Art.139 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-122, KOI-232 — Antonio Dirita

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Kepler-122, nota anche come KOI-232 , si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 3465 al.
La massa e il raggio stimati sono :
mK1,08 ⋅ ms = 2,148228 ⋅ 10³⁰ Kg    ;   rK1,2 ⋅ rs

Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-122

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT r/rT
b     7   9.6630 5.7662 5.82 2.4
c      9 16.156                         12.4660 44.8 6.00
d    11 23.298                         21.5875 5.48 2.2
e    13 33.962                         37.9933 6.41 2.7
f     15 44.142                         56.3 1.75

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore medio dello spazio rotante con la relazione
e si ottiene :                             KK² = 143,510 ⋅10⁹ Km³/sec²
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-122 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ) .
Tenendo conto che il sistema Solare si trova in prossimità del centro del sistema stellare locale  ( R0s = 27,11 al )  , con errore
trascurabile, possiamo assumere  R0K ≃ dKs = 3465 al e quindi il punto neutro della stella Kepler-122 rispetto al sistema
stellare locale risulta :

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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla
distanza di
2539,8 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-122 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli  Art.31     ,  Art.34     ,  Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza
dal polo
stesso, mentre le masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi
satellitari come quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con
l’aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  Kepler-122
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti
nella posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è molto più elevata  ( 3465 al )  di quella del
sistema Solare primordiale uguale a 27,11 al  (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da    40 UA  a
2539,8 UA  con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Kepler-122  , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler-122 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-122 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale    R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da       Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti  Kepler-122 f Kepler-122 b  , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                               R1K ⋅ pf² = Rfs = 44,142 ⋅ 10⁶ Km

                               R1K ⋅ pb² = Rbs = 9,663 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   15/7 = 2,14   se si associano alle orbite solo numeri interi
oppure  se si considerano anche i numeri quantici seminteri.
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                       R1K  = 0,198 ⋅ 10⁶ Km

oppure              R1K  = 0,198 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 0,792 ⋅ 10⁶ Km      con numeri quantici seminteri

Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Rn = R1K ⋅ p²     ;     Tn = T1K ⋅ p³    ;      ;      Cn = C1K ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,198 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²    ;     Tn = 0,0169131 g ⋅ p³     ;     
Cn = 0,0168567 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                   p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-122  risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-122

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,0619
 RpT
(10⁶Km)
 0,0619
 Vps
(Km/sec)
1268,85
 VpT
(Km/sec)
1268,85
 Ts
(giorni)
0,0035477
 TT
(giorni)
0,0035477
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0078542
b     (7)   9.6630   9.7020 121. 87 121. 62 5.7662 5. 8012 0.11800
c      (9) 16.156                16.038                94. 248 94. 595 12.4660 12. 330 0.15171
d    (11) 23.298                23.958                78. 484 77. 396 21.5875 22. 511 0.18542
e    (13) 33.962                33.462                65. 006 65. 489 37.9933 37. 158 0.21914
f     (15) 44.142                44.550                57. 018 56. 757 56.3 57. 082 0.25285

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni
sono ben note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-122 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio uguale a r0b = 156,4 Km rotante su se stesso con

la velocità  Vbs = 121,62 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del
volume e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal
pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta è circa il  70%  di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e quindi sulla sua superficie i
fenomeni termici che si manifestano risultano di gran lunga meno vistosi di quelli che si verificano sulla Terra.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale

rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-122 e quella del sole circa 6100/5700 , il valore calcolato

diventa
La temperatura superficiale del pianeta sarà decisamente maggiore di quella che viene raggiunta dalla
Terra.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole ( Art.29 ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-122 b sono decisamente
maggiori di quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una grande deformazione
permanente del pianeta, che assume l’aspetto di un ellissoide molto allungato.

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 Art.139 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-122, KOI-232 — Antonio Dirita

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