Art.85 — Teoria della cattura elettronica K, esempi di calcolo teorico dell’energia associata — Antonio Dirita

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— Teoria della cattura elettronica K :

Nell’  Art.84   abbiamo visto che ad ogni valore del numero   Z   di protoni in moto sulle orbite del nucleo è associato un valore  I₀  del
numero di deutoni in corrispondenza del quale il nucleo presenta la massima stabilità.
Sperimentalmente si ricavano le espressioni :
       
Si osserva quindi sperimentalmente che nuclei aventi   N/Z < N₀/Z₀  presentano una tendenza ad aumentare spontaneamente
tale rapporto. Essendo il processo spontaneo, non si ha nessun apporto dall’esterno e quindi il numero di massa   A₀ = N₀ + Z₀
non cambia.  Dato che si ha N/Z = A/Z –1, per aumentare il rapporto con A costante potrà solo diminuire il valore del numero
atomico  Z₀ .

Il nucleo (N₀ ; Z₀) avrà quindi tendenza a trasformarsi in (N₀ +1 ; Z₀ – 1) .

Si dovrà dunque realizzare spontaneamente la trasformazione di un protone orbitante in neutrone e il
trasferimento 
in orbita di un neutrone centrale attivo.

Noi sappiamo però che il protone è una particella elementare ( Art.71 ), dunque stabile e non in grado di trasformarsi in neutrone.
Quello che nel nucleo può realizzarsi, per avere la trasformazione indicata, è la formazione di un aggregato protone-elettrone fortemente
eccitato ( con energia di eccitazione ΔE = 0.78229103 MeV ) che possiamo chiamare pseudoneutrone il quale, se in un tempo
minore della sua emivita ( circa 13 minuti ) non intercetta un protone, si scinde nuovamente.
Se però si trova in un ambiente denso di protoni, può facilmente intercettarne uno e con esso sintetizzare un deutone
secondo il meccanismo descritto nell’  Art.70  .

E’ chiaro che la trasmutazione               A(N₀ ; Z₀) → A(N₀ +1 ; Z₀ –1)

potrà realizzarsi spontaneamente, ossia senza alcun apporto di energia dall’esterno,  solo se è esotermica , per cui la differenza di
energia di legame fra il nucleo finale e quello iniziale deve essere maggiore dell’energia fornita da tutta l’evoluzione del nucleo.

Le energie di legame dovranno dunque verificare la relazione :             E(N₀ ; Z₀) ≤ A(N₀ +1 ; Z₀ –1)

Non essendo i nuclei aggregati senzienti, è chiaro che non effettuano scelte e quindi, se il processo di trasformazione si realizza, vuol dire
che nella struttura interna si realizzano condizioni fisiche che impongono quel tipo di evoluzione.
Vogliamo qui capire quali siano queste condizioni, ovvero capire qual’è il tipo di instabilità strutturale che dà inizio al processo.
Per semplicità di esposizione, consideriamo un nucleo con tutte le ps orbite sature.
Assegnato il numero  Na = Z   di neutroni attivi centrali, il nucleo evolve sempre in modo da raggiungere la condizione di
equilibrio
con un numero di protoni in orbita uguale a  Z .
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Essendo l’energia per strato definita solo dai neutroni centrali, il numero di masse unitarie che saturano l’orbita vale sempre (2 ⋅ p²)
e quindi, quando sull’orbita sono presenti deutoni, il numero di protoni che saturano l’orbita diventa        (2 ⋅ p²) – nD ,
per cui il numero di orbite  ps  occupate da tutti i protoni aumenta con l’aumentare del numero di neutroni ed è dato dalla relazione :

dalla quale si ricava :
Essendo il deutone che sostituisce il protone in orbita un aggregato che trascina una zavorra, il neutrone, che non è
legato al 
nucleo centrale “ , impone un aumento di energia cinetica senza il corrispondente aumento dello spazio controrotante.
Questo crea uno squilibrio rispetto al caso in cui in orbita si ha un protone. Per questa ragione il deutone tende a collocarsi sempre
sulle 
orbite periferiche, dove la perturbazione indotta da questo squilibrio è minore  (   Art.77N    ).

Secondo questo meccanismo di compensazione, quando il numero di deutoni presenti nel nucleo è basso, le orbite periferiche sono
occupate da protoni e deutoni con il numero di protoni che diminuisce man mano che aumentano i deutoni.

Nell’  Art.81  abbiamo ricavato l’espressione teorica corretta del raggio nucleare di confine :

Questa relazione ci dice che nei nuclei con un numero di orbite   p sufficientemente elevato le orbite periferiche hanno un raggio di
valore elevato e, se è basso numero di neutroni ( N < N), i protoni che le occupano hanno una probabilità non trascurabile
( proporzionale al numero di protoni ) di scontrarsi con gli elettroni dell’orbita k , la più interna della fascia elettronica dell’atomo,
catturandone uno.
Con la cattura dell’elettrone inizia l’evoluzione spontanea del nucleo che abbiamo descritto.

Supponiamo di avere inizialmente un nucleo avente N << N₀ .

— Esempi di calcolo dell’energia associata alla cattura K : 

Per una maggiore comprensione ed una più facile esposizione, facciamo riferimento a un caso reale ; consideriamo per esempio, il
cadmio con
Z = 48 si ricava :

Dall’  Art.77.48   consideriamo un intorno del punto di massima stabilità  A = 112 .

Dalla tabella vediamo che gli isotopi stabili coprono l’intervallo da   Cd₄₈¹¹⁰ a Cd₄₈¹¹4.
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Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((912. 993)/(913. 06)) Cd₄₈¹⁰⁷ ((106.90678)/(106.90662)) 48n 2+0 8+0 18+0 8+9 1+1 0+1 0+0 ((2,2M)/(ce6.50h))
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/
(2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%)
((9 30. 416)/(930. 73)) Cd₄₈¹⁰⁹ ((108.90532)/(108.90498)) 48n 2+0 8+0 18+0 5+11 1+2 1+0 0+0 ((215.2K)/(ce461.4d))
((940. 924)/(940. 65)) Cd₄₈¹¹⁰ ((109.90270)/(109.90300)) 48n 2+0 8+0 18+0 5+12 1+1 0+1 0+0 ((st)/(12.49%))
(( 947. 700)/(947. 62)) Cd₄₈¹¹¹ ((110.90409)/(110.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 5+12 0+2 0+1 0+0 ((st)/(12.80%))
((9 57. 037)/(957. 02)) Cd₄₈¹¹² ((111.90274)/(111.90276)) 48n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+2 0+1 0+0 ((st)/(24.13%))
((9 63. 818)/(963. 56)) Cd₄₈¹¹³ ((112.90412)/(112.90440)) 48n 2+0 8+0 18+0 2+14 1+2 0+1 0+0 ((321.9K)/
(β⁻8.0⋅10¹⁵a)/(12.22%)
((9 71. 975)/(972. 60)) Cd₄₈¹¹⁴ ((113.90403)/(113.90336)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+3 1+0 0+0 ((541.4K)/
(2β⁻2.1⋅10¹⁸a)/(14.73%)
((9 78. 751)/(978. 74)) Cd₄₈¹¹⁵ ((114.90542)/(114.90543)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 0+4 1+0 0+0 ((1.4487M)/(β⁻53.46h))

