Art.96 -- definizione di spazio e tempo, teoria e contraddizioni dello spaziotempo quadridimensionale di Minkowski e cono di luce -- Antonio Dirita

Art.96 -- definizione di spazio e tempo, teoria e contraddizioni dello spaziotempo quadridimensionale di Minkowski e cono di luce -- Antonio Dirita

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E' da notare che finora abbiamo trattato l'universo come se la sua esistenza fosse una realtà oggettiva, definita con precisione fin dalla
sua separazione come puro spazio fisico.
Sappiamo bene però che questo non può essere vero, ma abbiamo trascurato di affrontare l'argomento per necessità di esposizione.
Per esempio, abbiamo prima detto che l'universo non ha una sua origine, ma esiste da sempre fuori dal tempo e in seguito abbiamo
utilizziamo la velocità relativa come parametro fondamentale per rilevarne sia l'esistenza che l'evoluzione.
E'chiaro che, se abbiamo un sistema formato da due punti, per poter dire che essi occupano una posizione variabile nel tempo, e dunque
affermare che il sistema si evolve, è necessario disporre di una memoria per poter registrare la configurazione assunta in due punti di
memoria consecutivi

(    Art.2    e    Art.3    )       in modo da determinare la loro velocità relativa con la definizione :           V = Δd/Δt
dove   Δd  rappresenta la differenza tra le distanze memorizzate nei due punti di memoria consecutivi e Δt è la distanza temporale
caratteristica tra le due registrazioni.
La stessa definizione di velocità implica la presenza di una memoria capace di organizzare i rilievi.

Il problema fondamentale diventa dunque capire se possono esistere nello spazio fisico due punti in moto relativo senza la
presenza di un osservatore e quale significato può avere il moto, in questo caso.
In altre parole, dobbiamo capire che cosa, nell'universo, è realtà fisica e che cos'altro è invece pura costruzione del cervello.

Per molte ragioni, è per noi estremamente difficile distinguere le due cose e questo si può facilmente capire se confrontiamo
l'universo che "vedremmo", se fossimo privi di tutti i sensi, con quello che viene percepito nella nostra condizione attuale.
La conclusione che si potrebbe trarre da questo semplice esperimento è che al di fuori del nostro cervello non esiste assolutamente nulla e

che  tutto quello che percepiamo è solo una nostra costruzione teorica.
Qualsiasi oggetto che non è codificato con un nome, una forma definita teoricamente in una teoria, un colore codificato, ecc., non può
entrare nei nostri pensieri e dunque è invisibile.
Non possono esistere per noi oggetti fuori dal pensiero, che non abbiano cioè un codice che li distingua dal resto dello spazio.

Se anche si accetta questa drammatica conclusione, ci si deve comunque chiedere qual'è il " fenomeno elementare " che,
se applicato ripetutamente, porta alla impressionante varietà di eventi percepiti.
Penso che a questa domanda non potremo mai dare una risposta, in quanto nel tentativo di farlo ci troveremmo costretti a negare anche
l'esistenza dello spazio fisico puro e dunque dell'universo primordiale stesso.
Negli  Art.2   e  Art.3   abbiamo parlato dello spazio e del tempo percepiti, che, per definizione stessa di percezione, traggono origine da
un processo di ricostruzione del cervello e dunque esistono solo come realtà soggettive.
Rimane dunque senza risposta la domanda su che cosa innesca il processo di percezione e in definitiva su che cosa è lo spazio che noi
percepiamo.
Nella realtà, dare una definizione dello spazio fisico nel quale ci muoviamo non è facile e ci vediamo costretti ad assumerlo
come concetto
primitivo, accontentandoci di descriverlo solo indirettamente attraverso le sue proprietà che rileviamo quando
interagiamo con esso.
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L'idea primitiva dello spazio è sempre stata quella associata a un'estensione " vuota " all'esterno dell'uomo.
Ci si accorge dell'impossibilità di definirlo solo quando si abbandona questa idea per considerarlo, non più come un contenitore
vuoto della realtà, ma il " luogo " in cui esiste la materia più rarefatta, evanescente.

Rapportando la posizione del proprio corpo a quella degli altri, si acquisisce facilmente la consapevolezza dell'esistenza dello spazio, ma
quando si cerca di dare una definizione chiara , ci si rende subito conto che, per farlo, si deve allargare l'indagine su molti suoi aspetti, in
particolare : sulla sua natura, sulla sua esistenza oggettiva e sulla sua struttura metrica (geometria).

Con l'indagine e l'elaborazione di tutti questi aspetti, il concetto di spazio è cambiato molto nel corso della storia del pensiero e la sua
evoluzione è andata di pari passo e si è identificata con l'evoluzione del nostro modo di osservare la realtà.
Per questa ragione, storicamente, lo spazio, così come il tempo, viene rappresentato e gli viene dato un significato diverso a seconda della
cultura prevalente.
Senza dubbio, il concetto di spazio più noto è quello che, scientificamente, viene descritto come un luogo di punti geometrici
attraverso un sistema di assi cartesiani.

A questo punto, lo spazio, come sistema di riferimento, diventa indipendente dai corpi in esso contenuti ed acquista un valore assoluto.

Un concetto legato allo spazio è quello di luogo, inteso come posto occupato dagli oggetti, necessario per la percezione sia dell'esistenza
(nel luogo) che del movimento, inteso come traslazione da un luogo all'altro.
Come abbiamo visto trattando l'origine del tempo  Art.2   , esso nasce proprio dalla esigenza di descrivere i cambiamenti spaziali e quindi
tutto ciò che si muove o si trasforma nello spazio viene acquisito dalla memoria e descritto anche a livello temporale.
La percezione del " tempo " diventa così la presa di coscienza che la realtà di cui siamo parte si è modificata.

