Art.116 -- Esopianeti, origine e caratteristiche del sistema planetario extrasolare Titawin (Upsilon Andromedae), confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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Upsilon Andromedae è un sistema stellare binario che si trova ad una distanza dal Sole di circa 43,9 al, la stella principale,
Upsilon Andromedae A , ha una massa    mUA = 1,28 ⋅ ms = 2,54605 ⋅ 10³⁰ Kg  .

La più piccola,  Upsilon Andromedae B , è una nana rossa distante dalla principale   dAB = 750 UA  ,  di massa

mUB = 0,19 ⋅ ms = 0,37793 ⋅ 10³⁰ Kg .
Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32    ) , possiamo calcolare il punto neutro della stella principale rispetto al sistema
stellare locale e risulta :

Essendo   RNHDSL = 72.2694 UA << dAB = 750 UA   la stella   Upsilon Andromedae A   non è in grado di

trattenere in orbitastabile la Upsilon Andromedae B .

Il legame gravitazionale tra le due stelle è quindi praticamente
trascurabile, per cui esse non 
formano un sistema doppio.

Le due stelle non formano quindi un sistema e per questa ragione, nell'articolo l'esistenza della stella Upsilon Andromedae B
verrà completamente trascurata.
Indicare le due stelle come sistema doppio equivarrebbe a ritenere la coppia Terra-Luna un sistema doppio anche alla distanza

mentre sappiamo che a tale distanza (molto oltre il punto neutro) l'azione gravitazionale della Terra è assolutamente trascurabile
rispetto a quella del Sole.
E' però possibile che nel sistema primordiale le due stelle si trovassero ad una distanza minore, comunque sempre oltre il punto neutro, e
che la B si sia allontanata gradualmente da Upsilon Andromedae A percorrendo una spirale centrifuga.
I pianeti in orbita noti hanno le caratteristiche orbitali riportati in tabella .

          sistema planetario extrasolare Upsilon Andromedae

pianeta semiasse m. semiasse m. periodo orb. ecc. orb. massa
    R(UA)     Rs(10⁶Km)     T(giorni)      e  m/mT
b / Saffar           0.0595           8. 901 2         4.617113 0,023           ≥ 220
c / Samh 0.830                    124. 17          241.23 0,262            ≥ 620
d / Majriti            2.54           379. 98          1290.1 0,258           ≥1250
e            5.25            785.40         3848.86 0,005            ≥ 340

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Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella
Upsilon Andromedae A in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella
orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33   ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo
processo di
formazione.

Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse triplo, con una stella di maggiori dimensioni posta approssimativamente alla
distanza di  72,2694 UA  dalla stella Upsilon Andromedae A . L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema
planetario, lasciando sul posto tutti i residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti,  subito dopo l'esplosione della stella esplosa  S , molto minore del loro punto
neutro rispetto alla stella  Upsilon Andromedae A  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi
o formare sistemi multipli.
Negli  Art.31   ,  Art.34  ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine
che
partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema
Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.

Se dunque confrontiamo il sistema planetario Upsilon Andromedae con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la
stella  Upsilon Andromedae A  non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti
durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di
masse crescente con la distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti e questo giustifica la grande analogia che si
verifica tra i due sistemi.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 43,9 aldi quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a  72 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Upsilon Andromedae A , risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene :

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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa   Sx  alla stella  Upsilon Andromedae A  , molti dei detriti emessi nel
piccolo angolo solido intercettato dalla stella Upsilon Andromedae A , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto,
certamente maggiore della loro reciproca distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione
gravitazionale, giungendo così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1UA .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite circolari minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili
aventi raggio dato da  Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
A differenza dei sistema già esaminati negli articoli precedenti, in questo caso l'eccentricità orbitale non è trascurabile e quindi applichiamo
la quantizzazione al raggio Rn , senza alcuna approssimazione.
Nella condizione attuale il punto neutro di tutti i pianeti risulta certamente di gran lunga minore delle reciproche distanze , per cui la loro
interazione sembrerebbe certamente trascurabile rispetto all'azione dello spazio rotante centrale generato dal sistema stellare Upsilon
Andromedae .
Le orbite dei pianeti non dovrebbero subire dunque apprezzabile perturbazione.

