Art.88 -- Teoria generale della fissione nucleare spontanea e indotta, calcolo teorico dell'energia liberata e dell'energia di eccitazione -- Antonio Dirita

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Trattando la teoria dell'emissione α , abbiamo visto che i nuclei atomici che hanno  Z ≥ 38 hanno una naturale tendenza a trasferire
spontaneamente dei neutroni attivi dal centro al terzo livello con liberazione di energia.
Questo processo si verifica fino a quando viene raggiunta una condizione di equilibrio, che impedisce al trasferimento di continuare.
Nell'  Art.87   abbiamo già ricavato l'espressione dell'energia fornita fornita dal trasferimento di un neutrone attivo dal centro sul livello p .
Essa può essere calcolata teoricamente anche differenziando l'espressione dell'energia di legame che abbiamo ricavato nell'   Art.74

                                     EZN = E₀(Z)⋅ α(N) + E⋅ (N – Z)
si ha quindi :

                      ΔEZN = ΔE₀(Z)⋅ α(N) + E₀(Z)⋅ Δα(N) + E⋅ Δ(N – Z)

confondendo il differenziale con l'incremento finito, l'energia fornita risulta :

Tenendo conto che il primo termine è sempre negativo, la riscriviamo :
          
Il primo termine rende conto dell'aumento di una particella legata sul livello p dello spazio rotante generato dal nucleo centrale formato
da (Z – 1) neutroni attivi.
Il secondo tiene conto invece della diminuzione di un neutrone attivo nel nucleo centrale, quindi della diminuzione dello spazio rotante che
lega tutte le particelle in orbita.
Il terzo termine giustifica il fatto che un neutrone per poter restare in orbita si deve legare a un protone e l'energia fornita vale
ED = 2,22457 MeV .
Quest'ultimo contributo all'enegia sviluppata dal trasferimento viene però fornito in in un secondo tempo, quando cioè il neutrone si è già
trasferito sull'orbita e quindi non ha nessun peso nel rendere il trasferimento spontaneo o meno.
La condizione per avere un trasferimento spontaneo risulta quindi :
            
sostituendo le espressioni approssimate :   

       

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si ottiene :
 
e ponendo :               
la condizione per avere trasferimento spontaneo di neutroni dal centro verso le orbite protoniche, in
un qualsiasi nucleo avente numero atomico  , sinteticamente diventa :      
Naturalmente, il trasferimento spontaneo continua fino a quando la relazione non viene più verificata.
I neutroni attivi che si trasferiscono sul livello p per restare in orbita si legano ai protoni presenti, formando deutoni. 
Nell'  Art.87    abbiamo visto però che essi non hanno nessuna possibilità di sfuggire dall'orbita e quindi, man mano che il loro numero
aumenta, si trovano in uno spazio sempre più ristretto, che li costringe ad aggregarsi polarizzandosi, in modo da organizzare con le
particelle presenti sulle orbite, uno spazio rotante satellite avente un numero atomico   Zs   che aumenta man mano che procede il
trasferimento dei neutroni attivi dal centro.
Ci troviamo quindi con uno spazio rotante centrale di numero atomico   Zc  che diminuisce nel tempo ed uno planetario   Zs   che
aumenta parallelamente.
Per quanto riguarda invece il trasferimento di un neutrone dal livello  p  al centro, l'energia liberata risulta :

                                    Enp/0 = EZN(Z +1 ; N –1) – EZN(Z ; N)

con qualche semplice passaggio, si ricava :
            
e con le solite sostituzioni, per il trasferimento spontaneo verso il centro si ottiene :        
In definitiva gli intervalli in corrispondenza dei quali non si ha trasferimento di neutroni spontaneamente, e dunque il numero atomico è
stabile, sono quelli rappresentati in figura.

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Secondo questi risultati, utilizzando per  β(N il valore associato al nucleo prossimo alla stabilità, il trasferimento spontaneo dei

neutroni attivi dal centro del nucleo cessa quando si ha       
ossia quando si verifica :

Nell'  Art.87   , trattando il decadimento  α  , abbiamo ricavato il limite di separazione     
Possiamo quindi dire che in un nucleo avente   Z₀ > 38  il trasferimento dei neutroni centrali verso la periferia continua fino a quando
il nucleo iniziale si riduce a   Z₁ = 37  , avendo trasferito in orbita  (Z₀ – Z₁)  neutroni. A questo punto il processo si arresta.

Sempre nell'  Art.87   abbiamo anche visto che, per avere il passaggio spontaneo dei neutroni dalla periferia verso il centro si deve
verificare la condizione :         
che viene raggiunta quando il nucleo attivo si riduce a  Z₁ = 38  neutroni.
Questi risultati ci dicono che :
-- se abbiamo un nucleo con    37 < Z₀ ≤ (37 + 37)     si ha trasferimento di neutroni fino ad avere   Z₁ = 37 .

-- se il nucleo ha numero atomico   Z₀ = 74   il trasferimento di neutroni si ferma quando sono stati trasferiti 37 neutroni e quindi
si è generato un sistema simmetrico formato da due nuclei identici, legati tra loro, aventi numero atomico uguale a 37.

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-- Con riferimento alla figura, se il nucleo presenta   Z₀ ≥ (37 + 55)  , nell'esempio  Z₀ = 92  , essendo inizialmente
Z₀ >> 38  , il nucleo inizia ad emettere neutroni verso la periferia con una probabilità molto alta e dunque si ha un traffico di
neutroni molto intenso in questa direzione.
Il trasferimento di neutroni verso la periferia aumenta il valore del numero atomico  Z₂  del nucleo satellite, mentre diminuisce con lo
stesso ritmo il valore del numero atomico del nucleo iniziale.
Fino a quando risulta  Z₂ ≤ 37 , il nucleo satellite non emette neutroni nella direzione opposta e quindi si ha traffico  di neutroni solo
da Z₁ a Z₂.
D'altra parte nello stesso tempo si ha   Z₁ ≥ 55  e quindi nemmeno il nucleo centrale ha tendenza a trasferire spontaneamente
neutroni dalla periferia verso il centro. Il trasferimento di neutroni continua quindi solo da  Z₁  a  Z₂  fino a quando il numero atomico
del nucleo satellite raggiunge il valore   Z₂ = 37  e  Z₁ = 55 .
A questo punto risulta ancora  Z₁ > 38  e quindi il nucleo centrale può trasferire ancora neutroni verso la periferia, mentre il nucleo
satellite è stabile.
In questo sistema il trasferimento di un neutrone da  Z₁  a  Z₂  determina la condizione :

                                     Z₁ = 54 < 55    e      Z₂ = 38 > 37.
La condizione così determinata comporta il trasferimento dell'ultimo neutrone nella direzione opposta e quindi il ciclo si ripete.
In definitiva il sistema raggiunge l'equilibrio con i due nuclei     Z₁ = 54 ÷ 55   e     Z₂ = 38 ÷ 37 ,
che si scambiano continuamente un 
neutrone.
Il sistema che abbiamo descritto si presenta dunque come in figura.

A questo punto osserviamo che, se inizialmente si ha un nucleo  A(Z₀ ; N₀)  prossimo alla stabilità, il numero isotopico, e quindi dei
deutoni in orbita, sarà     

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Con il procedere del trasferimento spontaneo dei neutroni si formeranno due nuclei centrale e planetario,    A₁(Z₁ ; N₁ e
A₂(Z₂ ; N₂, tali da soddisfare le relazioni :

                                           Z₂+ Z₁ = Z0    ;    I₂ + I₁ = I₀

Se RP  è il raggio dell'orbita sulla quale si è organizzato il nucleo satellite A₂ , possiamo scrivere la forza d'interazione nucleare con
l'espressione della forza unificata (   Art.18   )
, e quindi avremo :

Ricordando che :                    K² = (Kp²/2) ⋅ Z     ;     m = A ⋅ (1 amu)

sostituendo si hanno le forze d'interazione nucleare :

Essendo materia della stessa natura, è verificato il principio di azione e reazione, per cui dovrà essere :      F₁₋₂ = F₂₋₁
Si ricava così la condizione :

                                Z₁⋅ A₂ = Z₂⋅ A₁      ovvero :     

Ricordando che :                                                Z₂ = Z₀ – Z₁    ;    I₂ = I₀ – I₁

si ottiene la condizione : 
Questa relazione è molto importante, in quanto definisce il rapporto tra le
dimensioni
dei due nuclei centrale e planetario " che si separano con la
migrazione dei neutroni attivi centrali.