Attraverso lo spazio di memoria occupato viene anche percepita la rapidità con la quale si realizzano i cambiamenti e non solo il "prima"
e "dopo".
Dunque, prima ancora di introdurre il concetto di velocità, che lega lo spazio al tempo, il legame tra le due entità veniva già percepito,
anche se non esistevano le condizioni per fare una valutazione quantitativa.
La prima percezione del tempo è stata quella legata al moto ciclico dei corpi celesti e quindi il tempo stesso, insieme allo spazio era ciclico,
ripetitivo.
Il sorgere del Sole non segnava l'inizio di un nuovo giorno, ma il ritorno dello spazio "esterno" nella esatta condizione del giorno
precedente, al fine di consentire il ripetersi degli eventi.
Anche la morte, per lungo tempo, è stata avvertita come la fine di un ciclo che sarebbe comunque iniziato nuovamente con la rinascita.
Fu poi nel pensiero cristiano, con sant'Agostino che il tempo venne concepito in senso lineare, progressivo e non più ciclico come nel
mondo pagano.
E'di questo periodo la definizione fondamentale di Newton, secondo il quale il tempo scorre immutabile, sempre
uguale a se stesso.

Secondo la concezione del tempo e dello spazio immutabili, quando si passa dalla percezione alla valutazione scientifica, la rapidità del
cambiamento di una configurazione viene sostituita dal concetto di velocità, apparentemente semplice nella definizione, solo se non si
considerano le reali misurazioni richieste per poterla valutare.
Se abbiamo un punto nello spazio, rivelarne l'esistenza vuol dire localizzarlo nel tempo e nello spazio.
Per farlo è necessario interagire con esso e questo si realizza attraverso dei segnali.
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In uno spazio assoluto come quello immaginato da Newton il rilievo degli oggetti non pone alcun problema in quanto essi, in quanto
visibili, sono presenti contemporaneamente in quei punti dello spazio e quindi anche tutte le interazioni sono sempre presenti.
Questo significa che tutti i punti dello spazio si scambiano le loro azioni con una velocità infinitamente elevata. Nella realtà però se anche
per lo spazio la situazione fosse questa, non lo è certamente per noi osservatori, che non conosciamo segnali con velocità
di propagazione infinita.
Se un osservatore  O  vuole verificare la presenza nel punto  P  dello spazio al tempo  t  di un oggetto alla distanza r, invia un segnale
che si propaga con la velocità  Vm  , raggiunge il punto  P e viene riflesso per essere intercettato nel punto  O .
Il segnale inviato al tempo  t₀  raggiunge il punto P dopo un tempo  Δt₁  dato da :           Δt₁ = r / V.

Dopo essere stato riflesso il segnale impiega un tempo         Δt₂ = r / Vm             per ritornare all'osservatore.

Dado che la risposta si rende disponibile solo al tempo   tr = t₀ + Δt₁ + Δt₂  , l'osservatore non può essere certo che quello

che osserva sia la situazione attuale, e può solo affermare che l'oggetto era presente nel punto  P  al tempo    t₁= t₀ + Δt₁ .
Quello che abbiamo detto può sembrare banale, ma lo è molto meno quando si deve rilevare un oggetto a grande distanza utilizzando un
segnale piuttosto lento nella propagazione.
Con riferimento alla figura, supponiamo di voler rilevare la presenza di aerei nello spazio entro il raggio di  10 Km  , utilizzando degli
ultrasuoni.

Nell'istante  t₀  inviamo due segnali  s₁  ed  s₂  nelle direzioni indicate in figura e riceviamo due segnali di ritorno dopo gli intervalli
di tempo :
                                           Δt₁ = 52.94 sec  e    Δt₂ = 58.82 sec

Tenendo conto che la velocità di propagazione degli ultrasuoni nell'aria vale  Vm = 340 m/sec , deduciamo la posizione di due
aerei alle distanze :
                r₁ = Δt₁⋅ Vm/2 = 8.9998 Km   ;   r₂ = Δt₂⋅ Vm/2 = 9.9994 Km

Questa interpretazione dei risultati non è però l'unica.
Se consideriamo la distanza tra gli ipotetici aerei : d₁₂ = r₂ – r₁ = 999.6 m , il segnale a ultrasuoni per propagarsi da un

aereo all'altro impiega un tempo             Δt= d₁₂/Vm = 2.94 sec .

Se  P₁ è un aereo ultrasonico, in un tempo minore di  Δts  può spostarsi dal punto  P₁  al punto  P₂  e riflettere quindi il segnale
s₂ in arrivo.
Non potendo noi distinguere i due casi, ci chiediamo : Qual'è la realtà ?
La risposta è che è reale quello che osserviamo e dunque non esiste
una sola realtà.
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Naturalmente, per noi che siamo abituati a identificare la realtà con tutto ciò che cade sotto i nostri sensi, diventa difficile accettare l'idea
che quello che " vediamo " con il nostro segnale non sia vero.
Se analizziamo in dettaglio i due casi, vediamo che il problema nasce perché, anche se i segnali inviati sono simultanei, qualunque sia il
tipo di segnale, che viene utilizzato, propagandosi con la stessa velocità  Vm  , non è possibile farli giungere nello stesso istante in due
punti a distanza diversa dalla sorgente.
Questo vuol dire che, se identifichiamo il tempo t₀ , in cui partono i segnali per l'osservazione, con il presente, nello spazio non
possono esistere nello stesso istante due realtà "osservabili" in punti a diversa distanza dalla sorgente di segnali. La realtà presente
è data solo dai punti equidistanti dall'osservatore.
Essendo il tempo presente, per definizione, quello rilevato dall'osservazione in atto, ad ogni valore dello spazio r si associa un valore del
tempo, per cui ogni presente dello spazio è individuato dalla coppia di coordinate  (r ; t)  e ogni punto P  del presente dai
valori  
(r ; ϑ ; ϕ ; t) .
E' chiaro quindi, a questo punto, che se un osservatore è in moto rispetto allo spazio, considerato solidale con il mezzo in cui si propagano
i segnali, i valori delle coordinate dei punti dello spazio risulteranno variabili in rapporto alla posizione che l'osservatore occupa nel tempo.