Consideriamo l’isotopo  Cd₄₈¹⁰⁷ con un numero di neutroni N < N₀ e quindi tende ad aumentarlo spontaneamente catturando
un elettrone k e conseguente trasformazione nell’isotopo  Ag₄₇¹⁰⁷. Dall’  Art.78A–106-110    si hanno le configurazioni nucleari:

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 9 15. 715)/(915. 26)) Ag₄₇¹⁰⁷ ((106.90469)/(106.90510)) 47n 2+0 8+0 18+0 5+11 0+2 1+0 0+0 ((st)/(51.839%))
((912. 993)/(913. 06)) Cd₄₈¹⁰⁷ ((106.90678)/(106.90662)) 48n 2+0 8+0 18+0 8+9 1+1 0+1 0+0 ((2,2M)/(ce6.50h))

Qualunque sia il nucleo considerato, un protone, per poter catturare un elettrone, deve interagire a distanza ravvicinata.
Dato che nel nucleo le orbite percorse dai protoni sono normalmente poco eccentriche o, più in generale, circolari, in condizioni normali
un protone non ha alcuna possibilità di intercettare un elettrone in moto sull’orbita k.
Quando questo accade, il protone è stato preventivamente eccitato con un valore sufficiente di energia.

Osservando la configurazione dei livelli del nucleo  Cd₄₈¹⁰⁷ , nel nostro caso possiamo pensare che, dopo un tempo medio di circa
6,50 h dalla sintesi del nucleo, il deutone presente sul livello 5 si trasferisca sul 4formando il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((912. 993)/(913. 06)) Cd₄₈¹⁰⁷ ((106.90678)/(106.90662)) 48n 2+0 8+0 18+0 8+9 1+1 0+1 0+0 ((2,2M)/(ce6.50h))
?₄₈¹⁰⁷ 48n 2+0 8+0 18+0 8+10 1+0 0+1 0+0

L’isotopo   Cd₄₈¹⁰⁷  ha un numero di neutroni  N < N₀  e quindi tende ad aumentarlo spontaneamente.
L’energia per strato del nucleo   Cd₄₈¹⁰⁷  vale (  Art.75    ) :    E₀(48) = 227,81 MeV

L’energia cinetica del protone in equilibrio sul quinto livello coincide numericamente con l’energia di legame e vale :
   
Il valore del raggio orbitale vale :

Negli  Art.12   e   Art.13    abbiamo visto che con orbite aventi una eccentricità non trascurabile, si può assumere per il perielio il valore :

Il raggio della prima orbita elettronica (orbita k) vale :

Per poter intercettare l’elettrone k il protone deve percorrere un’orbita ellittica con afelio maggiore o uguale a     Re(48 ; 1)
Il valore minimo richiesto del semiasse maggiore dell’orbita risulta quindi :

Dalla relazione    Rn = R ⋅ (1 – e²)   si ricava il valore minimo dell’eccentricità orbitale del protone per poter catturare
l’elettrone :

Dalla relazione    si ricava l’energia di eccitazione del protone necessaria per poter intercettare l’elettrone

Nell’ Art.13   abbiamo visto che in tutti i sistemi retti da forze centrali si ha un’evoluzione più o meno graduale delle orbite verso quella
circolare in corrispondenza della quale si possono creare condizioni che determinano una improvvisa transizione sull’orbita più interna.

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Nel nostro caso possiamo pensare che dopo un tempo medio di  6,50 h dalla sua sintesi nel nucleo  Cd₄₈¹⁰⁷ il deutone presente
sul livello 5 si trasferisca sul 4 , liberando l’energia  calcolabile applicando le equazioni generali.
L’energia per strato del nucleo Cd₄₈¹⁰⁷ vale (   Art.75   ) :   E₀(48) = 227,81 MeV
l’energia liberata dalla transizione del deutone vale :

Essendo l’energia di eccitazione richiesta minore di quella fornita dalla transizione del deutone dal livello 5 al 4 , possiamo realmente
pensare che dopo un tempo medio di  6,50 h  dalla sintesi del nucleo si sia formato il nucleo seguente.

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
Cd₄₈¹⁰⁷ 48n 2+0 8+0 18+0 8+10 1+0 0+1 0+0

Il deutone presente sul sesto livello si sposta sul quinto, dal quale il protone migra sul sesto
Il nucleo che, a questo punto, si forma è il seguente. 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
Cd₄₈¹⁰⁷ 48n 2+0 8+0 18+0 8+10 0+1 1+0 0+0

L’energia liberata vale :

l’energia libera disponibile eccita un protone presente sul quarto livello con un’energia maggiore di  ΔE = 0.78229103 MeV , e lo
rende così capace di catturare un elettrone k con il quale forma un neutrone.
Con uno degli altri protoni presenti sul quarto livello, il neutrone sintetizza un deutone liberando l’energia

Ekn = ED – ΔE = 2,2246 MeV – 0.78229103 MeV = 1,44231 MeV.

si forma così il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
Cd₄₈¹⁰⁷ 48n 2+0 8+0 18+0 6+11 0+1 1+0 0+0

 

Esso presenta però  Z = 48 neutroni centrali e un numero di protoni in orbita uguale a     n = (2+8+18+18+1) = 47 .
Si tratta di un nucleo fortemente squilibrato, con un forte spazio rotante, dunque un elevato valore di energia
potenziale disponibile ed un numero di protoni orbitali minore di una unità rispetto al valore richiesto per l’equilibrio.
Con una terminologia analoga a quella in uso per la fascia elettronica, possiamo indicare la mancanza di un protone dicendo che il
nucleo è ionizzato negativamente
e manifesta una forte tendenza ad acquisire il protone mancante dallo spazio circostante.

“Esso però non è disponibile”e quindi l’unica via per riequilibrare il nucleo è quella di ridurre i neutroni

centrali con conseguente riduzione dello spazio rotante.
La situazione si presenta favorevole per questa transizione, in quanto i neutroni centrali polarizzati dai protoni sono ora solo  47 e
quindi si ha uno libero che può migrare sul livello  e ricongiungersi con un protone, ripristinando un deutone non polarizzato,
che si 
ferma sull’orbita.

