Art.161 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-150, KOI-408 -- Antonio Dirita

Art.161 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-150, KOI-408 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-150 , noto anche come KOI-408, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 3175 al .

La massa e il raggio stimati sono :
                     mK0,97 ⋅ ms = 1,929427 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK0,94 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-150

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      4 6. 5892 3.4281 1.3
c      5 10.988 7.3820 3.8
d      6 15.661 12.5609 2.8
e      8 28.494 30.8266 3.2
f     22 214.61 637.209 9.0

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-150 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 3175 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-150 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
4550,2 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-150 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata, senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-150
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 3175 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da    40 UAa
4550,2
UA  
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-150 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-150 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-150 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-150 c e Kepler-150 d , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
                                R1K ⋅ pd² = Rds = 15,661 ⋅ 10⁶ Km

                                R1K ⋅ pc² = Rcs = 10,988 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta           6/5 = 1,2
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                      R1K  = 0,439 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-150 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-150

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,439
 RpT
(10⁶Km)
 0,439
 Vps
(Km/sec)
541,539
 VpT
(Km/sec)
541,539
 Ts
(giorni)
0,0589523
 TT
(giorni)
0,0589523
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0237736
b        (4) 6. 5892 7. 024 139. 78  135. 38 34.281 3. 7729 0.095094
c        (5) 10.988 10. 975 108. 25 108. 31 73.820 7. 3690 0.11887
d        (6) 15.661 15. 804 90. 670 90. 257 125.609 12. 734 0.14264
e        (8) 28.494 28. 096 67. 219 67. 692 308.266 30. 184 0.19019
f        (22) 2 14.61 212. 48 24. 493 24. 615 637.209 627. 72 0.52302

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-150 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 44,81 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 139,78 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente
trascurabile e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
risultano praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-150 b sono molto più
intense
di quelle che si sperimentano sulla Terra.

5
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Art.160 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-132, KOI-284 -- Antonio Dirita

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Kepler-132 , noto anche come KOI-284, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1467 al.
La massa e il raggio stimati sono :

         mKA1,13 ⋅ ms = 2,247683 ⋅ 10³⁰ Kg      ;     rKA1,13 ⋅ rs

         mKB1,07 ⋅ ms = 2,128337 ⋅ 10³⁰ Kg      ;     rKB1,07 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :

le due stelle sono separate da una distanza uguale a circa 500 UA.
Il pianeta b orbita da solo nello spazio rotante della stella Kepler-132 B.
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-132

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
bB     10.083 6.1782 1.2
c      5 10.528 6.4149 1.3
d      7 20.953 18.0102 1.6
e    13 70.132 110.2869 1.18

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
   e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-132 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse triplo, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1457 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-132 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

Essendo RNKSL >> dKAB500 UA , le due stelle non formano un sistema doppio in quanto
risultano gravitazionalmente
poco legate.
1
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L'esplosione della terza stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
2253,7 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-132 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37  , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-132
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1457 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
2253,7
UA 
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella Kepler-132 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-132 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-132 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale  R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi  Kepler-102 c  Kepler-102 e ,  applicando la teoria della quantizzazione
generale, dovrà essere :
                           R1K ⋅ pe² = Res = 70,132 ⋅ 10⁶ Km

                           R1K ⋅ pc² = Rcs = 10,528 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta      13/5 = 2,6    se si utilizzano solo numeri interi
oppure     se si associano alle orbite anche numeri seminteri
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                R1K  = 0,418 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-132 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-132

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,418
 RpT
(10⁶Km)
 0,418
 Vps
(Km/sec)
599,000
 VpT
(Km/sec)
599,000
 Ts
(giorni)
0,050748
 TT
(giorni)
0,050748
 CT
(10¹⁰Km²/sec)
0,0250382
bB      10.083 118.679 6.1782
c         (5) 10.528 10. 450 119.35 119.80 6.4149 6.3435 0.12519
d        (7) 20.953 20. 482 84.605 85.571 18.0102 17.407 0.17527
e       (13) 70.132 70. 642 46.244 46.077 110.2869 111.49 0.32550

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-132 c , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rc > r0c , si ha il nucleo interno di raggio r0c = 61,463 Km rotante su se stesso con la velocità
Vcs = 119,35 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente trascurabile
e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano risultano
praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29     ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-132 c sono praticamente
uguali
a quelle che si sperimentano sulla Terra.