Nasce quindi il problema di definire come le coordinate spaziale e temporale di un punto dello spazio, rilevate da un osservatore immobile,
si trasformano se lo stesso punto viene osservato da uno mobile.
Il problema verrà trattato diffusamente in seguito, per cui facciamo ora solo i pochi cenni necessari agli scopi attuali.

Con riferimento alla figura, indicando con  (x ; t)  le coordinate della sorgente  S  rilevate dall'osservatore immobile, solidale con la
sorgente e con il mezzo di propagazione dei segnali, le coordinate  (x' ; t')  della stessa sorgente rilevate dall'osservatore in moto
rispetto al mezzo ( e alla sorgente ) con la velocità V , si ottengono osservando che, mentre il segnale s₂ si muove verso O', quest'ultimo
si sposta verso la sorgente con la velocità V.
Il segnale intercetterà dunque l'osservatore  O' nel punto  A , dopo un tempo t' dato dalla :           V ⋅ t' = x – x'

con :                                                                           x = Vm⋅ t  e  x' = Vm⋅ t'
da cui si ottiene la trasformazione :


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Un problema speculare è quello di esprimere la coordinata   x' , nel riferimento immobile O.
La posizione del punto , valutata dall'osservatore immobile   , si ricava con le relazioni :   
da cui :  
dove tutte le misure vengono rilevate dall'osservatore immobile.
Differenziando e dividendo membro a membro si ottiene :

che esprime la legge di composizione delle velocità generalizzata.
Si noti che :   

in quanto  ν' è la velocità misurata dal riferimento mobile O', mentre  νO'  è la stessa velocità misurata dal riferimento O.
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Ritornando all'esempio degli aerei, osserviamo che le realtà che sono state rilevate differiscono per il fatto che la prima è associata a una
configurazione stazionaria dello spazio, mentre nel secondo caso si ha una evoluzione della configurazione che non può essere messa in
evidenza perchè la velocità dell'aereo è maggiore di quella del segnale che potrà quindi raggiungerlo solo quando esso si fermerà, nel
punto P₂ .
Questo ci dice che un oggetto, per poter essere osservabile , non si deve muovere nello spazio con una velocità maggiore di
quella del segnale usato per rilevare la sua presenza. In termini equivalenti:
La velocità di propagazione del segnale, Vm , rappresenta il valore
massimo raggiungibile, " in quello spazio ", da un punto, per
poter essere ancora osservabile.

Questo limite viene messo in evidenza anche dalla relazione che esprime la composizione delle velocità. Infatti, se ν  e/o  V è uguale a
Vm , la velocità che viene misurata dall'osservatore  O  risulta sempre νO' = V.
Conseguenza rilevante dei risultati che abbiamo ottenuto è l'impossibilità di misurare " simultaneamente " la posizione di due
punti posti a diversa distanza dall'osservatore, anche se i due punti sono a distanza fissa e sono legati fra loro per mezzo di una struttura
rigida.
Abbiamo visto che a ciascun punto dello spazio sono associate le coordinate spaziale e temporale  (r ; t)  dove  r  è la distanza del
punto da osservare dalla sorgente di segnali e  t  l'istante in cui il segnale raggiunge il punto  P(r ; t) .
Secondo l'interpretazione corrente, la coordinata  r  è una scelta dell'operatore e quindi rappresenta una variabile indipendente.
La coordinata temporale  t  viene invece definita da due componenti :          t = t(O) + Δt

dove   t(O)   rappresenta il tempo che viene indicato dall'osservatore   O   quando la sua posizione coincide con l'origine degli assi
di riferimento.
Il suo valore è definito dal numero di cicli (oscillazioni) realizzati da un sistema periodico stazionario, o comunque che si possa
ritenere tale, che viene "scelto arbitrariamente" ed associato all'osservatore allo scopo di dare un'ordine alle osservazioni fatte.

E'chiaro che questo oscillatore è utile, quindi è necessario che sia operativo, solo quando l'operatore prevede di effettuare più osservazioni
e non sempre, per cui ogni operatore, di volta in volta, potrebbe scegliere il suo oscillatore e sarebbe perfettamente adatto allo scopo.
Questo modo di procedere darebbe all'ordine stabilito un valore unicamente locale, con ovvi problemi di comunicazione tra i diversi
osservatori, qualora si rendesse necessario farlo.
Per questa ragione sarebbe conveniente scegliere un solo oscillatore, posto in un punto dello spazio scelto arbitrariamente e
capace di inviare i suoi segnali a velocità infinita in qualsiasi punto dell'universo.
In questo modo tutti i punti dello spazio potrebbero essere forniti di un sistema capace di ricevere e contare gli impulsi in arrivo, partendo
da uno zero comune, in modo che sia possibile associare a ciascuna osservazione il numero dell'impulso in corrispondenza del quale è
stata realizzata.
La funzione di questo numero è solo quella di consentire di ordinare le osservazioni che vengono effettuate in qualsiasi punto
dello spazio
e quando viene considerato da solo, senza alcun riferimento a un'osservazione o eventi di qualsiasi natura, altro non
fa che testimoniare l'esistenza del lontano oscillatore che continua ad essere attivo.

