Art.114 -- Esopianeti, origine e quantizzazione delle caratteristiche del sistema planetario extrasolare Kepler-11, confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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Kepler-11 si trova ad una distanza dal Sole di circa   2000 al , ha una massa    mK11 = 0,954·m= 1,8976·10³⁰ Kg
e un raggio          rK80 = 1,053 ⋅ ms  lo spazio rotante generato dalla stella vale :

noti i periodi di rivoluzione, rilevati con i transiti, con la relazione  si ricava il valore del semiasse
maggiore ; i risultati sono riportati in tabella
                     sistema planetario extrasolare Kepler-11

pianeta semiasse m. semiasse m. mom. ang./m periodo orb. massa raggio
    R(UA)    Rs(10⁶Km)         C
    10¹⁰Km²/(sec ⋅ Kg)
     T(giorni) m/mT  r/rT
b 91                    13648                           0.13146           10.30375       1.9     1.84
c 107                   15955                           0.14213           13.02502       2.9     2.93
d 155                   23098                           0.17102           22.68719       7.3     3.18
e 194                   29048                           0.19178           31.99590       8.4     4.27
f 250                   37371                           0.21753           46.68876       2.3     2.53
g 466                   69714                           0.29711           118.3777       3.4

Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32   ), possiamo calcolare il punto neutro della stella Kepler-11 rispetto al
sistema stellare locale
e risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella centrale
in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del punto
neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33   ). Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema
lo stesso processo di formazione.
Come nel sistema Solare, anche in questo caso il sistema avrà l'analoga fascia di Kuiper alla distanza di 2842,5 UA .
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella   SX  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-11 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.
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Negli  Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine fra loro,
che partono verso il polo, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.
Se dunque confrontiamo il sistema planetario di kepler-11 con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi non li ha acquisiti durante il viaggio, ma deve aver rappresentato il
loro polo di attrazione, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei
suoi pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.
Esistono però anche notevoli differenze, le più evidenti delle quali sono il ridotto numero di pianeti e la loro concentrazione in un piccolo
spazio a ridosso della stella .
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 2000 al ) di quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32   ) .
Conseguenza di queste distanze è la notevole differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA
a 2842,5 UA .
Con questa origine, alle analogie con il sistema Solare messe in evidenza si dovrà certamente aggiungere la presenza di un'analoga fascia
di Kuiper alla distanza di   2842,5 UA   dalla stella.

L'aumento del punto neutro comporta anche un pari aumento della distanza della stella esplosa da Kepler-11 , con una conseguente
riduzione dell'angolo solido ( Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   ) entro il quale i detriti ( pianeti ) emessi avevano possibilità di raggiungere ed

essere intercettati dal polo di attrazione   Kepler-11  dopo un tempo di volo notevolmente maggiore di quello calcolato per i pianeti
del sistema Solare (  Art.43    ).
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio ( che coincide praticamente con la stella
kepler-11 ) risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene :
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti dai pianeti del sistema Solare.
Per tutta la lunga durata del trasferimento dalla stella esplosa  S a  Kepler-11 , i già pochi detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Kepler-11 , avendo un punto neutro molto alto rispetto alla stella, comunque certamente maggiore della loro
reciproca distanza, alcuni detriti/pianeti si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, e sono
giunti così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

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Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K11 .
Applicando la relazione che descrive le orbite quantizzate, dovrà essere :

                                   R1K11 ⋅ pe² = 29,048 ⋅ 10⁶ Km

                                   R1K11 ⋅ pd² = 23,098 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :  
D'altra parte, deve essere anche

I numeri che meglio approssimano questi risultati sono       9/8 = 1,125   

oppure  (4+1/2)/4 = 1,125 , se si considerano anche le orbite associate ai umeri seminteri.

Si ottiene così l'orbita fondamentale     
con un minimo adattamento si possono assumere

        R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km   oppure      R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 1,452 ⋅ 10⁶ Km

Tenendo conto del fatto che le orbite dei corpi minori non sono visibili, consideriamo         R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, immaginiamo di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale da non consentire il rilievo dei dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete.
I dati noti saranno quelli riportati in tabella ( con un margine d'errore più elevato ).

                              caratteristiche del sistema Solare

pianeta semiasse m. eccentricità.orb. periodo orb.   massa raggio
    Rs(10⁶Km)            e     T(giorni)   m(Kg)   r(Km)
Mercurio            57.9092                0.2056          87.97078    3.33⋅10²³   2439.64
Venere           108209                       0.0068          224.7047  4.8690⋅10²⁴   6051.59
Terra           149598                       0.0167          365.2563 5.9722⋅10²⁴   6378.15
Marte            227937                       0.0934          686.9915 6.4191⋅10²³   3397.00
Giove         778412                        0.0484         4332895       1.8987⋅10²⁷   71492.7
Saturno           1426.72                0.0542         10755.88 5.6851⋅10²⁶   60267.1
Urano           2870.97                0.0472         30687.68 8.6849⋅10²⁵   25557.2
Nettuno           4498.25                0.0086         60191.07 1.0244⋅10²⁶   24766.4
Plutone           5906.38                0.2448         91201.35 1.303⋅10²²   1188.30

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per esempio, per il sistema solare, considerando la Terra e Venere, si ha :

                                     R1s ⋅ pT² = 149,6 ⋅ 10⁶ Km

                                     R1s ⋅ pV² = 108,2 ⋅ 10⁶ Km

e quindi  pT/pV = 1,17585 , risultato approssimato con             pT/pV = 6,5/5,5 = 13/11

che forniscono l'orbita fondamentale            R1s = 3,5588 ⋅ 10⁶ Km

con            p = 1   ;   (1 + 1/2)   ;   2   ;   (2 + 1/2)   ;   3   ;   (3 + 1/2)   ;   4   ;   ............

oppure :          R1s = 0,8897 ⋅ 10⁶ Km    con       p = 1   ;   2   ;   3   ;   4   ;   5   ;   6   ; ............