Fra tutte le soluzioni possibili, la più probabile è quella che rende massima l'energia di legame tra i nuclei e quindi l'energia di estrazione
di un nucleo dall'orbita sulla quale è stato sintetizzato, espressa dalla relazione :
         
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Per un calcolo di prima approssimazione possiamo sostituire le relazioni :
         
e quindi abbiamo la relazione di proporzionalità :   
Derivando rispetto a   Z₁  e uguagliando a zero, si ottiene :                 
Per esempio, per l'uranio, con   Z₀ = 92   , si ottiene    Z₁ ≃ 36.8

in ottimo accordo con il risultato teorico che abbiamo ricavato per altra via e con l'esperimento.
Oltre a questa configurazione asimmetrica, che risulta la più probabile, si ha anche la soluzione con due nuclei uguali, che essendo
                
presentano lo stesso rapporto tra il numero atomico e quello isotopico, dunque è possibile dal punto di vista dell'equilibrio, ma fornisce
una minore energia, in quanto il trasferimento di un minore numero di neutroni centrali fornisce una minore energia di eccitazione del
nucleo.
I due nuclei risultano quindi molto più legati (in seguito lo verificheremo con il calcolo) e quindi la scissione ha una bassa probabilità di
verificarsi.
L'esperienza conferma che la fissione simmetrica ha probabilità di verificarsi mediamente 500 volte minore di quella asimmetrica.

A scopo puramente esplicativo, consideriamo un nucleo reale, per esempio l'isotopo  Fm₁₀₀²⁵⁸ , che si presenta con la seguente
configurazione (   Art.77N    ).

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 913. 38)/(1913. 7)) Fm₁₀₀²⁵⁸ (258.09746)/(258.0 97076) 100n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 1+24 0+0 (-/(FS370μs))

il numero isotopico vale :                                       I₀ = A₀ – 2 ⋅ Z₀ = 58
e quindi si ricava :     
La prima coppia di nuclei che forniscono lo stesso rapporto è, ovviamente :

Allontanandoci gradualmente da questa configurazione che, come abbiamo visto, corrisponde a una possibile codizione di equilibrio,
cerchiamo la coppia che meglio approssima il rapporto calcolato :  
ipotizzando un valore iniziale   Z₁ = 38  ,  dovrà essere            
e quindi :              Z₂ = Z₀ – Z₁ = 62   e risulta :           
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I valori ottenuti sembrano accettabili. Possiamo tuttavia provare a spostarci di una unità a destra e a sinistra, per verificare se realmente
quella calcolata è la soluzione più probabile.

Con  Z₁ = 39 , dovrà essere   I₁ = Z₁/k = 22.62  assumendo  I₁ = 23  ,  si ottiene k₁ = 1.6956 , non accettabile.

Con  Z₁ = 37  ,  dovrà essere   I₁ = Z₁/k = 21.46  assumendo I₁ = 21 , si ottiene k₁ = 1.7619 , non accettabile.

Dunque, la coppia di nuclei che si separano nell'isotopo  Fm₁₀₀²⁵⁸  come solare e planetario sono  Sr₃₈⁹⁸  e   m₆₂¹⁶⁰  che
presentano la seguente configurazione dei livelli nucleari.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((8 27. 730)/(827. 91)) Sr₃₈⁹⁸ ((97.92864)/(97.92845)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 0+2 0+1 1+0 ((5.867M)/(β⁻653ms))
((1 303. 21)/(1303. 3)) Sm₆₂¹⁶⁰ ((159.93526)/(159.93514)) 62n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+15 1+3 1+0 ((2.830M)/(β⁻9.60s))

Stabilito che il trasferimento spontaneo dei neutroni centrali si ferma quando il numero atomico del nucleo centrale si riduce a 
Z₁≃ 38,  con la formazione di un nucleo satellite che ha lo stesso rapporto tra il numero atomico e quello isotopico, vediamo ora
qualche dettaglio del processo.
Il trasferimento di un neutrone attivo in orbita comporta però la formazione di un nucleo avente  (Z – 1)  neutroni attivi e quindi, per
essere equilibrato, in orbita dovrà avere (Z – 1) aggregati .
Se il neutrone trasferito si legasse semplicemente a un protone per formare un deutone, lo squilibrio ne provocherebbe immediatamente
la scissione per ripristinare la condizione di partenza.
Dunque, quando giunge sull'orbita " il neutrone, per potersi fermare deve legarsi simultaneamente a due particelle " e formare così
un solo aggregato in modo che in orbita ne risultino (Z – 1) , come richiesto dall'equilibrio . Questo evento è piuttosto raro e quindi
il processo di accrescimento del nucleo satellite risulta estremamente lento e si verifica nel tempo solo perchè è molto elevato il numero
dei nuclei che partecipano al processo. Le reazioni possibili sono :

                                   na + H₁¹ → H₁² + 2.22457 MeV

a questo punto, con la stessa probabilità, si verificano

                              H₁² + H₁² → H₁³(1,01 MeV) + p(3,02 MeV)

                              H₁² + H₁² → He₂³(0,82 MeV) + n(2,45 MeV)
alle quali fanno seguito le :

                                       He₂³ + n → He₂⁴ + γ(20.5776 MeV)

                                      H₁³ + H₁² → He₂⁴(3,52 MeV) + n(14,07 MeV)

                                    He₂³ + H₁² → He₂⁴(3,67 MeV) + p(14,68 MeV)

                                 He₂³ + He₂³ → He₂⁴(3,67 MeV) + 2⋅ p(12,9 MeV)

                                   H₁³ + He₂⁴ → Li₃⁷ + γ(2.46762 MeV)

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Inizia così una vera e propria serie di fusioni del tutto simile alla nucleosintesi primordiale con la differenza che, non essendo disponibili
nell'universo primordiale neutroni liberi,  la sintesi veniva alimentata dall'idrogeno, " presente quasi come unico elemento ", mentre nel
nucleo è alimentata dai neutroni e questo la rende molto più semplice.

Le reazioni nucleari che si verificano sono comunque le stesse e sono rese possibili dal fatto che nel nucleo si ha
una elevata concentrazione
di particelle a temperatura molto alta in
uno spazio molto piccolo,
coincidenti proprio con le condizioni richieste per realizzare la fusione dei nuclei
leggeri.

Man mano che la migrazione dei neutroni procede, nel nucleo satellite che si sta formando aumenta il numero dei neutroni attivi (e quindi
il numero atomico  Z₂ ) .
Questo obbliga il sistema a un continuo assestamento di tutte le particelle presenti, per giungere infine alla configurazione associata alla
massima stabilità e quindi anche alla massima energia di legame.
Questo assestamento è necessario e si verifica per ogni neutrone che si sposta dal centro.
L'eccesso di energia sviluppata, rispetto al valore richiesto per legare il nucleo che si sta formando a quello centrale, diventa disponibile
come energia di eccitazione del nucleo, che aumenta ad ogni trasferimento.
Nulla cambia nel discorso e nei calcoli se si pensa al trasferimento di tutti gli Z₂ neutroni attivi simultaneamente ( o comunque in un
tempo molto breve ).
In questo caso il processo di assestamento si verifica con un improvviso ed imponente sviluppo di energia.
Quando il valore dell'energia di eccitazione è uguale all'energia di legame, " il nucleo satellite raggiunge la velocità di fuga
dall'orbita "
e si allontana con una velocità iniziale uguale a quella di fuga, per ridursi a zero alla distanza R = .

In realtà, quando termina la sintesi, le transizioni di assestamento producono una quantità di energia che va molto oltre il valore di fuga,
per cui il nucleo ha una velocità iniziale maggiore di quella di fuga e quindi la sua energia risulta diversa da zero
anche alla distanza R = ∞ .

Normalmente , nelle teorie correnti, si ritiene che sia la forza di repulsione a fornire ai
nuclei l'energia cinetica che viene liberata dalla fissione. 

eccitazione

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Ricordiamo in breve la spiegazione corrente del processo, senza discuterla.
Con riferimento alla figura, si ritengono i frammenti presenti nel nucleo di partenza ( fin dall'istante iniziale ) in una buca di potenziale
che per essere superata richiede l'energia  E₁ , mentre il nucleo, in condizioni normali, si trova con una energia  E₂  minore, rispetto a
un riferimento arbitrario ( oppure rispetto alla condizione corrispondente a d →∞ ).
In queste condizioni il nucleo oscillerebbe per un tempo indefinito senza mai superare la barriera ( si dovrebbe comunque considerare
che un nucleo oscillante irradia nello spazio circostante energia sottoforma di onde elettromagnetiche e dunque il livello di energia  E₂
dovrebbe ridursi gradualmente fino a zero ).
Se, con qualsiasi mezzo, viene fornita l'energia   Ecr = E₁ – E₂ ,  l'oscillazione viene amplificata fino alla separazione dei nuclei nel
punto corrispondente a una distanza tra i centri  d = d₀ .
A questo punto la forza di repulsione coulombiana prevale su quella nucleare e i due frammenti si allontanano, trasformando l'energia
potenziale espressa dalla relazione 
nell'energia cinetica che viene liberata dalla fissione. Questa è la spiegazione ufficialmente accettata.