Questo numero, che aumenta di una unità ad ogni impulso,
in qualsiasi punto dell'universo, senza alcun legame con gli eventi,
s'identifica con quello che indichiamo come tempo e che "scorre"
indipendentemente dalla nostra volontà
.

Nella realtà, non disponiamo di un oscillatore con le caratteristiche richieste e nemmeno di segnali capaci di trasferirsi nello spazio con
velocità infinita.
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Si pone quindi il problema di creare un sistema alternativo, capace di dare la stessa risposta.
Se il segnale non si propaga con velocità infinita, con un unico segnale non è possibile associare ad ogni impulso lo stesso numero in punti
distanti tra loro nello spazio.
Ogni osservatore dovrà quindi essere corredato di un oscillatore locale che dovrà generare sul posto l'impulso per realizzare il conteggio.
Naturalmente, per fare in modo che allo stesso evento, osservato in due punti diversi, venga associato lo stesso numero, gli oscillatori
locali devono essere tutti perfettamente uguali tra loro e sincronizzati con l'oscillatore centrale, assunto come campione.
Per poter fare questa operazione, è necessario conoscere con precisione la velocità di propagazione del segnale campione, che potrà
anche non essere dello stesso tipo di quelli utilizzati per le osservazioni.
Per esempio, è possibile utilizzare un segnale luminoso per inviare l'impulso fornito dall'oscillatore e fare le osservazione con segnali a
ultrasuoni.
Se indichiamo con   VSC  la velocità del primo segnale, un oscillatore posto alla distanza   r₀   dal campione, quando riceve il segnale

deve essere tarato in modo che l'indicazione sia       t₀ = r₀ / VSC   .

Questo tempo s'incrementa di una unità ad ogni ciclo dell'oscillatore e questo indica solo che esso esiste e continua ad oscillare non per
noi, ma per conto suo, anche se non si osserva assolutamente nulla. " Il tempo numerico è quindi una grandezza
che ha solo significato convenzionale ".

L'unico tempo che ha significato reale è solo quello " percepito " dagli esseri viventi e utile per
la sopravvivenza.

Se si assume un sistema di assi di riferimento, l'oscillatore posto nell'origine indicherà un tempo uguale a quello del campione :

                                                       t(O) = tC

Se nel sistema di riferimento locale i segnali si propagano con velocità Vm , al punto  P  , che si trova alla distanza  r  dall'origine, sarà
associato un tempo universale dato da :
                                                  t = t(O) + r/Vm

in cui il tempo   t(O)  aumenta con il numero di cicli dell'oscillatore con lo stesso ritmo per tutti i punti dello spazio associato al sistema
di riferimento scelto.
Ogni punto dello spazio è quindi individuato dalla coppia di valori  (r ; t) con  r  che individua la posizione e t l'istante in cui il punto
viene osservato.
Se i rilievi vengono fatti da un osservatore mobile con velocità  V , la distanza da esso rilevata vale :            r' = r – V ⋅ t'
sostituendo si ha :

da cui si ricava il tempo misurato dall'osservatore mobile :                  
Dall'espressione del tempo si ricava :   
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Il primo membro rappresenta la differenza tra il tempo associato allo spazio posto alla distanza   r  dall'origine  O   e quello associato
all'origine stessa, così come in un sistema di assi cartesiani il valore della coordinata di un punto è uguale alla differenza tra il valore
associato al punto e quello dell'origine, che generalmente si assume uguale a zero.
In questo senso la quantità   (t – t(O))   si può interpretare come una coordinata
temporale
da associare alla distanza r ( superficie sterica di raggio r ).

Sostituendo alla distanza  r  le coordinate cartesiane, si può scrivere :

e quindi, con ovvio significato dei simboli possiamo scrivere la relazione tra le coordinate temporali :

                                            ts² = tx² + ty² + tz²

Analogamente, ponendo   ts²⋅ Vm² = r²    , la stessa relazione si può scrivere con le coordinate spaziali :

                                    r² = (ts⋅Vm)² = x² + y² + z²

Ricordiamo che fu Minkowski che, dopo la pubblicazione della teoria della relatività di Einstien, per primo, introdusse il tempo come quarta
dimensione, trattando per la prima volta spazio e tempo come " parti di una sola entità ", un continuum spazio -- tempo a
quattro dimensioni, " trattando spazio e tempo allo stesso modo ".

Facciamo però osservare che, le relazioni che abbiamo scritto sono corrette da un
punto di vista formale, ma presentano gravi
incongruenze fisiche e,
più in generale, concettuali.

