Art.129 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare HD 40307 — Antonio Dirita

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HD40307 si trova a una distanza dal Sole uguale a circa  41,8 al. I valori stimati di massa e raggio sono :

           mHD = 0,75 ⋅ ms = 1,491825 ⋅ 10³⁰ Kg     ;        rHD = 0,716 ⋅ rs

Sono noti 6 pianeti con le caratteristiche riportate in tabella

caratteristiche note sistema planetario extrasolare HD40307

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa
  Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT
b     3       7.0034  4.3123       4      
c     4 11.956           9.6184   6.6
d     5 19.756          20.432                              9.5
e     6 28.079            34.62   3.5
f      7 36.714            51.76   5.2
g   11 91.486            203.6   7.1

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                                  KHD² = 97,6865 ⋅ 10⁹ ((Km³)/(sec²))
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  HD40307  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (   Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del
punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ) .

Considerando     R0HD ≃ dHDs + R0s = 41,8 al + 27,11 al = 68,91 al , possiamo dunque scrivere :


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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque
alla distanza di
86,024 UA , tutti i detriti residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa  Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella HD40307 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono approssimativamente con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse vicine che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel
sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della distanza dal pianeta
(questa situazione è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella  HD40307 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione attuale.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
Nel nostro caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 68,91 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
86
UA
con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di aggregazione
prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la
posizione della stella HD40307 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella HD40307 , molti dei detriti emessi entro il piccolo angolo solido
sotteso dalla stella HD40307 ( con vertice nella stella esplosa) , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore
della loro reciproca distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, giungendo
così a
destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della
stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1HD .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da   Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l’eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e0 e applicare
la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti intermedi ( che hanno orbite meno deformate ) HD40307 f e HD40307 c , applicando la
teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                               R1HD ⋅ pf² = Rfs = 36,714 ⋅ 10⁶ Km

                               R1HD ⋅ pc² = Rcs = 11,956 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    7/4 = 1,75
si ottiene così l’orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                              R1K62  = 0,762 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Rn = R1HD ⋅ p²     ;     Tn = T1HD ⋅ p³     ;      ;      Cn = C1HD ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,762 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²     ;      Tn = 0,154768 g ⋅ p³      ;     
 Cn = 0,0272832 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                            
p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo HD40307 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :

caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare HD4030

pianeta       p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.T m.ang.T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
 0,762
 RpT
(10⁶Km)
 0,762
 Vps
(Km/sec)
358,047
 VpT
(Km/sec)
358,047
 Ts
(giorni)
0,154768
 TT
(giorni)
0,154768
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0272832
 CT
(10¹⁰Km²/sec)
0,0272832
b    (3)  7.0034   6.858             118. 10  119. 35  4.3123   4. 1787 0.0 8271 0.081850
c    (4) 11.956           12.192            90. 396  89. 512  9.6184   9. 9052 0.10808 0.10913
d    (5) 19.756              19.05  70. 316  71. 609 20.432              19. 346 0.13892 0.13642
e    (6) 28.079           27.432            58. 982  59. 675    34.62   33. 430 0.16562 0.16370
f     (7) 36.714           37.338            51. 583  51. 150    51.76   53. 085 0. 18938 0.19098
g   (11) 91.486           92.202            32. 677  32. 550    203.6   206. 00 0.29895 0.30012

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, HD40307 b , con il valore della massa indicato in tabella.
Supponendo che il pianeta abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/m³ ) il raggio risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta  r0c < rb , si ha il nucleo interno di raggio r0c = 114,3 Km rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 118,10 Km/sec . Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.

L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo : Et = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e
quindi sulla sua
superficie i fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti,
comunque di gran lunga meno vistosi di quelli che si verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (   Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge
sulla Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione
sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l’energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella HD40307 e quella del sole circa  0,85 , il valore calcolato diventa

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà molto elevata.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
Quest’ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta HD40307 b sono di gran lunga
più intense di
quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una grande deformazione
permanente del pianeta, che assume l’aspetto di un ellissoide molto allungato.
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 Art.129 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare HD 40307 — Antonio Dirita

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