Art.89 — Teoria generale della fusione nucleare, calcolo teorico dell’energia liberata — Antonio Dirita

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Per fusione nucleare s’intende “l’unione di due o più nuclei” per sintetizzarne uno di massa maggiore di ciascun nucleo
componente.
Durante il processo verrà emessa oppure assorbita una quantità di energia proporzionale al difetto di massa tra i prodotti ottenuti e quelli
reagenti.
Dato un nucleo atomico   A(Z ; Ila fusione con il nucleo  A₁(Z ₁; I₁, oppure con una particella elementare, viene indicata con la
semplice relazione :
                                          A(Z ; I) + A₁(Z ₁; I₁) → (A–A₁) + El

In una fusione ordinaria, come per esempio una reazione chimica,  nella quale i due reagenti   A  e  A₁  si uniscono per formare il
nuovo aggregato  (A–A₁) , l’energia  El  viene intesa come energia che lega i due reagenti , i quali sono ancora riconoscibili nella
struttura dell’aggregato  (A–A₁)  e comunque separabili fornendo la stessa energia  E .
Questo vale per qualsiasi unione, anche tra particelle elementari.

Per una reazione nucleare si usa la stessa indicazione e si applica la stessa regola, nel senso che la reazione, a parte le difficoltà pratiche,
potrà essere letta in entrambe le direzioni e scritta :
                                      A(Z ; I) + A₁(Z ₁; I₁) ↔ (A-A₁) + El

In questo caso non è però possibile individuare nel prodotto della reazione i due componenti iniziali  A  e  A₁  e l’energia  E non può
quindi rappresentare l’energia che lega  A  e  A₁ .

Se per esempio la reazione indica la fissione di un nucleo (   Art.88   ), si potrà scrivere :

                                      A(Z ; I) → A₁(Z₁ ; I₁) + A₂(Z₂ ; I₂) + Ef

Dove  Ef  rappresenta l’energia che viene liberata dalla separazione dei due frammenti  A₁  e  A₂  dal nucleo iniziale A(Z ; I) .
Essendo lo spazio rotante nucleare conservativo, è corretto pensare alla possibilità di realizzare la reazione inversa di fusione dei due
nuclei  A₁  e  A₂  fornendo l’energia  Ef  , secondo la relazione :

                                    A₁(Z₁ ; I₁) + A₂(Z₂ ; I₂) + Ef → A(Z ; I)

Nell’  Art88a   , trattando la fissione nucleare, abbiamo visto che l’energia   Ef   che si libera non rappresenta il valore richiesto per
allontanare i due nuclei   A₁  e  A₂ ( che è un’energia assorbita e non liberata ) , ma il valore della loro energia di eccitazione , nel
momento in cui i due nuclei sono configurati, ma ancora in equilibrio, nel nucleo di partenza   A(Z ; I) .
In altre parole, il nucleo iniziale  A(Z ; I) , per separare al suo interno i due nuclei alla distanza di equilibrio  R₁₋₂  , deve fornire loro,
oltre all’energia di legame, un’energia di eccitazione, che complessivamente è uguale a  Ef .
Prima della scissione il nucleo deve quindi essere considerato equivalente al sistema seguente
          
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dove il terzo termine rappresenta l’energia che lega i due nuclei nel momento in cui stanno per separarsi e quindi  Vf2  è il valore della
velocità di fuga del nucleo  (A₂ + Eecc2)  dalla sua orbita di equilibrio ( se si considera l’altro nucleo fisso ).
Questa energia verrà trasformata tutta in energia potenziale quando i nuclei   (A₁ + Eecc1)  e   (A₂ + Eecc2)   si saranno
allontanati alla distanza R → .
Dopo la separazione i due nuclei, non più legati, si diseccitano ( si verifica una situazione analoga a quella
presente nel neutrone ),
liberando l’energia di fissione :

                                                    Eecc1 + Eecc2 = EF

Se ora vogliamo realizzare la fusione tra i nuclei  A₁A₂  dobbiamo fornire loro l’energia di eccitazione  ( Eecc1 + Eecc2 )  e

solo allora spontaneamente, sotto l’azione della forza nucleare unificata, si fonderanno, liberando
l’energia di legame, uguale al valore associato all’equilibrio su un’orbita circolare stabile, che vale :
         
si realizza così la reazione :
                             (A₁ + Eecc1) + (A₂ + Eecc2) → A(Z ; I) +|Eeq|
e quindi complessivamente :

                              A₁ + A₂ + (Eecc1 + Eecc2) → A(Z ; I)+|Eeq|

Se non viene fornita inizialmente l’energia   (Eecc1 + Eecc2)   non potrà realizzarsi la “ricostruzione” del nucleo  A(Z ; I)  che
richiede energia.
Se l’energia fornita inizialmente   EF = (Eecc1 + Eecc2 risulta maggiore della  Eeq  che si è liberata, il bilancio energetico
risulta negativo e quindi, per poter realizzare la fusione, si dovrà fornire energia.