5
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Art.159 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-107, KOI-117 -- Antonio Dirita

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Kepler-107 , noto anche come KOI-117, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1714 al. La massa e il raggio stimati sono :

          mK1,238 ⋅ ms = 2,462506 ⋅ 10³⁰ Kg    ;    rK1,444 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-107

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      6 6.7983 3.1800218 1.52 1.54
c      7 9.0712 4.901452 9.39 1.85
d      8 12.531 7.95839 1.10
e     10 18.907 14.749143 3.5

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-107 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore

trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1714 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-107 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
2775 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa  Sx  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-107 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-107
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1714 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al ( Art.32 ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
2775
UA
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-107 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella Kepler-107 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-107 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore   Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti Kepler-107 b e Kepler-107 e , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                R1K ⋅ pe² = Res = 18,907 ⋅ 10⁶ Km

                                R1K ⋅ pb² = Rbs = 6,7983 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   10/6 = 1,667   associando alle orbite solo i numeri interi

oppure    5/3 = 1,667   se si associano anche i numeri seminteri
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                            R1K  = 0,189 ⋅ 10⁶ Km

( oppure R1K  = 0,189 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 0,756 ⋅ 10⁶ Km  con numeri seminteri )

Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-107 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-107

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 1,013
 RpT
(10⁶Km)
 1,013
 Vps
(Km/sec)
361,969
 VpT
(Km/sec)
361,969
 Ts
(giorni)
0,0203519
 TT
(giorni)
0,0203519
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0366674
b      (6) 6.7983 6.804 155.47 155.40 3.180.0218 3.1840 0.10574
c      (7) 9.0712 9.261 134.59 133.20 4.901.452 5.0561 0.12336
d      (8) 12.531 12.096 114.51 116.55 7.95839 7.5473 0.14098
e     (10) 18.907 18.90 93.223 93.241 14.749143 14.741 0.17623

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-107 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 60,221 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 155,47 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente
trascurabile e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
risultano praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-107 b sono molto più
intense
di quelle che si sperimentano sulla Terra.
5
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Art.158 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-106, KOI-116 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-106 ,  noto anche come  KOI-116 , si trova a una distanza dal Sole uguale a circa  1480 al . La massa e il raggio stimati
sono :
mK1,00 ⋅ ms = 132,725 ⋅ 10³⁰ Kg    ;    rK1,04 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-106

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      3 9.8436 6.16486 0.84
c      4 16.658 13.5708 10 2.6
d      5 24.347 23.9802 0.97
e      6 36.404 43.8445 11 2.6

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-106 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1480 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-106 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
2153,6
UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-106 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-106
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1480 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da   40 UA  a
2153,6
UA 
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-106 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-106 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-106 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12     ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore   Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi  Kepler-106 c  Kepler-106 e  ,  applicando la teoria della quantizzazione
generale, dovrà essere :
                                 R1K ⋅ pe² = Res = 36,404 ⋅ 10⁶ Km

                                 R1K ⋅ pc² = Rcs = 16,658 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                        6/4 = 1,5
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                           R1K  = 1,013 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-106 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ) . Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-106

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 1,013
 RpT
(10⁶Km)
 1,013
 Vps
(Km/sec)
361,969
 VpT
(Km/sec)
361,969
 Ts
(giorni)
0,0203519
 TT
(giorni)
0,0203519
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0366674
b      (3) 98.436 91.170 116.12  120.66 616.486 54.950 0.110
c      (4) 16.658 16. 208 89.265 90.492 135.708 13.025 0.14667
d      (5) 24.347 25.325 73.834 72.394 239.802 25.440 0.18334
e      (6) 36.404 36.468 60.381 60.328 438.445 43. 960 0.220

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, è accettabile .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-106 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio  r0b = 17,52 Km  rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 116,12 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente
trascurabile e quindi sulla sua superficie
i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano
risultano praticamente inesistenti.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101  ) .
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29     ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (   Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-106 b sono
praticamente uguali
a quelle che si sperimentano sulla Terra.
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Art.157 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-89, KOI-94 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-89 , noto anche come KOI-94, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1390 al. La massa e il raggio stimati sono :

mK1,28 ⋅ ms = 2,546048 ⋅ 10³⁰ Kg     ;     rK1,52 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-89

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      5 7.6637 3.7432 10.5 1.75
c      7 15.169 10.4236 15.6 4.41
d      9 25.218 22.3430 105 11.2
e     12 45.595 54.3203 35 6.7

