Art.159 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-107, KOI-117 — Antonio Dirita

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Kepler-107 , noto anche come KOI-117, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1714 al. La massa e il raggio stimati sono :

          mK1,238 ⋅ ms = 2,462506 ⋅ 10³⁰ Kg    ;    rK1,444 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-107

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      6 6.7983 3.1800218 1.52 1.54
c      7 9.0712 4.901452 9.39 1.85
d      8 12.531 7.95839 1.10
e     10 18.907 14.749143 3.5

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-107 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore

trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1714 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-107 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
2775 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa  Sx  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-107 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-107
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1714 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al ( Art.32 ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
2775
UA
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-107 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella Kepler-107 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-107 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore   Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti Kepler-107 b e Kepler-107 e , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                R1K ⋅ pe² = Res = 18,907 ⋅ 10⁶ Km

                                R1K ⋅ pb² = Rbs = 6,7983 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   10/6 = 1,667   associando alle orbite solo i numeri interi

oppure    5/3 = 1,667   se si associano anche i numeri seminteri
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                            R1K  = 0,189 ⋅ 10⁶ Km

( oppure R1K  = 0,189 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 0,756 ⋅ 10⁶ Km  con numeri seminteri )

Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-107 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-107

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 1,013
 RpT
(10⁶Km)
 1,013
 Vps
(Km/sec)
361,969
 VpT
(Km/sec)
361,969
 Ts
(giorni)
0,0203519
 TT
(giorni)
0,0203519
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0366674
b      (6) 6.7983 6.804 155.47 155.40 3.180.0218 3.1840 0.10574
c      (7) 9.0712 9.261 134.59 133.20 4.901.452 5.0561 0.12336
d      (8) 12.531 12.096 114.51 116.55 7.95839 7.5473 0.14098
e     (10) 18.907 18.90 93.223 93.241 14.749143 14.741 0.17623

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-107 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 60,221 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 155,47 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l’energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente
trascurabile e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
risultano praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-107 b sono molto più
intense
di quelle che si sperimentano sulla Terra.
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