Art.81 -- Fisica nucleare, espressione teorica delle forze nucleari e dell'energia di legame del nucleo atomico, caratteristiche del moto dei nucleoni -- Antonio Dirita

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Nell'  Art.76    abbiamo visto che il nucleo atomico, per poter fornire incrementi dell'energia di legame, per aggiunta di un nucleone, in
accordo con i risultati sperimentali, deve assumere una configurazione come quella di figura.

Secondo questa schematizzazione, la struttura atomica è organizzata da due spazi rotanti.
Quello esterno regola l'equilibrio degli elettroni nella fascia periferica, mentre quello interno regola il moto delle
particelle nucleari.

Trattandosi di "normali spazi rotanti"senza alcuna particolare condizione, devono soddisfare le leggi che abbiamo ricavato trattando la
teoria generale.
Nei due casi lo studio sarà dunque assolutamente analogo, anche se "i due spazi rotanti conservano la loro indipendenza" e ciascuno di
essi verrà considerato con le proprie caratteristiche particolari.
Iniziamo, a questo punto, lo studio del nucleo atomico con la determinazione delle caratteristiche orbitali dei protoni che si muovono nello
spazio rotante . centrale generato dai neutroni polarizzati.
Nella teoria generale degli spazi rotanti, fissata la sfera generatrice centrale, nel nostro caso il numero  Z  di neutroni , abbiamo visto che
le caratteristiche orbitali vengono definite dal numero quantico  p  secondo le relazioni (  Art.10    ) :

                                  Rp = R1Z⋅ p²        ;           Vp = V1Z/p

Dove    R1Z e  V1Z   sono i valori che vengono associati all'orbita fondamentale, corrispondente a  p = 1 , che è caratteristica
della sfera centrale generatrice dello spazio rotante.
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Il raggio del nucleo centrale compatto è già stato ricavato e vale :

Trattando gli spazi rotanti astronomici, abbiamo anche visto che la massima stabilità dell'equilibrio di una massa    in moto su
un'orbita di raggio Rn di uno spazio rotante di valore  Ks² , si ottiene se il raggio della sfera planetaria  rp  della massa m soddisfa
la condizione :   
dove è lo spazio rotante associato alla massa in orbita.
Nel nostro caso la massa in orbita è un protone, il cui spazio rotante vale  Kp² e lo spazio rotante centrale è quello generato da  Z
neutroni polarizzati, che è stato calcolato trattando la sintesi del deutone (  Art.70     ) e vale        Kn² = Kp²/2 .
Si ha quindi :               
Sostituendo, la relazione tra i raggi diventa : 

Il nucleo atomico avente   Z = 1  corrisponde al deutone e quindi, con   Z = 1  la relazione deve fornire un valore del raggio della
prima orbita   R11P  uguale alla distanza che esiste nel deutone tra il protone e il neutrone, che abbiamo già calcolato e vale
R11P = 57,63978486⋅10⁻¹⁵ m.
Il raggio dell'orbita fondamentale del nucleo avente numero atomico  sarà quindi :
        
E' da tenere presente che, essendo la distanza tra protone e neutrone R11P relativamente elevata , in una prova di scattering non
viene 
rilevata come raggio del deutone, in quanto la deviazione si verifica ad opera del protone in corrispondenza della distanza 
r1p = 2.81794092⋅10⁻¹⁵ m << R11P  .
A questo punto possiamo calcolare il raggio dell'orbita associata al numero quantico principale p con l'espressione generale :
     
Il protone in equilibrio sull'orbita deve anche verificare la legge fondamentale degli spazi rotanti (   Art.5   ):


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da cui si ricava la velocità di equilibrio orbitale :

posto :       
si ottiene l'espressione della velocità orbitale :    
Con questo modello, in accordo con lo spirito unitario della teoria, gli elettroni che si muovono alla periferia dell'atomo vengono descritti
dalle stesse leggi che regolano l'equilibrio dei protoni che si muovono all'interno del nucleo.
Si hanno quindi le relazioni :
                         atomo                                                                                           nucleo

E' da notare che le differenze tra le condizioni di equilibrio dei protoni e degli elettroni nei due spazi rotanti sono dovute sostanzialmente
alla differenza tra le masse. Valgono infatti le relazioni :