Secondo la teoria della fissione che abbiamo esposto in coerenza con il modello nucleare che abbiamo proposto, si verifica quello che
succede per qualsiasi satellite in orbita in uno spazio rotante, ovvero, quando esso raggiunge la velocità di fuga, data da Vf =2⋅Veq ,
parte con questa velocità iniziale e decelera sotto l'azione della forza unificata fino a V = 0 alla distanza R = ∞ .

Secondo questa descrizione, la fissione nucleare è un processo che
evolve con modalità completamente opposte a quelle proposte dalle
teorie correnti.

Questo verrà in seguito dimostrato con un calcolo dettagliato delle energie in gioco.
La fissione nucleare è dunque in realtà un processo di fusione e sintesi nucleare che si realizza gradualmente all'interno del nucleo,
immagazzinando l'energia sviluppata come energia di eccitazione, che si rende poi disponibile all'esterno quando il nucleo che è stato
sintetizzato ha raggiunto la velocità di fuga.
Il fatto che la fissione venga generalmente attivata dall'assorbimento di un neutrone, lascia pensare che l'instabilità del nucleo, e quindi il
processo di fissione, sia dovuto ad un eccesso di neutroni. In realtà, trattando il decadimento  α  e osservando le tavole dei nuclei isobari
Art.78A   ) e isodiaferi (  Art.79I   ) , si vede che la fissione rappresenta un'alternativa all'emissione   α  ripetuta più volte.
Dunque i nuclei che potranno avere tendenza a subire la fissione spontanea sono solo quelli che presentano una carenza nel numero di
deutoni in orbita .
I nuclei che presentano un numero di deutoni in eccesso, per poter subire la fissione, devono prima ridurlo attraverso una o più
emissioni  β⁻.
In base a quello che abbiamo visto, possiamo dire che :

La fissione nucleare non rappresenta un evento improvviso, che porta il nucleo con un
eccesso di neutroni a dividersi, ma, al contrario,
essa rappresenta un processo evolutivo
che si verifica all'interno dei nuclei pesanti " con carenza di deutoni in orbita ",
e si manifesta improvvisamente quando il valore dell'energia fornita dal trasferimento

dei neutroni attivi centrali verso la periferia supera il valore dell'energia di estrazione
del nucleo satellite sintetizzato fino a quel momento.

Per capire il dettaglio di questo punto cruciale, è necessario tenere presente che in un qualsiasi sistema legato l'instabilità è dovuta a due
componenti che sono generalmente indipendenti, ma che nel nucleo atomico "composto" lo sono un po' meno.

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Per riferirci al nostro problema, nel caso di un sistema formato da un nucleo centrale, che genera lo spazio rotante, ed un nucleo satellite
che si muove in equilibrio sull'orbita, possiamo avere due tipi di scissione.
La stabilità del legame tra i due nuclei, dunque la loro eventuale scissione, è definita esclusivamente dal valore della loro energia di legame,
che nella teoria che abbiamo proposto è espressa dalla relazione      
o altre espressioni equivalenti.
Una seconda instabilità, del tutto indipendente dalla prima, è quella propria di ciascun componente, definita dal valore dell'energia che
è stata liberata durante la sua sintesi, che numericamente è uguale all'energia di legame di tutto l'aggregato.
Se l'aggregato che viene sintetizzato è libero da vincoli, l'energia che rende disponibile la sintesi viene liberata nello spazio e, alla fine del
processo, l'aggregato manifesta un difetto di massa proporzionale all'energia emessa.
Se invece la sintesi dell'aggregato viene realizzata all'interno di uno spazio rotante, con componenti già legati, sia l'energia di sintesi che
quella che lega l'aggregato allo spazio rotante, non vengono fornite dall'esterno, ma da uno scambio che si realizza all'interno del sistema
iniziale, tra lo spazio rotante centrale e le parti che vengono spostate per realizzare la sintesi.

fissione incipiente

Con riferimento alla figura, fino a quando non si realizza uno scambio con lo spazio esterno, il sistema iniziale di sinistra e quello di destra
in evoluzione, per un osservatore esterno sono in ogni momento equivalenti, in quanto hanno la stessa energia di legame complessiva e
quindi la stessa massa. Essi hanno dunque Z, N, m coincidenti e non sono distinguibili.

Tornando al nostro nucleo atomico, se si pensa ad un trasferimento graduale dei neutroni attivi sul quarto livello, man mano che prosegue
la sintesi del nucleo sull'orbita si rende disponibile una quantità di energia sempre più elevata, che viene ceduta al nucleo in fase
di costruzione.

Essendo però esso legato come unico aggregato , non emette questa energia, ma la immagazzina come energia di eccitazione, che, come
ben sappiamo, si manifesta come deformazione dell'orbita percorsa durante il moto di rivoluzione.
Il sistema finale si presenta quindi formato da due nuclei  A₁  e  A₂  di numero atomico  Z₁ e Z₂ legati da una energia  E₁₋₂ che
può essere uguale al valore associato all'equilibrio sull'orbita circolare  Req  espressa da :

oppure eccedente, rispetto a questo valore, della frazione :                 e in questo caso l'orbita diventa ellittica
( Art.12    e   Art.13   ) con eccentricità    e = α1/2 .

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Ciascuno dei due nuclei, a sua volta, avrà una propria energia di legame tra la parte attiva dei neutroni centrali e le particelle presenti
sulle orbite. Questa energia è assolutamente indipendente da quella che lega i due nuclei tra loro.
Se il nucleo fosse libero questa energia sarebbe coincidente numericamente con l'energia di sintesi e tutte le particelle si muoverebbero
su orbite circolari.
Nel nostro caso però non è così, in quanto durante la sintesi l'energia è stata immagazzinata come energia di eccitazione che diventa così
un eccesso rispetto al valore associato all'equilibrio su orbite circolari. Anche in questo caso l'eccitazione si manifesta dunque con il moto
su orbite ellittiche delle masse planetarie.
Se, come accade per qualsiasi sistema legato, astronomico oppure atomico, al termine della sintesi l'eccesso di energia  ΔE risulta uguale
all'energia associata all'equilibrio sull'orbita circolare, l'eccentricità e dell'orbita risulta   
Con riferimento al centro dello spazio rotante centrale, l'orbita diventa aperta, parabolica, e il nucleo satellite si allontana definitivamente,
per raggiungere una velocità uguale a zero alla distanza R → ∞, quando tutta l'energia cinetica si è trasformata in potenziale.
Abbiamo visto che nel sistema finale i due nuclei, centrale e satellite, raggiungono una condizione di equilibrio in cui si ha lo scambio
continuo di un neutrone.
E' chiaro che, se il sistema rimane in equilibrio, vuol dire che l'energia liberata dall'ultimo neutrone scambiato non è sufficiente
 al nucleo che lo riceve per fargli superare la velocità di fuga. Esiste però una probabilità molto piccola, ma comunque finita, che,
invece di un solo neutrone, si abbia il trasferimento simultaneo di due neutroni, con liberazione di energia di valore doppio, sufficiente
per superare la velocità di fuga con conseguente allontanamento spontaneo dei due nuclei.
Si ha così la fissione spontanea del nucleo, evento raro, ma verificato sperimentalmente.
Quando però i nuclei non sono più legati, quindi subito dopo la scissione, si liberano dell'energia di sintesi che avevano immagazzinato
e, invece di partire con l'energia cinetica iniziale di fuga   Eif = 2 ⋅ E1-2eq  ,   partono con un valore di energia cinetica più elevato,
comprensiva di quella di eccitazione e quindi,pur decelerando,  alla distanza  R → ∞  giungono con energia
uguale a quella di eccitazione
che rappresenta il valore dell'energia che viene liberata globalmente dalla fissione.