Se invece l’energia fornita risulta minore di quella liberata, il processo libera l’energia :

                                           ΔE = Eeq  – (Eecc1 + Eecc2)

Pur essendo vantaggiosa dal punto di vista energetico, la fusione non
può mai verificasi spontaneamente, in quanto si devono avere nuclei

eccitati (che presentano una massa maggiore di quella associata ai
nuclei nello stato fondamentale).

Le difficoltà pratiche che s’incontrano nella realizzazione della fusione tra due nuclei che presentino anche bilancio energetico positivo, sta
proprio nel fatto che la liberazione di energia si verifica alla fine del processo, mentre i nuclei vanno eccitati all’inizio, quando sono ancora
separati.
L’energia che viene liberata è solo quella di legame. Quella di eccitazione viene invece utilizzata per realizzare le transizioni nucleari interne
necessarie per giungere alla configurazione del nucleo finale (   Art.88    sulla fissione ).
In sostanza, se i nuclei non vengono eccitati, manca l’energia per sintetizzare il nucleo finale e la fusione non può realizzarsi.

Il discorso ha validità assolutamente generale e si applica a qualsiasi coppia di aggregati,
non necessariamente nuclei atomici.

Per esemplificare quanto è stato detto, consideriamo il caso semplice della fissione dell’atomo di idrogeno.
In questo caso abbiamo l’elettrone sull’orbita fondamentale, legato al protone dall’energia di legame      E11e = –13.606 eV
ed energia di eccitazione   Eecc = 0 .

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Se all’elettrone viene fornita, con un mezzo esterno qualsiasi, l’energia   ΔE  , l’orbita diventa ellittica con eccentricità data da :

e le caratteristiche orbitali diventano :

L’energia di legame si riduce a :                                            E = E11e ⋅ (1 – e²)

e con essa si riduce anche il difetto di massa, che diventa :

                               Δm = E11e ⋅ (1 – e²)⋅ Cl² = ⋅ (E11e – ΔE) ⋅ Cl²

Quando l’energia fornita    ΔE   diventa uguale all’energia di legame associata all’equilibrio sull’orbita circolare   E11e  , la velocità

dell’elettrone risulta uguale alla velocità di fuga dall’orbita  Vf = √2 ⋅ V11e , l’eccentricità diventa   e = 1  e l’orbita parabolica,

“con il conseguente allontanamento dell’elettrone con moto decelerato “ fino ad avere  V → 0   per  R → ∞   e le due due
particelle completamente indipendenti.
In queste condizioni la massa del sistema (p + e) , con energia di legame uguale a zero, raggiunge il valore massimo.

In pratica si trasforma in massa inerziale l’energia fornita.

Essendo uguale a zero l’energia di eccitazione dell’atomo iniziale, l’energia liberata dalla fissione in questo caso risulta nulla.
La reazione, con    ΔE = E11e   sarà dunque :
                                                  H₁¹ + |E11e| → p + e

Dato che per l’equilibrio del legame (p + e) nell’atomo di idrogeno  H₁¹ non viene richiesta nessuna energia di eccitazione  ( in
quanto sono particelle elementari e non aggregati strutturati ), non sarà necessario fornire energia nemmeno per realizzare la fusione e
quindi, l’elettrone ed il protone appena separati, spontaneamente tenderanno a fondersi rigenerando l’atomo di idrogeno con liberazione
dell’energia   E11e   che avevamo fornito per la loro separazione.
La reazione di fusione sarà dunque semplicemente :
                                                  p + e → H₁¹ + |E11e|
Per lo studio della fusione nucleare è però fondamentale la comprensione dei processi di sintesi e scissione del deutone, che sono
alla
base di qualsiasi trasmutazione nucleare.
Abbiamo visto che due atomi di idrogeno, con una opportuna compressione, possono sintetizzare l’atomo di deuterio (  Art.70    e
Art. 82   ) , secondo la reazione :
                                      H₁¹ + H₁¹ –→ (H₁¹- H₁¹) + γ

che normalmente viene giustificata con la scissione del protone e scritta nella forma :

                                  H₁¹ + H₁¹ –→ H₁² + β⁺ + γ(0.42 MeV)

                                           β⁺ + e⁻ –→ γ(1.022 MeV)

e quindi complessivamente :
                                  H₁¹ + H₁¹ –→ H₁² + γ(1.44222056 MeV)

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Ricordiamo però che negli   Art.85    e    Art.86    , trattando l’emissione β , abbiamo visto che ” la scissione del protone è
solo apparente “
, in quanto in realtà il processo che si realizza è la creazione di una coppia    (e⁺– e)   sull’orbita minima
r1p 
 
del protone di raggio    r1p = 2.81794092⋅10⁻¹⁵ .