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Il nucleo diventa così equilibrato, con una configurazione che presenta 47 neutroni centrali e 47 protoni orbitanti.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
Ag₄₇¹⁰⁷ 47n 2+0 8+0 18+0 5+12 0+1 1+0 0+0

L’energia libera disponibile nel nucleo vale ora :

              Ed = ED5/4 + EDp6/5  + Ekn – ED5/4

                   = 5,125725 MeV + 1,39217 MeV + 21,44231 MeV = 7,96021 MeV

La riduzione dello spazio rotante comporta una diminuzione dell’energia di legame, per cui si verifica una transizione di assestamento con
un deutone che, utilizzando una parte dell’energia libera disponibile, si trasferisce dal quarto al quinto livello.
L’energia assorbita da questa transizione vale :

Si fofma così l’isotopo stabile   Ag₄₇¹⁰⁷  con la seguente configurazione :

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3     4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 9 15. 715)/(915. 26)) Ag₄₇¹⁰⁷ ((106.90469)/(106.90510)) 47n 2+0 8+0 18+0 5+11 0+2 1+0 0+0 ((st)/(51.839%))

L’energia complessivamente liberata dalla trasmutazione    Cd₄₈¹⁰⁷ → Ag₄₇¹⁰⁷    risulta :

    E48/47Ed   ED4/5 = 7,960205 MeV –  5,125725 MeV = 2,83448 MeV

In ottimo accordo con il valore che si ottiene utilizzando le energie di legame teoriche dei due nuclei

E48/47c = Ep (47; 107) – Ep(48; 107) =  915,715 MeV – 912,993 MeV = 2,722 MeV

A questo valore bisogna ancora sottrarre l’energia di massa dell’elettrone acquisito dall’orbita k , che vale :

                                               E= me · Cl2 0,511 MeV

In definitiva l’energia della radiazione  γ  emessa dalla trasmutazione  Cd₄₈¹⁰⁷ → Ag₄₇¹⁰⁷  diventa:

Eγ = E48/47 – E= 2,83448 MeV– 0,511 MeV  = 2,32348 MeV

Tenendo conto delle molte transizioni considerate, l’accordo con il valore sperimentale  uguale a  2,2 MeV è da ritenere più
che buono.
La reazione che sintetizza il processo risulta :

                                Cd₄₈¹⁰⁷ + e⁻⁻ → Ag₄₇¹⁰⁷ + γ (2,32348 MeV)

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Un’altra maniera per aumentare la stabilità dell’isotopo  Cd₄₈¹⁰⁷  è quella di fornite direttamente dall’esterno un neutrone.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((912. 914)/(913. 06)) Cd₄₈¹⁰⁷ ((106.90678)/(106.90662)) 48n 2+0 8+0 18+0 8+9 1+1 0+1 0+0 ((2,2M)/(ce6.50h))
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/
(2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%)

In questo caso, giungendo sul quinto livello, con il protone presente, sintetizza un deutone che si ferma sull’orbita.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((912. 914)/(913. 06)) Cd₄₈¹⁰⁷ ((106.90678)/(106.90662)) 48n 2+0 8+0 18+0 8+9 0+2 0+1 0+0 ((2,2M)/(ce6.50h))
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/
(2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%)

— Lo spostamento del neutrone sul livello  5 da R →∞  con sintesi del deutone fornisce l’energia :

En∞/5(48) = E₀(48) ⋅ 1/(2 ⋅ 5²) + ED = 227,81 MeV ⋅ 1/50 + 2,2246 MeV = 6,7808 MeV

All’aumento della stabilità segue lo spostamento di masse periferiche verso il centro. Dal livello  6  il deutone si sposta sul  , dal
quale un protone si sposta sul
Si ottiene così l’isotopo

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/
(2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%)

— lo scambio del deutone con il protone sul livello 6 fornisce :

La fusione del neutrone con il nucleo   Cd₄₈¹⁰⁷  fornisce quindi l’energia :
6
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                      E107/108(48) = En/5(48) + ED/p(48) = 10,73583 MeV

in buon accordo con il valore sperimentale del lavoro di estrazione di un neutrone dall’isotopo   Cd₄₈¹⁰⁸ ,  che risulta uguale a
10,3336 MeV.
L’isotopo   Cd₄₈¹⁰⁸  ha ancora  N < N₀  e quindi ha ancora tendenza a catturare elettroni sull’orbita k.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 922. 361)/(922. 53)) Ag₄₇¹⁰⁸ ((107.90614)/(107.90596)) 47n 2+0 8+0 18+0 3+12 1+2 1+0 0+0 ((1.647M)/(β⁻2.382m))
?₄₈¹⁰⁸ 48n 2+0 8+0 18+0 7+11 0+1 1+0 0+0

Seguendo la normale evoluzione verso i livelli più stabili, un deutone si sposta dal quinto livello al quarto e questo, come abbiamo già
visto con la cattura da parte dell’isotopo   Cd₄₈¹⁰⁷ ,  libera l’energia   ED5/4 = 5,125725 MeV   che eccita uno dei protoni
presenti sul quarto livello con l’energia sufficiente per raggiungere l’elettrone sull’orbita k con il quale , fornendo l’energia di eccitazione
ΔE = 0.78229103 MeV , sintetizza un neutrone.
Il neutrone così formato, con uno dei protoni presenti sul livello 4 , sintetizza un deutone. L’energia complessivamente resa disponibile
dalla sintesi risulta :
                         EkD= E– ΔE = 2,2246 MeV  0,78229103 MeV = 1,44231 MeV.
Il nucleo formato è il seguente.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1    2     3    4     5    6    7    Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 922. 361)/(922. 53)) Ag₄₇¹⁰⁸ ((107.90614)/(107.90596)) 47n 2+0 8+0 18+0 3+12 1+2 1+0 0+0 ((1.647M)/(β⁻2.382m))
?₄₈¹⁰⁸ 48n 2+0 8+0 18+0 5+12 0+1 1+0 0+0

Si forma così un nucleo squilibrato con 48 neutroni centrali e 47 protoni in orbita.
Il neutrone centrale in eccesso, essendo relativamente libero, si ricongiunge con uno dei protoni presenti sul livello 4 riformando
un deutone non polarizzato,
che si ferma sull’orbita. Si forma così il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2     3    4     5    6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 922. 361)/(922. 53)) Ag₄₇¹⁰⁸ ((107.90614)/(107.90596)) 47n 2+0 8+0 18+0 3+12 1+2 1+0 0+0 ((1.647M)/(β⁻2.382m))
?₄₇¹⁰⁸ 47n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+1 1+0 0+0

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L’energia finora liberata, dunque disponibile per realizzare successive transizioni, risulta :

                EDis = ED5/4 + EkD = 5,125725 MeV + 1,44231 MeV = 6,568035 MeV

Per formare l’isotopo   Ag₄₇¹⁰⁸   si deve realizzare la transizione di un deutone più un protone dal quarto al quinto livello, per cui è
necessario fornire l’energia :

Essendo   EDp4/5 > EDis   la trasmutazione non può realizzarsi.

Il nucleo Cd₄₈¹⁰⁸ ha però comunque tendenza a catturare elettroni per aumentare la stabilità.