E' chiaro che le orbite sono sempre le stesse ; quello che cambia è solo il numero associato.

Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano :

Con la prima soluzione si ottiene il quadro seguente

pianeta / p  sem.m. s sem.m. T vel.orb. s vel.orb. T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
          p = 1 Rps(10⁶Km)
3.5588
0.8897
Rps(10⁶Km)
3.5588
0.8897
Vps(Km/sec)
193.119
VpT(Km/sec)
193.119
 Ts(giorni)
1.339822
TT(giorni)
1.339822
    CS
(10¹⁰Km²/sec)
0.0687272
   CT
(10¹⁰Km²/sec)
0.0687272
Mercurio (4)
(8)
     57.9092     56.9408       47871                            48.2797    87.97078    85.7486      0.27724 0.274909
Venere (5+1/2)                     (11)    108209              107654                    35020                            35.1125    224.7047   222913                                0.37897 0.378000
Terra (6+1/2)                         (13)    149598              150359                    29. 785     29.7106    365.2563  367948                                  0.44559 0.446727
Marte      (8)
(16)
   227937              227763                    24. 128     24.1398   686.9915  685989                                  0.55003 0.549818
Giove (14+1/2)                      (29)   778412           748238                    13. 065     13.3185 4332895            4084.62      1.01640 0.996544
Saturno (20)
(40)
    1426.72     1423.52       9. 6463     9.65595   10755.88    10718.6      1.37610 1.374544
Urano (28+1/2)                    (57)     2870.97     2890.63       6. 8035     6.77611   30687.68    31015.7      1.95200 1.958725
Nettuno(35+1/2)                  (71)     4498.25     4484.98       5. 4347     5.43997   60191.07    59942.1      2.44340 2.439816
Plutone(40+1/2)                  (81)     5906.38     5837.32       4. 7096     4.76837   91201.35    89004.5      2.79990 2.783452

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l'accordo dei valori teorici calcolati con la quantizzazione generale con quelli forniti dall'osservazione è
più che buono

Se i dati forniti dall'osservazione sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri quantici associati alle orbite dei pianeti noti,
possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri mancanti, ma nulla possiamo dire dei corpi minori che le occupano.
Ritornando al sistema Kepler-11, le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

Il sistema planetario completo della stella Kepler-11 risulta quindi descritto dalle relazioni :

Per semplicità il calcolo è stato eseguito considerando e ≃ 0 . per un calcolo più rigoroso avremmo dovuto applicare la quantizzazione
ai raggi delle orbite circolari stabili dati dalla relazione (  Art.12    e  Art.13    )            Rn = R⋅ (1 – e²)
Con la nostra semplificazione si ha semplicemente :

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Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler -- 11

pianeta     / p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T massa
p = 1  Rps
(
10⁶Km)
0,363
 RpT
(
10⁶Km)
0,363
Vps
(
Km/sec)
590,606
Vps
(
Km/sec)
590,606
Ts(giorni)
0,0446966
TT(giorni)
0,0446966
   CS
10¹⁰(Km²/secKg)
0,021439
    CT
10¹⁰(Km²/secKg)
0,021439
m/mT
b   (6)  13648          13068            96. 325  98.4343 10.30375    9.6545   0.13146  0.128634 1.9
c   (7)  15955          17787            89. 081  84.3723 13.02502  15.3309   0.14213  0.150073 2.9
d   (8)  23098          23232            74. 039  73.8258 22.68719  22.8846   0.17102  0.171512 7.3
e   (9)  29048          29403            66. 022  65.6229 31.99590  32.5838   0.19178  0.192951 8.4
f  (10)  37371          36300            58. 209  59.0606 46.68876  44.6966   0.21753  0.214390 2.3
g  (14)  69714          71148            42. 827  42.1861 118.3777 122.647             0.29711  0.300146

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note
Il raggio del nucleo rotante del pianeta più vicino alla stella,  Kepler-11 b vale :

dall'osservazione il raggio risulta :            rb ≃ 1.84 ⋅ rT = 1,84 ⋅ 6378 Km = 11735,5 Km

Essendo                                  r0b = 78,149 Km < rf = 7717,4 Km
si ha il nucleo interno di raggio   r0b = 78,149 Km  rotante su se stesso con la velocità V1K11 = 590,606 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere con una relazione che tenga conto del volume e della velocità del nucleo e
quindi del tipo :      Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

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L'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è dello stesso ordine di grandezza di quella che
sviluppa il nucleo terrestre di raggio  449,4 Km  e dunque sulla superficie del pianeta si hanno importanti fenomeni termici.
A questi effetti si debbono però aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sottoforma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella centrale (  Art.29   ) .
Valutiamo ora gli effetti di marea rapportandoli a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29  ).
Dunque sul pianeta  Kepler-11 b le forze di marea che si manifestano sono molto più intense di quelle che si sperimentano sulla Terra.
Se il moto di rotazione del pianeta è sincrono, si potrà manifestare una deformazione permanente, mentre in caso contrario si produrrà
un maggiore effetto termico.
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 Art.114 -- Esopianeti, origine e quantizzazione delle caratteristiche del sistema planetario extrasolare Kepler-11, confronto con il sistema Solare -- Antonio Dirita

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