Se alla fine della sintesi risulta   α = ΔE/E1-2eq < 1 , quindi  ΔE < E1-2eq  , per attivare il processo è necessario fornire,
con qualsiasi mezzo, un valore di energia, detto di attivazione :     

                                                    Ea ≥ E1-2eq – ΔE

Si ha quindi il valore minimo, indicato come valore critico dell'energia di attivazione :           Ecr = E1-2eq – ΔE

Se l'energia di attivazione viene fornita dal nucleo stesso, con una transizione interna, si ha la fissione spontanea. Quando invece
l'energia viene fornita attraverso un mezzo esterno, si parla di fissione indotta.

Per quanto è stato detto, qualunque sia il sistema legato considerato, il calcolo teorico dell'energia liberata dalla sua fissione in due unità
si presenta concettualmente molto semplice:

1-- calcolo dell'energia di sintesi del nucleo satellite direttamente su un'orbita stabile del nucleo iniziale, a spese di quest'ultimo, che è
uguale al valore di energia  Ed  disponibile per espellere il nucleo satellite.

2-- calcolo dell'energia di estrazione del nucleo satellite dall'orbita sulla quale è stato sintetizzato, che è uguale all'energia  Ep/  che
bisogna spendere per allontanare il nucleo satellite fino alla distanza  R → ∞.

3-- calcolo dell'energia residua, liberata dalla fissione dopo il definitivo allontanamento, data da             EF = Ed – Ep/∞ .

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Per quanto riguarda il primo calcolo, una notevole semplificazione deriva dal fatto che operiamo in uno spazio conservativo e quindi
l'energia liberata dall'evoluzione del sistema dipende solo dalla configurazione di partenza e di arrivo, che sono fisse.
Quella di partenza è data dal nucleo  A₀(Z₀ ; I₀)  e quella di arrivo, qualunque sia il percorso teorico scelto per ottenerla, sarà sempre
data dai due nuclei A₁(Z₁ ; I₁A₂(Z₂ ; I₂)  separati alla distanza R → ∞.
Possiamo quindi scegliere arbitrariamente il livello sul quale immaginiamo che venga realizzata la sintesi.
Come primo esempio di calcolo, possiamo riprendere il caso già citato dell'isotopo    Fm₁₀₀²⁵⁸

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 913. 38)/(1913. 7)) Fm₁₀₀²⁵⁸ (258.09746)/(258.0 97076) 100n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 1+24 0+0 (-/(FS370μs))

con fattore di forma :             
Consideriamo inizialmente la fissione simmetrica.

Dalle tavole (   Art.77N    ) si ricava la configurazione dei nuclei generati :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1082. 86)/(1082. 7)) Sn₅₀¹²⁹ ((128.91328)/(128.91348)) 50n 2+0 8+0 10+4 0+16 0+9 1+0 0+0 ((4.040M)/(β⁻2.23m))

con fattore di forma :         
Nell'  Art.81   , trattando la teoria delle forze nucleari, per il raggio del nucleo atomico abbiamo ricavato l'espressione teorica :
                
e, con la correzione dovuta alla presenza dei deutoni  il raggio dell'orbita di confine del nucleo vale quindi :

la forza d'interazione nucleare risulta :
       
Per valutare l'energia fornita dal trasferimento dei neutroni, tenendo presente che ciascuno di essi si muove in uno spazio rotante diverso,
si dovrebbe fare la somma di tutti i contributi, ossia :
            
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Noi non eseguiamo la somma, ma ci limitiamo ad assumere il valore medio tra l'energia fornita dal primo e l'ultimo trasferimento.
Per il primo si ha :

Essendo praticamente uguale a zero l'energia fornita dall'ultimo neutrone, che porta alla condizione di equilibrio, quella fornita da  50 
trasferimenti si può assumere  :         
Dopo aver completato il trasferimento dei 50 neutroni attivi e l'assestamento del nucleo sintetizzato, l'energia di eccitazione che si rende
disponibile sarà data da quella fornita dal trasferimento più quella liberata dalla sintesi del nucleo satellite, che coincide con l'energia di
legame dell'isotopo   Sn₅₀¹²⁹  dalla quale bisogna però detrarre l'energia di sintesi dei deutoni orbitali, in quanto sono stati utilizzati
quelli già presenti nell'isotopo di partenza    Fm₁₀₀²⁵⁸  .  Si ha dunque l'energia disponibile per l'estrazione :

              E= EZN(50 ; 129) + Et50n– I(50 ; 129) ⋅ 2,2246 MeV =

 

                                    = 1082. 86 + 95.4875 – 29 ⋅ 2.2246 = 1113.834 MeV

Per avere il nucleo  Sn₅₀¹²⁹  sul raggio di confine del nucleo iniziale, la configurazione dei livelli ci dice che bisogna spostare 129
unità di massa dal quarto livello al sesto e l'energia che bisogna fornire vale quindi :

Per allontanare il nucleo sintetizzato dall'orbita di confine fino alla distanza R = ∞ , in modo che sia indipendente dallo spazio rotante,
sarà necessario compiere un lavoro contro la forza nucleare dato da :
        
L'energia disponibile per l'estrazione, dopo il trasferimento sul confine, vale :

                                      E = Ed– ESn4/6 = 592.302 MeV

L'energia liberata dal processo dopo l'allontanamento dei nuclei sarà :

                              EFm/Sn-Sn = E – LSn6/∞ = 178.062 MeV

Si noti l'inutilità, ai fini del calcolo, del trasferimento del nucleo satellite sul sesto livello, che è stata considerata per maggiore chiarezza
dell'esposizione. Lo stesso risultato si ottiene calcolando direttamente il lavoro di estrazione dal quarto livello, che vale :
      
Consideriamo ora la scissione asimmetrica, che, come abbiamo visto, porta ai nuclei :

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((8 27. 730)/(827. 91)) Sr₃₈⁹⁸ ((97.92864)/(97.92845)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 0+2 0+1 1+0 ((5.867M)/(β⁻653ms))

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 303. 21)/(1303. 3)) Sm₆₂¹⁶⁰ ((159.93526)/(159.93514)) 62n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+15 1+3 1+0 ((2.830M)/(β⁻9.60s))

      
Per quanto riguarda la distanza di equilibrio tra i due nuclei, si deve tenere presente che, ai fini del calcolo, la scelta è ininfluente, in quanto
ci troviamo in uno spazio conservativo. Scegliamo quindi il raggio dell'orbita di confine.
Dalla tavola dei nuclidi (  Art.77N    ) vediamo che entrambi i nuclei hanno il settimo livello come confine. I valori dei raggi nucleari
risultano dunque :

la forza d'interazione nucleare risulta :
             
Si tenga presente che le due forze non sono riferite allo stesso sistema, ma a due possibili condizioni di equilibrio, ugualmente probabili.
Si deve infatti considerare che lo spazio rotante nucleare, come qualsiasi altro, ha le orbite stabili quantizzate e quindi è possibile avere
diverse condizioni di equilibrio.
Ci troviamo, a questo punto, con un sistema di nuclei doppio che può essere considerato, arbitrariamente, formato da un nucleo di numero
atomico uguale a  Z₂ = 38  in orbita nello spazio rotante generato da un nucleo attivo formato da  Z₁ = 62  neutroni attivi,
oppure da un nucleo di numero atomico  Z₁ = 62  in orbita nello spazio rotante generato da un numero di neutroni attivi uguale a
Z₂ = 38 .

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Per il calcolo si può procedere considerando separatamente i due sistemi e assumere come energia liberata dalla fissione il valore medio.

