Art.120 -- Esopianeti, origine e caratteristiche del sistema planetario extrasolare Trappist-1, confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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Trappist-1 è una piccola stella, una nana rossa poco più massiccia del Sole, distante da noi di circa 39,6 al.
I valori stimati di massa e raggio sono :
           mTR = 0,090 ⋅ ms = 0,17902 ⋅ 10³⁰ Kg    ;     rTR = 0,120 ⋅ rs
Sono noti sette pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Trappist-1

pianeta semiasse m.s periodo orb.s eccentricità. orb. massa raggio
 Rs(10⁶Km)     Ts(giorni)           e m/mT  r/rT
     b        1.7281          1.510876               ≃ 0.006 1.017          1.121         
     c       2.3668          2.421807                < 0.006 1.156          1.095         
     d       3.3346          4.049959               ≃ 0.008 0.297          0.784         
     e       4.3811          6.099043               ≃ 0.005 0.772          0.910         
     f       5.7647          9.205585                  ≃ 0.01 0.934          1.046         
     g       7.1390          12.35447                < 0.002 1.148          1.148         
     h       9.2687          18.76795               ≃ 0.005 0.331          0.773         

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                        KTR² = 11,9552 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

L'orbita circolare minima quantizzata (  Art.12    e    Art.13   ) si calcola con la :          Rn = Rs⋅ (1 – e²)

Dai dati riportati in tabella, vediamo che esistono diverse analogie con sistema Solare e quindi ipotizziamo che anche il sistema planetario
di Trappist-1 abbia avuto origine dall'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare
locale (  Art.33    ).
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

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L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque a
questa distanza,
tutti i residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella centrale  Trappist-1  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi
multipli.
Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa approssimativamente crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse che partono da punti vicini verso il polo di attrazione, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come
quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal
pianeta ( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario  Trappist-1  con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Trappist-1 non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la
distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la stella ha una massa minore del 10%  di quella del Sole e questo, nonostante la maggiore distanza dal centro del
sistema stellare locale (  circa  39,6 al  rispetto a quella del Sole uguale a  27,11 al  ) (  Art.32   ), comporta una riduzione del punto
neutro, che passa da  40 UA  per il Sole al valore  RNTRSL = 17,2939 UA .

Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Trappist-1 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
decisamente minore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
La diminuzione del tempo di volo riduce la possibilità di aggregazione dei detriti durante il trasferimento dalla stella esplosa  Sx alla stella
Trappist-1 , e quindi i pianeti giungono sulle orbite con dimensioni ancora relativamente ridotte.
Per quanto riguarda il numero dei pianeti complessivamente in equilibrio nello spazio rotante della stella, si ha una doppia limitazione.
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La prima limitazione deriva basso valore del momento angolare rotazionale della stella, dovuto ai valori piccoli del raggio e della velocità di
rotazione   ( rTR = 0,120 ⋅ rs  vTR6 Km/sec ) .
Abbiamo visto infatti che, per avere un sistema equilibrato, il momento angolare della stella centrale deve essere approssimativamente
uguale a quello orbitale di tutti i pianeti.
Una seconda limitazione del numero dei pianeti è dovuta al basso valore del punto neutro, che limita l'angolo solido entro il quale i detriti
generati dall'esplosione possono intercettare la stella posta al centro dello spazio rotante.
Se, come nel nostro caso, l'angolo solido che si deve considerare è molto piccolo, i detriti emessi in esso contenuti sono molto vicini fra loro
ed hanno quindi momenti angolari specifici poco diversi e di basso valore, per cui giungono a destinazione, in numero ridotto
e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1TR .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, applichiamo la quantizzazione direttamente al raggio  Rs  .
Considerando, per esempio, i pianeti Trappist-1 h e Trappist-1 e , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                     R1TR ⋅ ph² = Rhs = 9,2687 ⋅ 10⁶ Km


R1TR ⋅ pe² = Res = 4,3811 ⋅ 10⁶
Km

da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   
oppure, associando alle orbite solo i numeri interi,          16/11 = 1,4545
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si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                     R1TR  = 0,145 ⋅ 10⁶ Km

Assumendo  R1TR  = 0,145 ⋅ 10⁶ Km , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :


Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
   Rn = R1TR ⋅ p²   ;    Tn = T1TR ⋅ p³    ;        ;    Cn = C1TR ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,145 ⋅ 10⁶ Kmp²   ;    Tn = 0,036723 gp³    ;       ;
Cn = 0,0416353 ⋅ 10⁹ (Km²/sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                             p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo Trappist-1 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
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caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Trappist-1

 pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1 (Rps
(10⁶Km)
0,145
RpT
(10⁶Km)
0,145
Vps
(Km/sec)
287,140
VpT
(Km/sec)
287,140
Ts(giorni)

0,036723

TT(giorni)

0,036723

      Cs
10¹⁰Km²/sec      0,0416353
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,0416353
b  (3+1/2) 1.7281 1.7763 83.178          82.040         1.510876 1.5745 0.14374 0.14572
c     (4) 2.3668   2.32 71.070          71.785         2.421807 2.3503 0.16821 0.16654
d     (5) 3.3346 3.625         59.877          57.428         4.049959 4.5904 0.19967 0.20818
e  (5+1/2) 4.3811 4.3863   52.238          52.207         6.099043 6.1098 0.22886 0.22899
f      (6) 5.7647   5.22 45.540          47.857         9.205585 7.9322 0.26252 0.24981
g     (7) 7.1390 7.105         42.022          41.020         12.35447 12.596           0.30000 0.29145
h     (8) 9.2687   9.28 35.914          35.893         18.76795 18.802           0.33288 0.33308

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, risulta più che buono .

Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Trappist-1 , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta        rb = 1,121 ⋅ rT = 7149,7 Km > r0b

il pianeta presenta un nucleo interno di raggio  r0b = 58,585 Km   rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 83,178 Km/sec

Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume e
della velocità del nucleo e quindi del tipo :  E_{t} = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove  α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
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In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l'energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e
quindi
sulla sua
superficie i fenomeni termici che si manifestano risultano di gran lunga meno vistosi di
quelli che si verificano sulla Terra.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Trappist-1 e quella del sole circa  1/2  , il valore calcolato diventa
        comunque ancora molto elevato
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta   Trappist-1 b  sono di gran
lunga più intense di
quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona, produce una grande
deformazione permanente del pianeta, che assume l'aspetto di un ellissoide molto allungato.
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 Art.120 -- Esopianeti, origine e caratteristiche del sistema planetario extrasolare Trappist-1, confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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