————————————————————————————————————-
Per esemplificare quanto abbiamo esposto, consideriamo alcuni esempi con diversi valori di   . La composizione dei livelli nucleari è
quella che abbiamo indicato nella tavola dei nuclidi  (  Art.77N   ) :

Ec(MeV)/Es(MeV)     Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p -T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
((2 16. 149)/(216. 68)) Mg₁₂²⁶ ((25.98316)/(25.982593)) 12n 2+0 8+0 0+2 0+0 0+0 0+0 0+0 ((st)/(11.01%))
(( 2 23. 661)/(223. 12)) Mg₁₂²⁷ ((26.98376)/(26.984341)) 12n 2+0 6+1 1+2 0+0 0+0 0+0 0+0 ((2.61009M)/(β⁻9.458m))

— isotopo Mg₁₂²⁶ :

neutroni centrali attivi :      Na = Z = 12

neutroni complessivi :               N = A – Z = 14

deutoni in orbita :                     nd = I = A – 2 ⋅ Z = 2

protoni in orbita :                      np = Z – nd = 10

Essendo i neutroni eccedenti non attivi, non danno alcun contributo alla stabilità del
nucleo e quindi costituiscono per il sistema una vera
e propria zavorra.

Per questo motivo la loro influenza negativa viene ridotta spostando spontaneamente i deutoni verso la periferia del nucleo man mano che
essi vengono sintetizzati.
I primi livelli nucleari vengono dunque occupati sempre dai protoni disponibili, fino alla saturazione, e i deutoni occupano quelli
più 
periferici.
nel nostro caso abbiamo 10 protoni che saturano i primi due livelli e 2 deutoni che passano sul terzo livello. Si ha quindi :

l’energia di legame risulta dunque :

In buon accordo con il valore sperimentale di 216. 68 MeV.

Per sintetizzare l’isotopo  Mg₁₂²⁷  , anche se, come abbiamo visto, il processo reale è diverso, diciamo che si aggiunge un neutrone
in orbita, il quale si lega a un protone per poter restare in equilibrio sull’orbita.

Sul secondo livello un protone si trasforma in deutone e abbiamo  (7p + 1d) , complessivamente  9 particelle elementari. Il livello
p = 2 si satura però con 8 particelle e quindi va in sovrasaturazione con conseguente perturbazione del bilancio
del momento angolare del sistema. Per ridurre la perturbazione indotta e cercare di ristabilire l’equilibrio, il protone in eccesso si sposta
sul terzo livello, lasciando il secondo saturo.
Il numero dei neutroni attivi posti al centro non è cambiato e quindi il nucleo è ancora quello di prima, con la stessa energia per strato, si
è verificata solo la sostituzione in orbita di un protone con un deutone.
Per il calcolo dell’energia di legame abbiamo :
          
                 E(MeV) = E₀(12)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z) =

                                     = 95.273 MeV ⋅ 2.277544 + 2,2246 ⋅ 3 = 223.6622 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 223. 12 MeV.

4
——————————————————————————————————————————————————————————————————

Ec(MeV)/Es(MeV)     Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p -T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
((4 82. 453)/(482. 07)) Mn₂₅⁵⁵ ((54.93764)/(54.93804)) 25n 2+0 8+0 9+4 1+1 0+0 0+0 0+0 st
((4 89. 521)/(489. 35)) Mn₂₅⁵⁶ ((55.93872)/(55.93890)) 25n 2+0 8+0 9+4 0+2 0+0 0+0 0+0 ((3.69557M)/(β⁻2.5789h))

— isotopo Mn₂₅⁵⁵ :
neutroni centrali attivi :                       Na = Z = 25

neutroni complessivi :                N = A – Z = 30

deutoni in orbita :                                   nd = I = A – 2 ⋅ Z = 5

protoni in orbita :                                    np = Z – nd = 20

dalla composizione dei livelli si ricava :
           

              E(MeV) = E₀(25)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N– Z) =

                                  = 155.15 MeV ⋅ 3.037943 +2,2246 ⋅ 5 = 482.246 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di   482. 07 MeV.
Aggiungendo un neutrone in questo caso abbiamo la sintesi del deutone sul quarto livello e si produce l’isotopo   Mn₂₅⁵⁶  senza
ulteriori transizioni.
Dalla composizione dei livelli si ricava :
coefficiente di riempimento :            α(N) = 3.069162

energia di legame :                           E(MeV) = 489.5280 MeV

il valore sperimentale risulta uguale a    489. 35 MeV.