Consideriamo la prima reazione con trasferimento di 38 neutroni attivi e 62 che restano nel centro dello spazio rotante iniziale.
Il primo trasferimento fornisce l'energia :

Assumendo uguale a zero l'energia fornita dall'ultimo neutrone trasferito, con 38 neutroni si può ritenere l'energia fornita pari a :

Dopo aver completato il trasferimento dei  38  neutroni attivi e l'assestamento del nucleo che è stato sintetizzato, l'energia che si rende
disponibile sarà data da quella fornita dal trasferimento più quella fornita dalla sintesi del nucleo satellite, che coincide con l'energia di
legame dell'isotopo  Sr₃₈⁹⁸  alla quale bisogna però detrarre l'energia di sintesi dei deutoni orbitali, in quanto sono stati utilizzati quelli
già presenti nell'isotopo di partenza  Fm₁₀₀²⁵⁸  . Si ha dunque :

E= EZN(38 ; 98)+Et38n–I(38 ; 98)⋅2,2246 MeV = 8 27. 730+72.571–22⋅2,2246 = 851.360 MeV_

L'energia che bisogna fornire al nucleo   Sr₃₈⁹⁸ per portarlo dal quarto livello al punto di equilibrio, che coincide con la distanza
RZP7(62 ; 160)  risulta :
           
Per estrarre il nucleo sintetizzato dall'orbita di raggio  RZP7(62 ; 160)  si dovrà compiere il lavoro :

L'energia disponibile per l'estrazione vale :          E = E– ESr4/7 = 315.357 MeV

L'energia liberata dal processo dopo l'allontanamento dei nuclei vale :

                                   EFm/Sm-Sr = E – LSr7/∞ = 57.354 MeV

Consideriamo ora il secondo processo, che prevede il trasferimento dei  62  neutroni, lasciandone sul posto  38  . Si avrà :
                      
                    Ed = EZN(62 ; 160)+ Et62n–I(62 ; 160)⋅2.2246 MeV =

                                = 1 303. 21+118.405–36⋅2.2246 = 1341.529 MeV

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L'energia che bisogna fornire al nucleo  Sm₆₂¹⁶⁰  per portarlo dal quarto livello al punto di equilibrio sul settimo livello risulta :

il lavoro che si deve compiere per l'estrazione :

L'energia liberata dal processo dopo l'allontanamento dei nuclei vale :

                      EFm/Sr-Sm = E– ESm4/7 – LRb7/∞ = 345.035 MeV

Essendo le due configurazioni speculari, sono ugualmente probabili e quindi l'energia sviluppata dal processo sarà uguale al valore medio

                     EF = (1/2) ⋅ (EFm/Sr-Sm + EFm/Sm-Sr) = 201.195 MeV

A questo punto notiamo che, i nuclei sintetizzati, prima di separarsi si trovano con un grande eccesso di energia, rispetto al valore
richiesto
per l'equilibrio, ed un enorme eccesso di deutoni in orbita rispetto al valore corrispondente alla condizione di massima
stabilità,
precisamente :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3   4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((8 27. 730)/(827. 91)) Sr₃₈⁹⁸ ((97.92864)/(97.92845)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 0+2 0+1 1+0 ((5.867M)/(β⁻653ms))

L'isotopo   Sr₃₈⁹⁸  , presenta già una naturale tendenza ad emettere neutroni e quindi, utilizzando parte dell'energia di eccitazione
disponibile, non appena è terminata la sintesi, " prima ancora di separarsi scinde due deutoni " i quali liberano due protoni, che si
fermano nel nucleo, e due neutroni che, con l'energia di eccitazione acquisita già precedentemente , raggiungono la velocità di fuga e
fuoriescono dal nucleo.
Dopo breve tempo si scinde ancora un deutone con fuoriuscita di un altro neutrone e il nucleo si trasforma nell'isotopo  Sr₃₈⁹⁵  con
la seguente configurazione (   Art.77N   ).

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3   4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((812. 266)/(812. 16)) Sr₃₈⁹⁵ ((94.91925)/(94.91936)) 38n 2+0 8+0 6+6 1+12 1+1 1+0 0+0 ((6.089M)/(β⁻23.90s))

Gli eventi che si verificano per realizzare la trasmutazione sono :
-- scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 3 , con assorbimento dell'energia :

-- scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 5 , con assorbimento dell'energia :
              
-- scissione ed estrazione di un neutrone dal livello 6 , con assorbimento dell'energia :
            
-- transizione di un protone dal livello 7 al 3 con liberazione dell'energia :
            
L'energia complessivamente richiesta per l'emissione di tre neutroni vale quindi :

                 E3n→ = En3/∞ + En5/∞ + En6/– Ep7/3 = 15.48224 MeV

In ottimo accordo con il valore sperimentale, uguale a 15.5554 MeV

L'energia teorica liberata dalla fissione risulta :

                       EF = 201.195 MeV– 15.48224 MeV = 185.713 MeV

Si noti che i neutroni non vengono emessi spontaneamente, e quindi in realtà essi, quando vengono emessi, non forniscono energia,
ma assorbono dall'energia di eccitazione posseduta dal nucleo (prima ancora di dividersi) una quantità uguale al valore necessario per
poter raggiungere la velocità di fuga dall'orbita.
E' chiaro che questa energia viene sottratta dal valore dell'energia cinetica acquisita dal nucleo dopo la separazione. Dunque, se non
venissero emessi i neutroni, l'energia fornita dal singolo evento di fissione sarebbe maggiore del valore che abbiamo calcolato
,
che comunque coincide con quello sperimentale.
E' da tenere presente che, anche se si presenta vantaggioso dal punto di vista energetico, il trasferimento di un neutrone attivo dal centro
dà origine a un nucleo inizialmente squilibrato, con una particella in eccesso sulle orbite, quindi con tendenza iniziale a riportare il sistema
all'equilibrio, riportando il neutrone al punto di partenza.
L'energia fornita dall'ultimo neutrone trasferito è molto bassa e non è sufficiente per far superare al nucleo satellite la velocità di fuga.
Il nucleo satellite nella condizione di equilibrio finale è molto eccitato, molto vicino alla velocità di fuga ( infatti talvolta si verifica una
fissione spontanea ), ma non la raggiunge.

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Per questa ragione, il processo per poter iniziare necessita di un'energia di attivazione, che può essere fornita attraverso un'onda
elettromagnetica oppure facendo assorbire al nucleo un neutrone sul quarto livello ( dove si trova in equilibrio il nucleo satellite ),
che fornisce l'energia :
  
E' chiaro che, se si verifica En/7 > Ecr = energia mancante per generare la fuga è sufficiente inviare un neutrone
avente energia cinetica praticamente uguale a zero, comunque coincidente con il valore associato all'agitazione termica ( per questo
il 
neutrone è indicato come neutrone termico).
Se invece risulta   En/7 < Ecr  , il neutrone inviato dovrà possedere un'energia iniziale  En0  tale che risulti :

                                        En/7 + En0 > Ecr .

In questo caso il neutrone viene detto veloce.
Fissato il valore   Z  del numero di neutroni attivi centrali del nucleo, la tendenza a dividere nuovamente il deutone, appena sintetizzato
dal neutrone trasferito sull'orbita, aumenta con il numero dei deutoni già presenti sulle orbite, e dunque con il rapporto   I/Z .
Tenendo presente che la fissione, come l'emissione   α  si manifesta solo con nuclei che presentano un numero isotopico  I < I₀  ,
possiamo anche dire che il valore dell'energia di eccitazione aumenta con la stabilità del nucleo considerato.
In generale quindi, se viene fissato il numero atomico   , l'energia di eccitazione aumenta con l'aumentare del numero di massa   ,
mentre, se si fissa il numero di massa   , aumenta con il diminuire del numero atomico   .
In figura è riportato il valore dell'energia di eccitazione dei nuclei più comuni.
energia di eccitazione

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Dal diagramma vediamo che, nell'esempio da noi considerato  Fm₁₀₀²⁵⁸  l'energia di eccitazione risulta  Ecr ≃ 2.9 MeV.

Questa energia può essere fornita dal nucleo stesso, con una transizione isomerica, e in
questo caso si ha fissione spontanea,
oppure dall'esterno con un qualsiasi mezzo.
Talvolta si usa irradiare l'isotopo da scindere con raggi  γ  aventi un'energia   Eγ ≥ Ecr .
Più in generale si usa far assorbire un neutrone all'isotopo avente numero di massa (A – 1) . Si ottiene così l'isotopo desiderato di
numero di massa   , che, immediatamente dopo la sintesi, dispone di un surplus di energia dato da :

                                             Ed = En/p+ E+ En0

dove   En0   è l'energia cinetica del neutrone,   ED   l'energia liberata dalla sintesi del deutone e  En/p  l'energia di legame del
neutrone catturato sul livello   , data dalla relazione :        
L'energia  Ed  lascia il nucleo  A  eccitato (purtroppo) per un tempo generalmente di valore molto piccolo e quindi viene emessa quasi
subito come raggio  γ  di pari energia.
La probabilità che il fotone  γ  esca dal nucleo è molto alta e in questo caso il nucleo si diseccita senza nessun effetto vistoso.
In alcuni casi esso interagisce con il nucleo e viene utilizzato come energia di attivazione della fissione.
dovendo essere  Ed ≥ Ecr  , si ricava il valore minimo dell'energia cinetica del neutrone :

come esempio numerico consideriamo l'isotopo   U₉₂²³⁶ .
Dal diagramma si ricava un'energia di attivazione    Ecr(92 ; 236)   uguale a circa  6,2 MeV.
Le configurazioni dei due isotopi  U₉₂²³⁵  e  U₉₂²³⁶  sono le seguenti (    Art.77N     ).

