Art.174 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-251, KOI-907 — Antonio Dirita

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Kepler-251 , noto anche come KOI-907, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 3317 al.
La massa e il raggio stimati sono :
mK0,96 ⋅ ms = 1,909536 ⋅ 10³⁰ Kg    ; rK0,89 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-251

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
R_{s}(10⁶Km) T_{s}(giorni) m/mT r/rT
b         6 8. 2081 4.7909 2.51 1.3
c         9 18.730 16.5140 7.37 2.7
d        11 27.968 30.1330 7.37 2.7
e     16 +1/2 62.076 99.6402 7.37 2.8

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
   e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-251 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 3317 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-251 rispetto al sistema stellare
locale risulta :

1
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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
4729,1 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa S_{X} , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-251 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37    , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-251
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 3317 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al ( Art.32 ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da    40 UA  a
4729,1
UA
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e dunque con un aumento della
probabilità di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-245 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-251 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-251 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore R_{s} .
Considerando, per esempio, i pianeti Kepler-251 c e Kepler-251 d , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                             R1K ⋅ pd² = Rds = 27,968 ⋅ 10⁶ Km

                             R1K ⋅ pb² = Rbs = 18,730 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                      11/9 = 1,222
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento ( dovuto all’incertezza sull’eccentricità orbitale ), assumiamo il valore        R1K  = 0,229 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

3
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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-251 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-251

pianeta  p sem.m.s   sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,223
   RpT
(10⁶Km)
 0,223
 Vps
(Km/sec)
588,045
 VpT
(Km/sec)
588,045
 Ts
(giorni)
0,0275778
 TT
(giorni)
0,0275778
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0131134
b          6 8.2081 8. 2440  124. 59 124. 32 4.7909 4. 8217 0.10249
c          9 18.730 18. 549 82. 481 82. 880 16.5140 16. 273 0.15373
d         11 27.968 27. 709 67. 497 67. 811 30.1330 29. 711 0.18790
e     16+1/2 62.076 62. 345 45. 306 45. 207 99.6402 100. 28 0.28185

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, più che buono .

4
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Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni
sono ben note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-251 b , con il valore della massa indicata in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio uguale a r0b = 64,44 Km rotante su se stesso con la

velocità   Vbs = 124,59 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l’energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è trascurabile rispetto a
quella
generata dal nucleo terrestre e tali saranno anche i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che
si manifestano sulla
superficie .
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta risulta molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno
anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-251 b sono decisamente
maggiori di quelle che si sperimentano sulla Terra.

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 Art.174 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-251, KOI-907 — Antonio Dirita

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