Ec(MeV)/Es(MeV)     Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p -T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
(( 821. 970)/(821. 63)) Mo₄₂⁹⁵ ((94.90547)/(94.90584)) 42n 2+0 8+0 18+0 2+11 1+0 0+0 0+0 ((st)/(15.90%))
((830. 799)/(830. 78)) Mo₄₂⁹⁶ ((95.90468)/(95.90468)) 42n 2+0 8+0 18+0 1+12 1+0 0+0 0+0 ((st)/(16.68%))

— isotopo Mo₄₂⁹⁵ :

neutroni centrali attivi :                         Na = Z = 42

neutroni complessivi :                               N = A – Z = 53

deutoni in orbita :                                    nd = I = A – 2 ⋅ Z = 11

protoni in orbita :                                     np = Z – nd = 31

In questo caso abbiamo tre livelli saturati dai protoni e risulta :
            

              E(MeV) = E₀(42)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N– Z) =

                                  = 211.56 MeV ⋅3,769659 +2,2246 ⋅11 = 821.960 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 821. 63 MeV.
5
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Anche in questo caso, un neutrone aggiunto sintetizza un deutone sul quarto livello e si ferma senza ulteriori transizioni.
L’accordo dell’energia di legame sperimentale con il valore calcolato risulta più che buono.

Ec(MeV)/Es(MeV)    Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p -T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
((10 41. 62)/(1041. 5)) Sn₅₀¹²³ ((122.90517)/(122.90572)) 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+6 1+0 0+0 ((1.409M)/(β⁻129.2d))
((1049. 92)/(1050. 0)) Sn₅₀¹²⁴ ((123.90532)/(123.90527)) 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+7 0+0 0+0 ((2.2896M)/(2β⁻1.2⋅10²¹a)/(5.79%)

— isotopo Sn₅₀¹²³ :

neutroni centrali attivi :                           Na = Z = 50

neutroni complessivi :                                  N = A – Z = 73

deutoni in orbita :                                       nd = I = A – 2 ⋅ Z = 23

protoni in orbita :                                        np = Z – nd = 27

In questo caso i protoni presenti non sono nemmeno sufficienti per saturare il terzo livello che viene saturato con l’aiuto di un deutone.
Trattando la stabilità del nucleo atomico, abbiamo visto però che quando un deutone si trasferisce su un livello basso ha tendenza a
scindersi sotto l’azione dello spazio rotante centrale, con emissione di una particella β .
Il nucleo si presenta dunque instabile e decade dopo 129.2 giorni ( vedremo in altro capitolo il calcolo teorico dell’energia emessa ).
Procedendo come negli altri casi, si ottiene :

       E(MeV) = E₀(50)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N– Z) =

                         = 232.87 MeV ⋅ 4,253219 + 2,2246 ⋅ 23 = 1041.613 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1041. 5 MeV.
L’aggiunta di un neutrone al nucleo sintetizza un deutone con l’elettrone sulla ultima orbita, che si sposta dal sesto al quinto livello.
Il nucleo così formato ha un solo deutone che può facilmente scindersi, mentre può decadere solo con emissione di due  β
simultaneamente e questo obbliga ad attendere la regolare evoluzione, che sposta un altro deutone sul terzo livello. Per questa ragione la
vita media del nucleo è estremamente lunga.
6
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Per il calcolo dell’energia di legame si ha :
          

           E(MeV) = E₀(50)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z) =

                              = 232.87 MeV ⋅ 4,279311 + 2,2246 ⋅ 24 = 1049.914 MeV

In ottimo accordo con il valore sperimentale di 1050. 0 MeV.

Ec(MeV)/Es(MeV)    Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p – T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
(( 1 587. 71)/(1587. 4)) Hg₈₀²⁰¹ ((200.96998)/(200.970302)) 80n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 0+6 0+0 ((st)/(13.18%))
((1 595. 75)/(1595. 2)) Hg₈₀²⁰² ((201.97001)/(201.970643)) 80n 2+0 8+0 18+0 10+11 0+25 0+6 0+0 ((st)/(29.86%))

 — isotopo Hg₈₀²⁰¹ :

neutroni centrali attivi :             Na = Z = 80

neutroni complessivi :                               N = A Z = 121

deutoni in orbita :                                    nd = I = A 2 ⋅ Z = 41

protoni in orbita :                                     np = Z nd = 39

Non abbiamo in questo caso nessun deutone in condizioni di potersi dividere e, come vedremo, nemmeno condizioni per un’emissione
α , per cui il nucleo si presenta stabile.
Per l’energia di legame si ha :
        

           E(MeV) = E₀(80)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N– Z) =

                              = 290.82MeV ⋅ 5.145767 + 2,2246 ⋅ 41 = 1587,71MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1587,4 MeV.
Un neutrone aggiunto si unisce facilmente con il protone presente sul quinto livello, saturandolo. Si ottiene così un nucleo con una
maggiore stabilità.
L’energia di legame risulta :
      

           E(MeV) = E₀(80)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z) =

                              = 290.82MeV ⋅ 5.165747 + 2,2246 ⋅ 42 = 1 595. 75 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1595. 2 MeV.