A questo punto osserviamo che, se prima che il neutrone formato dalla cattura dell’elettrone si divida
nuovamente,
un altro deutone si sposta ed eccita un altro protone che cattura un altro elettrone  k,  si potrà realizzare la

trasmutazione diretta        Cd₄₈¹⁰⁸ → Pd₄₆¹⁰⁸.
Verifichiamo la fattibilità del processo e l’energia che verrebbe sviluppata.
Con due catture simultanee verrebbe sintetizzato l’isotopo stabile Pd₄₆¹⁰⁸ , con la seguente configurazione

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/(((2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%))))

Entro un intervallo di tempo breve ( normalmente si richiede la simultaneità dei due eventi ) due deutoni si trasferiscono dal livello
5  al  
L’energia liberata vale :
       
il nucleo formato è il seguente

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
?₄₈¹⁰⁸ 48n 2+0 8+0 18+0 7+12 0+0 1+0 0+0

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i due protoni eccitati catturano due elettroni sulla prima orbita e con  2  protoni sintetizzano sul livello  4  due deutoni.
l’energia liberata dalla sintesi risulta :

E2kD = 2⋅(E– ΔE)
= 2⋅(2,2246
MeV – 0.78229103 MeV) = 2,88462 MeV.

e il nucleo diventa :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
?₄₈¹⁰⁸ 48n 2+0 8+0 18+0 3+14 0+0 1+0 0+0

Abbiamo a questo punto un nucleo fortemente squilibrato, con   48  neutroni centrali e  46  protoni in orbita, dunque con
doppia 
ionizzazione negativa ( mancano per l’equilibrio due protoni ).
I due neutroni centrali eccedenti, non più polarizzati, si spostano sul quarto livello dove si ricongiungono con due protoni ripristinando
due deutoni non polarizzati, che si fermano in orbita. Il nucleo è diventato quindi :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
?₄₆¹⁰⁸ 46n 2+0 8+0 18+0 1+16 0+0 1+0 0+0

utilizzando l’energia finora sviluppata, un deutone viene eccitato e si trasferisce dal livello  4  al livello  .

Dall’    Art.75      si ha     E0(46) = 222,57 MeV    e quindi l’energia assorbita risulta :

       
e la configurazione del nucleo diventa :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
?₄₆¹⁰⁸ 46n 2+0 8+0 18+0 1+15 0+0 1+1 0+0

Infine, dal livello  4  un protone si trasferisce sul  , assorbendo l’energia :
         

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Viene così sintetizzato l’isotopo stabile   Pd₄₆¹⁰⁸   con la seguente configurazione orbitale.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))

L’energia emessa dal processo risulta uguale a :

  E2β48/46 = E2D5/4 + E2kD – ED4/6 – Ep4/5 – 2⋅Ee =

                      = 10,25145 MeV + 2,88462 MeV 7,72812 MeV 2,50391 MeV 2 0,511 MeV =

                      = 1,88204 MeV

In ottimo accordo con il valore che si ricava con la differenza tra le due masse sperimentali
che risulta :

                     Es  = Es46 – Es48 = 925,24 MeV  923,40 MeV = 1,84 MeV

Per ottenere l’energia associata alla radiazione γ emessa, si deve detrarre l’energia di massa dei due elettroni catturati.

Essendo la cattura simultanea di due elettroni un evento molto difficile da realizzare, la probabilità che esso si verifichi è molto bassa ed
è per questa ragione che l’emivita dell’isotopo  Cd₄₈¹⁰⁸  risulta 1,9⋅10¹⁸ anni.

Consideriamo ora il caso in cui il nucleo iniziale abbia  N > N₀ ,  per esempio l’isotopo   Cd₄₈¹¹⁵  che presenta la seguente
configurazione teorica dei livelli nucleari (  Art.77.48   )

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((9 78. 751)/(978. 74)) Cd₄₈¹¹⁵ ((114.90542)/(114.90543)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 0+4 1+0 0+0 ((1.4487M)/(β⁻53.46h))

Il numero di neutroni risulta  N = 67 e quindi :          N/Z₀ = 67/48 = 1,395833 > N₀/Z₀ = 1,333333

In questo caso, per diminuire il rapporto si deve diminuire  N  con l’estrazione di neutroni, operazione che richiede energia e quindi non
si verifica spontaneamente, oppure aumentare  Z₀ ,  che equivale a cambiare elemento.
Il nucleo presenta quindi una naturale tendenza ad emettere un elettrone, trasformando un deutone in due protoni. In questo modo si
ottiene un effetto doppio con l’aumento di un protone e la riduzione di un neutrone.
Il meccanismo attraverso il quale l’operazione si realizza verrà esaminato in dettaglio trattando la teoria dell’emissione  β .
Anche questo processo, come la cattura che abbiamo esaminato, si realizza quindi senza variazione del numero di massa  A .

E’ chiaro che la trasmutazione                 A(N₀ ; Z₀) → A(N₀ –1 ; Z₀ + 1)

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potrà realizzarsi spontaneamente, ossia senza alcun apporto di energia dall’esterno, solo se è esotermica, per cui la differenza di energia
di legame fra il nucleo finale e quello iniziale deve essere maggiore dell’energia fornita da tutta l’evoluzione del nucleo.

Le energie di legame dovranno dunque verificare la relazione :                      E(N₀ ; Z₀) ≤ A(N₀ –1 ; Z₀+1)

E’ da osservare che il processo di cattura elettronica può realizzarsi solo se un protone eccitato, muovendosi su un’orbita fortemente
eccentrica, riesce a raggiungere ed intercettare un elettrone in moto sulla prima orbita della fascia elettronica. E’ chiaro quindi che la
presenza nel nucleo di molti protoni periferici (quindi più vicini all’orbita k) rende l’evento più probabile.

Man mano che aumenta il numero di deutoni che occupano la periferia del nucleo al posto dei protoni diminuisce quindi la probabilità
che la cattura si verifichi e quando si arriva ad avere  N > N₀  non si verifica più la cattura e il nucleo presenta
una tendenza a
perdere elettroni invece di acquisirli.

Nel caso dell’emissione di elettroni, accade esattamente il contrario di quello che si verificava nella cattura ( la ragione teorica
verrà analizzata nell’articolo dedicato all’emissione  β ) , ossia l’emissione diventa più probabile man mano che aumenta il numero di
deutoni che occupano il posto dei protoni ed il processo ha inizio con i deutoni in moto sulle orbite più interne.

Del resto, le due osservazioni concordano perfettamente, in quanto man mano che aumenta il numero di deutoni che sostituiscono i protoni,
le orbite che vengono occupate si spostano verso l’interno, in quanto all’aumento di deutoni corrisponde sempre una diminuzione dello
stesso numero di protoni.

