Art.138 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-444, KOI-3158 — Antonio Dirita

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Kepler-444 , nota anche come  KOI-3158  è in realtà un sistema stellare multiplo, formato da 3 stelle. Si trova a una distanza dal
Sole uguale a circa  116,4 al.
La massa e il raggio stimati sono :
                             mKA0,758 ⋅ ms = 1,507738 ⋅ 10³⁰ Kg       ; rKA0,752 ⋅ rs

                             mKB0,29 ⋅ ms = 0,576839 ⋅ 10³⁰ Kg

                             mKC0,25 ⋅ ms = 0,497275 ⋅ 10³⁰ Kg

Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-444

pianeta semiasse m.s periodo orb.s raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) r/rT
b    10  6.2508 3.6001 0.412                    
c     11  7.3025 4.5459 0.508                    
d    12  8.9707 6.1894 0.541                    
e    13 10.416                         7.7435 0.558                    
f     14 12.137                         9.7405 0,76                    

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore medio dello spazio rotante con la relazione
e si ottiene :                                KK² = 99,6578 ⋅10⁹ Km³/sec²
il valore corretto della massa risulta :
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella Kepler-444 in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (   Art.32    ) .
Essendo il sistema Solare molto vicino al centro del sistema stellare locale ( R0S = 27,11 al ) , con un errore trascurabile, possiamo
considerare   R0K ≃ dKS = 582 al   e quindi per il punto neutro della stella rispetto al sistema stellare locale, possiamo scrivere :

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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
146,5 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-444 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza
dal polo
stesso, mentre le masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi
satellitari come quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti
con
l’aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  Kepler-444
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.

In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 116,4 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da    40 UA  a

146,5 UA  con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-444 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  Sx  alla stella  Kepler-444 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Kepler-444  , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,  Art.12    ,  Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da         Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la teoria della quantizzazione generale direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi ( che hanno orbite meno deformate ) Kepler-444 c e Kepler-444 d , applicando la
teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                               R1K ⋅ pd² = Rds = 8,9707 ⋅ 10⁶ Km

                               R1K ⋅ pc² = Rcs = 7,3025 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta  12/11 = 1,091  se si associano alle orbite solo numeri interi

oppure    6/(5+1/2) = 1,091  se si considerano anche i numeri seminteri.
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                                          R1K  = 0,0619 ⋅ 10⁶ Km

oppure      R1K  = 0,0619 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 0,248 ⋅ 10⁶ Km     con numeri quantici seminteri

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Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
Rn = R1K ⋅ p²     ;     Tn = T1K ⋅ p³    ;    ;     C_{n} = C_{1K}⋅ p
numericamente :
Rn = 0,0619 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²     ;     Tn = 0,0035477 g ⋅ p³     ;     
Cn = 0,0078542 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                     p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-444  risultano quindi descritte dalle relazioni :


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( ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-444

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,0619
 RpT
(10⁶Km)
 0,0619
 Vps
(Km/sec)
1268,85
 VpT
(Km/sec)
1268,85
 Ts
(giorni)
0,0035477
 TT
(giorni)
0,0035477
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0078542
b    (10)  6.2508 6.1900   126.27  126.89 3.6001 3.5477 0.07 8542
c    (11)  7.3025 7.4899   116.82  115.35 4.5459 4.7220 0.08 6396
d    (12)  8.9707 8.9136   105.40  105.74 6.1894 6.1304 0.09425
e    (13) 10.416               10.4611     97.82 97.604                   7.7435 7.7943 0.10210
f     (14) 12.137               12.1324 90.614                90.632                   9.7405 9.7349 0.10996

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .

Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella,  Kepler-444 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra (  5514 Kg/m³  ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta  rb > r0c  , si ha il nucleo interno di raggio r0c = 1,748 Km rotante su se stesso
con la velocità
Vbs = 126,89 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :  Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Questo valore ci dice che l’energia che genera il nucleo rotante interno del pianeta è assolutamente trascurabile e quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti, comunque di gran lunga meno vistosi di quelli
che si verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere però quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-444 e quella del sole circa    0,87  , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà molto decisamente maggiore di quella
che
viene raggiunta dalla Terra.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole ( Art.29 ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-444 b sono circa il
doppio di
quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una grande deformazione
permanente del pianeta, che assume l’aspetto di un ellissoide molto allungato.

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 Art.138 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-444, KOI-3158 — Antonio Dirita

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