In realtà bisogna però considerare l'accostamento che si verifica tra i pianeti quando quello interno si avvicina all'afelio e quello esterno
al perielio. La deformazione dell'orbita potrà essere trascurata per i pianeti intermedi  c  e d  , ma non per quello interno  b  e quello
esterno    , che subiscono l'azione di tutti gli altri pianeti. Si avrà infatti un aumento del raggio orbitale per
quello interno ed una 
riduzione per quello esterno.
Con riferimento alla figura, calcoliamo con quale periodicità viene imposta la deformazione dell'orbita.

Upsilon Andromedae 

I due pianeti  b  e  c  percorrono le orbite di raggio  Rb  e Rc , ciascuno con la propria velocità orbitale. Se si considera una qualsiasi
condizione di partenza, per esempio quella di massimo accostamento con  b  all'afelio e  c  sul raggio medio, la stessa configurazione si
presenterà quando i due pianeti avranno percorso lo stesso angolo  α  .
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Il pianeta    imporrà quindi un aumento impulsivo del raggio  R con un periodo che si ottiene uguagliando l'angolo che viene da essi
percorso nello stesso tempo.
Con ovvio significato dei simboli, si ha quindi :

In realtà il pianeta  c  non si muove sull'orbita di raggio medio, ma su una ellisse e quindi l'azione massima si verifica quando esso si trova
al perielio. Dunque ogni 241,23 g si ha un impulso di valore massimo che spinge l'orbita di  b  verso l'esterno.
L'impulso verso l'esterno imposto a  b  dagli altri due pianeti ha un periodo :

In definitiva ogni 4,6 giorni circa il pianeta Upsilon Andromedae b si trova allineato con i pianeti esterni, i quali danno origine
così a una deformazione dell'orbita che si traduce in un aumento reale del raggio.
Analogo calcolo si può fare per il pianeta esterno.
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In definitiva l' orbita quantizzata stabile del pianeta  b  calcolata teoricamente dovrà risultare di raggio minore di quella reale
(deformata),
mentre quella calcolata per pianeta esterno  e  dovrà risultare maggiore di quella reale (deformata).

Noto dall'osservazione il periodo orbitale, calcoliamo il periodo quantizzato  Tn  , associato all'orbita circolare minima stabile  Rn  con

la relazione             Tn = T ⋅ (1 – e²)3/2       calcoliamo il periodo quantizzato associato all'orbita circolare minima.
I risultati che si ottengono sono riportati in tabella
       caratteristiche del sistema extrasolare Upsilon Andromedae

 

pianeta semiasse m. semiass m. orb. quant. period orb. periodo orb.   ecc. massa
     R(UA)    Rs(10⁶Km)   Rn(10⁶Km)     T(giorni)     Tn(giorni)    e m/mT
b            0.0595          8. 901 2         8. 896 5         4.617113           4. 613 4   0.023             ≥ 220
c   0.830                      124. 17          115. 65           241.23            216. 82  0.262             ≥ 620
d               2.54          379. 98          354. 69           1290.1            1163. 5  0.258             ≥1250
e               5.25           785.40           785.38         3848.86            3848. 7  0.005             ≥ 340

applicando la relazione       a tutti i pianeti, calcoliamo il valore medio dello spazio rotante generato dalla
stella  Upsilon Andromedae A  e si ottiene :         KUA² = 174,430 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta della stella risulta:

Per le ragioni che sono state indicate, consideriamo i pianeti intermedi, che presentano le orbite meno deformate .
dovrà essere :
                           R1UA ⋅ pd² = Rnd = 354. 69 ⋅ 10⁶ Km

                           R1UA ⋅ pc² = Rnc = 115. 65 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene : 

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D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                     14/8 = 1,75  oppure  7/4 = 1,75
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio        R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km

oppure  R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 7,2332 ⋅ 10⁶ Km  se si considerano anche i numeri associati seminteri.