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
   e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-89 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1390 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-89 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
2288,3 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di
Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  Kepler-89  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31   ,   Art.34   ,   Art.37  , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  Kepler-89
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1390 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a  27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UAa
2288,3
UA
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella Kepler-102 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-89 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-89 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-89 c e Kepler-89 d , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
R1K ⋅ pd² = Rds = 25,218 ⋅ 10⁶ Km

R1K ⋅ pc² = Rcs = 15,169 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                        9/7 = 1,286
oppure se si associano alle orbite anche numeri seminteri
Si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                            R1K  = 0,313 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-89 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-89

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,313
 RpT
(10⁶Km)
 0,313
 Vps
(Km/sec)
736,731
 VpT
(Km/sec)
736,731
 Ts
(giorni)
0,0308959
 TT
(giorni)
0,0308959
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0230597
b     (5) 7.6637 7. 8250  148.89  147.35 3.7432 38.620 0.11530
c     (7) 15.169 15.337 105.83 105.25 10.4236 10.597 0.16142
d     (9) 25.218 25.353 82.080 81.859 22.3430 22.523 0.20754
e    (12) 45.595 45.072 61.041 61.394 54.3203 53.388 0.27672

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-89 b , con il valore delle caratteristiche indicate in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta  rb > r0b  , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 188,8 Km  rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 148,89 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta vale circa il doppio di quella
generata dal
nucleo terrestre e quindi sulla sua superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che
si manifestano potrebbero risultare
molto più vistosi.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie unitaria del pianeta è molto più elevata di quella che
giunge sulla Terra e
dunque lo saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che
la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-89 e quella del sole circa 1,08 , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà decisamente maggiore di quella che
viene
raggiunta dalla Terra.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-89 b sono di gran lunga
più
intense di quelle che si sperimentano sulla Terra e quindi tali saranno anche gli effetti prodotti.
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Art.156 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-85, KOI-2038 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-85 , noto anche come KOI-2038, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 2625 al. La massa e il raggio stimati sono :

 mK0,94 ⋅ ms = 1,869754 ⋅ 10³⁰ Kg    ;    rK0,89 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-85

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      7 11.763 8.3057 1.9
c      8 15.458 12.5126 2.3
d      9 19.635 17.9132 1.23
e    10 24.663 25.2168 1.3

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  Kepler-85  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 2625 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-85 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
3703,3 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-85 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con
l'aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-85
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti
nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del
sistema Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 2625 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
3703,3
UA
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la
posizione della stella Kepler-85 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx  alla stella  Kepler-85 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-85 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime ( Art.10 , Art.12 , Art.13 ) circolari stabili
aventi raggio dato da R_{n} = R_{s}⋅ (1 -- e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-85 c e Kepler-85 d , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
                          R1K ⋅ pd² = Rds = 19,635 ⋅ 10⁶ Km

                          R1K ⋅ pc² = Rcs = 15,458 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta              9/8 = 1,125
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                R1K  = 0,244 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-85 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-85

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,244
 RpT
(10⁶Km)
 0,244
 Vps
(Km/sec)
715,066
 VpT
(Km/sec)
715,066
 Ts
(giorni)
0,0248147
 TT
(giorni)
0,0248147
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0174476
b      (7) 11.763 11.956 102.99 102.15 83.057 85.114 0.12213
c      (8) 15.458 15.616 89.840 89.383 125.126 12.705 0.13958
d      (9) 1 9.635 19.764 79.712 79.452 179.132 18.090 0.15703
e     (10) 24.663 24.400 71.125 71.507 252.168 24.815 0.17448

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-85 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 257,73 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 102,99 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è circa il doppio di quella
generata dal nucleo
terrestre e quindi sulla sua superficie i fenomeni termici che si manifestano
( soprattutto eruzioni ) saranno più vistosi.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29     ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-85 b sono praticamente
uguali
a quelle che si sperimentano sulla Terra.
5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Art.155 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-82, KOI-880 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-82 , noto anche come KOI-880, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 3297 al. La massa e il raggio stimati sono :

                                  mK0,94 ⋅ ms = 1,869754 ⋅ 10³⁰ Kg     ;      rK0,94 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti 

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-82

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      3 5.1168 2.3830 1.8
c      4 9. 3668 5.9022 2.5
d      6.5 25.457 26.4438 4.2
e      8  39.716 51.5319 5.8

