Art.122 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-62 -- Antonio Dirita

Art.122 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-62 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-62  , nota anche come  KOI-701 è una piccola stella, una nana rossa poco più massiccia del Sole, distante da esso circa
1200 al. I valori stimati di massa e raggio sono :Visuale

              mK62 = 0,693 ⋅ ms = 1,378437 ⋅ 10³⁰ Kg     ;     rK62 = 0,64 ⋅ rs

Sono noti tre pianeti con le caratteristiche riportate in tabella

caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-62

  pianeta semiasse m.s periodo orb.s    raggio
    Rs(10⁶Km)     Ts(giorni)     r/rT
b      (3)           8. 2818          5.7149 1,338       
c      (4)           13. 911        12.4417 0,552       
d  (4+1/2)           17. 903        18.1641 1,992       
e  (8+1/2)           63. 867      122.3874   1,645       
f     (11)           107. 51 267.291                 1,44       

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :

                                      KK62² = 91,9778 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella  Kepler-62  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33   ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

1
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L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque alla distanza di 1453,6 UA ,
tutti i residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-62 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli  Art.31    ,  Art.34    ,  Art.37    , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che partono
verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta (questa situazione
è verificata,senza eccezione, in tutti i satelliti del sistema Solare).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella Kepler-62 non
ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione
attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine alla distribuzione che vediamo.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 1200 al ) di quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di questa maggiore distanza è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA  a
1453,6 UA con un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa e quindi con un aumento della probabilità di
aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella Kepler-62 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
notevolmente maggiore dei 34 anni calcolati per il sistema Solare.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella  Kepler-62  , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Kepler-62  , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale,
giungendo così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a
ridosso della stella.

Nella condizione attuale il punto neutro di tutti i pianeti risulta certamente di gran lunga minore delle reciproche distanze , per cui la loro
interazione sembrerebbe certamente trascurabile rispetto all'azione dello spazio rotante centrale generato dalla stella centrale . Le orbite
dei pianeti non dovrebbero subire dunque apprezzabile perturbazione.
La deformazione dell'orbita potrà essere trascurata certamente per i pianeti intermedi  c , d , e , ma non per quello interno b ,
che subisce l'azione di tutti gli altri pianeti.
Per il pianeta interno la deformazione dell'orbita diventa significativa quando la distanza dai pianeti più esterni diventa minima,
ossia quando i pianeti sono allineati.
Con riferimento alla figura, calcoliamo quindi con quale periodicità viene imposta la deformazione dell'orbita.

stella Kepler-62         
I due pianeti  Kepler-62 b e Kepler-62 c  percorrono le orbite di raggio RRc , ciascuno con la propria velocità orbitale.
Se si considera una qualsiasi condizione di partenza, per esempio quella di massimo accostamento con b all'afelio e c sul raggio medio,
la stessa configurazione si presenterà quando i due pianeti avranno percorso lo stesso angolo  α  .
Il pianeta  imporrà quindi un aumento impulsivo del raggio R_{b} con un periodo che si ottiene uguagliando l'angolo che viene da essi
percorso nello stesso tempo. Con ovvio significato dei simboli, si ha quindi :
3
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Dunque ogni  5 ÷ 10  giorni si ha un impulso che spinge l'orbita del pianeta Kepler-62 b verso l'esterno.
In definitiva l' orbita quantizzata stabile del pianeta b calcolata teoricamente dovrà risultare di raggio minore di quella reale
(deformata).
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K62 .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,  Art.12    ,  Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da          Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare    e ≃ 0
e applicare la quantizzazione direttamente al semiasse maggiore Rs .

4
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Considerando, per esempio, i pianeti intermedi ( che hanno orbite meno deformate )  d , applicando la teoria della quantizzazione
generale, dovrà essere :
                                       R1K62 ⋅ pe² = Res = 63,867 ⋅ 10⁶ Km

                                       R1K62 ⋅ pd² = Rds = 17,903 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    8,5/4,5 = 1,8888   associando alle orbite anche i numeri seminteri
oppure, solo con numeri interi     17/9 = 1,8888
si ottiene così l'orbita fondamentale :       

con un minimo adattamento, assumiamo il valore        R1K62  = 0,885 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

5
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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
     Rn = R1K62 ⋅ p²    ;     Tn = T1K62 ⋅ p³    ;  ;    Cn = C1K62 ⋅ p
numericamente :

con                                     p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo Kepler-62 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-62

pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1   Rps
  (10⁶Km)
  0,885
  RpT
  (10⁶Km)
  0,885
 Vps
(Km/sec)
322,381
 VpT
(Km/sec)
322,381
 Ts(giorni)

0,1996365

 TT(giorni)

0,1996365

      Cs
10¹⁰Km²/sec
0,0285307
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,0285307
b      (3)   8. 2818    7.965           105.39  107.46      5.7149     5.3902    0.08728    0.08559
c      (4)   13. 911     14.16 81.310        80.595            12.4417 12.777            0.11311    0.11412
d (4+1/2)   17. 903 17.921        71.677        71.640            18.1641 18.192            0.12832    0.12839
e (8+1/2)   63. 867  63.941        37.949        37.927          122.3874       122.60      0.24237    0.24251
f      (11)   107. 51 107.085        29.250        29.307         267.291           265.72     0.31447    0.31384

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-62 , con il valore del raggio indicato in tabella.
Supponendo che abbia densità uguale a quella della Terra ( 5514 Kg/(m³ ) la massa risulta :

Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta        rb = 1,338 ⋅ rT = 8534 Km > r0c

si ha il nucleo interno di raggio r0c = 85,976 Km  rotante su se stesso con la velocità  Vbs = 105,39 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del
volume e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove  α  è una costante praticamente indipendente
dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
Sempre in rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l'energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e quindi sulla sua superficie
i
fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti, comunque di gran lunga meno vistosi di quelli
che si verificano sulla Terra.
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A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura,
per cui, essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-62 e quella del sole circa 0,89 , il valore calcolato

diventa            ESmb/ESmT182,25 ⋅0,89⁴ = 114,35

comunque ancora molto elevato e quindi la temperatura del pianeta sarà di gran lunga maggiore di
quella terrestre.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29     ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta  Kepler-22 b  sono di gran
lunga più intense di quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una
grande deformazione permanente del pianeta,
che assume l'aspetto di un ellissoide molto allungato.

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Art.121 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-42 -- Antonio Dirita

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Kepler-42  , nota anche come    KOI-961  è una piccola stella, una nana rossa poco più massiccia del Sole, distante da esso circa
126,2 al. I valori stimati di massa e raggio sono :
                     mK42 = 0,13 ⋅ ms = 0,258583 ⋅ 10³⁰ Kg     ;    rK42 = 0,17 ⋅ rs
Sono noti tre pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
   caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-42

pianeta semiasse m.s periodo orb.s eccentricità. orb. massa raggio
Rs(10⁶Km)   Ts(giorni)        e m/mT   r/rT
c    (5)     0.8980 0.453                                ≃ 0.006      1.91 0.797       
b   (7)     1.7325 1.214                                 < 0.006    <2.86 0.745       
d   (8)     2.3067 1.865                                ≃ 0.008    <0.95 0.582       

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                               KK42² = 18,6607 Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che esistono diverse analogie con sistema Solare e quindi ipotizziamo che anche il sistema planetario
di  Kepler-42  abbia avuto origine dall'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare
locale (   Art.33    ).
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque a questa distanza,tutti i
residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa  Sx  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella centrale  Kepler-42  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare  sistemi
multipli.
Negli   Art.31    ,   Art.34     ,   Art.37    , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa approssimativamente crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse che partono da punti vicini verso il polo di attrazione, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come
quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal pianeta
( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario  Kepler-42  con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Kepler-42  non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la stella si trova a una distanza maggiore dal centro del sistema stellare locale ( circa 126,2 al rispetto a quella del
Sole uguale a 27,11 al ) (  Art.32    ), e questo comporta un aumento del tempo di volo dei detriti emessi dalla stella
esplosa e quindi un aumento della probabilità di aggregazione prima di giungere a destinazione.
Il tempo richiesto dai detriti per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della stella Kepler-42 , risulta infatti :

Nel nostro caso si ottiene :
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
2
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Per quanto riguarda il numero dei pianeti complessivamente in equilibrio nello spazio rotante della stella, si ha una limitazione dovuta basso
valore del suo raggio    rTR = 0,17 ⋅ rs   alla quale si aggiunge quella legata alla maggiore distanza di  Kepler-42  dalla stella
esplosa, che provoca una riduzione dell'angolo solido entro il quale i detriti generati dall'esplosione possono intercettare la stella posta al
centro dello spazio rotante.
Se, come nel nostro caso, l'angolo solido che si considera è molto piccolo, i detriti emessi in esso contenuti sono molto vicini fra loro ed
hanno quindi momenti angolari specifici poco diversi e di basso valore, per cui giungono a destinazione, in numero ridotto
e molto vicini fra
loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K42 .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (   Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, con un errore trascurabile, possiamo considerare  e ≃ 0
e applicare la quantizzazione direttamente al raggio Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti  Kepler-42 Kepler-42  , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                R1K42 ⋅ pd² = R_{ds }= 2,3067 ⋅ 10⁶ Km

                                R1K42 ⋅ pc² = R_{cs }= 0,8980 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta          8/5 = 1,6
oppure, associando alle orbite anche i numeri seminteri,   
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore              R1K42 = 0,036 ⋅ 10⁶ Km
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

numericamente :
Rn = 0,036 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²       ;      Tn =0,00363627 g ⋅ p³      ;   
 Cn = 0,0259188 ⋅ 10⁹ (Km²/sec⋅Kg) ⋅ p

con                                                             p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-42  risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
4
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caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-42

pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1 Rps
(10⁶Km)
0,834
RpT
(10⁶Km)
0,834
Vps
(Km/sec)
380,962
VpT
(Km/sec)
380,962
Ts(giorni)

0,159203

TT(giorni)

0,159203

      Cs
10¹⁰Km²/sec      0,031772
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,031772
c     (5) 0.8980 0.900         144. 16 143.9934 0.453        0.459037 0.12946 0.129594
b     (7) 1.7325 1.764         103. 78 102.8524 1.214        1.259598 0.17980 0.181431
d     (8) 2.3067 2.304         89. 945 89.99588 1.865        1.880217 0.20748 0.207350

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-42 , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta    rc = 0,797 ⋅ rT = 5083 Km > r0c

si ha il nucleo interno di raggio r0c = 36,63 Km  rotante su se stesso con la velocità    Vbs = 144,16 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove  α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.