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 783. 54)/(1783. 9)) U₉₂²³⁵ (235.04427)/(235.043930) 92n 2+0 8+0 18+0 12+10 1+24 0+17 0+0 ((4.6802M)/
(α7.04⋅10⁸a)/(0.7204%)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ (236.04599)/(236.045568) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

Il neutrone incidente giunge sul quarto livello dell'isotopo   U₉₂²³⁵  e, con uno dei protoni presenti, sintetizza un deutone.
Il quarto livello si trova così in sovrassaturazione e quindi un protone si sposta sul sesto livello.
L'energia che viene liberata con l'assorbimento del neutrone risulta :

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Il trasferimento del protone dal quarto al sesto livello assorbe :

L'energia disponibile per l'attivazione della fissione risulta :

                             Ed = En/4 + E+ Ep4/6 = 6.47974 MeV

l'energia cinetica che dovrà avere il neutrone incidente sarà :

                                     En0 ≥ Ecr – E= – 0.27974 MeV

Questo risultato ci dice che in questo caso è sufficiente un neutrone termico, ossia con energia cinetica confrontabile con quella associata
all'agitazione termica.
Consideriamo inizialmente la fissione simmetrica :     U₉₂²³⁶ → 2 ⋅ Pd₄₆¹¹⁸
I nuclei prodotti hanno la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 991. 554)/(991. 90)) Pd₄₆¹¹⁸ ((117.91935)/(117.91898)) 46n 2+0 8+0 10+4 0+16 0+3 0+2 0+1 ((4.163M)/(β⁻1.90s))

con fattore di forma :                   

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ ((236.04599)/(236.045568)) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

Il fattore di forma dell'isotopo di partenza U₉₂²³⁶ vale :   
Per il primo neutrone trasferito si ha :
              
Con il trasferimento di 46 neutroni attivi in orbita l'energia liberata sarà :

A questo valore dobbiamo aggiungere l'energia sviluppata dalla sintesi del nucleo in orbita, detraendo l'energia di sintesi dei suoi deutoni,
che erano già presenti in orbita come tali . Si ottiene così :

             E= EZN(46 ; 118) + E46n0/4 – I(46 ; 118)⋅2,2246 MeV =

                                  = 991.90 + 69.74067 – 26⋅2.2246 = 1003.801 MeV

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Considerando che la sintesi del nucleo in orbita è stata realizzata sul quarto livello dell'attuale nucleo  Pd₄₆¹¹⁸ , calcoliamo l'energia
di estrazione delle 118 unità di massa, del nucleo orbitante  Pd₄₆¹¹⁸ , dalla quarta orbita.
Si ha dunque :   
L'energia con la quale i due nuclei si allontanano vale quindi :

                               EU/Pd-Pd = E– EPd4/∞ = 183.074 MeV

Verifichiamo il risultato considerando l'energia di estrazione uguale a quella che il nucleo   Pd₄₆¹¹⁸   sviluppa quando, partendo da
una distanza  d = ∞  va a posizionarsi sulla quarta orbita dell'altro   Pd₄₆¹¹⁸ .
Il raggio dell'orbita vale :
        
la forza d'interazione tra i due nuclei risulta :
          
L'energia che si deve spendere per separarli sarà :
             
L'energia fornita dalla fissione, fino alla separazione dei due nuclei sarà quindi :

                              EU/Pd-Pd = Ed– LPd7/∞ = 188.995 MeV

Praticamente coincidente con il valore determinato per altra via.

Analizziamo ora la fissione asimmetrica più probabile

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 1790. 01)/(1790. 4)) U₉₂²³⁶ ((236.04599)/(236.045568)) 92n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+17 0+0 ((4.5701M)/(α2.342⋅10⁷a))

L'isotopo U₉₂²³⁶ presenta un rapporto :      
Per cercare la coppia di prodotti della fissione più probabile, in base ai risultati teorici che abbiamo ottenuto ipotizziamo un valore iniziale

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Z₁ = 38  e quindi si ottiene :     
Si avrà quindi la coppia :

A₁(38 ; 97)  ;  A₂(54 ; 139)  con i rapporti :         k₁ = 1.809524  ;  k₂ = 1.741935

Vediamo se migliorano i rapporti diminuendo  Z₁ . Si ottiene :  
e quindi si ha la coppia :       A₁(37 ; 95)  ;  A₂(55 ; 141)     con i rapporti :

Quest'ultima coppia fornisce rapporti più vicini a quelli teorici e quindi risulta più probabile ; si formeranno i nuclei :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1169. 28)/(1169. 5)) Cs₅₅¹⁴¹ ((140.92028)/(140.920046)) 55n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+11 0+2 0+0 ((5.253M)/(β⁻24.84s))

         

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((80 4. 166)/(803. 69)) Rb₃₇⁹⁵ ((94.92878)/(94.92930)) 37n 2+0 8+0 4+7 0+12 1+1 1+1 0+0 ((9.229M)/(β⁻377.7ms))

        

E' da osservare che la reazione  U₉₂²³⁶ → Rb₃₇⁹⁵ + Cs₅₅¹⁴¹  si può realizzare sia spostando in orbita  37  neutroni

attivi, lasciandone nel centro altri  55  , che spostandone  55  , lasciando  37  unità nel centro.
Data la simmetria del sistema, non abbiamo alcun motivo per privilegiare una delle due soluzioni, per cui pensiamo che vengano adottate
entrambe e che, come osservatori esterni, il risultato che osserviamo sia quello medio fornito dalle due reazioni, realizzate con la stessa
probabilità.
I valori dei raggi della quarta orbita nucleare risultano :
  
Sulle due orbite la forza d'interazione nucleare risulta :

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Consideriamo la prima reazione con trasferimento di  37 neutroni attivi e  55  che restano nel centro dello spazio rotante iniziale.
L'energia fornita complessivamente dal trasferimento dei neutroni vale:
        
                  EZN(37 ; 95) = E₀(37) ⋅ α(58) + (N– Z) ⋅ ED =

                                                = 196,70 MeV ⋅ 3.851667 + 21⋅2,2246 MeV = 804,34 MeV

L'energia libera disponibile per l'estrazione del nucleo vale :

                  Ed = EZN(37 ; 95) + E37n0/4 I(37 ; 95)⋅2.2246 MeV =

= 804,34  56.0958 – 21⋅2.2246 = 813.72 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo   Rb₃₇⁹⁵  per estrarlo dalla quarta orbita dello spazio rotante del   Cs₅₅¹⁴¹  , di raggio
RZP4(55 ; 141) , risulta :
         
L'energia liberata dalla fissione risulta :     EU/Cs-Rb = E– ERb4/∞ = 86.319 MeV

Utilizzando la forza d'interazione nucleare, il lavoro che si deve compiere per la separazione risulta :
           
L'energia eccedente risulta :              E = E– LRb4/∞ = 91.558 MeV

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Consideriamo ora il secondo processo, che prevede il trasferimento dei  55  neutroni, lasciandone sul posto  37  . Si avrà :

           
EZN(55 ; 141) = E₀(55)⋅α(86) + I⋅ED = 244,80 MeV·4.495556 + 31⋅2,2246 MeV = 1169,5 MeV

           E= EZN(55 ; 141) + E55n0/4 – I(55 ; 141)⋅2,2246 MeV =

                     = 1169.5 + 83.3856 – 31⋅2.2246 MeV = 1183.923 MeV

L'energia che si dovrà fornire all'isotopo   Cs₅₅¹⁴¹  per estrarlo dal quarto livello dello spazio rotante del nucleo  Rb₃₇⁹⁵  vale :
          
L'energia eccedente, che viene liberata, sarà :       EU/Rb-Cs = E– ECs4/∞ = 317.214 MeV

Il valore medio fornito dalla scissione delle due configurazioni risulta :

                     EF = (1/2) ⋅ (EU/Cs-Rb + EU/Rb-Cs) = 201.766 MeV

il lavoro che si deve compiere per l'estrazione, utilizzando le forze nucleari risulta :
         
L'energia liberata dal processo dopo l'allontanamento dei nuclei vale :  EU/Rb-Cs = E– LCs4/∞ = 323.495 MeV

Il valore medio fornito dai due processi risulta :
                                                EU/Cs-Rb = 207.526 MeV

L'accordo tra i risultati ottenuti con le due vie è più che accettabile.

