Art.130 — Esopianeti, origine e calcolo delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Gliese 667, HR6426 — Antonio Dirita

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Gliese 667, noto anche come HR6426, , è un sistema triplo che si trova ad una distanza dal Sole di circa 23,2 al. E’ formato da
due stelle, Gliese 667 A e Gliese 667 B , che orbitano il comune centro di massa con un’orbita ellittica avente perielio uguale
a 5 UA ed afelio di 20 UA , con un periodo uguale a 42,15 anni.

La stella principale ha massa e raggio        mA = 0,75 ⋅ ms      ;      rA0,77 ⋅ rs

per la seconda si ha                                      mB = 0,65 ⋅ ms       ;      rB0,70 ⋅ rs

Alla distanza dalla coppia di  230 UA  orbita una terza stella, indicata come Gliese 667 C , con le seguenti caratteristiche

                                       mC = 0,33 ⋅ ms       ;      rC < 0,42 ⋅ rs

Quest’ultima stella presenta un sistema planetario con le caratteristiche riportate in tabella

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Gliese 667 C

pianeta
p
semiasse m.s periodo orb.s massa
  Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT
b    4    7.5887   7.2004    5.94
h    5 12.922                                16.0      2.6
c     6 18.820                              28.12    3.86
f     7 23.437                              39.08      2.7
e    8 31.972                            62.266                              2.7
d    9 41.192                                 91.6    5.21
g   13 82.053                          256                            4.41

Complessivamente la coppia A-B presenta una massa mAB = 1,4 ⋅ ms = 2,78474 ⋅ 10³⁰ Kg .

Essendo la distanza dal Sole, 23,2 al , confrontabile con la distanza del sistema solare dal centro dello spazio rotante del sistema stellare
locale  R0s = 27,11 alArt.32    ) , non è possibile utilizzare l’approssimazione R0GlC ≃ dGlCS = 23,2 al e quindi valutiamo
solo il valore massimo del punto neutro per verificare il legame gravitazionale tra la coppia  A-B  e la  stella C  , che ospita il sistema
planetario.
Poniamo dunque                          R0GlCmax ≃ dGlCS + R0s = 23,2 al + 27,11 al = 50,31 al
Il punto neutro risulta quindi :
1
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Essendo la distanza della stella  C230 UA >> 86,619 UA   , questo risultato indica, in maniera inequivocabile, che la stella C
si trova molto oltre il punto neutro della coppia A-B e quindi ha con essa un legame molto debole .
Dato che l’osservazione astronomica la indica in moto orbitale attorno alla coppia, si deve pensare che essa percorra una spirale centrifuga,
allontanandosi gradualmente come la Luna dalla Terra ( che si trova oltre il punto neutro della Terra rispetto al Sole ).
Possiamo dunque trattare praticamente  Gliese 667 C  come sistema indipendente.
Calcoliamo lo spazio rotante associato alla stella applicando la relazione  a tutti i pianeti noti ;
si ottiene il valore medio :                              KC² = 44,5789 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella
Gliese 667 C  in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in
prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.

Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

2
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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto tutti i residui
che formano
attualmente una fascia analoga a quella di Kuiper presente nel sistema Solare.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa  S , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  Gliese 667 C , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi oppure formare sistemi
multipli.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Gliese 667 C , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
poco maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse che 
 partono verso il polo da punti vicini fra loro, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli
presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della distanza
dal pianeta ( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario Gliese 667 C con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella
posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.

Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  Sx alla stella Gliese 667 C , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
(con vertice nella stella esplosa) sotteso dalla piccola stella Gliese 667 C , avendo punto neutro molto alto rispetto alla stella, certamente
maggiore della loro reciproca distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale e sono
giunti così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso
della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1C .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite circolari minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili
aventi raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

L’eccentricità orbitale dei pianeti non è però nota con precisione ed è comunque di valore modesto, per cui applichiamo la quantizzazione
direttamente al semiasse maggiore Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti Gliese 667 C e  Gliese 667 C h , applicando la teoria della quantizzazione generale,
dovrà essere :
R1C ⋅ pe² = Res  = 31,972 ⋅ 10⁶ Km

R1C ⋅ ph² = Rhs = 12,922 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

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Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   8/5 = 1,6 .
Si ottiene così l’orbita fondamentale       
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
Rn = R1C ⋅ p²     ;     Tn = T1C ⋅ p³     ;       ;      Cn = C1C ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,499 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²    ;      Tn = 0,121409 gp³      ;       
Cn = 0,0149147 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….
4
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Le orbite del sistema planetario completo Kepler 102 risultano quindi descritte dalle relazioni :

ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 . Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Gliese 667 C

pianeta        p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,499
 RpT
(10⁶Km)
 0,499
 Vps
(Km/sec)
298,892
 VpT
(Km/sec)
298,892
 Ts
(giorni)
0,121409
 TT
(giorni)
0,121409
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0149147
 CT
(10¹⁰Km²/sec)
0,0149147
h   (5) 12.922                12.475                   58.732  59.778  16.0   15. 176   0.075893   0.074574
c    (6) 18.820                17.964                 48.671                 49.815  28.12   26. 224   0.0 91599   0.089488
f    (7) 23.437                24.451                 43.613                 42.699  39.08   41. 643   0.10222   0.104400
e   (8) 31.972                31.936                 37.341                 37.362 62.266                     62. 161   0.11939   0.119320
d   (9) 41.192                   39.69 32.703                 33.21  91.6   88. 507   0.13471   0.134230
g  (13) 82.053                84.331                 23.309                 22.992 256                          266. 74   0.19126   0.193890

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo
caso, più che buono .
Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note,
e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Gliese 667 b , con le caratteristiche indicate in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

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Anche se non è noto con precisione il raggio del pianeta  r , sarà certamente r0b < r e quindi si ha il nucleo interno di

raggio r0b = 402,98 Km rotante su se stesso con la velocità Vbs = 76,644 Km/sec .
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :  Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove  α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta vale dunque circa 5 volte quella generata dal nucleo rotante della Terra.
Essendo mb5,94 ⋅ mT , in rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta
vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è paragonabile a quella che giunge sulla Terra e
dunque lo saranno anche i fenomeni termici che si manifestano .
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella ( Art.101 ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
supponendo che il pianeta  Gliese 667 b  abbia densità uguale a quella della Terra, il raggio vale

rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, l’energia ricevuta per unità di superficie risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ), per cui, in definitiva, possiamo pensare che le forze di marea che si manifestano sul pianeta
Gliese 667 b siano dello stesso ordine di grandezza di quelle che si sperimentano sulla Terra.
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 Art.130 — Esopianeti, origine e calcolo delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Gliese 667, HR6426 — Antonio Dirita

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