Art.190 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare WASP-47, oppure K2-23 — Antonio Dirita

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La stella WASP-47 è nota anche come K2-23 . Si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 870 al.
La massa e il raggio stimati sono :
mW 1.03 ⋅ ms = 2,048773 ⋅ 10³⁰ Kg    ;    rW 1,15 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare WASP-47

pianeta  p semiasse m.s periodo orb.s ecc orb. massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni)   e m/mT r/rT
e              3 2. 5259 0,789592 ≃0 6.83 1.83
b              5 7. 6469 4.159.129 ≃0 363.1 12.63
d            6.5 12.796 9.003.077 ≃0 13.1 3.576
c             25 207.64 588.5 0.296 398.2

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella WASP-47 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32   ) .

Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale alla distanza dal centro
( R0s = 27,11 al ) , possiamo assumere R0W ≃ dMS = 870 al con errore trascurabile e quindi possiamo calcolare il punto
neutro della stella WASP-47 rispetto al sistema stellare locale

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L’esplosione della stella compagna ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
circa 1284,8 UA , tutti i detriti residui che dovrebbero formare attualmente una fascia simile
a quella di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella WASP-47 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  WASP-47 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( R0W = 77,71 al ) di quella del
sistema Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
1284,8
UA   con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e dunque con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la
posizione della stella WASP-47 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  Sx alla stella  WASP-47 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella WASP-47 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1W .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²)    . Si ottengono così i valori riportati in tabella

pianeta  p semiasse m.s orbita circ. st. periodo orb.s ecc orb. massa raggio
Rs(10⁶Km) Rn(10⁶Km) Ts(giorni)   e m/mT r/rT
e              3 2. 5259 2. 5259 0,789592 ≃0 6.83 1.83
b              5 7. 6469 7. 6469 4.159.129 ≃0 363.1 12.63
d            6.5 12.796 12.796 9.003.077 ≃0 13.1 3.576
c             25 207.64 189.45 588.5 0.296 398.2

Considerando, per esempio, i pianeti WASP-47 d e WASP-47 b , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                                 R1W ⋅ pb² = Rbn = 7,6469 ⋅ 10⁶ Km

                                 R1W ⋅ pd² = Rdn = 12,796 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    (6 + 1/2)/5 = 1,3     , se si considerano anche i numeri seminteri

oppure        13/10 = 1,3     , se vengono considerati solo numeri quantici interi
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento ( dovuto all’incertezza sull’eccentricità orbitale ), assumiamo il valore    R1W  = 0,303 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo WASP-47 risultano quindi descritte dalle relazioni :

Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare WASP-47

pianeta  p   sem.m.s   orbit. circ.    sem.m.T   vel.orb.s   vel.orb.T   per.orb.s   per.orb.T   m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,303
  Rns
(10⁶Km)
   RpT
(10⁶Km)
 0,303
 Vps
(Km/sec)
671,698
 VpT
(Km/sec)
671,6985
 Ts
(giorni)
0,0328046
 TT
(giorni)
0,0328046
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0203525
e           3 2. 5259 2. 5259 2. 727 232. 64 223. 90 0,789592 0.88572  0.061058
b           5 7. 6469 7. 6469 7. 575 133. 71 134. 34 4.159.129 4. 1006  0.10176
d          6.5 12.796 12.796 12. 802 103. 36 103. 34 9.003.077  9. 0090 0.13229
c          25 207.64 189.45 207,57 25. 658 25. 664 588.5 588. 15 0.85859

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, più che buono .
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Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni
sono ben note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, WASP-47 e
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta re > r0e , si ha il nucleo interno di raggio uguale a    r0e = 50,29 Km  rotante su se stesso con la
velocità   Ves = 232,64 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l’energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è uguale a circa il 76% di
quella
generata dal nucleo terrestre e quindi i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
sulla superficie
potrebbero essere poco meno vistosi di quelli che si sperimentano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta risulta invece molto più elevata di quella che
giunge sulla
Terra e dunque lo saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che
la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta WASP-47 e sono di gran lunga
più
intense di quelle che si manifestano sulla Terra.
Essendo molto elevate le forze di marea, verifichiamo la stabilità della superficie non coesa del pianeta.
Il punto neutro rispetto alla stella madre vale :

essendo re 1,83 ⋅ 6378 Km = 11671,7 Km ≃ RNWe , si deve pensare che il pianeta abbia raggiunto la
condizione di equilibrio con re ≃ RNWe dopo aver ceduto alla stella, sotto l’azione delle forze di marea,
tutto il materiale superficiale
non coeso, ed oggi la superficie affacciata alla stella si presenta stabile.
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 Art.190 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare WASP-47, oppure K2-23 — Antonio Dirita

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