7
———————————————————————————————————————————————————————————————-

Ec(MeV)/Es(MeV)   Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p – T1/2)
p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
((1 778. 94)/(1778. 6)) U₉₂²³⁴ (234.04055)/(234.040952) 92n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 0+16 0+0 (4.8598M)/(α2.455⋅10⁵a)/(0.0054%)
((1 783. 54)/(1783. 9)) U₉₂²³⁵ (235.04427)/(235.043930) 92n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 0+17 0+0 ((4.6802M)/(α7.04⋅10⁸a)/(0.7204%)

— isotopo U₉₂²³⁴ :

neutroni centrali attivi :                                  Na = Z = 92

neutroni complessivi :                                         N = A Z = 142

deutoni in orbita :                                              nd = I = A 2 ⋅ Z = 50

protoni in orbita :                                               np = Z nd = 42

Anche in questo caso non abbiamo nessun deutone in condizioni di potersi dividere e nemmeno le condizioni per un’emissione α ,
che si può verificare solo dopo la regolare evoluzione del nucleo, che fa “cadere” un deutone dal sesto al quinto livello.
Il nucleo si presenta quindi quasi stabile.
Per l’energia di legame si ha :
          

             E(MeV) = E₀(92)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N– Z) =

                                = 306.37 MeV ⋅ 5.443449 + 2,2246 ⋅ 50 = 1778.939 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1778. 6 MeV.
In questo caso il neutrone aggiunto, per sintetizzare l’isotopo  U₉₂²³⁵ deve poter giungere fino al quarto livello, dove si trovano i primi
protoni disponibili per la sintesi di un deutone.
Dopo la sintesi il livello si trova sovrassaturo e quindi il protone in eccesso si trasferisce sul quinto, che diventa anch’esso sovrasaturo e
quindi trasferisce un deurone sul sesto livello.
L’energia di legame del nucleo finale sarà :
             

                E(MeV) = E₀(92)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N  Z) =

                                    = 306.37 MeV ⋅ 5.451202 + 2,2246 ⋅ 51 = 1783.539 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1783.9 MeV .

Ec(MeV)/Es(MeV)   Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p – T1/2)
  p-d p-d p-d p-d p-d p-d p-d
((1939. 33)/(1939. 3)) Db₁₀₅²⁶⁴ ((264.11740)/(264.11740)) 105n 2+0 8+0 18+0 22+5 0+25 1+24 0+0 ((8.660M)/(α3m))
((1 946.00)/(1946. 3)) Db₁₀₅²⁶⁵ ((265.11890)/(265.11860)) 105n 2+0 8+0 18+0 22+5 0+25 0+25 0+0 ((8.490M)/(α15m))

— isotopo Db₁₀₅²⁶⁴ :

neutroni centrali attivi :                                 Na = Z = 105

neutroni complessivi :                                        N = A Z = 159

deutoni in orbita :                                             nd = I = A 2 ⋅ Z = 54

protoni in orbita :                                              np = Z nd = 51

La configurazione dei livelli periferici è tale da consentire molto facilmente la sintesi di una particella α e questo conferisce al nucleo una
elevato livello di instabilità. L’energia di legame risulta :
              

            E(MeV) = E₀(105)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z) =

                               = 320.31 MeV ⋅ 5.679574 + 2,2246 ⋅ 54 = 1939.353 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1939. 3 MeV.
L’aggiunta di un neutrone, con il protone presente sul sesto livello, sintetizza facilmente un deutone, che si ferma sull’orbita senza
ulteriori transizioni.
L’energia di legame risulta :
8
——————————————————————————————————————————————————————————————————
   

           E(MeV) = E₀(105)⋅α(N) + 2,2246 ⋅ (N – Z) =

                              = 320.31 MeV ⋅ 5.693449 + 2,2246 ⋅ 55 = 1946.022 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale di 1946. 3 MeV.
Non abbiamo in questo caso nessun deutone in condizioni di potersi dividere e, come vedremo, nemmeno condizioni per un’emissione α ,
per cui il nucleo si presenta stabile.

Ec(MeV)/Es(MeV)   Sa            mc/ms   n 1 2 3 4 5 6 7    Ep(eV)/(p – T1/2)
  p-d p-d p-d p-d  p-d  p-d p-d
((2099. 10)/()) Uu₁₂₀²⁹⁸ ((298.22788)/()) 120n 2+0 8+0 18+0 32+0 0+23 1+35 1+0 (()/())
((2105. 90)/()) Uu₁₂₀²⁹⁹ ((299.22925)/()) 120n 2+0 8+0 18+0 32+0 0+23 0+36 1+0 (()/())

— isotopo Uu₁₂₀²⁹⁸ :

neutroni centrali attivi :                              Na = Z = 120

neutroni complessivi :                                     N = A Z = 178

deutoni in orbita :                                          nd = I = A 2 ⋅ Z = 58

protoni in orbita :                                           np = Z nd = 62

Il numero dei protoni è, in questo caso, sufficiente per saturare anche il quarto livello. Bisogna però tenere presente che la configurazione
che abbiamo indicato è quella teorica iniziale, in quanto in realtà si tratta di nuclei molto instabili che, come abbiamo visto trattando la
fissione nucleare, prima ancora di giungere a questa configurazione, si verifica un trasferimento spontaneo di neuroni attivi dal centro
verso la periferia, dove viene sintetizzato un nucleo di numero atomico uguale a circa   Z / 2  , che raggiunge la velocità di fuga
e si allontana.

9
——————————————————————————————————————————————————————————————————

 Art.76a — Teoria del nucleo atomico, calcolo teorico dell’energia di legame dei singoli nucleoni — Antonio Dirita

Lascia un commento