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  Kepler-82  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33   ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere  R0K ≃ dKs = 3297 al  e quindi il punto neutro della stella Kepler-82 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
4651,3 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-82 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  Kepler-82 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 3297 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
4651,3
UA 
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la
posizione della stella Kepler-82 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-82 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-82 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12     ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti  Kepler-82 b  Kepler-82 c ,  applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :

                               R1K ⋅ pc² = Rcs = 9,3668 ⋅ 10⁶ Km

                               R1K ⋅ pb² = Rbs = 5,1168 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    4/3 = 1,333    considerando anche i numeri seminteri
oppure   8/6 = 1,333     se si associano alle orbite solo numeri interi
si ottiene così l'orbita fondamentale : 
con un minimo adattamento, assumiamo il valore                       R1K  = 0,600 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-82 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-82

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,600
 RpT
(10⁶Km)
 0,600
 Vps
(Km/sec)
456,001
 VpT
(Km/sec)
456,001
 Ts
(giorni)
0,0956867
 TT
(giorni)
0,0956867
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0273601
b        (3) 51.168 5. 400 156.15 152.0 23.830 25.835  0.08208
c        (4) 9. 3668 9.600 115.41 114.0 59.022 61.239 0.10944
d   (6+1/2) 25.457 25.35 70.008 70.154 264.438 26.278 0.17784
e        (8) 39.716 38.40 56.047 57.00 515.319 48.992 0.21888

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, accettabile .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-82 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio uguale a  95,322 Km  rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 156,15 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è paragonabile a quella generata dal nucleo
terrestre e quindi sulla sua superficie i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni ) che si manifestano risultano di analoga intensità.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella ( Art.101 ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29     ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-82 b sono di gran lunga
più
intense di quelle che si sperimentano sulla Terra.
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Art.154 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-79, KOI-152 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-79 , noto anche come KOI-152, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 3589 al. La massa e il raggio stimati sono :

                 mK 1,2 ⋅ ms = 2,38692 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK1,4 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-79

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b       7 17.626 134.847 3.7
c       9 28.278 274.020 4.0
d      11 43.395 520.906 7.8
e      13  58.276 810.653 3.4

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
 e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  Kepler-79  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale  ( R0s = 27,11 al )  , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 3589 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-79 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di 
5720,8 UA ,  tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella
di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  Kepler-79  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con
l'aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-79
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti
nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del
sistema Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata  ( 3589 al )  di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
5720,8
UA 
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un pari aumento della
probabilità di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-79 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa S alla stella  Kepler-79 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-79 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale  R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10     ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-79 b e Kepler-79 c , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
                                     R1K ⋅ pc² = Rcs = 28,278 ⋅ 10⁶ Km

                                     R1K ⋅ pb² = Rbs = 17,626 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    9/7 = 1,285    se si considerano solo numeri quantici interi
oppure se si considerano anche i numeri seminteri
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                      R1K  = 0,352 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-102 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-79

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,352
 RpT
(10⁶Km)
 0,352
 Vps
(Km/sec)
672,660
 VpT
(Km/sec)
672,660
 Ts
(giorni)
0,0380551
 TT
(giorni)
0,0380551
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0236776
b        (7) 17.626 17.248 95.056 96.094 134.847 13.053 0.16574
c        (9) 28.278 28.512 75.047 74.740 274.020 27.742 0.21310
d       (11) 43.395 42.592 60.582 61.151 520.906 50.651 0.26045
e       (13) 58.276 59.488 52.278 51.743 810.653 83.607 0.30781

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-79 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo certamente il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 2234 Km rotante su se stesso con la
velocità Vbs = 95,056 Km/sec  . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è di gran lunga maggiore
di quella sviluppata
dal nucleo terrestre e quindi sulla sua superficie i fenomeni termici ( soprattutto
eruzioni ) che si manifestano risultano molto più
vistosi di quelli che sperimentiamo sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sottoforma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

Anche l'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta risulta molto più elevata di quella che
giunge sulla Terra
e dunque lo saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che
la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna ancora tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura,
per cui, essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella  Kepler-102  e quella del sole circa  1,1  , il valore calcolato
diventa
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice dunque che le forze di marea che si manifestano sul pianeta  Kepler-79 b  sono
praticamente
uguali a quelle che si manifestano sulla Terra.
5
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Art.153 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-49, KOI-248 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-49 , noto anche come KOI-248, si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1257 al. La massa e il raggio stimati sono :

mK0,549 ⋅ ms = 1,09202 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK0,56 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :
Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-49