Abbiamo infatti due relazioni "assolutamente identiche", scritte una volta in termini spaziali e l'altra usando notazioni temporali, senza
tener conto che lo spazio fisico ha caratteristiche peculiari proprie che non si possono attribuire al tempo senza conseguenze.
L'espressione con le coordinate spaziali                                r² = x²+ y²+ z²
è certamente corretta sia da un punto di vista fisico che matematico, in quanto uno spostamento ha caratteristiche vettoriali, nel senso che
è caratterizzato, oltre che dal valore numerico, anche dalla direzione e dal verso, per cui se si realizzano contemporaneamente tutti gli
spostamenti   x , y , z   nelle direzioni degli assi, si compie un'operazione in tutto equivalente ad un unico spostamento    nella
direzione risultante.
Per uno spostamento infinitesimo, si può anche scrivere :                              (Δr)² = (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²

In termini temporali, la relazione         ts² = tx² + ty² + tz²

risulta corretta, da un punto di vista matematico, in quanto è stata ottenuta dividendo entrambi i membri dell'espressione spaziale
per la stessa quantità.
Si deve però tenere presente che dalla relazione / definizione :  
si ricava correttamente :     dS = dt ⋅ V     che, integrata con  V = costante  , fornisce anche :
ossia :

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Queste relazioni dicono che il vettore  S , che descrive lo spazio percorso nel tempo  ts  da un punto materiale che si sposta con velocità
V , è equivalente alla somma vettoriale degli spazi percorsi nella direzione degli assi del sistema di riferimento nello stesso tempo t.

Dividendo le componenti per il tempo comune, si ottengono le componenti delle velocità necessarie per produrre lo spostamento
assegnato che in genere risulteranno diverse tra loro.
In definitiva, lo spostamento   S  del punto materiale, prodotto nel tempo  t, può essere descritto ( e in questo senso è equivalente )
come la somma vettoriale degli spostamenti prodotti dallo stesso punto nello stesso tempo lungo gli assi di riferimento, muovendosi con
le velocità :

Abbiamo dunque spazi diversi che vengono percorsi nello stesso tempo con velocità diverse. Naturalmente questa equivalenza si rivela di
grande utilità in tutta la fisica.
Il nostro problema non è però descrivere il moto di un punto materiale, ma rilevare la sua presenza ad
una distanza  r  dall'origine, in un
istante arbitrario  t ,  indipendente dalla posizione del punto nello
spazio.

Per farlo inviamo un segnale che si propaga con velocità Vm caratteristica del mezzo, indipendente dalla direzione di propagazione, e
misuriamo il tempo ts richiesto per raggiungerlo.
Se Vm non dipende dalla direzione di propagazione del segnale, diventa una grandezza scalare e
non si può parlare di componenti della
velocità, in quanto dovrà essere :

Vx = Vy = Vz = Vm

Non è quindi possibile usare, con qualche riferimento alla realtà fisica, la notazione vettoriale :   

Se  Vm  è costante per i tre segnali che si spostano sugli assi, per produrre gli spostamenti  x , y , z ,  diversi fra loro, dovranno

essere diversi i tempi sui tre assi, per cui si dovrà scrivere una relazione del tipo :


da cui si ricava :   

si ha quindi, con ovvio significato dei simboli : 
oppure con i moduli :                                                                ts² = tx² + ty² + tz²

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Sotto questa forma " possiamo dire che la relazione descrive un tempo a tre
dimensioni ".

Per mettere in evidenza l'esistenza dello spazio in cui i segnali si propagano, esprimiamo una dimensione esplicitando lo spazio percorso.

Si può, per esempio, sostituire :        ts² = r²/Vm²
e si ha quindi :    
A questo punto si deve osservare che per un punto dello spazio  P, che venga osservato nel generico istante  t  , le componenti che lo
caratterizzano   x , y, z, t   sono tutte indipendenti tra loro e non hanno nulla in comune con le componenti   x, y, z, t   che
vengono utilizzate per descrivere il moto di un punto, in quanto in questo caso, anche se non viene precisato, il tempo t è in realtà inteso
come l'intervallo di tempo ts che abbiamo già introdotto.
Dunque, mentre  t  è scelto arbitrariamente, indipendentemente da  x, y, z  il tempo ts è proporzionale al percorso r del segnale.

Se abbiamo una sorgente di segnali   S  ed un osservatore   O  a una distanza   x  costante, mentre il tempo  t   aumenta linearmente,
per la definizione stessa di tempo, sia per la sorgente che per l'osservatore, l'intervallo di tempo  t , che il segnale impiega per
raggiungere l'osservatore ha un valore costante e non ha le caratteristiche di un tempo.
Pur essendo intimamente legati, spazio e tempo sono due entità con
caratteristiche completamente diverse.

A parte l'aspetto quantitativo, la differenza fra due lunghezze è ancora una lunghezza " con le stesse caratteristiche ",
mentre la differenza fra due tempi dà " un intervallo di tempo ", che non ha più le caratteristiche di
un tempo.

Se abbiamo quindi un punto  P  alla distanza  r  dall'origine e viene osservato al tempo  t , il valore della quantità r² – Vm²⋅ t²,
rilevata da un osservatore immobile, dipende dal valore scelto per il tempo  t  , che non dipende da.
La stessa quantità, rilevata da un osservatore O', in moto rispetto al mezzo con la velocità , sarà espressa da una relazione del tipo :

                                                   r'² – Vm²⋅ t'²

dove r' e t' sono in relazione con  r  e t , ma t' sarà ancora indipendente da r' .
Se, seguendo il pensiero di Poincaré, si ricavano i nuove valori applicando le trasformazioni di Lorentz, con una sola coordinata spaziale,
si scrive :

Questa relazione non può essere corretta, in quanto si ha al primo membro il tempo t' indipendente da x' , la secondo membro il
tempo  t  dipende invece da  x  ed è uguale all'intervallo di tempo impiegato dal segnale a raggiungere l'osservatore, ossia si ha :

                                                 t = ts = x / Vm

Se al tempo si attribuisce lo stesso significato al primo e al secondo membro, la relazione fornisce correttamente :

                                     x'² – Vm²⋅ ts'² = x² – Vm²⋅ ts²

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Considerando le tre dimensioni  x, y, z, si ha così l'invariante di Poincarè :              x² + y² + z² – Vm²⋅ ts²

Si deve tenere presente che ts  non rappresenta il tempo che, secondo la definizione, aumenta regolarmente, indipendentemente dallo
spazio, ma un intervallo di tempo di valore definito.
Se si sostituisce l'intervallo di tempo  ts con un istante  t  scelto arbitrariamente per osservare il punto alla distanza   r  dall'origine,

l'espressione che si ottiene                                    x² + y² + z² – Vm²⋅ t²

non è invariante rispetto ai riferimenti inerziali e non è rappresentativa di nessuna
grandezza fisicamente significativa.