Con l’emissione di un elettrone l’isotopo che abbiamo considerato si trasforma in In₄₉¹¹⁵ avente la configurazione seguente.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((9 78. 751)/(978. 74)) Cd₄₈¹¹⁵ ((114.90542)/(114.90543)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 0+4 1+0 0+0 ((1.4487M)/(β⁻53.46h))
((978. 796)/(979. 40)) In₄₉¹¹⁵ ((114.90453)/(114.90388)) 49n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+3 0+1 0+0 ((497.489K)/
(β⁻4.41⋅10¹⁴a)/(95.71%)

Seguendo la normale evoluzione, comune a tutti i sistemi retti da forze centrali (  Art.13  ), si ha uno scorrimento delle masse verso il centro
dello spazio rotante e uno dei deutoni presenti sul livello 4, sotto l’azione dello spazio rotante centrale, si polarizza con il trasferimento del
neutrone polarizzato al centro, mentre il protone si ferma sull’orbita. Ne risulta il nucleo seguente

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
?₄₉¹¹⁵ 49n 2+0 8+0 18+0 1+14 0+4 1+0 0+0
((978. 796)/(979. 40)) In₄₉¹¹⁵ ((114.90453)/(114.90388)) 49n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+3 0+1 0+0 ((497.489K)/
(β⁻4.41⋅10¹⁴a)/(95.71%)

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E’ certamente un nucleo squilibrato, molto instabile , in quanto, essendo avvenuta solo la trasformazione di un deutone in protone,
presenta in orbita sempre lo stesso numero di protoni  Z = 48 , mentre al centro il numero di neutroni attivi è diventato  49 , quindi
con eccesso di una unità ed aumento dello spazio rotante oltre il valore necessario per l’equilibrio.  Il nucleo risulta così ionizzato
negativamente.
Proprio per l’aumento dello spazio rotante, un altro dei deutoni presenti sul quarto livello si divide, emettendo un elettrone β⁻ mentre
lascia sull’orbita i due protoni.
L’energia assorbita per la scissione del deutone in neutrone più protone vale :         ED = 2,2246 MeV
L’energia richiesta per la scissione del deutone in due protoni ed un elettrone risulta quindi :

               ED/pp = ED – ΔE = 2,2246 MeV – 0.78229103 MeV = 1,44231 MeV

Si forma così il nucleo con energia per strato associata (  Art.75   )      E₀(49) = 230,36 MeV

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
?₄₉¹¹⁵ 49n 2+0 8+0 18+0 3+13 0+4 1+0 0+0
((978. 796)/(979. 40)) In₄₉¹¹⁵  ((114.90453)/(114.90388)) 49n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+3 0+1 0+0 ((497.489K)/
(β⁻4.41⋅10¹⁴a)/(95.71%)

Si hanno a questo punto   49  neutroni centrali e    49  protoni in orbita.  Il nucleo risulta neutro e si verificano solo più le
transizioni di assestamento con un deutone che si trasferisce dal livello  5 al  6 mentre dal  6 il protone si trasferisce al  4 .
Si forma così il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((978. 796)/(979. 40)) In₄₉¹¹⁵ ((114.90453)/(114.90388)) 49n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+3 0+1 0+0 ((497.489K)/
(β⁻4.41⋅10¹⁴a)/(95.71%)

I valori dell’energia in gioco risulta :
— energia richiesta per la scissione del deutone con emissione del β⁻                 

              ED/p-p = + ΔE – E= + 0.78229103 MeV  2,2246 MeV = 1,44231 MeV

— energia richiesta dalla transizione del deutone dal livello 5 al 6

           

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— energia fornita dalla transizione del protone dal livello 6 al livello  4
      
— energia di massa dell’elettrone emesso        Ee = 0,511 MeV

L’energia cinetica con la quale viene emesso l’elettrone risulta dunque :

                      Eβ⁻c = – ED/p-p– ED5/6 + Ep6/4 + Ee = 0,25249 MeV

Tenendo conto delle molte transizioni considerate, l’accordo con il valore sperimentale   Eβ⁻s = 0,181 MeV risulta accettabile.

Un metodo alternativo per aumentare la stabilità del nucleo   Cd₄₈¹¹⁵  è quello di estrarre direttamente un neutrone per generare
l’isotopo   Cd₄₈¹¹⁴ . Le configurazioni nucleari sono le seguenti (   Art.77N    ).

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((971. 975)/(972. 60)) Cd₄₈¹¹⁴ ((113.90403)/(113.90336)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+3 1+0 0+0 ((541.4K)/
(2β⁻2.1⋅10¹⁸a)/(14.73%)
((978. 751)/(978. 74)) Cd₄₈¹¹⁵ ((114.90542)/(114.90543)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 0+4 1+0 0+0 ((1.4487M)/(β⁻53.46h))

Dal confronto fra le composizioni dei livelli, vediamo che i deutoni meno legati sono quelli in orbita sul quinto livello e quindi l’energia
richiesta risulta :
— energia che si deve fornire per scindere il deutone in protone più neutrone    ED= 2,2246 MeV

— energia richiesta per portare il neutrone liberato dal quinto livello alla distanza  R → ∞ (fuori dal nucleo)

L’energia di estrazione teorica di un neutrone risulta :

                                    E115/114 = En5/ + E= 6,7808 MeV

In buon accordo con il valore sperimentale uguale a 6,141 MeV

L’isotopo ottenuto  Cd₄₈¹¹⁴ ha ancora eccedenza di neutroni rispetto a  N₀  , per cui tende a ripetere il processo emettendo ancora
un elettrone   β⁻ per formare l’isotopo  In₄₉¹¹⁴ .  In realtà l’energia richiesta per la trasformazione supera il valore che si rende
disponibile con le transizioni, per cui la stabilità può essere aumentata solo con l’emissione simultanea di due elettroni per  formare
l’isotopo stabile  Sn₅₀¹¹⁴.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((9 71. 975)/(972. 60)) Cd₄₈¹¹⁴ ((113.90403)/(113.90336)) 48n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+3 1+0 0+0 ((541.4K)/
(2β⁻2.1⋅10¹⁸a)/(14.73%)
(( 971. 881)/(971. 57)) Sn₅₀¹¹⁴ ((113.90245)/(113.90278)) 50n 2+0 8+0 18+0 7+11 0+3 1+0 0+0 ((st)/(0.66%))

Anche in questo caso, essendo la probabilità dell’emissione simultanea molto bassa, la vita media dell’isotopo  Cd₄₈¹¹⁴   risulta
piuttosto lunga.
In base a quanto abbiamo finora visto, possiamo dire che i processi di cattura elettronica e l’emissione di elettroni costituiscono l’effetto
visibile di una sorta di retroazione che nel nucleo controlla il rapporto

associato alla massima stabilità .
Se abbiamo un nucleo avente           ,   il controllo del rapporto sembrerebbe realizzabile
variando numeratore e denominatore oppure variando solo uno dei due, mantenendo l’altro costante.
In realtà, senza scambio diretto di neutroni con l’esterno il controllo variando solo il numero di deutoni    D  senza variare il numero di
protoni non è possibile in quanto l’unico mezzo di controllo disponibile nel nucleo è la sintesi oppure
la scissione dei deutoni presenti 
sulle orbite, che portano ai rapporti

Si ha dunque sempre variazione di numeratore e denominatore.
Questo vuol dire che in qualsiasi trasmutazione nucleare spontanea
oltre al nucleo, cambia anche il
numero atomico, e quindi l’elemento 
chimico.

