Art.146 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-102, KOI-82 — Antonio Dirita

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Kepler-102 , noto anche come KOI-82, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 389 al. La massa e il raggio stimati sono :

                        mK0,8 ⋅ ms = 1,59128 ⋅ 10³⁰ Kg       ;     rK0,74 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-102

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      5.5 8.2485 5.28696 <4.3 0.48
c      6 10.013 7.07142 <3 0.59
d      7 12.876 10.3117 3.8 1.21
e      8  17.362 16.1457 8.9 2.27
f      9.5 24.734 27.4536 <5.2 0.90

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-102 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale (R0s = 27,11 al) , con errore trascurabile,
possiamo assumere R0K ≃ dKs = 389 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-102 rispetto al sistema stellare locale
risulta :

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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
506,3 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di
Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa SX , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-102 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre l
e masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-102
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata (389 al) di quella del sistema Solare
primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA  a
506,3
UA
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella Kepler-102 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-102 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-102 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-102 c  Kepler-102 e , applicando la teoria della quantizzazione
generale, dovrà essere :
                             R1K ⋅ pe² = Res = 17,362 ⋅ 10⁶ Km

                             R1K ⋅ pc² = Rcs = 10,013 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta         8/6 = 1,333
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                              R1K  = 0,271 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-102 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-102

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,271
 RpT
(10⁶Km)
 0,271
 Vps
(Km/sec)
625,946
 VpT
(Km/sec)
625,946
 Ts
(giorni)
0,0314846
 TT
(giorni)
0,0314846
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0169631
b     (5+1/2)  8. 2485 8.1978 113.46 113.81 5.28696 5..2383 0.093297
c        (6) 10. 013 9.7560 102.97 104.32 7.07142 6.8007 0.10178
d        (7) 12.876 13.279 90.806 89.421 10.3117 10.799 0.11874
e        (8) 17.362 17.344 78.200 78.243 16.1457 16.120 0.1357
f      (9+1/2) 24.734 24.458 65.518 65.889 27.4536 26.994 0.16115

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono
ben note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-102 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 3,424 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 113,46 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l’energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente
trascurabile e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
risultano praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 

rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge
sulla Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione
sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-102 e quella del sole circa 0,85 , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà decisamente maggiore di quella che
viene raggiunta dalla Terra.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29     ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-102 b sono praticamente uguali a quelle
che si sperimentano sulla Terra.

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