Proprio per l'arbitrarietà del tempo  t  , Hermann Minkowski. pensò
di interpretarlo come una quarta dimensione dello spazio.

La moltiplicazione per la velocità costante Vm è utile per rendere omogenea questa nuova dimensione con quelle spaziali.
Con questa interpretazione, in analogia con lo spazio a tre dimensioni, se il termine  (Vm²⋅t²)  fosse positivo, la quantità :

                                r(x,y,z,t) = x² + y² + z² + Vm²⋅ t²

potrebbe essere interpretata come "distanza" di un evento dall'origine O(0,0,0,0) di uno spazio con tre dimensioni spaziali
ed una temporale.
Nella forma, in cui la dimensione temporale viene espressa in termini spaziali, " si dice che l'espressione descrive i
punti di uno spazio-tempo "
, ossia un'entità a quattro dimensioni, in cui il tempo e lo spazio s'intrecciano
come realtà interdipendenti.
Anche se, con la sostituzione del tempo ts con la variabile  t , l'espressione di Minkowski non ha più nulla in comune con l'invariante di
Poincarè, egli non ha percepito l'importanza della sostituzione ed ha cercato di derivare da esso la sua relazione con diversi artifici
matematici.

Non sempre però un'equazione matematica, anche se viene correttamente formulata, fornisce risultati fisicamente accettabili e la
relazione
utilizzata da Minkowski, presenta molte incoerenze dal punto di vista fisico.

Innanzitutto, per avere il quarto termine positivo, egli introduce il coefficiente immaginario di Gauss :          i = √(–1)
e ottiene formalmente :
r²(x, y, z, iVmt) = x² + y² + z² + (i⋅Vm⋅t)²

Il fattore immaginario è stato introdotto unicamente per ottenere formalmente l'espressione pitagorica, ma si tratta comunque di un
artificio matematico che fisicamente non ha alcuna giustificazione ed è finalizzato solo al trattamento del tempo come quarta
dimensione.
Si ha dunque :
r²(x, y, z, iVmt) = x² + y² + z² – (Vm⋅t)²

che non è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz e lo diventa solo quando         t = ts .
In questo caso si ha :
r²(r, iVmts) = r² – (Vm⋅ts)² = 0
possiamo quindi scrivere :
                        r²(x, y, z, iVmt) – r²(r, iVmts) = (Vm⋅ts)² – (Vm⋅t)²
e quindi :
r²(r, iVmt) = Vm²⋅ (ts² – t²)

dividendo per la velocità  Vm² e ponendo :     t²(t, it) = r²/Vm²     si ottiene :      t²(t, it) = ts² – t²

Che rappresenta lo stesso spazio descritto in termini solo temporali, che potremmo chiamare  quadritempo .

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E' da notare che la distanza  r percorsa da un segnale nel tempo  ts  si scrive normalmente nella forma :

   

che mette in evidenza la somma vettoriale di tre percorsi nella direzione degli assi realizzati nello stesso tempo a velocità diverse, in totale 
disaccordo con la tesi dell'indipendenza della velocità del segnale dalla direzione di propagazione.

Più coerente con questa ipotesi si presenta invece la forma :  

dove  tx , ty, tz  non sono dei tempi, ma intervalli di tempo e dunque la relazione ha significato.
Per chiarire questo punto, realizziamo il seguente esperimento ideale.
Sappiamo che normalmente il rilievo della posizione di un punto dell'universo può essere realizzato inviando direttamente un segnale e
misurando il tempo impiegato per raggiungerlo.
Nota la velocità di propagazione dei segnali, si ricava :          r = Vm⋅ ts .

Analogamente, assumiamo un sistema di assi cartesiani come riferimento e inviamo un segnale dall'origine lungo l'asse x , che si propaga
per un tempo misurato  tx  . Viene poi riflesso nella direzione dell'asse  y , per propagarsi per un tempo ty .
Viene quindi riflesso definitivamente lungo l'asse z e si propaga per un tempo tz per essere poi raccolto da un osservatore nel punto P.
Se ora inviamo un segnale dello stesso tipo dall'origine O direttamente al punto P, l'esperienza dimostra che il tempo impiegato risulta :

ts² = tx²+ ty²+ tz²          e quindi si ricava :               r² = Vm²⋅ ts²

essendo la velocità  Vm  costante in tutte le direzioni, possiamo calcolare tutte le componenti e quindi la distanza  OP anche con la

relazione :                                                                                      r² = x² + y² + z²

In questo modo, se si assume un'origine come riferimento, corredata di un oscillatore indipendente, come abbiamo visto, ad ogni punto
si associa un tempo, che s'incrementa in tutto l'universo con lo stesso ritmo, secondo la definizione che abbiamo dato.
Questa descrizione risulta perfettamente coerente con le osservazioni sperimentali.
Con la relazione scritta con le coordinate spaziali, usata da Minkowski ed universalmente accettata, l'espressione è vista nella forma :

da cui :      

in disaccordo con l'indipendenza della velocità di propagazione dei
segnali dalla direzione.