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In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l'energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e quindi sulla sua superficie  del
pianeta i fenomeni termici che si manifestano risultano praticamente inesistenti, di gran lunga meno
vistosi di quelli che si
verificano sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla
Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia
sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Kepler-42 e quella del sole circa  0,54 , il valore calcolato diventa

                                   ESmb/ESmT43696 ⋅0,54⁴ = 3715
comunque ancora molto elevato.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al
doppio di quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta Kepler-42 c sono di gran lunga più intense di quelle
che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona producono una grande deformazione permanente del pianeta, che assume
l'aspetto di un ellissoide molto allungato.
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Art.120 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Trappist-1 -- Antonio Dirita

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Trappist-1 è una piccola stella, una nana rossa poco più massiccia del Sole, distante da noi di circa 39,6 al.
I valori stimati di massa e raggio sono :
           mTR = 0,090 ⋅ ms = 0,17902 ⋅ 10³⁰ Kg    ;     rTR = 0,120 ⋅ rs
Sono noti sette pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
caratteristiche note sistema planetario extrasolare Trappist-1

pianeta semiasse m.s periodo orb.s eccentricità. orb. massa raggio
 Rs(10⁶Km)     Ts(giorni)           e m/mT  r/rT
     b        1.7281          1.510876               ≃ 0.006 1.017          1.121         
     c       2.3668          2.421807                < 0.006 1.156          1.095         
     d       3.3346          4.049959               ≃ 0.008 0.297          0.784         
     e       4.3811          6.099043               ≃ 0.005 0.772          0.910         
     f       5.7647          9.205585                  ≃ 0.01 0.934          1.046         
     g       7.1390          12.35447                < 0.002 1.148          1.148         
     h       9.2687          18.76795               ≃ 0.005 0.331          0.773         

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                        KTR² = 11,9552 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

L'orbita circolare minima quantizzata (  Art.12    e    Art.13   ) si calcola con la :          Rn = Rs⋅ (1 – e²)

Dai dati riportati in tabella, vediamo che esistono diverse analogie con sistema Solare e quindi ipotizziamo che anche il sistema planetario
di Trappist-1 abbia avuto origine dall'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare
locale (  Art.33    ).
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto, dunque a
questa distanza,
tutti i residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella centrale  Trappist-1  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi
multipli.
Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa approssimativamente crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le
masse che partono da punti vicini verso il polo di attrazione, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come
quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della
distanza dal
pianeta ( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario  Trappist-1  con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Trappist-1 non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la
distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la stella ha una massa minore del 10%  di quella del Sole e questo, nonostante la maggiore distanza dal centro del
sistema stellare locale (  circa  39,6 al  rispetto a quella del Sole uguale a  27,11 al  ) (  Art.32   ), comporta una riduzione del punto
neutro, che passa da  40 UA  per il Sole al valore  RNTRSL = 17,2939 UA .

Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Trappist-1 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
decisamente minore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
La diminuzione del tempo di volo riduce la possibilità di aggregazione dei detriti durante il trasferimento dalla stella esplosa  Sx alla stella
Trappist-1 , e quindi i pianeti giungono sulle orbite con dimensioni ancora relativamente ridotte.
Per quanto riguarda il numero dei pianeti complessivamente in equilibrio nello spazio rotante della stella, si ha una doppia limitazione.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La prima limitazione deriva basso valore del momento angolare rotazionale della stella, dovuto ai valori piccoli del raggio e della velocità di
rotazione   ( rTR = 0,120 ⋅ rs  vTR6 Km/sec ) .
Abbiamo visto infatti che, per avere un sistema equilibrato, il momento angolare della stella centrale deve essere approssimativamente
uguale a quello orbitale di tutti i pianeti.
Una seconda limitazione del numero dei pianeti è dovuta al basso valore del punto neutro, che limita l'angolo solido entro il quale i detriti
generati dall'esplosione possono intercettare la stella posta al centro dello spazio rotante.
Se, come nel nostro caso, l'angolo solido che si deve considerare è molto piccolo, i detriti emessi in esso contenuti sono molto vicini fra loro
ed hanno quindi momenti angolari specifici poco diversi e di basso valore, per cui giungono a destinazione, in numero ridotto
e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1TR .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da    Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

Essendo, in questo caso, l'eccentricità orbitale relativamente piccola, applichiamo la quantizzazione direttamente al raggio  Rs  .
Considerando, per esempio, i pianeti Trappist-1 h e Trappist-1 e , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                                     R1TR ⋅ ph² = Rhs = 9,2687 ⋅ 10⁶ Km


R1TR ⋅ pe² = Res = 4,3811 ⋅ 10⁶
Km

da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   
oppure, associando alle orbite solo i numeri interi,          16/11 = 1,4545
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
si ottiene così l'orbita fondamentale :

con un minimo adattamento, assumiamo il valore                     R1TR  = 0,145 ⋅ 10⁶ Km

Assumendo  R1TR  = 0,145 ⋅ 10⁶ Km , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :


Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
   Rn = R1TR ⋅ p²   ;    Tn = T1TR ⋅ p³    ;        ;    Cn = C1TR ⋅ p
numericamente :
Rn = 0,145 ⋅ 10⁶ Kmp²   ;    Tn = 0,036723 gp³    ;       ;
Cn = 0,0416353 ⋅ 10⁹ (Km²/sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                             p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo Trappist-1 risultano quindi descritte dalle relazioni :


( ricordiamo che abbiamo assunto  e ≃ 0 ). Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Trappist-1

 pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1 (Rps
(10⁶Km)
0,145
RpT
(10⁶Km)
0,145
Vps
(Km/sec)
287,140
VpT
(Km/sec)
287,140
Ts(giorni)

0,036723

TT(giorni)

0,036723

      Cs
10¹⁰Km²/sec      0,0416353
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,0416353
b  (3+1/2) 1.7281 1.7763 83.178          82.040         1.510876 1.5745 0.14374 0.14572
c     (4) 2.3668   2.32 71.070          71.785         2.421807 2.3503 0.16821 0.16654
d     (5) 3.3346 3.625         59.877          57.428         4.049959 4.5904 0.19967 0.20818
e  (5+1/2) 4.3811 4.3863   52.238          52.207         6.099043 6.1098 0.22886 0.22899
f      (6) 5.7647   5.22 45.540          47.857         9.205585 7.9322 0.26252 0.24981
g     (7) 7.1390 7.105         42.022          41.020         12.35447 12.596           0.30000 0.29145
h     (8) 9.2687   9.28 35.914          35.893         18.76795 18.802           0.33288 0.33308

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione delle orbite, con quelli sperimentali
risulta , anche
in questo caso, risulta più che buono .

Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Trappist-1 , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta        rb = 1,121 ⋅ rT = 7149,7 Km > r0b

il pianeta presenta un nucleo interno di raggio  r0b = 58,585 Km   rotante su se stesso con la velocità
Vbs = 83,178 Km/sec

Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume e
della velocità del nucleo e quindi del tipo :  E_{t} = α⋅ r₀³ ⋅ V² dove  α è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che l'energia che giunge alla massa unitaria del pianeta è assolutamente trascurabile e
quindi
sulla sua
superficie i fenomeni termici che si manifestano risultano di gran lunga meno vistosi di
quelli che si verificano sulla Terra.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Bisogna però tener conto del fatto che l'energia irradiata da un corpo è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura, per cui,
essendo il rapporto tra la temperatura superficiale della stella Trappist-1 e quella del sole circa  1/2  , il valore calcolato diventa
        comunque ancora molto elevato
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta   Trappist-1 b  sono di gran
lunga più intense di
quelle che si sperimentano sulla Terra e, se la rotazione è sincrona, produce una grande
deformazione permanente del pianeta, che assume l'aspetto di un ellissoide molto allungato.
6
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Art.119 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-20 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-20 è un sistema stellare che si trova ad una distanza dal Sole di circa 929 al . I valori stimati di massa e raggio sono :

     mK20 = 0,912 ⋅ ms = 1,814059 ⋅ 10³⁰ Kg       ;     rK20 = 0,944 ⋅ rs

Sono noti sei pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
    caratteristiche note sistema planetario extrasolare Kepler-20

pianeta semiasse m.s periodo orb.s     ecc. orb.  massa raggio
    Rs(10⁶Km)      Ts(giorni)        e  m/mT r/rT
b           6.7873             3.696122          ≃ 0.03       5.28   1.88
e           9.4772             6.098493           < 0.28     11.38   0.87
c 13.919                              10.85409           ≃ 0.16     12.75   3.07
f 20.624                              19.57706           ≃ 0     14.30   1.03
g 30.345                   34.940                        ≃ 0.15     19.96
d 51.659                              77.61184            < 0.6     10.07   2.75

Applicando la relazione    ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                        KK20² = 121,040 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

L'orbita circolare minima quantizzata (  Art.12    e  Art.13   ) si calcola con la :       Rn = Rs⋅ (1 – e²)

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con le masse crescenti con la distanza dalla stella Kepler-20
in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo
punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32   ) , che vale :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto tutti i residui
che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa  Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-20 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli    Art.31  ,    Art.34    ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che
partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal
pianeta
( questo si verifica per tutti i satelliti del sistema Solare ).

