Art.121 -- Esopianeti, origine e caratteristiche del sistema planetario extrasolare Kepler-42, confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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Kepler-42  , nota anche come    KOI-961  è una piccola stella, una nana rossa poco più massiccia del Sole, distante da esso circa
126,2 al. I valori stimati di massa e raggio sono :
                     mK42 = 0,13 ⋅ ms = 0,258583 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK42 = 0,17 ⋅ rs
Sono noti tre pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
   caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-42

pianeta semiasse m.s periodo orb.s eccentricità. orb. massa raggio
Rs(10⁶Km)   Ts(giorni)        e m/mT   r/rT
c    (5)     0.8980 0.453                                ≃ 0.006      1.91 0.797       
b   (7)     1.7325 1.214                                 < 0.006    <2.86 0.745       
d   (8)     2.3067 1.865                                ≃ 0.008    <0.95 0.582       

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                               KK42² = 18,6607 Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che esistono diverse analogie con sistema Solare e quindi ipotizziamo che anche il sistema planetario
di  Kepler-42  abbia avuto origine dall'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare
locale (   Art.33    ).
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

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L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque a questa distanza,tutti i
residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa  Sx  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella centrale  Kepler-42  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare  sistemi
multipli.
Negli   Art.31    ,   Art.34     ,   Art.37    , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa approssimativamente crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse che partono da punti vicini verso il polo di attrazione, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come
quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario  Kepler-42  con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Kepler-42  non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la stella si trova a una distanza maggiore dal centro del sistema stellare locale ( circa 126,2 al rispetto a quella del
Sole uguale a 27,11 al ) (  Art.32    ), e questo comporta un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella
esplosa e quindi un aumento della probabilità di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo richiesto dai detriti per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della stella Kepler-42 , risulta infatti :

Nel nostro caso si ottiene :
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
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Per quanto riguarda il numero dei pianeti complessivamente in equilibrio nello spazio rotante della stella, si ha una limitazione dovuta basso
valore del suo raggio    rTR = 0,17 ⋅ rs   alla quale si aggiunge quella legata alla maggiore distanza di  Kepler-42  dalla stella
esplosa, che provoca una riduzione dell'angolo solido entro il quale i detriti generati dall'esplosione possono intercettare la stella posta al
centro dello spazio rotante.
Se, come nel nostro caso, l'angolo solido che si considera è molto piccolo, i detriti emessi in esso contenuti sono molto vicini fra loro ed
hanno quindi momenti angolari specifici poco diversi e di basso valore, per cui giungono a destinazione, in numero ridotto
e molto vicini fra
loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K42 .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0
e applicare la quantizzazione direttamente al raggio Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti  Kepler-42 Kepler-42  , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                R1K42 ⋅ pd² = R_{ds }= 2,3067 ⋅ 10⁶ Km

                                R1K42 ⋅ pc² = R_{cs }= 0,8980 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta          8/5 = 1,6
oppure, associando alle orbite anche i numeri seminteri,   
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore              R1K42 = 0,036 ⋅ 10⁶ Km
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Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :
Rn = 0,036 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²       ;      Tn =0,00363627 g ⋅ p³      ;   
 Cn = 0,0259188 ⋅ 10⁹ (Km²/sec⋅Kg) ⋅ p

con                                                             p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-42  risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
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caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-42

pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1 Rps
(10⁶Km)
0,834
RpT
(10⁶Km)
0,834
Vps
(Km/sec)
380,962
VpT
(Km/sec)
380,962
Ts(giorni)

0,159203

TT(giorni)

0,159203

      Cs
10¹⁰Km²/sec      0,031772
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,031772
c     (5) 0.8980 0.900         144. 16 143.9934 0.453        0.459037 0.12946 0.129594
b     (7) 1.7325 1.764         103. 78 102.8524 1.214        1.259598 0.17980 0.181431
d     (8) 2.3067 2.304         89. 945 89.99588 1.865        1.880217 0.20748 0.207350

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-42 , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta    rc = 0,797 ⋅ rT = 5083 Km > r0c

si ha il nucleo interno di raggio r0c = 36,63 Km  rotante su se stesso con la velocità    Vbs = 144,16 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove  α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.

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In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l'energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e quindi sulla sua superficie  del
pianeta i fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti, di gran lunga meno
vistosi di quelli che si
verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-42 e quella del sole circa  0,54 , il valore calcolato diventa

                                   ESmb/ESmT43696 ⋅0,54⁴ = 3715
comunque ancora molto elevato.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al
doppio di quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-42 c sono di gran lunga più intense di quelle
che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una grande deformazione permanente del pianeta, che assume
l'aspetto di un ellissoide molto allungato.
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