Schematicamente :                                  p + 2 ⋅ (me⋅Cl²) –→ (p + e⁻) + β⁺

Fornendo energia alla coppia   (p + e⁻)  , si genera un sistema   (p – e⁻)   fortemente eccitato, dunque instabile, che viene
indicato come neutrone :
                                    (p + e⁻) + Eecce + β⁺ –→ n + β⁺

In realtà questa reazione non è possibile realizzarla direttamente, in quanto si dovrebbe generare un accostamento tra elettrone e protone
che richiede pressioni estremamente elevate (  Art.30   ). Fra elettrone centrale e protone questa distanza viene raggiunta nel deutone
( Art.70   ) e si conserva per qualche tempo anche immediatamente dopo la sua scissione.

Nella realtà non può dunque esistere per il neutrone altra origine oltre alla scissione del
deutone.

Il neutrone è quindi un aggregato avente energia di legame minore di
quella di eccitazione e per questo motivo subisce la fissione spontanea.

Se, prima che decada, il neutrone interagisce con un protone, si realizza la sintesi del deutone, secondo la reazione :

                                       n + p –→ D + (Eγ + Eecce) + β⁺

Con la sintesi finale del deutone viene quindi restituito il surplus di energia   Eecce   che era stato fornito per eccitare la coppia
(p + e⁻)  quando è stato formato il neutrone. La reazione nucleare definitiva diventa dunque :

                                  p + 2 ⋅ (me⋅Cl²) + p –→ D + Eγ + β⁺

A questo punto osserviamo che dei due atomi di idrogeno iniziali disponibili sono stati utilizzati solo i protoni e quindi abbiamo ancora due
elettroni liberi.
Uno di essi si lega al deutone, formando l’atomo di deuterio, mentre l’altro si annichila con l’elettrone positivo  β⁺ ancora disponibile,

restituendo l’energia che era stata fornita al protone per generare la coppia,                          E₀ = 2 ⋅ (me⋅Cl²) .

La reazione complessiva della sintesi di un atomo di deuterio, realizzata con la fusione di due atomi di idrogeno, si potrà quindi scrivere:

                                         H₁¹ + H₁¹ –→ H₁² + Eγ

Come abbiamo già ricordato, nel processo di fusione le teorie correnti fanno ricorso ad una ipotetica scissione del protone secondo
lo schema :
                                           p + E₀ –→ n + β⁺ + ν

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Secondo tale relazione, il valore di energia che si deve fornire al protone deve essere tale da consentire l’incremento della massa che si
verifica con i prodotti finali. In realtà il protone, come particella elementare, è indivisibile, e nel processo ” ha solo prestato lo
spazio rotante “
per rendere possibile la formazione delle particelle materiali (  Art.55a    e    Art.55b    ).
Ricordando i valori delle masse :
                                 mH₁² = 2.014101778   ;    mH₁¹ = 1.007825032

si ricava il valore dell’energia emessa dalla sintesi del deuterio realizzata con i due atomi di idrogeno   Eγ = 1,44222056 MeV
che è uguale all’energia di legame dell’aggregato  (H₁¹- H₁¹)  ( deuterio ), che si forma nelle stelle senza l’intervento dei neutroni.
La struttura del deutone libero, fuori dal nucleo atomico, per come l’abbiamo realizzata, si presenta assolutamente simmetrica con un
elettrone al centro e due protoni in moto sulla stessa orbita in posizioni diametralmente opposte .

In questa struttura non è dunque distinguibile nessuna particella o aggregato che possa
essere assimilato al neutrone, anche perchè, se nella struttura si perde la simmetria, si perde anche la stabilità.
Se, a questo punto, iniziamo a fornire energia all’aggregato   (H₁¹- H₁¹)  per produrre la fissione, ci aspettiamo che, giungendo al
valore di energia Eγ , si debba produrre la separazione dei componenti, rigenerando i due atomi di idrogeno iniziali secondo la relazione :

                               (H₁¹- H₁¹) + 1,44222056 MeV –→ H₁¹ + H₁¹

invece non accade assolutamente nulla.
Per poter realizzare la divisione del deuterio, benché la sua energia di legame sia uguale a 1,44222056 MeV , è necessario fornire
un valore di energia maggiore ( comprensivo dell’energia di eccitazione) uguale a :

                                                  ED = 2.22457 MeV
Si deve cioè fornire un surplus di energia :
                                   En = ΔE = E– Eγ = 0.7822991 MeV

Si tratta, a questo punto, di capire per quale ragione questo accade.
Se aggiungiamo questa energia a entrambi i membri della reazione di scissione teorica, abbiamo :