La velocità orbitale massima viene raggiunta dai protoni presenti sulla prima orbita.
Quando, aumentando    , la velocità di fuga dall'orbita fondamentale uguaglia la velocità della luce   C , il nucleo attivo centrale non
riesce più a comunicare con l'esterno; quindi il numero di neutroni centrali non può più aumentare, perchè aumentando aumenterebbe
la velocità di equilibrio sulla prima
orbita, violando così il limite della velocità della luce.
Il valore massimo del numero atomico che produce un nucleo al limite della stabilità si ha quindi ponendo
√2⋅ V1P(Zmax) = C con p = 1 si ottiene così il valore massimo :
               
in buon accordo con il fatto che l'uranio, con  Z = 92 ,  rappresenta l'ultimo elemento relativamente
stabile.
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Facciamo presente che i protoni in orbita sono in moto rispetto allo spazio immobile esterno, ma in perfetto
equilibrio rispetto allo spazio
rotante locale, per cui su di essi lo spazio rotante non rileva alcun effetto relativistico
( in seguito l'argomento verrà trattato dettagliatamente).
Avendo definito un modello atomico e nucleare organizzati come un comune spazio rotante, possiamo pensare di applicare alle masse in
esso presenti l'espressione della forza unificata che abbiamo già ricavato per i campi gravitazionali e coulombiani (   Art.18   ) .
Ricordiamo che l'espressione della forza unificata è stata ricavata facendo sempre riferimento ad una sola massa in moto sull'orbita dello
spazio rotante e alla massa generatrice centrale priva di qualsiasi oscillazione.
Nel caso dell'atomo abbiamo in orbita più masse e quindi è necessario verificare se queste condizioni sono ancora presenti.

Per quanto riguarda la sfera centrale, possiamo pensarla ancora immobile, se immaginiamo, verosimilmente, che le masse sulle orbite
siano distribuite più o meno uniformemente, in modo da dare origine ad un sistema a simmetria sferica.
Fatta questa premessa, possiamo ora valutare la distanza che separa due protoni contigui sulla stessa orbita del nucleo atomico, per
verificare se essi sono in condizione di interagire tra loro con forze trascurabili.
Se si indica con  d  la distanza tra protoni contigui, in prima approssimazione, nella condizione peggiore, con orbita satura, sarà :
  

La forza d'interazione protone/protone sappiamo che vale :    
con una componente radiale :   
La forza d'interazione tra protone e nucleo vale :   
Si ha dunque il rapporto :   
e quindi, in definitiva, si ha :            
Ricordando che, per un nucleo saturo si ha :     
sostituendo, si ottiene :        
Per esempio, con Z = 60 abbiamo ps = 4  e quindi il rapporto tra le forze per i diversi livelli risulta :  

Ripetendo il calcolo per gli elettroni periferici, si ottiene un risultato analogo e quindi anch'essi si possono ritenere non interagenti tra loro.
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Con buona approssimazione, si può dunque considerare in ogni caso solo l'azione dello spazio rotante centrale.
La forza che il nucleo centrale di neutroni attivi esercita sul protone presente sull'orbita associata al numero quantico  p  si potrà dunque
esprimere con l'espressione unificata :
         
Si noti che " la forza nucleare risulta indipendente dal numero di neutroni
presenti nel nucleo ".

I neutroni in eccesso che, come abbiamo visto nell'   Art.75   si legano ai protoni in orbita, non danno quindi alcun contributo alla
stabilità del nucleo, ma rappresentano una vera e propria zavorra
che, come vedremo, è causa dell'instabilità che, nel tempo, porta
alla scissione spontanea del nucleo .
Sostituendo le espressioni di  Kn²(Z)  e    RZPP²(Z)  , si ottiene :

ricordando che :     
sostituendo ancora, si ottiene l'espressione teorica delle forze nucleari  :
    
     
rappresenta il valore dell'accelerazione centripeta che il neutrone polarizzato, considerato fermo al centro, esercita sull'unico protone in
moto sulla prima orbita del nucleo avente  Z = 1 (deutone non libero).
Il valore così elevato della forza di legame assicura la stabilità del nucleo.