L'isotopo    Rb₃₇⁹⁵  ,  subito dopo la sintesi, prima della separazione, presenta un numero isotopico     I = 21 >> I₀    perciò
presenta una forte tendenza ad emettere direttamente neutroni e quindi ne emette due, trasformandosi nello isotopo  Rb₃₇⁹³ , che
presenta la seguente configurazione nucleare .

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((794. 267)/(794. 31)) Rb₃₇⁹³ ((92.92208)/(92.92204)) 37n 2+0 8+0 6+6 0+12 1+1 1+0 0+0 ((7.466M)/(β⁻5.84s))

partendo dal nucleo :

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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((80 4. 166)/(803. 69)) Rb₃₇⁹⁵ ((94.92878)/(94.92930)) 37n 2+0 8+0 4+7 0+12 1+1 1+1 0+0 ((9.229M)/(β⁻377.7ms))

Dal confronto fra le due configurazioni vediamo che l'energia assorbita dai neutroni emessi risulta dalle seguenti reazioni :

-- Sul terzo livello dell'isotopo  Rb₃₇⁹⁵ si scinde un deutone con l'espulsione del neutrone, lasciando sull'orbita il protone.
L'energia assorbita vale    
-- Sul sesto livello si scinde il deutone che espelle il neutrone, mentre il protone si sposta sul terzo livello per saturarlo.
Il neutrone assorbe :
      
il trasferimento del protone libera l'energia :
         
I due neutroni emessi assorbono quindi complessivamente :

                E2nRb/ = En3/∞ + En6/∞ – Ep6/3 = 9.9131 MeV

in ottimo accordo con il valore sperimentale uguale a 9.919 MeV
L'energia realmente liberata dalla fissione risulta :

                          EF = EU/Cs-Rb – E2nRb/∞ = 197.613 MeV

Consideriamo ora l'isotopo più stabile dell'uranio, U₉₂²³⁸ , che si presenta con la seguente configurazione nucleare.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 801. 83)/(1801. 7)) U₉₂²³⁸ (238.05143)/(238.050788) 92n 2+0 8+0 18+0 8+12 1+24 0+18 1+0 ((4.270M)/
(α4.468⋅10⁹a)/(99.2742%)

il fattore di forma vale :      
25
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dal diagramma che abbiamo riportato si ricava l'energia di attivazione che risulta uguale a    Ecr(92 ; 239) = 6.5 MeV.
Dalla configurazione dei livelli nucleari vediamo che, se inviamo un neutrone sul quinto livello, con il protone presente viene sintetizzato
un deutone che, utilizzando parte dell'energia liberata, si trasferisce sul sesto livello, sintetizzando così l'isotopo   U₉₂²³⁹  , con la
seguente configurazione.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 806. 43)/(1806. 5)) U₉₂²³⁹ ((239.05436)/(239.054293)) 92n 2+0 8+0 18+0 8+12 0+24 0+19 1+0 ((1.2613M)/(β⁻23.45m))

con fattore di forma  
L'energia sviluppata dalla cattura del neutrone e sintesi del deutone risulta :
          
l'energia assorbita dal trasferimento del deutone dal quinto al sesto livello :
         
L'energia complessivamente liberata sarà :

                                E238/239 = En/5 – ED5/6 = 4.6075 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale   4.80638 MeV

Per attivare la fissione è quindi necessario che il neutrone abbia un'energia cinetica iniziale :

                               E₀ > Ecr(92 ; 239) – E238/239 = 1.8925 MeV

A questo punto vediamo che l'isotopo  U₉₂²³⁹  presenta sulle orbite un deutone in eccesso rispetto al numero associato alla massima
stabilità ( 54 ) e quindi, per aumentare la stabilità, lo riduce emettendo un  β⁻.
Si trasforma così nell'isobaro   Np₉₃²³⁹  che, con un'altra emissione  β⁻ genera l'isotopo  Pu₉₄²³⁹  con la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 806. 73)/(1806. 9)) Pu₉₄²³⁹ ((239.05236)/(239.052163)) 94n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 1+17 0+0 (5.24452M)/(α-FS24110a)

che, con la cattura di un neutrone, si trasforma in  Pu₉₄²⁴⁰

26
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 813. 24)/(1813. 4)) Pu₉₄²⁴⁰ ((240.05 404)/(240.053813)) 94n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 0+18 0+0 (5.25576M)/(α-FS6561a)

avente coefficiente di riempimento            
L'energia sviluppata dal neutrone catturato sul sesto livello con la sintesi di un deutone vale :
                
L'energia di attivazione della fissione dalle curve risulta  Ecr = 4.9 MeV. Per produrre la fissione sono quindi sufficienti neutroni
termici. Analizziamo quindi la fissione di questo isotopo, iniziando dalla simmetrica.
si hanno due nuclei di    Ag₄₇¹²⁰

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((100 7. 96)/(1007. 4)) Ag₄₇¹²⁰ ((119.91823)/(119.91879)) 47n 2+0 8+0 8+5 0+16 1+3 1+2 1+0 ((8.306M)/(β⁻1.23s))

L'energia liberata dal trasferimento in orbita del primo neutrone attivo vale :
         
Con il trasferimento di 47 neutroni attivi in orbita l'energia liberata sarà :
             
Dopo la sintesi, l'energia libera disponibile risulta :

            E= EZN(47 ; 120) + E47n0/4 – I(47 ; 120)⋅2.2246 MeV =

= 100 7. 96 +77.2196 –26⋅2.2246 = 1027.34 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo  Ag₄₇¹²⁰  per estrarlo dal quarto livello risulta :
              
l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                               EF = E– EAg4/∞ = 182.803MeV

Utilizzando la forza d'interazione nucleare, si ottiene :

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Il lavoro che si deve compiere per la separazione risulta :
            
L'energia eccedente, che viene liberata :      E = E– LAg4/= 188.885 MeV

Consideriamo ora la fissione asimmetrica più probabile.
Il rapporto tra numero atomico e numero isotopico dell'isotopo   Pu₉₄²⁴⁰  vale :     k = 94/52 = 1.807692

Ipotizziamo inizialmente   Z₁ = 38  e otteniamo :  I₁ = Z₁/k = 21,021 →  21

si ricava così la coppia più probabile :    A₁(38 ; 97)    e   A₂(56 ; 143)   con le configurazioni :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((821. 514)/(821. 98)) Sr₃₈⁹⁷ ((96.92665)/(96.92615)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 1+1 0+1 1+0 ((7.539M)/(β⁻429ms))
Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1184. 43)/(1184. 3)) Ba₅₆¹⁴³ ((142.92051)/(142.920627)) 56n 2+0 8+0 14+2 0+16 1+11 0+2 0+0 ((4.234M)/(β⁻14.5s))

Consideriamo inizialmente il trasferimento in orbita di 38 neutroni attivi.
L'energia liberata vale :
          
Con il trasferimento di 38 neutroni attivi in orbita l'energia liberata sarà :
           
Dopo la sintesi, l'energia libera disponibile risulta :

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                   E= EZN(38 ; 97) + E38n0/4 – I(38 ; 97)⋅2.2246 MeV =

                                             = 821. 514+62.4329-21⋅2.2246 = 837.230 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo  Sr₃₈⁹⁷ per estrarlo dal quarto livello :
             
l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                               EF = E– ESr4/∞ = 88.299 MeV

Considerando ora il trasferimento in orbita di 56 neutroni avremo :
             
Dopo la sintesi, l'energia libera disponibile risulta :

              E= EZN(56 ; 143) + E56n0/4 – I(56 ; 143)⋅2.2246 MeV =

                                    = 1184. 43 + 92.006 – 31⋅2.2246 = 1207.473 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo   Ba₅₆¹⁴³   per estrarlo dal quarto livello :
              
l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :         EF = E– EBa4/∞ = 314.751 MeV
Il valore medio fornito dalle due configurazioni risulta :

                    E = (1/2) ⋅ (88.299 + 314.751) = 201.525 MeV

Anche in questo caso, prima della separazione l'isotopo   Sr₃₈⁹⁷  espelle due neutroni, trasformandosi in :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((812. 266)/(812. 16)) Sr₃₈⁹⁵ ((94.91925)/(94.91936)) 38n 2+0 8+0 6+6 1+12 1+1 1+0 0+0 ((6.089M)/(β⁻23.90s))

partendo da :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((821. 514)/(821. 98)) Sr₃₈⁹⁷ ((96.92665)/(96.92615)) 38n 2+0 8+0 4+7 1+12 1+1 0+1 1+0 ((7.539M)/(β⁻429ms))

Dal confronto fra le configurazioni, possiamo calcolare l'energia di estrazione dei due neutroni.

