Art.136 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-62, KOI-701 — Antonio Dirita

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La stella  Kepler-62 , nota anche come KOI-701 , si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 990 al.

La massa e il raggio stimati sono :              mK0,69 ⋅ ms = 1,372479 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK0,64 ⋅ rs
Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-62

pianeta semiasse m.s periodo orb.s raggio
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) r/rT
b    6  8.2836 5.71493 1.31
c     8  13.914 12.4417 0.54
d    9 17.907                           18.16406 1.95
e   17 63.881                           122.3874 1.61
f    22 107.53 267.29 1.41

essendo noti, con sufficiente precisione, i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore medio dello spazio rotante con la relazione
e si ottiene :                     KK² = 92,0380 ⋅10⁹ Km³/sec²
Il valore corretto della massa risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  Kepler-62  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33     ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ) .
Considerando  R0K ≃ dKs = 990 al  , possiamo dunque ricavare il punto neutro rispetto al sistema stellare locale :


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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla distanza di 1199,6 UA ,
tutti i detriti residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-62 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,  Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza
dal polo
stesso, mentre le masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi
satellitari come quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori
decrescenti con l’aumentare della distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti
del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  Kepler-62
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata (990 al) di quella del sistema Solare
primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
1199,6
UA 
con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Kepler-62  , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella  Kepler-62  , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella kepler-62 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale,
giungendo
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a
ridosso della stella.
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Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,  Art.12     ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da                        Rn = Rs⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi ( che hanno orbite meno deformate ) Kepler-62 e e Kepler-62 d , applicando la teoria
della quantizzazione generale, dovrà essere :

                            R1K ⋅ pe² = Res = 63,881 ⋅ 10⁶ Km

                            R1K ⋅ pd² = Rds = 17,907 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta        (8 + 1/2)/(4 +1/2) = 1,889 se si associano alle orbite anche i numeri
quantici seminteri
oppure    16/9 = 1,889        se si considerano solo i numeri interi
si ottiene così l’orbita fondamentale :
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Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
Rn = R1K ⋅ p²    ;     Tn = T1K ⋅ p³     ;      ;      Cn = C1K ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,221 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²    ;    Tn = 0,024904 g ⋅ p³     ;     
Cn = 0,014262 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                  p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-62 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-62

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,221
 RpT
(10⁶Km)
 0,221
 Vps
(Km/sec)
645,338
 VpT
(Km/sec)
645,338
 Ts
(giorni)
0,024904
 TT
(giorni)
0,024904
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,014262
b     (6) 8.2836  7.956               105. 41 107. 56 5.71493 5. 3793 0.085572
c     (8) 13.914 14.144               81. 328 80. 667 12.4417 12. 751 0.11410
d     (9) 17.907               17.901 71. 693 71. 704 18.16406 18. 155 0.12836
e    (17) 63.881              63.869               37. 958 37. 961 122.3874 122. 35 0.24245
f     (22) 107.53 106.964             29. 256 29. 334 267.29 265. 18 0.31376

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-62 b , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta r> r0b  , si ha il nucleo interno di raggio  r0b = 80,98 Km  rotante su se stesso con la
velocità   
Vbs = 105,41 Km/sec .  Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del
volume e della velocità del nucleo e quindi del tipo :  Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove  α è una costante praticamente indipendente dal
pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e
quindi sulla
sua superficie i fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti,
comunque di gran lunga meno vistosi di quelli che si verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge
sulla Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione
sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura,
per cui, essendo il tapporto tra la temperatura superficiale della stella  Kepler-62  e quella del sole circa  0,75 , il valore calcolato
diventa 
comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà decisamente più alta di quella della Terra.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29  ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-62 b sono più intense
di quelle che si
sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una apprezzabile deformazione permanente
del pianeta, che assume l’aspetto di un ellissoide molto allungato.
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 Art.136 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-62, KOI-701 — Antonio Dirita

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