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      5 4. 5056 2.5765 1.63
c      7 8. 9422 7.2039 2.4
d      8 11.795 10.9127 2.1
e     9.5 16.827 18.5961 1.59

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
  e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-49 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1257 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-49 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
1355,3 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella di
Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-49 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31   ,   Art.34   ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-49 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 1257 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al ( Art.32 ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
1355,3
UA
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-49 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella  Kepler-49 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-49 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi Kepler-49 c e Kepler-49 d , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
                                  R1K ⋅ pd² = Rds = 11,795 ⋅ 10⁶ Km

                                  R1K ⋅ pc² = Rcs = 8,9422 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta         8/7 = 1,143
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                             R1K  = 0,183 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-49 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-49

pianeta  p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,183
 RpT
(10⁶Km)
 0,183
 Vps
(Km/sec)
631,011
 VpT
(Km/sec)
631,011
 Ts
(giorni)
0,0210902
 TT
(giorni)
0,0210902
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0115475
b        (5) 45.056 4.575 127.17 126.20 25.765 26.363 0.057738
c        (7) 89.422 8.967 90.270 90.144 72.039 72.339 0.0 8 0833
d        (8) 11.795 11.712 78.602 78.876 109.127 10.798 0.09238
e    (9+1/2) 1 6.827 16.516 65.804 66.422 185.961 18. 082 0.10970

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
4
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-49 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 106,72 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 127,17 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è decisamente minore di
quella generata dal
nucleo terrestre e quindi tali saranno anche i fenomeni termici ( soprattutto eruzioni )
che si manifestano sulla sua superficie.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è dunque molto più elevata di quella che
giunge sulla Terra e
quindi lo saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la
rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-49 e quella del sole circa 0,73 , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà decisamente maggiore di
quella che viene
raggiunta dalla Terra.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29     ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-49 b sono di gran
lunga maggiori
di quelle che si sperimentano sulla Terra.

5
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Art.152 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-48, KOI-148 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-48 , noto anche come KOI-148 , si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 1021 al. La massa e il raggio stimati sono :

mK0,89 ⋅ ms = 1,7703 ⋅ 10³⁰ Kg     ;   rK0,89 ⋅ rs
Lo spazio rotante generato risulta :

Del sistema planetario sono noti 4 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-48

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b      4 7.9892 4.778 4.79 2.19
b      5 12.786 9.674 10.56 3.21
c      8 34.510 42.896 8 2.08
e     23 278.23 982 657

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
  e si ottengono i valori riportati in tabella.
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-48 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ).
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale ( R0s = 27,11 al ) , con un errore
trascurabile, possiamo assumere R0K ≃ dKs = 1021 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-48 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

1
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L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
1401,6 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia simile a quella
di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-48 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31   ,   Art.34    ,   Art.37  , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-48 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa. In questo caso però la distanza tra le
due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è molto più elevata ( 1021 al ) di quella del sistema Solare primordiale uguale a
27,11 al (   Art.32    ) .

Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA  a
1401,6
UA  con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella Kepler-48 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-48 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-48 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10     ,    Art.12     ,    Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti Kepler-48 b e Kepler-48 c , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                                 R1K ⋅ pc² = Rcs = 12,786 ⋅ 10⁶ Km

                                 R1K ⋅ pb² = Rbs = 7,9892 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                  5/4 = 1,25
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                 R1K  = 0,525 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-48 risultano quindi descritte dalle relazioni :

( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-48

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,525
 RpT
(10⁶Km)
 0,525
 Vps
(Km/sec)
474,342
 VpT
(Km/sec)
474,342
 Ts
(giorni)
0,080488
 TT
(giorni)
0,080488
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0249029
b        (4) 7.9892 8.4000 121.60 118.59 4.778 5. 4077 0.0 94441
c        (5) 12.786 13.125 96.116 94.868 9.674 10.562 0.11805
d        (8) 34.510 33.600 58.505 59.293 42.896 43.262 0.18888
e       (23) 278.23 277.73 20.604 20.624 982 1028.1 0.54303

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, buono .
4
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-48 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 129,11 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 121,60 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l'energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è decisamente minore di
quella generata dal nucleo
terrestre e quindi sulla sua superficie i fenomeni termici (soprattutto eruzioni)
che si manifestano risultano molto meno vistosi di quelli
che si verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-48 e quella del sole circa  0,88  , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà decisamente maggiore di quella che viene 
raggiunta dalla Terra.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (   Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-48 b sono molto più
intense
di quelle che si sperimentano sulla Terra.
5
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