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-- Sul sesto livello si scinde il deutone che lascia sull'orbita il protone ed espelle il neutrone.

-- Sul terzo livello si scinde un deutone che lascia sull'orbita il protone mentre il neutrone viene espulso.

-- Il terzo livello, non è più saturo e viene saturato dal protone che si sposta dal settimo livello.
L'energia assorbita dai due neutroni vale dunque :
   
Lo spostamento del protone dal settimo al terzo livello libera l'energia :
           
L'emissione dei due neutroni assorbe quindi complessivamente :

                                E2n = E2n3-6/∞ – Ep7/3 = 9.2266 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale uguale a   9.603 MeV
L'energia liberata dalla fissione risulta :

                E– E2n = 201.525MeV  – 9.2266 MeV192.298 MeV

Un isotopo importante per la fissione è il  Th₉₀²³²  che presenta si presenta con la configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1766. 55)/(1766. 7)) Th₉₀²³² ((232.03820)/(232.038055)) 90n 2+0 8+0 18+0 10+11 0+24 0+17 0+0 (4.0816M)/
(α1.4⋅10¹⁰a)/(100%)

Se cattura un neutrone sul quarto livello, con uno dei protoni presenti, genera un deutone che si ferma sull'orbita.
Dato però che il livello diventa sovrasaturo, parte dell'energia liberata viene impiegata per spostare un protone sul quinto livello, dal quale
un deutone, con l'energia ancora disponibile, si sposta sul sesto livello.
L'energia liberata dal neutrone assorbito, dopo la sintesi del deutone, vale :
             
l'energia assorbita dal protone :
             
l'energia assorbita dal trasferimento del deutone :
           
l′energia complessivamente liberata sarà :

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                      E₂₃₂₋₂₃₃ = En/4 – Ep4/5 – ED4/5 = 4.58873 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale 4.786 MeV del lavoro di estrazione di un neutrone dall'isotopo formato,  Th₉₀²³³ ,
che presenta la seguente configurazione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1771. 13)/(1771. 5)) Th₉₀²³³ ((233.0 4195)/(233.041582)) 90n 2+0 8+0 18+0 8+12 1+23 0+18 0+0 ((1.2461M)/(β⁻21.83m))

Per Z = 90  il numero di massa corrispondente alla massima stabilità vale :
                 
Il   Th₉₀²³³  ha dunque un deutone in eccesso e quindi emette un  β⁻ e diventa :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 772. 78)/(1771. 9)) Pa₉₁²³³ ((233.03934)/(233.040247)) 91n 2+0 8+0 18+0 10+11 1+24 1+16 0+0 ((570.3M)/(β⁻26.975d))

e con un'altra emissione  β⁻ si ottiene l'isotopo  U₉₂²³³

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 772. 46)/(1771. 7)) U₉₂²³³ ((233.03884)/(233.039635)) 92n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 1+15 0+0 ((4.9087M)/(α1.592⋅10⁵a))

che presenta un'energia di attivazione    Ecr = 5.5 MeV

Con la cattura di un neutrone sul sesto livello si trasforma nell'isotopo   U₉₂²³⁴ .

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1 778. 94)/(1778. 6)) U₉₂²³⁴ (234.04055)/(234.040952) 92n 2+0 8+0 18+0 14+9 0+25 0+16 0+0 ((4.8598M)/α2.455⋅10⁵a)/(0.0054%)

L'energia liberata vale :   

Essendo   En/6 > Ecr  sono sufficienti neutroni termici per attivare la fissione.
Il fattore di forma vale :    
Esaminiamo prima la fissione simmetrica, che, prima della scissione, forma i due isotopi :

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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 984. 893)/(984. 89)) Pd₄₆¹¹⁷ ((116.91784)/(116.91784)) 46n 2+0 8+0 10+4 0+16 1+2 0+2 0+1 ((5.758M)/(β⁻4.30s))

Il trasferimento in orbita del primo neutrone attivo fornisce l'energia :
            
Con il trasferimento di 46 neutroni attivi in orbita l'energia liberata sarà :
            
Dopo la sintesi, l'energia libera disponibile risulta :

                  E= EZN(46 ; 117) + E47n0/4 – I(46 ; 117)⋅2.2246 MeV =

                              = 984. 893 + 70.3337 – 25⋅2.2246 = 999.612 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo  Pd₄₆¹¹⁷  per estrarlo dal quarto livello :
          
l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                                 EF = Ed  – EPd4/∞ = 185.841 MeV

Verifichiamo il risultato utilizzando le forze d'interazione nucleare.
La distanza tra i nuclei è uguale al raggio della quarta orbita, che vale :
           
La forza d'interazione risulta quindi :

L'energia che si deve spendere per separarli sarà :
                      
L'energia fornita dalla fissione, fino alla separazione dei due nuclei sarà :

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                              EU/Pd-Pd = E– LPd4/∞ = 191.71 MeV

Consideriamo ora la fissione asimmetrica con i prodotti più probabili.       k = Z₀/I₀ = 92/50 = 1.84

Assumendo inizialmente   Z₁ = 38  si ha :   I₁ = Z₁/k = 20,652 → 21

Si ottiene          k₁ = 1.8095  ;  k₂ = 1.8621

Spostandoci di una unità, abbiamo   A₁(37 : 94 e  A₂(55 : 140)   e i rapporti risultano : k₁ = 1.8333 ; k₂ = 1.85
Esaminiamo quindi quest'ultimo caso.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    3   4     5    6    7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((798.018)/(798. 31)) Rb₃₇⁹⁴ ((93.92672)/(93.92640)) 37n 2+0 8+0 6+6 0+12 0+1 1+1 0+0 ((10.281M)/(β⁻2.702s))
((1 163. 66)/(1164.0)) Cs₅₅¹⁴⁰ ((139.91765)/(139.917282)) 55n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+11 1+1 0+0 ((6.220M)/(β⁻63.7s))

           
Con il trasferimento di 37 neutroni attivi in orbita l'energia liberata sarà :
                 
Dopo la sintesi, l'energia libera disponibile risulta :

                      E= EZN(37 ; 94) + E37n0/4 – I(37 ; 94)⋅2.2246 MeV =

                                                  = 798.018 + 56.573 – 20⋅2.2246 = 810.099 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo  Rb₃₇⁹⁴  per estrarlo dalla quarta orbita dello spazio rotante dell'isotopo  Cs₅₅¹⁴⁰ vale :
       
l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :           EF = E– ERb4/∞ = 90.999 MeV

Consideriamo ora l'isotopo  Cs₅₅¹⁴⁰  sintetizzato sulla quarta orbita del  Rb₃₇⁹⁴ .

                          E55n0/4 ≃ (1/2) ⋅ En0/4 ⋅ 55 = 84.095 MeV

                      E= EZN(55 ; 140) + E55n0/4 – I(55 ; 140)⋅2.2246 MeV =

                                   = 1163. 66 + 84.095 – 30⋅2.2246 MeV= 1181.017 MeV

L'energia che bisogna fornire al nucleo Cs₅₅¹⁴⁰ per estrarlo dal quarto livello :
             
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l'energia eccedente, che viene liberata con la fissione, sarà :

                                    EF = E– ECs4/∞ = 320.454 MeV

Il valore medio fornito dalle due configurazioni risulta :

                                  E =(1/2)⋅(90.999 + 320.454) = 205.726 MeV

Per concludere, osserviamo che invece di analizzare separatamente le due configurazioni e fare la media dei risultati, proprio perchè siamo
in presenza di uno spazio conservativo, è possibile considerare un solo sistema nel quale la sintesi del nucleo satellite si realizza a una
distanza uguale alla somma dei raggi di confine. Anche se può apparire tale, questo non è un artificio matematico per semplificare il calcolo,
ma un calcolo unico riferito a un istante in cui i due i sistemi assumono la stessa configurazione.
Un istante prima di allontanarsi definitivamente i due nuclei in entrambi i casi assumono infatti necessariamente la configurazione in cui
si " toccano " con le rispettive orbite di confine. Questa rappresenta per entrambi i casi l'ultima configurazione del nucleo di partenza
prima della fissione.

34
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 Art.88 -- Teoria generale della fissione nucleare spontanea e indotta, calcolo teorico dell'energia liberata e dell'energia di eccitazione -- Antonio Dirita

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