Se dunque confrontiamo il sistema planetario Kepler-20 con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Kepler-20 non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata ( 929 al ) di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA a 1290,9 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella Kepler-20 , risulta infatti :
Nel nostro caso si ottiene :
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa  S alla stella  Kepler-20  , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Kepler-20  , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale e sono giunti così a destinazione,
in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K20 .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13   ) circolari stabili aventi
raggio dato da  Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .
Essendo l'eccentricità orbitale relativamente piccola, applichiamo la quantizzazione direttamente al raggio Rs .
Considerando, per esempio, i pianeti   Kepler-20  e   Kepler-20 f , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà
essere :
                               R1K20 ⋅ pg² = Rgs = 30,345 ⋅ 10⁶ Km

                               R1K20 ⋅ pf² = Rfs = 20,624 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta  6/5 = 1,52
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio             R1K20  =  0,834 ⋅ 10⁶ Km
Assumendo   R1K20  =  0,834 ⋅ 10⁶ Km  ,  le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :
  Rn = R1K20 ⋅ p²   ; Tn = T1K20 ⋅ p³    ;     Cn = C1K20 ⋅ p
numericamente :
       Rn = 0,834 ⋅ 10⁶ Km ⋅ p²    ;     Tn = 0,159203 g ⋅ p³    ;
      Cn = 0,031772 ⋅ 10¹⁰ (Km²/sec ⋅ Kg) ⋅ p

con                                                              p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..........

Le orbite del sistema planetario completo  Kepler-20  risultano quindi descritte dalle relazioni :


Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler-20

pianeta  sem.m. s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
    p = 1 (Rps
(10⁶Km)
0,834
RpT
(10⁶Km)
0,834
Vps
(Km/sec)
380,962
VpT
(Km/sec)
380,962
Ts(giorni)

0,159203

TT(giorni)

0,159203

      Cs
10¹⁰Km²/sec      0,031772
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,031772
b      (3)  6.7873 7.506           133.54    126.99    3.696122    4.2985  0.0906376 0.095316
e  (3+1/2)  9.4772 10.217          113.01   108. 85    6.098493     6.8258  0.1071018 0.111200
c      (4) 13919          13.344         93.257            95.241           10.85409 10.189         0.1298044 0.127090
f       (5) 20624          20.850         76.611            76.192           19.57706 19.900         0.1571384 0.158860
g      (6) 30345          30.024        63.158            63.494         34.940           34.388         0.1916529 0.190630
d      (8) 51659          53.376        48.404            47.620           77.61184 81.512         0.2500502 0.254180

4
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L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo
caso, risulta più che buono .
Per valutare i fenomeni che possono verificasi sulla superficie del pianeta, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben
note, e consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Kepler-20 , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Essendo il raggio del pianeta            rb = 1,88 ⋅ rT = 11991 Km > r0b

si ha il nucleo interno di raggio   r0b = 118 Km   rotante su se stesso con la velocità    Vbs = 133,54 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del
volume e della velocità del nucleo e quindi del tipo :   Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove    α  è una costante praticamente indipendente
dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è decisamente minore di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
Essendo  mb5,28 ⋅ mT  , supponendo i due pianeti con la stessa densità, sarà :     rb ≃ 5,281/3 ⋅ rT11106 Km
In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che, anche se il nucleo genera un'energia termica maggiore, quella che giunge alla massa unitaria è trascurabile e
quindi sulla superficie del pianeta  i fenomeni termici che si manifestano risultano di gran lunga meno vistosi di quelli che si verificano
sulla Terra.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra


Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29    ).
Quest'ultimo risultato ci dice che le forze di marea che si manifestano sul pianeta  Kepler-20  sono di
gran lunga più intense di
quelle che si sperimentano sulla Terra.

5
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Art.118 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Nu2 Lupi -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Nu2 Lupi  è un sistema stellare multiplo che si trova ad una distanza dal Sole di circa   48,3 al , la stella principale , ha una massa
mLu = 0,91 ⋅ ms = 1,81008 ⋅ 10³⁰ Kg .
Sono noti tre pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
      caratteristiche note sistema planetario extrasolare Lu2 Lupi

pianeta semiasse m.s periodo orb.s eccentricità.orb. massa
     Rs(10⁶Km)     Ts(giorni)          e m/mT
b            13.9577 11.577                               ≃ 0.18       5.28
c            24.9084 27.582                               ≃ 0.16     11.38
d            61.4856            106.72             ≃ 0.35       9.59
e 95.990                           208.56             ≃ 0
f              191.90            589.52             ≃ 0.22

Lo spazio rotante associato alla stella vale :

e quindi la massa risulta :

L'orbita circolare minima quantizzata (  Art.12    e   Art.13    ) si calcola con la :          Rn = R⋅ (1 – e²)

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella
Nu2 Lupi in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità
del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ) , che vale :

1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema planetario, lasciando sul posto tutti i residui
che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa S_{X} , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  Nu2 Lupi  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.
Negli   Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37    , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che partono
verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare. In questo caso
però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta ( questo si verifica per tutti i satelliti del
sistema Solare ).
Se dunque confrontiamo il sistema planetario   Nu2 Lupi   con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
Nu2 Lupi non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è più elevata  ( 48,3 al )  di quella del sistema
Solare primordiale uguale a 27,11 al (   Art.32     ) .
Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a  63 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la
posizione della stella  Nu2 Lupi , risulta infatti :   
Nel nostro caso si ottiene : 
maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa   Sx  alla stella  Nu2 Lupi  , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Nu2 Lupi  , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale e sono giunti così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1Lu .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13     ) circolari stabili aventi

raggio dato da       Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

A differenza dei sistema già esaminati negli articoli precedenti, in questo caso l'eccentricità orbitale non è trascurabile e quindi applichiamo
la quantizzazione al raggio  R , senza alcuna approssimazione.
Noto dall'osservazione il periodo orbitale, calcoliamo anche il periodo quantizzato Tn , associato all'orbita circolare minima stabile Rn ,

con la relazione             Tn = T ⋅ (1 – e²)3/2        calcoliamo il periodo quantizzato associato all'orbita circolare minima.

I risultati che si ottengono sono riportati in tabella
                  caratteristiche del sistema extrasolare Nu2 Lupi

pianeta semiasse m. semiasse m. periodo orb.s periodo orb.s ecc. orb. massa
Rs(10⁶Km) Rn(10⁶Km)    Ts(giorni)     Tn(giorni)     e m/mT
b 13.9577 13. 505 11.577                              11. 019     ≃ 0.18 5.28
c 24.9084 24. 271 27.582                              26. 530     ≃ 0.16 11.38
d 61.4856 53. 954           106.72           87. 724     ≃ 0.35 9.59
e 95.990                        95.990                                     208.56            208.56     ≃ 0
f   191.90  182.61           589.52            547.24     ≃ 0.22

Considerando, per esempio, i pianeti   e  d  , applicando la teoria della quantizzazione generale, dovrà essere :

                          R1Lu ⋅ p² = Rnd = 53. 954 ⋅ 10⁶ Km

                          R1Lu ⋅ pb² = Rnb = 13. 505 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :    
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   6/3 = 1,5  oppure  3/1,5 = 1,5 , si associano anche i numeri seminteri.
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio        R1Lu = 1,500 ⋅ 10⁶ Km
oppure R1Lu  = 1,500 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 6,00 ⋅ 10⁶ Km se si considerano anche i numeri associati seminteri.
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Assumendo   R1Lu = 1,500 ⋅ 10⁶ Km ,   le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :


Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Le orbite del sistema planetario completo Nu2 Lupi risultano quindi descritte dalle relazioni :


4
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Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Nu2 Lupi

pianeta       p sem.m.s sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
p =  1 Rps(10⁶Km)
1,500
Rn(10⁶Km)
1,500
RpT(10⁶Km)
1,500
Vps(Km/sec)
267,617
VpT(Km/sec)
267,617
Ts(giorni)
0,407609
TT(giorni)
0,407609
      Cs
10¹⁰Km²/sec    0,0401426
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,0401426
b (3) 13.9577 13. 505 13.952                    87.677                    87.749                     11.577                 11.563                 0.12238 0.12243
c (4) 24.9084 24. 271 24.631                    65.673                    66.042                     27.582                 27.122                 0.16358 0.16267
d (6) 61.4856 53. 954 61.538                    41.898                    41.782                     106.72 107.11 0.25761 0.25712
e (8) 95.990                    95.990                96.000                    33.470                    33.452                     208.56 208.70 0.32128 0.32114
f (11) 191.90 182.61 190.73 23. 672 23.733                     589.52 584.44 0.45427 0.45266

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo 
caso, risulta eccezionale .
Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
consideriamo il pianeta più vicino alla stella, Nu2 Lupi b , con il valore della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Anche se non è noto il raggio del pianeta   rb   sarà certamente   r0b = 273,4 Km < rb    e quindi si ha il nucleo interno di

raggio  r0b = 273,4 Km  rotante su se stesso con la velocità   Vbs = 87,677 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :   Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²  dove   α   è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia prodotta è circa doppia di quella generata dal nucleo rotante della Terra.
5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Essendo   mb5,28 ⋅ m , supponendo i due pianeti con la stessa densità, sarà :  rb5,281/3 ⋅ rT11106 Km

In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

Questo valore ci dice che, anche se il nucleo genera un'energia termica maggiore, quella che giunge alla massa unitaria vale circa 1/3 e
quindi sulla superficie del pianeta b si manifestano fenomeni termici decisamente meno vistosi di quelli che si verificano
sulla Terra.

A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    ).
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale   
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ), per cui, in definitiva, possiamo pensare che le forze di marea che si manifestano sul pianeta
Nu2 Lupi b siano dello stesso ordine di grandezza di quelle che si sperimentano sulla Terra.
6
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Art.117 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare K2-136 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

K2-136  è un sistema stellare multiplo che si trova ad una distanza dal Sole di circa 195 al, la stella principale, K2-136 A , ha una
massa uguale a       mK2 = 0,74 ⋅ ms = 1,47193 ⋅ 10³⁰ Kg.

Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32    ), possiamo calcolare il punto neutro della stella principale rispetto al
sistema
stellare locale e risulta :

Sono noti tre pianeti con le caratteristiche riportate in tabella
                            sistema planetario extrasolare K2-136

pianeta    Rs(10⁶Km)    Ts(giorni)     e m/mT
b 10.571                            7.9753      ≃ 0.1 28             
c 17.719                          17.3071      ≃ 0.13 85             
d 22.988                25.575                 ≃ 0.14 460            

Lo spazio rotante generato dalla stella vale :

con la relazione      si ricava il semiasse maggiore riportato in tabella.
L'orbita circolare minima quantizzata (  Art.12    e   Art.13    ) si calcola con la :         Rn = R⋅ ( 1 – e² )
1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella K2-136
in maniera del tutto analoga alla distribuzione presente nel sistema Solare e giustificata con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità
del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.

Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse triplo, con una stella di maggiori dimensioni posta approssimativamente alla
distanza di   244,1 UA   dalla stella principale  K2-136 A  .
L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine a tutto il sistema planetario, lasciando sul posto tutti
i residui della stella, che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella esplosa   Sx   , molto minore del loro punto
neutro rispetto alla stella K2-136 A , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli  Art.31    ,   Art.34    ,   Art.37    , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che
partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.  In
questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza 
dal pianeta.

Se dunque confrontiamo il sistema planetario   K2-136   con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
K2-136 A   non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti durante il viaggio, ma sono
giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza,
così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti.
Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 195 aldi quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .

Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA  a 244,1 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione
della stella  K2-136 A , risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene : 
notevolmente maggiore dei 34 anni richiesti nel sistema Solare primordiale.
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa   Sx   alla stella   K2-136 A , molti dei detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella   K2-136 A  , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale e sono giunti così a destinazione, in
numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K2 .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime  (  Art.10    ,  Art.12    ,  Art.13    ) circolari stabili aventi

raggio dato da         Rn = Rs ⋅ (1 – e²) .

A differenza dei sistema già esaminati negli articoli precedenti, in questo caso l'eccentricità orbitale non è trascurabile e quindi applichiamo
la quantizzazione al raggio  R , senza alcuna approssimazione.
Noto dall'osservazione il periodo orbitale, calcoliamo il periodo quantizzato  T , associato all'orbita circolare minima stabile   Rn  con

la relazione            Tn = T ⋅ (1 – e²)3/2
calcoliamo quindi il periodo quantizzato associato all'orbita circolare minima dei diversi pianeti. I risultati che si ottengono sono riportati
in tabella
            caratteristiche del sistema extrasolare K2-136 A

pianeta semiasse m. semiasse m. periodo orb.s periodo orb. ecc. orb. massa
   Rs(10⁶Km)    Rn(10⁶Km)     Ts(giorni)     Tn(giorni)      e m/mT
b 10571                         10. 465           7.9753            7.8556        ≃ 0.1     28                              
c 17719                         17. 420         17.3071          16.8702     ≃ 0.13     85                              
d 22988                         22. 537  25575                          24.8268     ≃ 0.14   460                              

applicando la relazione a tutti i pianeti, calcoliamo il valore medio dello spazio rotante generato dalla
stella  K2-136 A  e si ottiene :                  KK2² = 98,2165 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta della stella risulta:

Considerando i pianeti  b  e  d  , dovrà essere :                   R1K2 ⋅ pd² = Rnd = 22. 537 ⋅ 10⁶ Km

                                                         R1K2 ⋅ pb² = Rnb = 10. 465 ⋅ 10⁶ Km

3
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da cui si ottiene : 
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta   6/4 = 1,5
oppure    3/2 = 1,5    se si considerano anche i numeri seminteri.
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio               R1K2 = 0,648 ⋅ 10⁶ Km

oppure   R1K2 = 0,648 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 2,592 ⋅ 10⁶ Km   , se si considerano anche i numeri associati seminteri.

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, si deve immaginare di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale comunque da non consentire il rilievo dei piccoli dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete, e fare il
confronto con il sistema in esame (  Art.114    ).
Se i dati forniti dall'osservazione del sistema  K2-136  sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri quantici associati alle
orbite dei pianeti noti, possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri mancanti, ma nulla possiamo dire
sulle caratteristiche dei corpi minori che le occupano.

Assumendo   R1K2 = 0,648 ⋅ 10⁶ Km  , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :


4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Le orbite del sistema planetario completo  K2-136  risultano quindi descritte dalle relazioni :


Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare K2-136

pianeta       p sem.m.s sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
p =  1 Rps(10⁶Km)
0,641
Rn(10⁶Km)
0,641
RpT(10⁶Km)
0,641
Vps(Km/sec)
391,438
VpT(Km/sec)
391,438
Ts(giorni)
0,119086
TT(giorni)
0,119086
      Cs
10¹⁰Km²/sec    0,0250912
   CT
10¹⁰Km²/sec
0,0250912
b    (4)  10.571              10. 465 10.473             96.391               96. 842  7. 9753     7.8644    0.10189   0.10142
c     (5) 17.719              17. 420 16.478             74.453           77.203            17.307        15.522              0.13192   0.12722
d    (6)  22.988
  22. 537
 23.794
    65.366
     64.247
  25.575
26.933
   0.15026   0.15287

5
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L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche in questo caso, è più
che buono .

Nel pianeta b , il più vicino alla stella, il raggio dell'orbita sperimentale risulta maggiore di quello teorico per l'azione gravitazionale
degli
altri pianeti, rivolta verso l'esterno.
Analogamente, per il pianeta  e  il raggio dell'orbita sperimentale risulta minore di quello teorico per l'azione degli altri pianeti,
rivolta verso l'interno.
Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
consideriamo il pianeta più vicino alla stella, K2-136 b , con il valore minimo della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Dall'osservazione si stima un raggio del pianeta    r= 0,088 · rJ = 6120 Km

Essendo   r0b < rb   si ha il nucleo interno di raggio    r0b = 676,26 Km    rotante su se stesso con la velocità

Vbs = 96,391 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :     Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²    dove   α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Essendo mb28 ⋅ mT , supponendo i due pianeti con la stessa densità, sarà :       rb ≃ 281/3 ⋅ rT ≃ 19000 Km

In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale quindi :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è maggiore di quella che sviluppa il nucleo
terrestre di raggio  449,4 Km  e dunque sul pianeta e si manifestano certamente vistosi fenomeni superficiali.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale  
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
I risultati ottenuti indicano che sul pianeta  K2-136 b  si debbano manifestare forze di marea molto più intense di quelle che
vengono 
sperimentate sulla Terra.
6
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Art.116 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Titawin (Upsilon Andromedae) -- Antonio Dirita

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Upsilon Andromedae è un sistema stellare binario che si trova ad una distanza dal Sole di circa 43,9 al, la stella principale,
Upsilon Andromedae A , ha una massa    mUA = 1,28 ⋅ ms = 2,54605 ⋅ 10³⁰ Kg  .

La più piccola,  Upsilon Andromedae B , è una nana rossa distante dalla principale   dAB = 750 UA  ,  di massa

mUB = 0,19 ⋅ ms = 0,37793 ⋅ 10³⁰ Kg .
Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32    ) , possiamo calcolare il punto neutro della stella principale rispetto al sistema
stellare locale e risulta :

Essendo   RNHDSL = 72.2694 UA << dAB = 750 UA   la stella   Upsilon Andromedae A   non è in grado di

trattenere in orbitastabile la Upsilon Andromedae B .

Il legame gravitazionale tra le due stelle è quindi praticamente
trascurabile, per cui esse non 
formano un sistema doppio.

Le due stelle non formano quindi un sistema e per questa ragione, nell'articolo l'esistenza della stella Upsilon Andromedae B
verrà completamente trascurata.
Indicare le due stelle come sistema doppio equivarrebbe a ritenere la coppia Terra-Luna un sistema doppio anche alla distanza

mentre sappiamo che a tale distanza (molto oltre il punto neutro) l'azione gravitazionale della Terra è assolutamente trascurabile
rispetto a quella del Sole.
E' però possibile che nel sistema primordiale le due stelle si trovassero ad una distanza minore, comunque sempre oltre il punto neutro, e
che la B si sia allontanata gradualmente da Upsilon Andromedae A percorrendo una spirale centrifuga.
I pianeti in orbita noti hanno le caratteristiche orbitali riportati in tabella .

          sistema planetario extrasolare Upsilon Andromedae

pianeta semiasse m. semiasse m. periodo orb. ecc. orb. massa
    R(UA)     Rs(10⁶Km)     T(giorni)      e  m/mT
b / Saffar           0.0595           8. 901 2         4.617113 0,023           ≥ 220
c / Samh 0.830                    124. 17          241.23 0,262            ≥ 620
d / Majriti            2.54           379. 98          1290.1 0,258           ≥1250
e            5.25            785.40         3848.86 0,005            ≥ 340

1
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Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella
Upsilon Andromedae A in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella
orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33   ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo
processo di
formazione.

Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse triplo, con una stella di maggiori dimensioni posta approssimativamente alla
distanza di  72,2694 UA  dalla stella Upsilon Andromedae A . L'esplosione di quest'ultima stella ha dato origine al sistema
planetario, lasciando sul posto tutti i residui che formano attualmente la fascia di Kuiper.

Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti,  subito dopo l'esplosione della stella esplosa  S , molto minore del loro punto
neutro rispetto alla stella  Upsilon Andromedae A  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi
o formare sistemi multipli.
Negli  Art.31   ,  Art.34  ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine
che
partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema
Solare. In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.

Se dunque confrontiamo il sistema planetario Upsilon Andromedae con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la
stella  Upsilon Andromedae A  non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi essi non sono stati acquisiti
durante il viaggio, ma sono giunti nella posizione attuale sotto l'azione gravitazionale della stella, dando origine ad una distribuzione di
masse crescente con la distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi pianeti e questo giustifica la grande analogia che si
verifica tra i due sistemi.

Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 43,9 aldi quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di queste distanze è la differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a  72 UA .
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  Upsilon Andromedae A , risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene :

2
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Per tutta la durata del trasferimento dalla stella esplosa   Sx  alla stella  Upsilon Andromedae A  , molti dei detriti emessi nel
piccolo angolo solido intercettato dalla stella Upsilon Andromedae A , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto,
certamente maggiore della loro reciproca distanza, si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione
gravitazionale, giungendo così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1UA .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite circolari minime (  Art.10    ,   Art.12    ,   Art.13    ) circolari stabili
aventi raggio dato da  Rn = Rs⋅ (1 – e²) .
A differenza dei sistema già esaminati negli articoli precedenti, in questo caso l'eccentricità orbitale non è trascurabile e quindi applichiamo
la quantizzazione al raggio Rn , senza alcuna approssimazione.
Nella condizione attuale il punto neutro di tutti i pianeti risulta certamente di gran lunga minore delle reciproche distanze , per cui la loro
interazione sembrerebbe certamente trascurabile rispetto all'azione dello spazio rotante centrale generato dal sistema stellare Upsilon
Andromedae .
Le orbite dei pianeti non dovrebbero subire dunque apprezzabile perturbazione.

In realtà bisogna però considerare l'accostamento che si verifica tra i pianeti quando quello interno si avvicina all'afelio e quello esterno
al perielio. La deformazione dell'orbita potrà essere trascurata per i pianeti intermedi  c  e d  , ma non per quello interno  b  e quello
esterno    , che subiscono l'azione di tutti gli altri pianeti. Si avrà infatti un aumento del raggio orbitale per
quello interno ed una 
riduzione per quello esterno.
Con riferimento alla figura, calcoliamo con quale periodicità viene imposta la deformazione dell'orbita.

Upsilon Andromedae 

I due pianeti  b  e  c  percorrono le orbite di raggio  Rb  e Rc , ciascuno con la propria velocità orbitale. Se si considera una qualsiasi
condizione di partenza, per esempio quella di massimo accostamento con  b  all'afelio e  c  sul raggio medio, la stessa configurazione si
presenterà quando i due pianeti avranno percorso lo stesso angolo  α  .
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Il pianeta    imporrà quindi un aumento impulsivo del raggio  R con un periodo che si ottiene uguagliando l'angolo che viene da essi
percorso nello stesso tempo.
Con ovvio significato dei simboli, si ha quindi :

In realtà il pianeta  c  non si muove sull'orbita di raggio medio, ma su una ellisse e quindi l'azione massima si verifica quando esso si trova
al perielio. Dunque ogni 241,23 g si ha un impulso di valore massimo che spinge l'orbita di  b  verso l'esterno.
L'impulso verso l'esterno imposto a  b  dagli altri due pianeti ha un periodo :

In definitiva ogni 4,6 giorni circa il pianeta Upsilon Andromedae b si trova allineato con i pianeti esterni, i quali danno origine
così a una deformazione dell'orbita che si traduce in un aumento reale del raggio.
Analogo calcolo si può fare per il pianeta esterno.
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In definitiva l' orbita quantizzata stabile del pianeta  b  calcolata teoricamente dovrà risultare di raggio minore di quella reale
(deformata),
mentre quella calcolata per pianeta esterno  e  dovrà risultare maggiore di quella reale (deformata).

Noto dall'osservazione il periodo orbitale, calcoliamo il periodo quantizzato  Tn  , associato all'orbita circolare minima stabile  Rn  con

la relazione             Tn = T ⋅ (1 – e²)3/2       calcoliamo il periodo quantizzato associato all'orbita circolare minima.
I risultati che si ottengono sono riportati in tabella
       caratteristiche del sistema extrasolare Upsilon Andromedae

 

pianeta semiasse m. semiass m. orb. quant. period orb. periodo orb.   ecc. massa
     R(UA)    Rs(10⁶Km)   Rn(10⁶Km)     T(giorni)     Tn(giorni)    e m/mT
b            0.0595          8. 901 2         8. 896 5         4.617113           4. 613 4   0.023             ≥ 220
c   0.830                      124. 17          115. 65           241.23            216. 82  0.262             ≥ 620
d               2.54          379. 98          354. 69           1290.1            1163. 5  0.258             ≥1250
e               5.25           785.40           785.38         3848.86            3848. 7  0.005             ≥ 340

applicando la relazione       a tutti i pianeti, calcoliamo il valore medio dello spazio rotante generato dalla
stella  Upsilon Andromedae A  e si ottiene :         KUA² = 174,430 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta della stella risulta:

Per le ragioni che sono state indicate, consideriamo i pianeti intermedi, che presentano le orbite meno deformate .
dovrà essere :
                           R1UA ⋅ pd² = Rnd = 354. 69 ⋅ 10⁶ Km

                           R1UA ⋅ pc² = Rnc = 115. 65 ⋅ 10⁶ Km

da cui si ottiene : 

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D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta                     14/8 = 1,75  oppure  7/4 = 1,75
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio        R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km

oppure  R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 7,2332 ⋅ 10⁶ Km  se si considerano anche i numeri associati seminteri.

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, si deve immaginare di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale comunque da non consentire il rilievo dei piccoli dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete, e fare il
confronto con il sistema in esame (  Art.114    )
Se i dati forniti dall'osservazione del sistema Upsilon Andromeda e sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri
quantici associati alle orbite dei pianeti noti, possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri
mancanti, ma 
nulla possiamo dire sulle caratteristiche dei corpi minori che le occupano.
Assumendo  R1UA = 1,8083 ⋅ 10⁶ Km , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

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Le caratteristiche orbitali quantizzate del sistema, associate all'orbita minima circolare stabile dei pianeti, risultano :

Le orbite del sistema planetario completo  Upsilon Andromedae  risultano quindi descritte dalle relazioni :


Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema extrasolare Upsilon Andromedae

pianeta       / p sem.m.s sem.m.T sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
  p = 1   Rps
  (10⁶Km)
1,8083
  Rns
  (10⁶Km)
1,8083
    RpT
  (10⁶Km)
1,8083
   Vps
 (Km/sec)
310,851
  VpT
 (Km/sec)
310,851
 Ts(giorni)
0,423411g
TT(giorni)
0,423411g
    CS
(10¹⁰Km²/sec)
0,0561624
   CT
(10¹⁰Km²/sec)
0,0561624
b    (2)    8.9012    8. 8968   7. 2370    140.20   155. 25   4.617113    3.3900    0.124795 0.11235
c    (8)    124.17    115. 65   124. 26 37.433         37. 466     241.23    241.19    0.465215 0.46556
d  (14)    379.98    354. 69   379. 70 21.419         21. 433     1290.1    1288.3    0.813879 0.81383
e  (21)    785.40     785.38    797.48  14.840         14. 789    3848.86    3921.4    1.165534 1.17940

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali
risulta , anche in questo 
caso, eccezionale .

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Nel pianeta  b  il raggio dell'orbita sperimentale risulta maggiore di quello teorico per l'azione gravitazionale degli altri pianeti,
rivolta verso
l'esterno.
Analogamente, per il pianeta e  il raggio dell'orbita sperimentale risulta minore di quello teorico per l'azione degli altri pianeti,
rivolta verso l'interno.
Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
consideriamo il pianeta più vicino alla stella,  Upsilon Andromedae , con il valore minimo della massa indicato in tabella.
Il raggio del nucleo rotante del pianeta vale :

Anche se non è noto il raggio del pianeta   rb   sarà certamente   r0b = 4474 Km < rb

e quindi si ha il nucleo interno di raggio  r0b = 4474 Km   rotante su se stesso con la velocità     Vbs = 140,20 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del volume
e della velocità del nucleo e quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove   α   è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

Essendo mb0,69 ⋅ mJ , supponendo i due pianeti con la stessa densità, sarà :    rb0,691/3 ⋅ rJ62000 Km
In rapporto sempre alla Terra, l'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è di gran lunga maggiore di quella che sviluppa
il nucleo terrestre di raggio  449,4 Km  e dunque sul pianeta e si manifestano certamente vistosi fenomeni superficiali.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Per il pianeta  Upsilon Andromedae b  le osservazioni astronomiche indicano una rotazione sincrona e quindi si avrà una
particolare accentuazione dei fenomeni termici che diventano piuttosto vistosi sulla superficie rivolta alla stella centrale.

Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella (  Art.29    ).
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
I risultati ottenuti indicano che sul pianeta Upsilon Andromedae b si debbano manifestare forze di marea molto più
intense 
di quelle che si sperimentano sulla Terra.
Considerando la rotazione sincrona, queste forze producono scarsi effetti termici, ma una grande deformazione permanente, che
attribuisce al pianeta la forma di un ellissoide molto allungato e questo pregiudica l'esistenza in orbita di eventuali satelliti, che
verrebbero facilmente allontanati, con un percorso a spirale verso la stella centrale.

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Art.115 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare HD34445 -- Antonio Dirita

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La stella  HD34445  si trova ad una distanza dal Sole di circa  150,5 al ,

ha una massa mHD = 1,071863 ⋅ ms = 2,13204 ⋅ 10³⁰ Kg e un raggio rHD = 1,38 ⋅ rs
lo spazio rotante generato dalla stella vale :

     caratteristiche del sistema planetario extrasolare HD34445

pianeta semiasse m.s periodo orb.s massa
Rs(10⁶Km) Ts(giorni) m/mT
e 40. 211 49.175                                   ≥16. 811
d 72. 020 117.87 ≥ 30. 825
c 107. 41 214.67 ≥ 53. 387
f 230. 94 676.8 ≥ 37. 816
b 310. 81 1056.7 ≥199. 88
g 922.11 5400                                     ≥120. 76

Applicando la relazione ai pianeti, si ricava il valore medio dello spazio rotante associato alla stella :
                                       KHD² = 142,198 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
e quindi la massa corretta risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite della stella HD34445  in maniera del tutto analoga alla
distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al sistema
stellare locale (  Art.33    ).
Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema un analogo processo di formazione.
Si deve quindi pensare che inizialmente il sistema fosse doppio, con una stella di maggiori dimensioni posta alla distanza del punto neutro
rispetto al sistema stellare locale (  Art.32    ) .
Essendo la stella  HD34445  molto distante dal Sole, è possibile utilizzare l'approssimazion  e  R0HD≃ dHDs = 150,5 al .
Calcoliamo quindi il valore del punto neutro con la relazione :

Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32   ) , possiamo calcolare il punto neutro della stella  HD34445  rispetto al
sistema stellare locale e risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella in maniera
del tutto analoga a quella ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto neutro rispetto al
sistema stellare locale (  Art.33    ). Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema lo stesso processo
di formazione.
Come nel sistema Solare, anche in questo caso la stella  HD34445  avrà l'analoga fascia di Kuiper alla distanza di 226,72 UA .
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella Sx , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella  HD34445  , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.