Minkowski ha considerato, in maniera artificiosa, l'espressione nella forma "arbitraria",

che non esplicita quale dei due fattori è un vettore, per poter scrivere la espressione con i moduli, trattando

così il prodotto     (ts⋅Vm)     come il modulo di un vettore; scrive dunque :            Vm²⋅ ts² = x² + y² + z²

Si ricordi che, mentre per lo spazio la differenza tra due lunghezze è ancora una lunghezza e quindi conserva tutte le caratteristiche dello
spazio, per il tempo non è così.

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La differenza tra due tempi fornisce un intervallo di tempo, che è un valore definito e costante e quindi non ha le caratteristiche di
un tempo, che per definizione è un conteggio di impulsi e come tale aumenta con un ritmo costante.
Abbiamo visto che il tempo è indicato da un oscillatore indipendente solidale con un sistema di riferimento universale. Qualsiasi punto
dello spazio universale è quindi individuato dalla distanza che lo separa da questo riferimento, rilevabile inviando un segnale e l'istante in
cui il segnale viene inviato.
Se si deve analizzare uno spazio limitato dell'universo, si assume un sistema di riferimento locale, nella cui origine viene posto un
oscillatore uguale a quello campione, con esso sincronizzato.

Un punto dello spazio è completamente individuato dalla terna di coordinate spaziali e dall'istante t in cui viene realizzata l'osservazione.
Si scriverà quindi :    P(x , y , z , t)
Essendo la distanza dall'origine :            r² = x² + y² + z²     si può anche scrivere :         P(r ; ϑ ;ϕ ; t) .

Se  Δt è il tempo impiegato dal segnale inviato dall'origine  O per percorrere il tratto  OP , si ha :         r = (Vm⋅Δts)

e quindi le indicazioni richieste per individuare il punto  P saranno :              P((Vm⋅Δts) ; ϑ ;ϕ ; t)

Per semplicità di esposizione, consideriamo una sola componente spaziale e scriviamo quindi :                 P((Vm⋅Δts) ; t)

Se si vogliono riportare su assi cartesiani le due componenti ed operare su di esse, pur non essendo indispensabile, è conveniente renderle
omogenee, dividendo oppure moltiplicando per una velocità, scelta arbitrariamente.
La scelta più opportuna è la velocità del segnale utilizzato per i rilievi VmSi hanno così le indicazioni :

                                   P(Δts; t)     oppure          P(Vm⋅Δts ; Vm⋅t)

minkowski
Il diagramma di figura è quello proposto per la prima volta da Minkowski.
Un punto A fermo, nella posizione P0 , avrà una coordinata spaziale x = x₀ costante nel tempo, rilevata dall'osservatore O, solidale
con il mezzo in cui si propagano i segnali, nell'istante t = 0 .
L'oscillatore presente nell'origine continua comunque ad oscillare, indicando che il tempo " aumenta " per tutto lo spazio, quindi
anche per il punto   A  , che si sposta nella direzione dei tempi, aumentando la coordinata spaziotemporale da  P₀  a, poi a  P₁ e
così via.
Quando il punto   si trova nella posizione  P₁ , se si assumono le coordinate dell'origine  O(0,0,0 ,0)  , nello spaziotempo si
avrebbe un percorso  OP₁ dato da :
r² = x₀² + (Vm⋅t)² = Vm² ⋅ (ts² + t²)

che fisicamente non ha nessun significato.
Si deve dunque ritenere che il tempo aumenti anche per l'origine, assumendo O(0 , 0 , 0 , t). Questo vuol dire che l'aumento
del tempo si deve applicare a tutti i punti dell'universo, senza eccezioni.
In questo caso, quando il punto  A  si sposta in  P1 , l'origine si sposta parallelamente in  O₁  e , da un rilievo della coordinata spaziale,
con la velocità del punto  V = 0 , risulta ancora   x = x₀ .

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Se il punto è in moto con un'equazione del tipo :  x = x₀ + V ⋅ t  si può scrivere :
che sul diagramma è rappresentata da una retta inclinata come in figura , in cui abbiamo :                tg α = V / Vm
con il valore limite  tg α = 1 corrispondente al valore massimo  Vmax = V , si ha :

α= 45°    e   (x – x₀) = Vm ⋅ t

Per   V > Vm   osservare il punto in moto non è più possibile con quel segnale e bisogna ricorrere ad uno che abbia la velocità di
propagazione maggiore di   Vm .
Escludendo questa possibilità, normalmente la parte di spazio occupata dal punto in moto con una velocità  V > V ( zona associata
a  α > 45° ) viene indicata come " altrove ".
Supponiamo ora di avere due osservatori A e B equidistanti dall'osservatore   , come è indicato in figura.

