Art.127 — Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-102 — Antonio Dirita

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Kepler-102 , nota anche come  KOI-82  , è una stella che si trova ad una distanza dal Sole di circa  340 al  avente massa e raggio
stimati
                  mK = 0,8 ⋅ ms = 1,59128 ⋅ 10³⁰ Kg   ;    rK = 0,74 ⋅ ms

Il sistema planetario presenta le seguenti caratteristiche.

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-102

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa raggio
  Rs(10⁶Km)   Ts(giorni) m/mT r/rT
    b      8.2405       5.28696    <4.3 0.48
    c 10.004                              7.07142    <2.3 0.59
    d     1 2.864       10.3117      3.8 1.21
    e 17.346                              16.1457      8.9 2.27
    f 24.711                             27.4536   < 5.2 0.90

Lo spazio rotante associato alla stella vale :

e quindi la massa risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni approssimativamente crescenti con la distanza
dalla stella    Kepler-102  in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l’esplosione di una stella
orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33   ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.

Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32  ) , che vale :

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L’esplosione di quest’ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto tutti i
residui che formano attualmente una fascia analoga a quella di Kuiper presente nel sistema Solare.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l’esplosione della stella esplosa  S , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-102 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l’origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che
partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l’aumentare della distanza dal pianeta ( questo si verifica
per tutti i satelliti del sistema Solare ).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario Kepler 102 con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Kepler 102 non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l’azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.
Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l’origine del sistema
Solare, ossia con l’esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è molto più elevata (340 al) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32   ) .
Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  442 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler 102 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
di gran lunga maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa Sx alla stella Kepler 102 , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato da Kepler 102 , avendo un punto neutro molto alto rispetto alla stella, certamente maggiore della loro reciproca distanza,
si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale e sono giunti così a destinazione, in
numero
ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell’orbita fondamentale R1K .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da     Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

L’eccentricità orbitale dei pianeti non è però nota e quindi applichiamo la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore  Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti Kepler 102 f e Kepler 102 b , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
R1K ⋅ pf² = Rnf = 24,711 ⋅ 10⁶ Km

R1K ⋅ pb² = Rnb = 8,2405 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D’altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta      14/8 = 1,75
oppure   7/4   , se alle orbite stabili si associano anche i numeri seminteri.
Si ottiene così l’orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                R1K  = 0,497 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell’orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all’orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
    Rn = R1K ⋅ p²   ;   Tn = T1K ⋅ p³   ;    ;    Cn = C1K ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,497 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²      ;      Tn = 0,078309 g ⋅ p³      ;       ;
Cn = 0,0229587 ⋅ 10¹⁰
(Km²/(sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                  p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……….

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-102  risultano quindi descritte dalle relazioni :


ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0  .  Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-102

pianeta / p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T m.ang.s m.ang.T
p = 1  Rps
(10⁶Km)
0,497
 RpT
(10⁶Km)
0,497
 Vps
(Km/sec)
461,543
 VpT
(Km/sec)
461,543
 Ts
(giorni)
0,078309
 TT
(giorni)
0,078309
 Cs
(10¹⁰Km²/sec)
0,0229587
CT
(10¹⁰Km²/sec)
b    (4)  8.2405  7.952             113. 35 115. 39 5.28696  5.0118  0.093406 0.091835
c (4+1/2) 10.004             10.064             102. 88 102. 57 7.07142  7.1359  1.0292 0.10331
d    (5) 12.864 12.425             90. 722 92. 309 10.3117  9.7886  1.1670 0.11479
e    (6) 17.346             17.892             78. 128 76. 924 16.1457 16.915               1.3552 0.13775
f     (7) 24.711             24.353             65. 457 65. 935 27.4536 26.860               1.6175 0.16071

L’accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo
caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note,
e consideriamo il pianeta più vicino alla stella,  Kepler-102 b  , con le caratteristiche indicate in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Anche se non è noto con precisione il raggio del pianeta,    rb   , sarà certamente    r0b < rb   e quindi si ha il nucleo interno di

raggio r0b = 133,38 Km rotante su se stesso con la velocità Vbs = 113,35 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L’energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove  α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l’energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L’energia prodotta è dunque circa  1/3  di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
Essendo  mb4,3 ⋅ mT   , in rapporto sempre alla Terra, l’energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta
vale quindi :

Questo valore ci dice che l’energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è trascurabile rispetto a quella
che giunge
sulla Terra e dunque lo saranno anche i fenomeni termici che si manifestano.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L’energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L’energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge
sulla Terra e dunque lo
saranno anche gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione
sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ), per cui, in definitiva, possiamo pensare che le forze di marea che si manifestano sul
pianeta
Kepler-102 b siano dello stesso ordine di grandezza di quelle che si sperimentano sulla Terra.
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