Trattando la sintesi del deutone (  Art.70  ), abbiamo visto che per polarizzare il neutrone, rendendolo capace di generare lo spazio rotante
neutronico, il protone deve polarizzarsi a sua volta avvicinando al neutrone un suo componente di massa uguale a   (1/4)⋅m , per
cui la massa del protone che rimane in moto sull'orbita è cambiata e vale :         mp = (3/4) ⋅ m .

Il valore della forza che il neutrone attivo esercita sul protone polarizzato sarà dunque :

                                       F11p = a11p ⋅ mp = 47.81431575 Nw

Ricordiamo che il deutone non è stato considerato libero ed è stato trattato come un nucleo avente  Z = 1 con neutrone attivo immobile.
In definitiva, sostituendo si ottiene :

l'espressione della forza, nucleare esercitata su un nucleone in un
nucleo avente numero atomico Z :
    
con i valori numerici :   
Per la fascia elettronica dell'atomo si avranno le espressioni analoghe :
      
ponendo :       
si ottiene :       
Nota l'espressione teorica della forza centrale che lo spazio rotante esercita sulle masse con esso interagenti, possiamo calcolare il lavoro
che essa sviluppa quando sposta una massa dalla distanza  R →  su un'orbita di raggio  RP  :
      
Il lavoro compiuto si ritroverà sulla massa   come energia potenziale Ep in modo che si abbia :
      
Se sull'orbita viene raggiunto l'equilibrio come, per esempio, accade per un pianeta, un elettrone atomico oppure un protone nucleare,

secondo la nota legge degli spazi rotanti  (  Art.5   ) , si dovrà avere :        Vp²⋅ Rp = K²
e la massa in orbita avrà l'energia cinetica :         
L'energia totale che lega la massa in equilibrio sull'orbita allo spazio rotante sarà quindi la somma :
       
L'energia di legame risulta quindi numericamente uguale all'energia cinetica, che, a sua volta risulta uguale a metà dell'energia potenziale.
Avremo quindi per l'energia di legame :
            
Naturalmente, tutte queste conclusioni valgono per " qualsiasi spazio rotante conservativo " e quindi anche per l'atomo e il nucleo.
Riportando su diagramma cartesiano il rapporto  F/F₁₁ per i diversi spazi rotanti dovremmo ottenere la stessa curva. In realtà si
ottengono curve con un andamento simile, ma non uguale, in quanto nella parte periferica dell'atomo sulle orbite abbiamo solo elettroni
e quindi, per il principio di esclusione di Pauli, essi passano al livello successivo prima ancora di saturare con (2 ⋅p²) elettroni quello
associato al numero quantico p . Si hanno così i massimi relativi in corrispondenza di    Z = 2 ; 10 ; 18 ; 36 ; ......   i
nvece di    Z = 2 ; 10 ; 28 ; 60 ; ......

Nel nucleo la presenza in orbita di protoni e deutoni sposta i massimi relativi verso i punti di saturazione.

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Dal diagramma vediamo che il valore della forza che il nucleo attivo esercita sui i protoni in orbita diminuisce rapidamente con l'aumentare
del numero atomico . Per esempio, per gli estremi degli atomi stabili   Z = 1 e  Z = 83  risulta :

Si noti che, utilizzando l'espressione della forza universale, la forza nucleare può essere
descritta anche utilizzando la carica elettrica.

Si ha infatti :

ricordando che (  Art.17    ) :    
si ottiene :       
Il rapporto tra le forze che agiscono sui protoni nucleari e quelle che agiscono sugli elettroni periferici dipende solo dal rapporto fra le
masse e vale :
                  
l'espressione generale delle forze che nell'atomo agiscono sulle particelle in orbita, siano esse protoni nucleari o elettroni periferici, si può
scrivere :              
Un fatto certamente rilevante è l'indipendenza di queste forze dal numero dei neutroni
presenti nel nucleo.

Un'altra importante osservazione riguarda " la stabilità sia dell'atomo che del nucleo ", che assume il valore massimo assoluto per l'elio
e il deutone.