Negli esempi che abbiamo trattato sono stati considerati nuclei non molto distanti dalla stabilità, per i quali il controllo viene
attuato
spontaneamente con la cattura o lemissione β⁻.
Osservando la composizione dei livelli nucleari abbiamo visto che variando il numero  necc dei deutoni orbitali eccedenti o mancanti
si ha uno spostamento dei deutoni stessi verso il centro oppure la periferia
con aumento dell’intensità dell’azione che determina la
successiva evoluzione del nucleo .
Con   necc  molto elevato si hanno condizioni estreme in cui in alternativa alla cattura elettronica si ha l’emissione diretta di protoni.
E’ questo, per esempio, il caso di nuclei con numero isotopico negativo (   Art.79I.(-1)    ÷  Art.79I.(-7)    ).

Nell’estremo opposto troviamo i nuclei con un’eccedenza di deutoni in orbita molto elevata. In questo caso i deutoni occupano una
fascia di orbite molto ampia, dunque occupano orbite interne, che consentono un controllo del rapporto con l’emissione che abbiamo
discusso, ed anche orbite molto periferiche, che, come vedremo in seguito, bene si prestano a un controllo attraverso l’emissione diretta
di aggregati come nuclei di elio.

 13
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Supponiamo ora di avere un nucleo avente  N << N₀ . Se il numero di neutroni è basso rispetto al valore associato alla massima
stabilità, sulle orbite avremo praticamente solo protoni con qualche eventuale deutone sull’orbita periferica.
Se consideriamo per esempio, lo stagno con Z = 50 , che presenta un elevato numero di isotopi stabili; si ricava il numero di neutroni
corrispondente alla massima stabilità :

Dall’   Art.77.50   consideriamo un intorno del punto di massima stabilità A₀ = 117.

Dalla tabella vediamo che gli isotopi certamente stabili coprono l’intervallo da Sn₅₀¹¹² a Sn₅₀¹²².

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((914. 688)/(914. 63)) Sn₅₀¹⁰⁸ ((107.91186)/(107.91192)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 1+1 1+1 0+0 ((2.045M)/(ce10.30m))
((922. 987)/(923. 30)) Sn₅₀¹⁰⁹ ((108.91161)/(108.91128)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 1+2 0+1 0+0 ((3.856M)/(ce18.0m))
((935. 101)/(934. 57)) Sn₅₀¹¹⁰ ((109.90727)/(109.90784)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+7 0+2 0+1 0+0 ((628.0K)/(ce4.11h))
(( 9 43. 398)/(942. 74)) Sn₅₀¹¹¹ ((110.90703)/(110.90773)) 50n 2+0 8+0 18+0 10+8 0+3 1+0 0+0 ((2.452M)/(ce35.3m))
(( 954. 090)/(953. 53)) Sn₅₀¹¹² ((111.90422)/(111.90482)) 50n 2+0 8+0 18+0 10+9 0+2 0+1 0+0 ((st)/
(2ce1.3⋅10²¹a)/(0.97%)
((960. 965)/(961. 28)) Sn₅₀¹¹³ ((112.90550)/(112.90517)) 50n 2+0 8+0 18+0 8+10 1+2 0+1 0+0 ((1.038M)/(ce115.09d))
(( 971. 881)/(971. 57)) Sn₅₀¹¹⁴ ((113.90245)/(113.90278)) 50n 2+0 8+0 18+0 7+11 0+3 1+0 0+0 ((st)/(0.66%))
(( 978. 756)/(979. 12)) Sn₅₀¹¹⁵ ((114.90373)/(114.90334)) 50n 2+0 8+0 18+0 5+12 1+3 1+0 0+0 ((st)/(0.34%))
((9 88. 251)/(988. 68)) Sn₅₀¹¹⁶ ((115.90221)/(115.90174)) 50n 2+0 8+0 18+0 4+13 1+3 1+0 0+0 ((st)/(14.54%))
((9 95. 128)/(995. 63)) Sn₅₀¹¹⁷ ((116.90349)/(116.90295)) 50n 2+0 8+0 18+0 4+13 0+4 1+0 0+0 ((st)/(7.68%))
((100 4. 62)/(1005. 0)) Sn₅₀¹¹⁸ ((117.90196)/(117.90160)) 50n 2+0 8+0 18+0 3+14 0+4 1+0 0+0 ((st)/(24.22%))
((10 11. 50)/(1011. 4)) Sn₅₀¹¹⁹ ((118.90324)/(118.90331)) 50n 2+0 8+0 18+0 1+15 1+4 1+0 0+0 ((st)/(8.59%))
((1020. 99)/(1020. 5)) Sn₅₀¹²⁰ ((119.90172)/(119.90219)) 50n 2+0 8+0 18+0 0+16 1+4 1+0 0+0 ((st)/(32.58%))
((1026. 45)/(1026. 7)) Sn₅₀¹²¹ ((120.90452)/(120.90424)) 50n 2+0 8+0 18+0 0+16 1+4 0+1 0+0 ((403.0K)/(β⁻27.03h))
((1034. 74)/(1035. 5)) Sn₅₀¹²² ((121.90429)/(121.90344)) 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 1+5 1+0 0+0 ((st)/(4.63%))
((10 41. 62)/(1041. 5)) Sn₅₀¹²³ ((122.90517)/(122.90572)) 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+6 1+0 0+0 ((1.409M)/(β⁻129.2d))
((1049. 92)/(1050. 0)) Sn₅₀¹²⁴ ((123.90532)/(123.90527)) 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+7 0+0 0+0 ((2.2896M)/
(2β⁻1.2⋅10²¹a)/(5.79%)
((1055. 36)/(1055. 7)) Sn₅₀¹²⁵ ((124.90814)/(124.90778)) 50n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+7 1+0 0+0 ((2.359M)/(β⁻9.64d))
((10 63. 66)/(1063. 9)) Sn₅₀¹²⁶ ((125.90790)/(125.90765)) 50n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+8 0+0 0+0 ((380.0K)/(β⁻2.3⋅10⁵a))

 

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((914. 688)/(914. 63)) Sn₅₀¹⁰⁸ ((107.91186)/(107.91192)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 1+1 1+1 0+0 ((2.045M)/(ce10.30m))
(( 918. 063)/(917. 48)) In₄₉¹⁰⁸ ((107.90908)/(107.90970)) 49n 2+0 8+0 18+0 11+7 0+2 0+1 0+0 ((5.136M)/(ce58.0m))

14
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L’isotopo Sn₅₀¹⁰⁸ ha un numero di neutroni N < N₀  e quindi tende ad aumentarlo spontaneamente.
Dopo un tempo medio di 10.30 min dalla sua sintesi il protone periferico, presente sul sesto livello, cattura perciò un elettrone
dell’orbita  e forma uno pseudoneutrone che, essendo neutro, si sposta facilmente verso l’interno e sul livello   p = 5  incontra un
protone con il quale sintetizza un deutone che si ferma sull’orbita.
Il nucleo che, a questo punto, si forma è il seguente

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((914. 688)/(914. 63)) Sn₅₀¹⁰⁸ ((107.91186)/(107.91192)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 0+2 0+1 0+0

con Z = 50  neutroni attivi al centro e un numero di protoni in orbita uguale a n = (2+8+18+18+2+1) = 49 .
Si tratta di un nucleo fortemente squilibrato, con un forte spazio rotante, dunque un elevato valore di energia potenziale disponibile ed
un numero di protoni orbitali minore di una unità rispetto al numero richiesto per l’equilibrio.