                      (H₁¹- H₁¹) + 1,44222056 MeV + ΔE –→ H₁¹ + H₁¹ + ΔE
ossia :
                         (H₁¹- H₁¹) + 2,22452 MeV –→ H₁¹ + (H₁¹ + ΔE)

Il neutrone è dunque simile a un atomo di idrogeno generato con un elettrone fortemente
eccitato,
avente velocità circa uguale a quella della luce e quindi in moto in prossimità della prima orbita accessibile di raggio  r₁ .
L’aumento della massa che si verifica nel neutrone ( p+e ) è data dall’energia di eccitazione dell’elettrone.
Vediamo dunque in dettaglio il processo attraverso il quale esso si forma.
A questo punto osserviamo che nella reazione di fusione siamo partiti da una condizione di simmetria, con due atomi di idrogeno, ed
abbiamo ottenuto un atomo di deuterio, che si presenta come un aggregato affatto simmetrico.

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Esso è infatti formato da un nucleo centrale compatto e un elettrone in orbita alla distanza   R11e = 5.29177249·10⁻¹¹ m.
Se forniamo energia dall’esterno a questo sistema, la probabilità che essa si distribuisca in ogni istante equamente
sui due protoni in modo da rigenerare il sistema simmetrico iniziale è praticamente uguale
a zero.
Ci sarà certamente, in qualche istante, uno dei due protoni centrali che riceve una quantità di energia maggiore dell’altro e quindi si sposta
su un’orbita ad una maggiore distanza dall’elettrone centrale.
Questa circostanza risulta particolarmente evidente quando l’energia fornita è costituita da un fotone che, come sappiamo, è un
” oggetto “ localizzato e quindi non può essere assorbito nello stesso tempo dalle tre particelle che formano il nucleo.
Anzi, per quanto abbiamo già detto, esso potrà essere assorbito solo da uno dei protoni sull’orbita minima di raggio r1p .
Il processo di fissione si dovrà quindi realizzare attraverso le fasi schematizzate nella
figura seguente.

Il fotone  γ₀  di energia  E₀  incide sull’orbita minima del protone  P₁  dove viene assorbito, cedendo allo spazio rotante locale tutta
la sua energia.
Sull’orbita si crea una coppia di elettroni   e⁺ ed   e che partono con l’eccesso di energia        Eee = E₀ – 2 ⋅ (me⋅Cl²)
equamente distribuito. Ciascuno di essi avrà quindi un’energia cinetica   ΔE.
L’assorbimento del fotone  γ₀  da parte di  P₁  rompe la simmetria iniziale del deutone e l’elettrone, che prima era legato ad entrambi
i protoni, si lega solo a  P₂  con tutta l’energia di legame   ΔE .
Esso presenterà quindi un difetto di massa uguale a                          Δme = ΔE/Cl²

Se il positrone   e⁺ generato dal primo protone ha un eccesso di energia tale da verificare la relazione   ΔEe ≥ ΔE  , la fusione tra
elettrone e positrone è possibile e genera una coppia di fotoni uguali di energia :

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I due fotoni vengono generati nel limitato spazio compreso tra i due protoni in prossimità dell’orbita minima   r₁ . Vengono quindi da
essi immediatamente catturati e, con l’energia acquisita, i protoni iniziano a separarsi.
Prima però che questo accada, l’elettrone negativo generato dal protone  P₁ , ancora disponibile con l’eccesso di energia   ΔE , “si
unisce” al protone  P₂  con il quale forma un aggregato fortemente eccitato, con un eccesso di energia uguale a   ΔEe .

A questo punto osserviamo che con il valore dell’energia di eccitazione dell’elettrone   ΔEe 0.782291 MeV, siamo nel campo
ultra relativistico perciò, aumentando l’energia cinetica, sull’elettrone non si ottiene un incremento apprezzabile della velocità, ma un
equivalente aumento della massa.
Nel nostro caso, con    ΔE = En = 0,782291 MeV     si ha :            ΔE = (γ – 1) ⋅ me⋅ Cl²


la massa associata sarà :                                       me ≥ γ⋅ me = 2.530905 ⋅ me

Con questo valore della velocità l’elettrone può essere assorbito dal protone  P₂  solo se si ferma in prossimità della prima orbita di
raggio   r₁ , dove la velocità di equilibrio è uguale a quella della luce.
A una distanza maggiore si verifica solo una deviazione, in quanto la velocità dell’elettrone risulta sempre maggiore di quella di fuga.
Abbiamo visto però che un nucleo eccitato manifesta un aumento della massa, per cui il nostro nuovo aggregato manifesterà una massa :

Il neutrone così formato, si allontana dal protone  P₁  ed inizia la sua esistenza come “particella/aggregato libero”.

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 Art.89 — Teoria generale della fusione nucleare, calcolo teorico dell’energia liberata — Antonio Dirita

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