Art.95 -- Teoria e calcolo elementare del redshift gravitazionale senza ricorso alla teoria della relatività generale di Einstein -- Antonio Dirita

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I processi che abbiamo visto trattando la deviazione della luce in un campo gravitazionale (  Art.49   ) e l'effetto Compton (  Art.53   ) , con
le stesse approssimazioni si possono verificare nel caso in cui si abbia una massa m che viene lanciata, come in figura, alla distanza R₀
dal centro dello spazio rotante Ks² , generato dalla massa inerziale ms , con velocità iniziale V₀

redshift gravitazionale     
si ottengono le relazioni :              

Allo stesso risultato si può giungere anche considerando la lunghezza d'onda associata alla massa  m  in moto con velocità  V  in uno
spazio rotante :        
Le relazioni che abbiamo ricavato sono estremamente interessanti, in quanto ci consentono di calcolare l'angolo di diffusione di qualsiasi
particella o massa ordinaria lanciata in qualsiasi spazio rotante, con una velocità maggiore di quella di fuga dal punto in cui viene immessa.
Inoltre esse mettono in evidenza che l'effetto Compton e la deviazione della luce, che si osservano quando essa passa entro il raggio
d'azione di un campo gravitazionale, seguono lo stesso meccanismo e le stesse leggi che vengono seguite dagli aggregati ordinari.

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La componente Compton che abbiamo analizzato (  Art.53    ) considera solo la variazione della lunghezza d'onda λ  dovuta al fatto che
la massa   inizia a interagire avvicinandosi in una direzione e termina allontanandosi nella direzione dell'asintoto, deviando
di un 
angolo uguale a β .
Noi sappiamo però che i principi di conservazione debbono essere verificati in ogni momento durante l'interazione e non solo prendendo
in considerazione l'inizio e la fine dell'interazione che genera il cambio di direzione.
Prendiamo quindi in considerazione anche la componente della variazione della velocità della massa in moto, oppure della sua lunghezza
d'onda associata, dovuta solo alla variazione della distanza dal centro dello spazio rotante, che si verifica durante il movimento.

Con riferimento alla figura, anche se il percorso reale è quello indicato con tratto pieno, per semplicità di calcolo, commettendo un errore
trascurabile, consideriamo la massa  m  in moto verso il centro, lungo la traiettoria tratteggiata.

Ricordiamo che a una massa in movimento si associa una energia di riposo uguale a    E₀ = m₀ · Cl²

ed un valore di energia a carattere ondulatorio, che si manifesta quando la massa interagisce e viene catturata da uno spazio rotante
Ks² ( Art.52   e   Art.54  ) .
Questa energia viene descritta associando alla massa in movimento il valore della lunghezza d'onda λ  del fotone che viene emesso dopo
l'assorbimento e vale :       
l'energia associata diventa :                                                     h ⋅ ν = m ⋅ V ⋅ Cl
l'impulso associato a questa energia sarà :     
L'impulso associato all'energia di riposo si assume :    
Queste due componenti dell'impulso non sono presenti simultaneamente con valore definito, ma si presentano sfasati tra loro in modo
che uno assuma il valore massimo quando l'altro si annulla e viceversa.
Esse si presentano dunque come componenti ortogonali dell'impulso totale e nella definizione dell'impulso associato alla particella
non sono sommabili direttamente, ma si deve assumere :

l'energia totale associata alla particella in moto risulta così :

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ricordando che per una massa che si muove a grande distanza dal centro dello spazio rotante si applica la nota espressione della massa
relativistica (  Art.94   ) :

sostituendo, si ottiene : 
In ogni istante l'energia totale E dovrà essere uguale alla somma dell'energia cinetica più quella di riposo :       E = Ec + E₀
L'energia cinetica risulta dunque :
       
si noti che, per  V << Cl  possiamo sviluppare in serie di Taylor , fermandoci al secondo termine :
     
e si ottiene così la nota relazione :
     
Se siamo in presenza di un fotone, che nasce come perturbazione dell'equilibrio dello spazio rotante (   Art.56   e   Art.57    ) , la massa di
riposo  m₀  vale zero e quindi si ha solo la prima componente dell'energia.
Possiamo dunque scrivere in ogni istante l'energia totale del fotone :                  Ef = mf⋅ Cl² = h ⋅ ν
da cui si ha la massa equivalente :        
oppure, sostituendo   λ = Cl/ν  , si può scrivere :

che esprime la lunghezza d'onda associata a una particella di massa mf in moto alla velocità della luce Cl .

Se una particella interagisce con uno spazio rotante di valore Ks² , partendo dalla distanza dal centro R →∞ , con energia totale ,

dovrà soddisfare in ogni istante l'equazione fondamentale degli spazi rotanti :          V²⋅ R = Ks²  ,
che differenziata fornisce :   
Al primo membro abbiamo il differenziale dell'energia totale riferito all'unità di massa, mentre al secondo si ha il differenziale del potenziale
associato ad un incremento  dR  della distanza dal centro dello spazio rotante.
Inserendo la massa della particella, possiamo scrivere la relazione usando la energia relativistica :

Se la particella è un fotone, sostituendo l'espressione della massa, si ha : 
ovvero :      
integrando tra i limiti   R = ∞   e R = r si ottiene :          
dove, al secondo membro abbiamo l'energia potenziale per unità di massa.
Ricordando che 
sostituendo, si ha : 
posto :     
E' da notare che generalmente si ha   r >> r1s   e quindi si sviluppa in serie di Taylor l'esponenziale, fermandosi al secondo termine,
per cui si utilizza la relazione approssimata :        
Se, per esempio, osserviamo l'orbita di un pianeta del Sistema Solare, con perielio RP  ed afelio R, fissato il fotone da utilizzare per la
misurazione, tra i due punti verrà osservata una differenza di frequenza complessiva :

che si traduce in una errata valutazione delle distanze.
Il rapporto        viene generalmente definito  redshift gravitazionale
ed è calcolabile senza ricorrere agli effetti relativistici.

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 Art.95 -- Teoria e calcolo elementare del redshift gravitazionale senza ricorso alla teoria della relatività generale di Einstein -- Antonio Dirita

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