Con una terminologia analoga a quella in uso per la fascia elettronica, possiamo indicare la mancanza di un protone dicendo che il nucleo
è ionizzato negativamente e manifesta una forte tendenza ad acquisire il protone mancante dallo spazio circostante.
Esso però non è disponibile e quindi l’unica via per riequilibrare il nucleo è quella di ridurre i neutroni centrali
con conseguente riduzione dello spazio rotante.
Dei 50 neutroni centrali solo 49 sono polarizzati dai 49 protoni orbitali, mentre uno è relativamente libero.
Il neutrone libero si muove quindi verso l’esterno e quando giunge sul quarto livello, incrocia un numero molto elevato di protoni ( 12 ),
con uno dei quali sintetizza un deutone che rimane sull’orbita. Il nucleo che ne risulta ha la seguente configurazione.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 918. 063)/(917. 48)) In₄₉¹⁰⁸ ((107.90908)/(107.90970)) 49n 2+0 8+0 18+0 11+7 0+2 0+1 0+0 ((5.136M)/(ce58.0m))

E’ un nucleo neutro, con   49  neutroni attivi centrali e   49  protoni in orbita. Esso è più vicino alla stabilità del nucleo di partenza
Sn₅₀¹⁰⁸ , tuttavia è anch’esso in difetto di neutroni, per cui ripete identicamente il percorso dell’isotopo Sn₅₀¹⁰⁸ , approdando
al nucleo isobaro Cd₄₈¹⁰⁸.
Procedendo sempre allo stesso modo, ci si avvicina sempre più alla stabilità, che viene raggiunta dopo un certo numero di elettroni
catturati, con l’isobaro Pd₄₆¹⁰⁸

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
(( 925. 591)/(925. 24)) Pd₄₆¹⁰⁸ ((107.90351)/(107.90389)) 46n 2+0 8+0 18+0 0+15 1+0 1+1 0+0 ((st)/(26.46%))
(( 922. 361)/(922. 53)) Ag₄₇¹⁰⁸ ((107.90614)/(107.90596)) 47n 2+0 8+0 18+0 3+12 1+2 1+0 0+0 ((1.647M)/(ce2.382m))
((923. 642)/(923. 40)) Cd₄₈¹⁰⁸ ((107.90393)/(107.90418)) 48n 2+0 8+0 18+0 7+10 0+2 1+0 0+0 ((269.0K)/
(2ce1.9⋅10¹⁸a)/(0.89%)

15
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Se il nucleo ha N < N₀ , abbiamo visto che un metodo alternativo per aumentare la stabilità è quello di fornire neutroni direttamente
dall’esterno.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((914. 688)/(914. 63)) Sn₅₀¹⁰⁸ ((107.91186)/(107.91192)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 1+1 1+1 0+0 ((2.045M)/(ce10.30m))

Se forniamo, per esempio, un neutrone all’isotopo   Sn₅₀¹⁰⁸  , intercettando il protone presente sul sesto livello, esso sintetizza un
deutone che si trasferisce sul quinto livello dal quale un protone si trasferisce sul quarto e si forma così l’isotopo   Sn₅₀¹⁰⁹  con la
seguente configurazione.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((922. 987)/(923. 30)) Sn₅₀¹⁰⁹ ((108.91161)/(108.91128)) 50n 2+0 8+0 18+0 12+6 1+2 0+1 0+0 ((3.856M)/(ce18.0m))

l’energia fornita dalla reazione possiamo calcolarla utilizzando l’espressione teorica.

L’energia per strato vale (  Art.75   ) : E0p(50) = 232,87 MeV .L’aumento dell’energia di legame associato alla transizione di un
neutrone da R→ ∞ al livellovale :


l’energia liberata dalla sintesi del deutone vale :                       ED = 2,2246 MeV
La transizione del deutone dal livello 6 al livello 5 libera l’energia :


Si ottiene così l’energia complessivamente fornita dalla fusione del neutrone :

                                  E108/109 = En∞/6 + ED + ED6/5 = 8,3051 MeV

in ottimo accordo con il valore sperimentale, che vale 8,6321 MeV
Consideriamo ora il caso in cui abbiamo N > N₀ .
Il nucleo presenta in questo caso una naturale tendenza a ridurre i neutroni presenti. Naturalmente il nucleo non è in grado di fare delle
scelte, ma certamente alla configurazione N > N₀ saranno associate condizioni fisiche che tendono a ridurre il numero di neutroni.
L’analisi dettagliata del problema verrà fatta nell’articolo dedicato alla teoria dell’emissione β .

Trattando l’aggiunta di neutroni ( o la cattura di elettroni ), abbiamo visto che man mano che il numero di neutroni aumenta, i deutoni
sintetizzati si spostano verso le orbite più interne dove vengono assoggettati a forze nucleari sempre più elevate, essendo esse variabili
secondo la l’espressione teorica (  Art.81   )

e quindi l’accelerazione radiale :

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La quarta potenza del numero quantico a denominatore fa aumentare
rapidamente il valore della forza.
 
Esisterà quindi un’orbita minima al di sotto della quale il deutone, sotto
l’intensa azione dello spazio rotante, si scinde liberando un protone e un neutrone.
Questo processo inizia proprio quando il numero di neutroni supera
il valore N₀ .

Supponiamo quindi di avere un nucleo nella condizione N >> N₀ , per esempio, nel caso dello stagno, l’isotopo Sn₅₀¹²⁶.
Dalla configurazione dei livelli (  Art.77N    e    Art.77.50    ) vediamo che si hanno due deutoni sul terzo livello.