Negli  Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine che
partono insieme verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema
Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.
Se dunque confrontiamo il sistema planetario di  HD34445  con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi non li ha acquisiti durante il viaggio, ma deve aver rappresentato il loro
polo di attrazione, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei suoi
pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.

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Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata (150,5 aldi quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32    ) .
Conseguenza di queste distanze è la notevole differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da 40 UA
a 226,72 UA .
Con questa origine, alle analogie con il sistema Solare si dovrà certamente aggiungere la presenza di
un'analoga fascia di Kuiper 
alla distanza di 226,72 UA dalla stella.
L'aumento del punto neutro comporta un pari aumento della distanza della stella esplosa da HD34445 , con conseguente riduzione
dell'angolo solido (  Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   ) entro il quale i detriti ( pianeti ) emessi avevano possibilità di raggiungere e intercettare il
polo di attrazione  HD34445  dopo un tempo di volo notevolmente maggiore di quello calcolato per i pianeti del sistema Solare ( Art.43   ).
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la stella
HD34445 , risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene :     
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti dai pianeti del sistema Solare.
Per tutta la lunga durata del trasferimento dalla stella esplosa  Sx  alla stella  HD34445  , i già pochi detriti emessi nel piccolo angolo
solido intercettato dalla stella HD34445 , avendo un punto neutro rispetto alla stella molto alto, certamente maggiore della loro
reciproca distanza, alcuni detriti/pianeti si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, e sono
giunti così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.
Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale  R1HD .
Sappiamo che la quantizzazione si applica alle caratteristiche delle orbite minime (  Art.10    ,  Art.12    ,  Art.13    ) circolari stabili aventi
raggio dato da     Rn = R⋅ (1 – e²) .
Nel nostro caso l'eccentricità delle orbite è relativamente bassa e comunque nota sempre con incertezza piuttosto alta, per cui, con un
errore accettabile, consideriamo   Rn ≃ Rs    ed applichiamo la relazione che descrive le orbite quantizzate direttamente al
semiasse maggiore .
Considerando, per esempio, i pianeti  HD34445 f  e  HD34445 e  , si ha quindi :

                               R1HD ⋅ pf² = 230. 94 ⋅ 10⁶ Km

                               R1HD ⋅ pe² = 72,020 ⋅ 10⁶ Km

2
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da cui si ottiene :
D'altra parte, deve essere anche

Il rapporto che meglio approssima questi risultati risulta    7/4 = 1,75
Si ottiene così l'orbita fondamentale

con un minimo adattamento, assumiamo il valore medio                     R1HD = 4,679 ⋅ 10⁶ Km

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, si deve immaginare di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale comunque da non consentire il rilievo dei piccoli dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete, e fare il
confronto con il sistema in esame (  Art.114    )
Se i dati forniti dall'osservazione del sistema  HD34445   sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri quantici associati
alle orbite dei pianeti noti, possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri mancanti, ma nulla possiamo dire dei
corpi minori che le occupano.
Assumendo   R1HD = 1,6 ⋅ 10⁶ Km   , le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :


3
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Il sistema planetario completo della stella  HD34445  risulta quindi descritto dalle relazioni :


Con la semplificazione utilizzata, e ≃ 0 , si ha semplicemente :

numericamente :

Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare HD34445

pianeta /        p sem.m. s sem.m. T vel.orb. s vel.orb. T per.orb. s per.orb. T mom.ang. T
   p = 1  Rps
(10⁶Km)
4,679
  RpT
(10⁶Km)
4,679
Vps
(Km/sec)
174,329
VpT
(Km/sec)
174,329
Ts(giorni)
1,951864
(TT(giorni)
1,951864
      CT
10¹⁰Km²/sec
0,0815685
e (3) 40.211              42.111             59.466              58.110              49.175                52.70 0.24471
d (4) 72. 020 74.864              44.434              43.582              117.87 124.92 0.32627
c (5) 107.41 116.98 36.386              34.866              214.67 243.98 0.40784
f (7) 230.94 229.27 24.814              24.904              676.8 669.49 0.57098
b (8) 310.81 299.46 21.390              21.791              1056.7 999.35 0.65255
g (14) 922.11 917.08 12.418              12.452              5400                     5355.9 1.1420

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo caso, più che buono .

4
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
consideriamo il pianeta più vicino alla stella. Il raggio del nucleo rotante del pianeta HD34445 e vale :


Essendo certamente                  r0e = 1914,35 Km < re = 7717,4 Km
si ha il nucleo interno di raggio   reb = 1914,35 Km   rotante su se stesso con la velocità    Ves = 59,446 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere, in prima approssimazione con una relazione che tenga conto del
volume e della velocità del nucleo e quindi del tipo :     Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove  α  è una costante praticamente indipendente
dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è di gran lunga maggiore di quella che sviluppa
il nucleo terrestre di raggio 449,4 Km e dunque sul pianeta e si manifestano vistosi fenomeni superficiali.
A questi effetti si debbono aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella centrale (  Art.29    ) .
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29   ).
Dunque sul pianeta  HD34445 e   gli effetti delle forze di marea che si manifestano sono trascurabili rispetto a quelle che si hanno
sulla Terra.
5
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Art.114 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-11 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Kepler-11 si trova ad una distanza dal Sole di circa   2000 al , ha una massa    mK11 = 0,954·m= 1,8976·10³⁰ Kg
e un raggio          rK80 = 1,053 ⋅ ms  lo spazio rotante generato dalla stella vale :

noti i periodi di rivoluzione, rilevati con i transiti, con la relazione  si ricava il valore del semiasse
maggiore ; i risultati sono riportati in tabella
                     sistema planetario extrasolare Kepler-11

pianeta semiasse m. semiasse m. mom. ang./m periodo orb. massa raggio
    R(UA)    Rs(10⁶Km)         C
    10¹⁰Km²/(sec ⋅ Kg)
     T(giorni) m/mT  r/rT
b 91                    13648                           0.13146           10.30375       1.9     1.84
c 107                   15955                           0.14213           13.02502       2.9     2.93
d 155                   23098                           0.17102           22.68719       7.3     3.18
e 194                   29048                           0.19178           31.99590       8.4     4.27
f 250                   37371                           0.21753           46.68876       2.3     2.53
g 466                   69714                           0.29711           118.3777       3.4

Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32   ), possiamo calcolare il punto neutro della stella Kepler-11 rispetto al
sistema stellare locale
e risulta :

Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella centrale
in maniera del tutto analoga alla distribuzione ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del punto
neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33   ). Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo sistema
lo stesso processo di formazione.
Come nel sistema Solare, anche in questo caso il sistema avrà l'analoga fascia di Kuiper alla distanza di 2842,5 UA .
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella   SX  , molto minore del loro punto neutro
rispetto alla stella Kepler-11 , ciascuno di essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.
1
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Negli  Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine fra loro,
che partono verso il polo, lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.
Se dunque confrontiamo il sistema planetario di kepler-11 con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la stella
non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi non li ha acquisiti durante il viaggio, ma deve aver rappresentato il
loro polo di attrazione, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza, così come ha fatto il Sole nei confronti dei
suoi pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.
Esistono però anche notevoli differenze, le più evidenti delle quali sono il ridotto numero di pianeti e la loro concentrazione in un piccolo
spazio a ridosso della stella .
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine del sistema
Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 2000 al ) di quella
del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 alArt.32   ) .
Conseguenza di queste distanze è la notevole differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA
a 2842,5 UA .
Con questa origine, alle analogie con il sistema Solare messe in evidenza si dovrà certamente aggiungere la presenza di un'analoga fascia
di Kuiper alla distanza di   2842,5 UA   dalla stella.

L'aumento del punto neutro comporta anche un pari aumento della distanza della stella esplosa da Kepler-11 , con una conseguente
riduzione dell'angolo solido ( Art.31   ,  Art.34   ,  Art.37   ) entro il quale i detriti ( pianeti ) emessi avevano possibilità di raggiungere ed

essere intercettati dal polo di attrazione   Kepler-11  dopo un tempo di volo notevolmente maggiore di quello calcolato per i pianeti
del sistema Solare (  Art.43    ).
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio ( che coincide praticamente con la stella
kepler-11 ) risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene :
decisamente maggiore dei 34 anni richiesti dai pianeti del sistema Solare.
Per tutta la lunga durata del trasferimento dalla stella esplosa  S a  Kepler-11 , i già pochi detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella  Kepler-11 , avendo un punto neutro molto alto rispetto alla stella, comunque certamente maggiore della loro
reciproca distanza, alcuni detriti/pianeti si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, e sono
giunti così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

2
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Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K11 .
Applicando la relazione che descrive le orbite quantizzate, dovrà essere :

                                   R1K11 ⋅ pe² = 29,048 ⋅ 10⁶ Km

                                   R1K11 ⋅ pd² = 23,098 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene :  
D'altra parte, deve essere anche

I numeri che meglio approssimano questi risultati sono       9/8 = 1,125   

oppure  (4+1/2)/4 = 1,125 , se si considerano anche le orbite associate ai umeri seminteri.