Normalmente questo risultato sperimentale viene attribuito alla particolare ? struttura di questo elemento. In realtà esso non ha nulla di
particolare. Molto semplicemente, avendo nell'espressione della forza di legame il numero quantico principale p⁴ al denominatore,
il valore della forza diminuisce rapidamente,
metre  1⁴  vale sempre 1 e l'elio è strutturato come tutti gli altri
elementi.
Le forze che abbiamo ricavato sono quelle che agiscono sulle particelle nelle condizioni di equilibrio.
Allontanandosi da questa condizione, le forze assumono l'andamento che è stato analizzato nell'  Art. 30   , trattando le forze di
Van der Waals.

Come ben sappiamo, tutte le misurazioni sugli atomi e sui nuclei vengono fatte molto più facilmente attraverso i valori dell'energia di
legame, in quanto non è possibile avere accesso alle singole particelle per il rilievo delle forze. Mettiamo quindi in relazione l'espressione
della forza unificata che abbiamo ricavato e di tutte le altre caratteristiche dell'atomo con l'energia di legame.
Consideriamo dunque una particella in moto equilibrato sull'orbita associata al numero quantico  p  di un atomo con numero atomico
. La sua energia di legame sarà :

Essendo           (1/2) ⋅ F11⋅ R11 = E11      il valore dell'energia che lega la particella sull'orbita fondamentale dell'atomo con
Z = 1 , sostituendo, si ha l'espressione generale :       
Per gli elettroni e per i protoni, sostituendo i valori numerici, si ottiene :

A questo punto dobbiamo ricordare che queste relazioni sono state ricavate senza alcuna ipotesi restrittiva, con particelle sulle orbite
tutte 
uguali tra loro e questo si verifica per gli elettroni, ma non per il nucleo, nel quale abbiamo in orbita protoni e deutoni in
numero dipendente dal numero atomico .
Questa situazione rende necessario un piccolo adattamento.
Secondo il valore di  E11p  che abbiamo ottenuto, il deutone libero dovrebbe avere un'energia di legame :
          
Il valore sperimentale risulta invece     ED = 2.22457 MeV ,  che richiederebbe un valore

E11p = 4 ⋅2.22456 MeV = 8.89824 MeV.

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Un ulteriore piccolo adattamento è richiesto per tener conto della dipendenza della distribuzione dei deutoni sulle orbite dal numero
atomico. 
L'espressione definitiva che si ottiene risulta (  Art.75   ) :
      
Dove s vale sempre zero e si assume s = 1 solo per Z > 83 .

In definitiva, assegnato un nucleo di numero atomico   , il protone sull'orbita associata al numero quantico   , trascurando l'ultimo
termine correttivo,
con buona approssimazione, risulta legato al nucleo centrale dall'energia :

Questa espressione ci consente di calcolare l'energia di legame di ciascuna particella presente nel nucleo e, sommandole, qella di tutto il
nucleo.
Utilizzando la configurazione dei livelli nucleari, riportata negli  Art.77N    ;    Art.78A   ;   Art.79I    , con l'espressione teorica che abbiamo
ottenuto, è possibile calcolare teoricamente l'energia associata a qualsiasi trasmutazione nucleare, come verificheremo in un
prossimo capitolo.
Quello che in questo momento vogliamo mettere in evidenza è la possibilità di calcolare teoricamente il raggio corretto di ciascuna orbita
e, considerando il livello di confine ps , il valore del raggio nucleare ( penetrabile ), con il quale vedremo che sarà possibile calcolare
teoricamente il valore dell'energia emessa dalla fissione nucleare e dal decadimento α .
Abbiamo visto che l'energia di legame di un protone in orbita numericamente è uguale alla sua energia cinetica e quindi sarà :

Il secondo membro è uguale allo spazio rotante neutronico, che è costante e vale :               
e quindi si ricava :   
e infine, con qualche semplice passaggio, si ottiene l'espressione corretta del raggio nucleare :
         
Generalmente nelle transizioni è comunque possibile effettuare i calcoli, con un errore trascurabile anche utilizzando le espressioni teoriche
senza alcuna correzione.

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 Art.81 -- Fisica nucleare, espressione teorica delle forze nucleari e dell'energia di legame del nucleo atomico, caratteristiche del moto dei nucleoni -- Antonio Dirita

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