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, si deve immaginare di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale comunque da non consentire il rilievo dei piccoli dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete, e fare il
confronto con il sistema in esame (  Art.114    )
Se i dati forniti dall'osservazione del sistema Upsilon Andromeda e sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri
quantici associati alle orbite dei pianeti noti, possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri
mancanti, ma 
nulla possiamo dire sulle caratteristiche dei corpi minori che le occupano.
Assumendo  R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Le orbite del sistema planetario completo  Upsilon Andromedae  risultano quindi descritte dalle relazioni :


Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema extrasolare Upsilon Andromedae

pianeta       / p sem.m.s sem.m.T sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
  p = 1   Rps
  (10⁶Km)
1,8083
  Rns
  (10⁶Km)
1,8083
    RpT
  (10⁶Km)
1,8083
   Vps
 (Km/sec)
310,851
  VpT
 (Km/sec)
310,851
 Ts(giorni)
0,423411g
TT(giorni)
0,423411g
    CS
(10¹⁰Km²/sec)
0,0561624
   CT
(10¹⁰Km²/sec)
0,0561624
b    (2)    8.9012    8. 8968   7. 2370    140.20   155. 25   4.617113    3.3900    0.124795 0.11235
c    (8)    124.17    115. 65   124. 26 37.433         37. 466     241.23    241.19    0.465215 0.46556
d  (14)    379.98    354. 69   379. 70 21.419         21. 433     1290.1    1288.3    0.813879 0.81383
e  (21)    785.40     785.38    797.48  14.840         14. 789    3848.86    3921.4    1.165534 1.17940

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali
risulta , anche in questo 
caso, eccezionale .

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Nel pianeta  b  il raggio dell'orbita sperimentale risulta maggiore di quello teorico per l'azione gravitazionale degli altri pianeti,
rivolta verso
l'esterno.
Analogamente, per il pianeta e  il raggio dell'orbita sperimentale risulta minore di quello teorico per l'azione degli altri pianeti,
rivolta verso l'interno.
Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
consideriamo il pianeta più vicino alla stella,  Upsilon Andromedae , con il valore minimo della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Anche se non è noto il raggio del pianeta   rb   sarà certamente   r0b = 4474 Km < rb

e quindi si ha il nucleo interno di raggio  r0b = 4474 Km   rotante su se stesso con la velocità     Vbs = 140,20 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove   α   è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Essendo mb0,69 ⋅ mJ , supponendo i due pianeti con la stessa densità, sarà :    rb0,691/3 ⋅ rJ62000 Km
In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è di gran lunga maggiore di quella che sviluppa
il nucleo terrestre di raggio  449,4 Km  e dunque sul pianeta e si manifestano certamente vistosi fenomeni superficiali.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Per il pianeta  Upsilon Andromedae b  le osservazioni astronomiche indicano una rotazione sincrona e quindi si avrà una
particolare accentuazione dei fenomeni termici che diventano piuttosto vistosi sulla superficie rivolta alla stella centrale.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
I risultati ottenuti indicano che sul pianeta Upsilon Andromedae b si debbano manifestare forze di marea molto più
intense 
di quelle che si sperimentano sulla Terra.
Considerando la rotazione sincrona, queste forze producono scarsi effetti termici, ma una grande deformazione permanente, che
attribuisce al pianeta la forma di un ellissoide molto allungato e questo pregiudica l'esistenza in orbita di eventuali satelliti, che
verrebbero facilmente allontanati, con un percorso a spirale verso la stella centrale.

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 Art.116 -- Esopianeti, origine e caratteristiche del sistema planetario extrasolare Titawin (Upsilon Andromedae), confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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