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((10 63. 66)/(1063. 9)) Sn₅₀¹²⁶ ((125.90790)/(125.90765)) 50n 2+0 8+0 14+2 0+16 0+8 0+0 0+0 ((380.0K)/(β⁻2.3⋅10⁵a))
((1063. 75)/(1063. 5)) Sb₅₁¹²⁶ ((125.90697)/(125.90725)) 51n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+7 1+0 0+0 ((3.670M)/(β⁻12.35d))
((10 66. 43)/(1066. 4)) Te₅₂¹²⁶ ((125.90325)/(125.903312)) 52n 2+0 8+0 18+0 2+15 0+7 0+0 0+0 ((st)/(18.84%))

Sotto l’azione dello spazio rotante centrale un deutone presente sul terzo livello  si divide liberando un protone e un neutrone.
Divenuto libero, anche il neutrone si divide emettendo un elettrone β⁻ ed un protone. I due protoni si fermano sull’orbita,
mentre l’elettrone  si sposta verso la periferia del nucleo.  A questo punto il nucleo formato è il seguente

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
Sn₅₀¹²⁶ 50n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+8 0+0 0+0

Il nucleo centrale non è cambiato e quindi è ancora con Z = 50 neutroni, mentre in orbita il numero dei protoni risulta :

                                                  np = (2+8+16+1+16+8) = 51.

Si tratta quindi di un nucleo squilibrato, con un protone orbitante in eccesso, ossia, con l’analogia già usata, di un nucleo ionizzato
positivamente.
Dato che l’eliminazione del protone eccedente richiede apporto di energia, l’unica via aperta per ripristinare l’equilibrio è quella di
incrementare lo spazio rotante, in modo da 
renderlo capace di sostenere 51 protoni in orbita.
Sul terzo livello si ha ancora un altro deutone sottoposto alla forte azione dello spazio rotante, che non si divide (in quanto il terzo livello
si è avvicinato alla saturazione ed è per questo più stabile) ma si polarizza spostando il neutrone nel nucleo centrale portandosi a
Z = 51, mentre il protone rimane sull’orbita. Si ha così il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
Sn₅₀¹²⁶ 51n 2+0 8+0 17+0 0+16 0+8 0+0 0+0

Per saturare il terzo livello un protone si sposta sul sesto mentre dal quinto un deutone si sposta sul terzo livello. L’elettrone  β⁻ emesso
si trasferisce sulla fascia elettronica per avere 51 elettroni .
Si sintetizza così il nucleo :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((1063. 75)/(1063. 5)) Sb₅₁¹²⁶ ((125.90697)/(125.90725)) 51n 2+0 8+0 16+1 0+16 0+7 1+0 0+0 ((3.670M)/(β⁻12.35d))

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L’energia per strato risulta (  Art.75   ) E0p(51) = 235,34 MeV
Il fattore di riempimento     
L’energia di legame risulta :

ESb(51 ; 126) = E0p(51) ⋅ α + nD⋅ ED =

                                      = 235,34 MeV ⋅ 4,293888 + 24 ⋅ 2,2246 MeV = 1063,914 MeV


in ottimo accordo con il valore sperimentale uguale a 1063,5
MeV

Il numero di neutroni che conferisce la massima stabilità con Z = 51 risulta :


Il nucleo sintetizzato presenta ancora un eccesso di neutroni e quindi ha tendenza ad emettere un elettrone  β⁻ e ripetere il processo,
sintetizzando l’isotopo stabile del tellurio Te₅₂¹²⁶ , che presenta la composizione :

Ec(MeV)/Es(MeV)  Sa    mc/ms   n 1   2    3    4     5   6   7   Ep(eV)/(p -T1/2)
((10 66. 43)/(1066. 4)) Te₅₂¹²⁶ ((125.90325)/(125.903312)) 52n 2+0 8+0 18+0 2+15 0+7 0+0 0+0 ((st)/(18.84%))

A parità di tutte le altre condizioni, i nuclei aventi N pari presentano sempre energia di
legame maggiore di quelli che hanno N dispari.

Si osserva quindi che il numero massimo dei neutroni presenti negli isotopi naturali è sempre pari per qualsiasi valore di Z .
Unica eccezione a questa regola è il Lu₇₁¹²⁶ che ha comunque abbondanza , piuttosto bassa , di 2,59 % .
Anche questa regola si giustifica perfettamente con gli effetti che sono legati alla dissimmetria dei nuclei.

Se prendiamo in considerazione, l’atomo A(N ; Z) , per qualsiasi valore di Z, pari o dispari, la massima energia di legame, dunque la
massima stabilità del nucleo si ha sempre in corrispondenza di un numero pari di nucleoni in orbita.
Questo vuol dire che un numero pari di masse in orbita genera una configurazione simmetrica che non sposta il centro di massa del nucleo,
lasciando così il nucleo compatto centrale fermo, senza la perdita di energia che si avrebbe in presenza di un suo moto di rivoluzione
attorno al centro di massa .
Ne deriva che un isotopo che raggiunge la massima stabilità con N dispari presenterà una naturale tendenza ad acquisire un neutrone
per generare l’isotopo successivo con N pari.
E’ sostanzialmente questo il motivo per cui gli elementi naturali di numero atomico  Z  dispari , avendo stabilità massima con
N
pari, non presentano questa tendenza e presentano un solo isotopo stabile.

Mentre invece gli elementi con N dispari, in natura, sono sempre accompagnati dall’isotopo con N pari.
In natura non esistono nuclei aventi N dispari e Z dispari.
Si conoscono solo quattro eccezioni a questa regola, tutte nell’ambito dei nuclei leggeri       D₁² ; Li₃⁶ ; B₅¹⁰ ; N₇¹⁴.

Bisogna anche considerare che a questi nuclei, aventi valori così bassi del numero di neutroni  , non si può applicare una regola che è
stata ricavata considerando l’oscillazione del nucleo come una piccola perturbazione.
In questi casi si debbono analizzare gli effetti che si producono quando viene variato il numero di neutroni in ciascun nucleo separatamente,
senza riferimento alla regola generale.
Non v’è alcun dubbio infatti che nel nucleo più semplice, D₁² il singolo neutrone presenti una maggiore simmetria rispetto a quella che
si ha con l’aggregato che si forma aggiungendo un altro neutrone.
La sua esistenza è dunque perfettamente legittimata in quanto esso si comporta come se avesse N pari.
Infatti, se si aggiunge un neutrone, il nucleo che si forma, H₁³ , benchè abbia un numero pari di neutroni, risulta meno stabile e, con una
emissione  β⁻, si trasforma nella forma con maggiore simmetria e dunque più stabile He₂³ .
Discorsi analoghi si possono fare per gli altri nuclei.
Si deve anche tenere presente che nei nuclei leggeri si crea un accoppiamento diretto tra ciascun neutrone centrale ed il corrispondente
protone in orbita e questo porta ad una situazione completamente diversa da quella esaminata con molti nucleoni.


In figura abbiamo riportato il diagramma sperimentale dell’energia di legame per ciascun nucleone, dal quale gli effetti di questo
accoppiamento diretto tra neutrone e protone risultano molto evidenti dai picchi che si presentano fino al valore Z = 8.

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 Art.85 — Teoria della cattura elettronica K, esempi di calcolo teorico dell’energia associata — Antonio Dirita

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