minkowski
Secondo quanto abbiamo visto, i tre punti  A, O, B , fermi nello spazio, sono rappresentati nello spaziotempo da tre rette verticali.
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Supponiamo ora che dal punto  O  partano contemporaneamente, nell'istante   t = 0   , due segnali che, per quanto abbiamo visto,
saranno rappresentati da due rette inclinate di  45° .
I due segnali verranno intercettati dagli osservatori, che si spostano nel tempo lungo la verticale, nei punti   A' e B' , verificando che
risultano ancora simultanei.
Ci domandiamo ora come giudicano lo stesso evento ( emissione simultanea di due segnali ) due osservatori appartenenti ad un altro
sistema di riferimento in moto rispetto al mezzo in cui si propagano i segnali, quindi rispetto al riferimento O, considerato nel caso
precedente.
Per il riferimento O , immobile rispetto al mezzo, i punti   A, O', B  non sono più in quiete e quindi le rette che li rappresentano
saranno inclinate rispetto alla verticale, secondo la relazione :  
e rappresentate in figura con  a, o, b .
Queste rette, che rappresentano gli osservatori in moto, intercettano (e quindi rilevano) i segnali, che non sono cambiati, nei punti   a'e
b'
, chiaramente ad una diversa distanza dalla sorgente  O e in istanti diversi.
Per gli osservatori in moto i due segnali non risultano più simultanei.
Il rapporto tra i tempi coincide con quello che è stato ricavato analiticamente con la trasformazione di Galileo generalizzata :

Generalmente la rappresentazione che è stata data con una sola dimensione spaziale viene fatta considerando lo spazio piano con le
coordinate x , y e la dimensione spaziotemporale (Vm⋅t) .
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Ne risulta la figura di rotazione che, con riferimento ai segnali luminosi, viene indicata come cono di luce .

cono di luce 
Per un punto in moto con la velocità del segnale (dunque per il segnale) si ha     x = Vm⋅ t       ossia :     x – Vm⋅ t = 0 .

Il primo membro   x – Vm⋅ t  risulta invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz che, com'è noto, è scritta nella forma :


dove la quantità   (x – V ⋅ t )  indica il valore della distanza tra il punto da rilevare e l'osservatore mobile vista dal riferimento fisso.
" La trasformazione di Galileo generalizzata ", è stata ricavata invece nella forma :

dove la quantità (x – V ⋅ t') rappresenta la distanza del punto da rilevare dall'osservatore mobile, misurata nel riferimento mobile.
Rispetto a questa trasformazione, la quantità (x – Vm⋅t)  risulta invariante rispetto al sistema
di riferimento senza dover ricorrere
all'artificioso fattore γ .
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Applicando la trasformazione, si ha infatti :

che equivale alla :         
Questa relazione normalmente viene interpretata come invarianza assoluta della velocità del segnale rispetto alla
sorgente e all'osservatore.

In realtà il segnale, di qualunque tipo, dopo l'emissione è indipendente dalla sorgente e dunque si muove nel mezzo senza alcuna
sua influenza.
In queste condizioni il segnale continua il suo moto alla velocità  Vm  fino a raggiungere il punto da rilevare.
L'unico modo per far variare la velocità di accostamento del segnale al punto è quello di far muovere il mezzo contemporaneamente al
segnale.
Va precisato che per misurare la velocità di un segnale, l'osservatore mobile oppure immobile, invia un segnale su una superficie riflettente,
posta ad una distanza x nota, e rileva il tempo da esso impiegato per realizzare il percorso di andata e ritorno e

dalla relazione L / t = Vm ricava il valore medio della velocità sull'intero percorso.


Consideriamo un osservatore in moto, come in figura.
Dopo l'emissione il segnale s₁ , indipendente dalla sorgente, si muove verso la superficie riflettente S con la velocità Vm , percorrendo

la distanza x₁ = x₀ in un tempo    t₁= x₁ / V.

Dopo il tempo  t₁ il segnale viene riflesso, e indipendente dalla superficie  S , si muove verso O con la velocità  Vm e lo intercetterà
nel punto  O₁ , dopo un tempo  t₂ dall'istante in cui è stato riflesso.

Il percorso del segnale riflesso sarà :                  x₂ = x₀ – V·(t₁ + t₂)

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il tempo di transito del segnale riflesso s₂ risulta :

Il tempo totale, misurato dall'osservatore, impiegato dal segnale per tutto il percorso di andata e ritorno sarà :

Il percorso complessivo di andata e ritorno vale :  
La velocità osservata risulta :     
Da tale relazione, se è nota  Vm  , si ricava la distanza  xO  o viceversa.
Il valore della velocità  Vm  così calcolata rappresenta il valore medio su tutto il percorso xO .
Se si desidera conoscere " la velocità istantanea " del segnale rispetto all'osservatore, è necessario valutarla entro un piccolo
spazio in corrispondenza del punto in cui il segnale viene intercettato dall'osservatore.
I processi che si verificano sono stati analizzati studiando l'effetto Doppler (  Art.26   ) ed abbiamo visto che :
Il segnale emesso con frequenza  f0  , viene intercettato dall'osservatore, in moto verso il segnale, con frequenza maggiore, data da


La velocità istantanea del segnale, rispetto all'osservatore mobile, nell'istante in cui lo raggiunge per essere assorbito oppure riflesso, vale
dunque :       
E' da notare che il segnale, che si propaga attraverso il mezzo, durante il moto conserva invariate le sue caratteristiche e " l'aumento
della
frequenza che registra l'osservatore si verifica nel momento in cui avviene l'impatto fra il segnale
e l'osservatore ".

Ricordando che all'aumento di frequenza è associato un aumento di energia trasferita, espressa da una relazione del tipo Es = α⋅ fO ,
essendo "la velocità d'impatto" l'unica grandezza in gioco, tale aumento può solo essere dovuto ad un aumento della velocità relativa tra
segnale e osservatore che non potrebbe realizzarsi se venisse applicato il postulato di Einstein sulla velocità della luce.
In definitiva, l'aumento di energia del segnale, dovuto all'effetto
Doppler, risulta in contraddizione con la costanza della velocità della
luce.

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