Art.132 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare HIP 41378 — Antonio Dirita

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La stella HIP 41378 si trova a una distanza dal Sole uguale a circa 380 al. La massa e il raggio stimati sono :

         mH1,15 ⋅ ms = 2,287465 ⋅ 10³⁰ Kg      ;     rH1,4 ⋅ rs

Del sistema planetario sono noti 5 pianeti .
Nota, dall’osservazione, la massa della stella, si ottiene il valore dello spazio rotante :

essendo noti, con sufficiente precisione, anche i periodi orbitali, possiamo ricavare il valore del semiasse maggiore con la relazione
.     Si ottengono così i valori riportati in tabella.
caratteristiche note sistema planetario extrasolare HIP 41378

pianeta semiasse m.s periodo orb.s raggio
  Rs(10⁶Km)     Ts(giorni) r/rT
b      4 19.127                     15.5712    2.9
c      5 30.723                     31.6978  2.56
e      8 77.908                   128                         3.96
d      9 97.789                   180                         5.51
f     11        146.48 330                         10.2

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  HIP41378  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) .   Considerando  R0H ≃ dHDs  , possiamo scrivere :


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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla distanza di  604 UA ,
tutti i detriti residui che formano attualmente una fascia analoga a quella di Kuiper presente nel sistema Solare
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa  Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  HIP41378  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse che partono verso il polo da punti vicini fra loro, lungo il percorso, possono aggregarsi dando origine a sistemi satellitari come quelli
presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori
decrescenti con l’aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del
sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella HIP41378 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 380 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
604 UA con un notevole aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un pari aumento della probabilità
di aggregazione prima di giungere a destinazione (  Art.37    ).
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella HIP41378 , risulta infatti (   Art.33     ) :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella  HIP41378  , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella HIP41378 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale,
giungendo così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a
ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1H .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare e ≃ 0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi ( che hanno orbite meno deformate ) HIP41378 e  HIP41378 c , applicando
la teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                                   R1H ⋅ pe² = Res = 77,908 ⋅ 10⁶ Km

                                   R1H ⋅ pc² = Rcs = 30,723 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta     8/5 = 1,6
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                             R1H  = 1,212 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

 Rn = R1H ⋅ p²    ;    Tn = T1H ⋅ p³     ;      ;     C_{n} = C_{1H}⋅ p
numericamente :
Rn = 1,212 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²   ;    Tn = 0,248461 g ⋅ p³     ;     

Cn = 0,0429946 ⋅ 10¹⁰
Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p


con                                                  
p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo HIP41138 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare HIP41378

pianeta          p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,499
 RpT
(10⁶Km)
 0,499
 Vps
(Km/sec)
298,892
 VpT
(Km/sec)
298,892
 Ts
(giorni)
0,121409
 TT
(giorni)
0,121409
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0149147
b    (4) 19.127              19.392               89. 329  88. 685  15.5712 15. 902 0.17198
c    (5) 30.723              30.300               70. 486  70. 948  31.6978 31. 058 0.21497
e    (8) 77.908              77.568               44. 263  44. 343 128               127. 21 0.34396
d    (9) 97.789               98.172               39. 508  39. 416 180               181. 13 0.38695
f   (11)  146.48 146.652              32. 280  32. 249 330               330. 70 0.47294

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni
sono ben note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, HIP41378 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta rb > r0b , si ha il nucleo interno di raggio r0b = 2118 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 89,329 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta è decisamente maggiore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è decisamente maggiore di quella terrestre e quindi
i fenomeni termici che si manifestano in superficie saranno di gran lunga più vistosi di quelli che si verificano sulla Terra.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna anche tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella HIP41378 e quella del sole circa  1,1 , il valore calcolato diventa

                                     ESmb/ESmT7,274 ⋅ 1,1⁴ = 10,65

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ), per cui possiamo dire che le forze di marea che si manifestano sul pianeta
HIP41378 b sono meno intense di quelle che si sperimentano sulla Terra .

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 Art.132 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare HIP 41378 — Antonio Dirita

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