Si ottiene così l'orbita fondamentale     
con un minimo adattamento si possono assumere

        R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km   oppure      R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km ⋅ 4 = 1,452 ⋅ 10⁶ Km

Tenendo conto del fatto che le orbite dei corpi minori non sono visibili, consideriamo         R1K11 = 0,363 ⋅ 10⁶ Km

Per rendersi conto della capacità predittiva del metodo di calcolo utilizzato, immaginiamo di osservare il sistema Solare da una grande
distanza, tale da non consentire il rilievo dei dettagli associati ai corpi minori come satelliti, asteroidi e comete.
I dati noti saranno quelli riportati in tabella ( con un margine d'errore più elevato ).

                              caratteristiche del sistema Solare

pianeta semiasse m. eccentricità.orb. periodo orb.   massa raggio
    Rs(10⁶Km)            e     T(giorni)   m(Kg)   r(Km)
Mercurio            57.9092                0.2056          87.97078    3.33⋅10²³   2439.64
Venere           108209                       0.0068          224.7047  4.8690⋅10²⁴   6051.59
Terra           149598                       0.0167          365.2563 5.9722⋅10²⁴   6378.15
Marte            227937                       0.0934          686.9915 6.4191⋅10²³   3397.00
Giove         778412                        0.0484         4332895       1.8987⋅10²⁷   71492.7
Saturno           1426.72                0.0542         10755.88 5.6851⋅10²⁶   60267.1
Urano           2870.97                0.0472         30687.68 8.6849⋅10²⁵   25557.2
Nettuno           4498.25                0.0086         60191.07 1.0244⋅10²⁶   24766.4
Plutone           5906.38                0.2448         91201.35 1.303⋅10²²   1188.30

3
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per esempio, per il sistema solare, considerando la Terra e Venere, si ha :

                                     R1s ⋅ pT² = 149,6 ⋅ 10⁶ Km

                                     R1s ⋅ pV² = 108,2 ⋅ 10⁶ Km

e quindi  pT/pV = 1,17585 , risultato approssimato con             pT/pV = 6,5/5,5 = 13/11

che forniscono l'orbita fondamentale            R1s = 3,5588 ⋅ 10⁶ Km

con            p = 1   ;   (1 + 1/2)   ;   2   ;   (2 + 1/2)   ;   3   ;   (3 + 1/2)   ;   4   ;   ............

oppure :          R1s = 0,8897 ⋅ 10⁶ Km    con       p = 1   ;   2   ;   3   ;   4   ;   5   ;   6   ; ............

E' chiaro che le orbite sono sempre le stesse ; quello che cambia è solo il numero associato.

Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano :

Con la prima soluzione si ottiene il quadro seguente

pianeta / p  sem.m. s sem.m. T vel.orb. s vel.orb. T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T
          p = 1 Rps(10⁶Km)
3.5588
0.8897
Rps(10⁶Km)
3.5588
0.8897
Vps(Km/sec)
193.119
VpT(Km/sec)
193.119
 Ts(giorni)
1.339822
TT(giorni)
1.339822
    CS
(10¹⁰Km²/sec)
0.0687272
   CT
(10¹⁰Km²/sec)
0.0687272
Mercurio (4)
(8)
     57.9092     56.9408       47871                            48.2797    87.97078    85.7486      0.27724 0.274909
Venere (5+1/2)                     (11)    108209              107654                    35020                            35.1125    224.7047   222913                                0.37897 0.378000
Terra (6+1/2)                         (13)    149598              150359                    29. 785     29.7106    365.2563  367948                                  0.44559 0.446727
Marte      (8)
(16)
   227937              227763                    24. 128     24.1398   686.9915  685989                                  0.55003 0.549818
Giove (14+1/2)                      (29)   778412           748238                    13. 065     13.3185 4332895            4084.62      1.01640 0.996544
Saturno (20)
(40)
    1426.72     1423.52       9. 6463     9.65595   10755.88    10718.6      1.37610 1.374544
Urano (28+1/2)                    (57)     2870.97     2890.63       6. 8035     6.77611   30687.68    31015.7      1.95200 1.958725
Nettuno(35+1/2)                  (71)     4498.25     4484.98       5. 4347     5.43997   60191.07    59942.1      2.44340 2.439816
Plutone(40+1/2)                  (81)     5906.38     5837.32       4. 7096     4.76837   91201.35    89004.5      2.79990 2.783452

4
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l'accordo dei valori teorici calcolati con la quantizzazione generale con quelli forniti dall'osservazione è
più che buono

Se i dati forniti dall'osservazione sono solo quelli che abbiamo indicato, osservando i numeri quantici associati alle orbite dei pianeti noti,
possiamo solo dire che esistono altre orbite stabili, associate ai numeri mancanti, ma nulla possiamo dire dei corpi minori che le occupano.
Ritornando al sistema Kepler-11, le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

Il sistema planetario completo della stella Kepler-11 risulta quindi descritto dalle relazioni :

Per semplicità il calcolo è stato eseguito considerando e ≃ 0 . per un calcolo più rigoroso avremmo dovuto applicare la quantizzazione
ai raggi delle orbite circolari stabili dati dalla relazione (  Art.12    e  Art.13    )            Rn = R⋅ (1 – e²)
Con la nostra semplificazione si ha semplicemente :

5
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Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare Kepler -- 11

pianeta     / p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T massa
p = 1  Rps
(
10⁶Km)
0,363
 RpT
(
10⁶Km)
0,363
Vps
(
Km/sec)
590,606
Vps
(
Km/sec)
590,606
Ts(giorni)
0,0446966
TT(giorni)
0,0446966
   CS
10¹⁰(Km²/secKg)
0,021439
    CT
10¹⁰(Km²/secKg)
0,021439
m/mT
b   (6)  13648          13068            96. 325  98.4343 10.30375    9.6545   0.13146  0.128634 1.9
c   (7)  15955          17787            89. 081  84.3723 13.02502  15.3309   0.14213  0.150073 2.9
d   (8)  23098          23232            74. 039  73.8258 22.68719  22.8846   0.17102  0.171512 7.3
e   (9)  29048          29403            66. 022  65.6229 31.99590  32.5838   0.19178  0.192951 8.4
f  (10)  37371          36300            58. 209  59.0606 46.68876  44.6966   0.21753  0.214390 2.3
g  (14)  69714          71148            42. 827  42.1861 118.3777 122.647             0.29711  0.300146

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta , anche
in questo caso, eccezionale .
Per valutare i fenomeni termici che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note
Il raggio del nucleo rotante del pianeta più vicino alla stella,  Kepler-11 b vale :

dall'osservazione il raggio risulta :            rb ≃ 1.84 ⋅ rT = 1,84 ⋅ 6378 Km = 11735,5 Km

Essendo                                  r0b = 78,149 Km < rf = 7717,4 Km
si ha il nucleo interno di raggio   r0b = 78,149 Km  rotante su se stesso con la velocità V1K11 = 590,606 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere con una relazione che tenga conto del volume e della velocità del nucleo e
quindi del tipo :      Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove α  è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

6
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L'energia trasferita dal nucleo rotante alla massa unitaria del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano che l'energia sviluppata all'interno del pianeta dal nucleo rotante è dello stesso ordine di grandezza di quella che
sviluppa il nucleo terrestre di raggio  449,4 Km  e dunque sulla superficie del pianeta si hanno importanti fenomeni termici.
A questi effetti si debbono però aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101    )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sottoforma di radiazione vale 
rapportata alla quantità ricevuta dalla Terra, risulta :

L'energia raggiante intercettata dalla superficie del pianeta è molto più elevata di quella che giunge sulla Terra e dunque lo saranno anche
gli effetti termici prodotti, che dipendono comunque dal fatto che la rotazione sia sincrona o meno.
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella centrale (  Art.29   ) .
Valutiamo ora gli effetti di marea rapportandoli a quelli noti prodotti dal Sole sullaTerra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29  ).
Dunque sul pianeta  Kepler-11 b le forze di marea che si manifestano sono molto più intense di quelle che si sperimentano sulla Terra.
Se il moto di rotazione del pianeta è sincrono, si potrà manifestare una deformazione permanente, mentre in caso contrario si produrrà
un maggiore effetto termico.
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Art.113 -- Esopianeti, origine e calcolo teorico delle orbite quantizzate del sistema extrasolare Kepler-80 -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

La stella  Kepler-80  si trova ad una distanza dal Sole di circa  1164 al, ha una massa stimata pari al 73% di quella solare, raggio
rK80 = 0,68 ⋅ m e ruota su se stessa con una velocità di 3,35 Km/sec e un periodo di 36,5 giorni.
Il suo sistema planetario è formato da sei pianeti aventi le caratteristiche riportate in tabella .

                    sistema planetario extrasolare Kepler-80

pianeta semiasse m. semiasse m. periodo orb. massa raggio
   R(UA)   Rs(10⁶Km)   T(giorni) m/mT   r/rT
f         0.0175           2.6180          0.9868     1.21
d         0.0372           5.5651          3.0722       6.8     1.53
e         0.0491          7.3454          4.6449       4.1     1.7
b         0.0648          9.6941          7.0525       6.9     2.66
c         0.0792   11.848                        9.5236       6.7     2.74  
g        14.6456     0.83  0.678     

Lo spazio rotante generato dalla stella calcolato con la relazione        , applicata a tutti i pianeti noti fornisce
il valore medio :                                               KHD² = 97,002 ⋅ 10⁹ Km³/sec²

il semiasse maggiore del pianeta  Kepler-80 g  risulta :

Per la massa della stella Kepler-80 si ottiene :

Note le caratteristiche del sistema stellare locale (  Art.32   ), possiamo calcolare il punto neutro della stella   Kepler-80   rispetto al
sistema stellare locale :

1
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Dai dati riportati in tabella, vediamo che i pianeti sono distribuiti sulle orbite con dimensioni crescenti con la distanza dalla stella in
maniera
del tutto analoga a quella ottenuta nel sistema Solare con l'esplosione di una stella orbitante in prossimità del suo punto
neutro rispetto al sistema stellare locale (  Art.33    ).
  Questa ed altre analogie con il sistema Solare suggeriscono anche per questo
sistema lo stesso processo di formazione.
Essendo certamente la distanza iniziale tra i pianeti, subito dopo l'esplosione della stella SX ,   dpp << RNPHD , ciascuno di
essi ha avuto la possibilità di aggregarsi con i vicini e fondersi o formare sistemi multipli.
Negli  Art.31   ,  Art.34    ,  Art.37   , analizzando l'origine del sistema Solare, abbiamo visto che, se le masse partono dallo stesso punto,
dirette verso un polo di attrazione, si distribuiscono con massa crescente con la distanza dal polo stesso, mentre le masse vicine
che partono verso il polo lungo il percorso possono aggregarsi, dando origine a sistemi satellitari come quelli presenti nel sistema Solare.
In questo caso però le masse si distribuiscono con valori decrescenti con l'aumentare della distanza dal pianeta.
Se dunque confrontiamo il sistema planetario di kepler-80 con quello solare, possiamo dire che durante la sua formazione la
stella non ha viaggiato con i suoi pianeti nella stessa direzione, e quindi non li ha acquisiti durante il viaggio, ma deve aver
rappresentato il loro polo di attrazione, dando origine ad una distribuzione di masse crescente con la distanza, così come ha fatto
il Sole nei confronti dei suoi pianeti. Questo giustifica la grande analogia che si verifica tra i due sistemi.
Esistono però anche notevoli differenze, le più evidenti delle quali sono il ridotto numero di pianeti e la loro concentrazione in un
piccolo spazio a ridosso della stella .
Questa configurazione si può giustificare solo ipotizzando una situazione iniziale analoga a quella descritta trattando l'origine
del 
sistema Solare, ossia con l'esistenza nel sistema primordiale di una stella esplosa e dunque oggi scomparsa.
In questo caso però la distanza tra le due stelle dal centro dello spazio rotante centrale è notevolmente più elevata ( 1164 al )
di quella del sistema Solare primordiale uguale a 27,11 al ( Art.32    ) .
Conseguenza di queste distanze è la notevole differenza del punto neutro rispetto al sistema stellare locale, che passa da  40 UA  a
1447,95 UA .
Con questa origine, alle analogie con il sistema Solare si dovrà certamente aggiungere la presenza di un'analoga fascia di Kuiper
alla distanza di  1447,95 UA  dalla stella.
L'aumento del punto neutro comporta un pari aumento della distanza della stella esplosa da  Kepler-80  , con conseguente riduzione
dell'angolo solido (  Art.31   ,  Art.34    ,  Art.37    ) entro il quale i detriti ( pianeti ) emessi avevano possibilità di raggiungere il polo di
attrazione  Kepler-80  dopo un tempo di volo notevolmente maggiore di quello calcolato per i pianeti del sistema Solare (  Art.43    ).
Il tempo di volo dei detriti emessi dalla stella esplosa , necessario per raggiungere il perielio, coincidente praticamente con la posizione della
stella  kepler-80 , risulta infatti : 
Nel nostro caso si ottiene : 

decisamente maggiore dei 34 anni richiesti dai pianeti del sistema Solare.
Per tutta la lunga durata del trasferimento dalla stella esplosa  Sx a  Kepler-80  , i già pochi detriti emessi nel piccolo angolo solido
intercettato dalla stella Kepler-80 , avendo un punto neutro  molto alto rispetto alla stella, certamente maggiore della loro reciproca
distanza, alcuni detriti/pianeti si sono fusi tra loro e comunque si sono avvicinati molto, sotto la loro azione gravitazionale, e sono giunti
così a destinazione, in numero ridotto e molto vicini fra loro, occupando le prime orbite a ridosso della stella.

2
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Calcoliamo ora le caratteristiche dell'orbita fondamentale R1K80 .
Applicando la relazione che descrive le orbite quantizzate, dovrà essere :

                                  R1K80 ⋅ pe² = 7,3454 ⋅ 10⁶ Km

                                  R1K80 ⋅ pd² = 5,5651 ⋅ 10⁶ Km
da cui si ottiene : 
D'altra parte, deve essere anche

I numeri che meglio approssimano questi risultati sono      8/7 = 1,1428  oppure    4/3,5 = 1,1428

Si ottiene così l'orbita fondamentale      R1K80 = 7,3454 ⋅ 10⁶Km/8² = 0,1147 ⋅ 10⁶ Km
Le altre caratteristiche dell'orbita fondamentale risultano dunque :

3
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Il sistema planetario completo della stella  Kepler-80  risulta quindi descritto dalle relazioni :

Per semplicità il calcolo è stato eseguito considerando e ≃ 0 . per un calcolo più rigoroso avremmo dovuto applicare la quantizzazione
ai raggi delle orbite circolari stabili dati dalla relazione (  Art.12    e   Art.13    )         Rn = Rs⋅ (1 – e²)
Con la nostra semplificazione si ha semplicemente :

          R = R1K80 ⋅ p²     ;     T = T1K80 ⋅ p³     ;     V = V1K80 /p     ;     C = C1K80 ⋅ p
numericamente :

R =
0,1147 ⋅ 10⁶
Km        ;       T = 0,0090703 g 

               V = 919,62 Km/sec /p       ;        C = 0,010548 ⋅ 10¹⁰ Km²/(sec ⋅ Kg) p

con                               p = (1) ; (1 + 1/2) ; (2) ; (2 + 1/2) ; (3) ; (3 + 1/2) ; ..........
Si ottiene quindi il quadro riassuntivo :
caratteristiche teoriche del sistema planetario extrasolare  Kepler–30

pianeta / p sem.m.s sem.m.T vel.orb.s vel.orb.T per.orb.s per.orb.T mom.ang.s mom.ang.T raggio
p = 1    Rps
  (10⁶Km)
0,1147
  RpT
 (10⁶Km)
0,1147
   Vps
  (Km/sec)
919,62
  Vps
 (Km/sec)
    919,62
 Ts(giorni)
0,0090703
 Ts(giorni)
0,0090703
           CS
10¹⁰Km²/(sec)
0,010548
           CT
10¹⁰Km²/(sec)
0,010548  
  r/rT
 f  (5)  2,618         2,8675                 192,93          183,93         0,9868        1,13378         0,05059        0,05274         1,21       
d  (7) 5,5651           5,6203                 131,73          131,37         3,0722        3,11111        0,07331        0,073836         1,53       
e  (8) 7,3454           7,3408                 115,0        114,95         4,6449        4,644         0,08447        0,084384         1,7        
b  (9) 9,6941           9,2907                 99,961       102,18         7,0525        6,61225         0,09690        0,094932         2,66       
c (10) 11,848           11,47              90,471        91,962         9,5236        9,0703         0,10719        0,10548         2,74       
g (12) 15,787           16,516                 78,39         76,635         14,6456           15,6735         0,12375        0,126576         0,678        

L'accordo dei valori teorici, calcolati applicando la quantizzazione, con quelli sperimentali risulta, anche
in questo caso, eccezionale .
4
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Per valutare i fenomeni che possono verificasi in superficie, assumiamo come riferimento la Terra, le cui condizioni sono ben note, e
supponiamo che il pianeta Kepler-80 f abbia una massa paragonabile a quella terrestre.
Il raggio del nucleo rotante vale :

dall'osservazione il raggio del pianeta risulta :       rf ≃ 1,21 ⋅ rT= 1,21 ⋅ 6378 Km = 7717,4 Km

Essendo                                                r0f = 10,7559 Km  < rf  = 7717,4 Km

si ha il nucleo interno di raggio  rnf = 10,7559 Km    rotante su se stesso con la velocità       V1K80 = 919,62 Km/sec
Il calcolo è analogo per gli altri pianeti.
Per stimare l'entità dei fenomeni termici che i nuclei rotanti producono, facciamo un confronto con quelli noti che si verificano sulla Terra.

L'energia termica prodotta per attrito interno si può esprimere con una relazione che tenga conto del volume e della velocità del nucleo e
quindi del tipo :    Et = α⋅ r₀³ ⋅ V²   dove   α   è una costante praticamente indipendente dal pianeta .
In rapporto alla Terra, per l'energia totale prodotta si ricavano così i valori :

L'energia trasferita dal nucleo rotante al volume unitario del pianeta vale invece :

I valori ottenuti indicano chiaramente che l'energia sviluppata all'interno dei pianeti dai nuclei rotanti è di gran lunga minore di quella che
sviluppa il nucleo terrestre di raggio   449,4 Km   e dunque non si hanno importanti fenomeni superficiali.
A questi effetti si debbono però aggiungere quelli legati alla radiazione che giunge sulla superficie del pianeta dalla stella (  Art.101   )
L'energia per unità di superficie che il pianeta riceve sulla superficie sotto forma di radiazione vale 
Ulteriore riscaldamento superficiale viene prodotto dalle notevoli forze di marea dovuta alla piccola distanza dalla stella centrale ( Art.29    ) .
Valutiamo gli effetti di marea rispetto a quelli noti prodotti dal Sole sulla Terra

Ricordiamo che sulla superficie della Terra si devono aggiungere le forze di marea generate dalla Luna, che sono circa uguali al doppio di
quelle generate dal Sole (  Art.29  ).
Dunque sul pianeta Kepler-80 f le forze di marea che si manifestano sono circa uguali ai 2/3 di quelle che si sperimentano sulla Terra.
Se il moto di rotazione del pianeta è sincrono, si potrà manifestare una deformazione permanente, mentre in caso contrario si produrrà
un effetto termico.
Osserviamo infine che l'origine che è stata proposta per il sistema e le analogie con il sistema Solare messe in evidenza, ci consentono di
ipotizzare la presenza di una fascia di Kuiper alla distanza  1447,45 UA dalla quale partono asteroidi e comete che percorrono
orbite analoghe a quelle percorse nel sistema Solare.
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