Art.74 -- Calcolo elementare dell'espressione teorica dell'energia di legame del nucleo atomico -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Scriviamo ora l'energia cinetica della generica massa planetaria del modello atomico che abbiamo proposto (   Art.73    ) , facendo
riferimento all'atomo interno, formato da  neutroni centrali e  Z  protoni in orbita.

moltiplicando questo valore per il numero massimo di unità che si possono trovare sull'orbita,    Np = 2 ⋅ p², si ottiene il valore
dell'energia  E0  associata ad una intera orbita :

che risulta indipendente dall'orbita considerata.

Questo conferma la regola generale secondo la quale il nucleo centrale crea uno spazio
rotante che associa a tutte le orbite lo stesso 
valore di energia.
In quest'ultima relazione, la  E11p  indica l'energia che viene associata dal nucleo formato da un unico neutrone centrale ad
un solo
protone in moto sulla prima orbita, Che Vale :

Se indichiamo con  ps  il numero totale delle orbite che vengono occupate nel nucleo considerato e con  np  il numero dei protoni
presenti sull'ultima orbita, l'energia di legame dell'ultimo protone aggiunto, e quindi il meno legato al nucleo centrale (e naturalmente
di tutti quelli che si trovano sulla stessa orbita associata al numero quantico  p = ps  ) sarà espressa dalla relazione :
1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tenendo conto che le orbite certamente complete sono  (p–1) , l'energia di legame di tutto l'atomo interno risulta :

Per ragioni che vedremo meglio in seguito, senza introdurre alcuna approssimazione, nella relazione si può porre  N = Z  e quindi si
ottiene :
     
A questo punto dobbiamo ricordare che finora tutte le relazioni, dunque anche quella dell'energia EZN , sono state ricavate
considerando il nucleo compatto 
di neutroni fermo al centro e le sfere planetarie orbitanti in numero sempre pari sulle orbite.

Tutto ciò per avere, in ogni momento, il centro di massa coincidente con quello del nucleo, il quale non risulta così soggetto a moti diversi
da quello di rotazione su se stesso.
Dunque, con queste ipotesi (  N  e  Z  pari ), ponendo  N = 1 e  Z = 1  nelle espressioni di EZN(Z ; N), si deve ottenere il
valore dell' energia di legame E11p  associata al deutone nelle stesse condizioni di simmetria, ossia con il nucleo fermo al centro e sfere
planetarie in numero rigorosamente pari in orbita .
Per determinare il valore dell'energia E11p (che comunque è stato già ricavato per altra via ) dobbiamo quindi riprendere il processo di
sintesi del deutone e riconsiderare il sistema simmetrico intermedio che viene sintetizzato, senza altre schematizzazioni o semplificazioni,
in quanto con i passaggi successivi, nei quali viene considerato il deutone formato dalle due particelle distinte, il neutrone ed il protone, si
perde la simmetria dell' aggregato e quindi il nostro calcolo dovrebbe essere modificato per poter essere utilizzato.

Ricordiamo dunque che, applicando le forze esterne, il sistema compresso protone -- elettrone -- protone aveva raggiunto una condizione
di equilibrio stabile attraverso la formazione di uno spazio rotante centrale, generato da un elettrone modificato avente valore uguale a :
– Kp²/2 con due unità in moto sulla stessa orbita, in posizioni diametralmente opposte aventi una massa pari a :

                                               mp = (3/4) ⋅ mp

Questo sistema soddisfa la necessaria condizione di simmetria e quindi, per l'energia cinetica, possiamo scrivere :

Come è già stato ricordato, il valore E₁₁ , che otteniamo ponendo, nell'espressione di EZN  , N = Z = 1, rappresenta il valore
dell'energia di legame del deutone vincolato nel nucleo.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per il deutone libero, fuori dal nucleo, considerato formato solo da un protone ed un neutrone legati tra loro senza altre particelle, la
situazione si presenta completamente diversa.
In questo caso, non esistono più le condizioni di simmetria e questo provoca un non trascurabile spostamento del centro di massa del
sistema rispetto al centro dello spazio rotante con conseguente riduzione del valore dell'energia che lega il protone al centro di rotazione.
Per semplificare il discorso, in prima approssimazione, possiamo assumere per protone e neutrone la stessa massa.
Se consideriamo che siano nulle le forze esterne applicate al sistema, quindi il neutrone non vincolato a restare fermo al centro, in un
deutone libero, le due particelle ruotano entrambe attorno al comune centro di massa che, in prima approssimazione, è equidistante dal
centro delle due sfere.
In queste condizioni, esse percorrono quindi un'orbita con il valore del raggio dato da :                 R = R11P/2

con una uguale velocità di rivoluzione che vale :             VP = V11P/2 .
Notiamo che la velocità relativa tra protone e neutrone vale ancora           V11P .
Il rapporto tra il valore dell'energia Ep che viene trasferita al protone in queste condizioni (deutone con il nucleo non vincolato a restare
fermo nel centro di rotazione ) e quello che abbiamo determinato prima  E11p , prendendo in considerazione il sistema con neutrone
fermo al centro, vale :  
Per il deutone libero, si ha quindi teoricamente :
    
in buon accordo con quello che si ricava sperimentalmente, per il deutone,  Ep = 2,224 MeV.

Possiamo utilizzare questo valore per eliminare le approssimazioni di calcolo che sono state introdotte e considerare quindi il valore
teorico dell'energia di legame " adattato " :

                                      E₀(1) = 8 ⋅ 2,224 MeV = 17,792 MeV

e quindi l'energia di legame del nucleo atomico, in prima approssimazione, si può scivere :

Se consideriamo, per esempio l'uranio 238, secondo lo schema orbitale (approssimato ) (  Art.73    )

                     U92238 — (92)   2   +   8   +  18   +   32   +  32

                                         N₁ = 2 = 2

                                         N₂ = 2 + 6 = 8

                                         N₃ = 2 + 6 + 10 = 18

                                         N₄ = 2 + 6 + 10 + 14 = 32

                                         N₅ = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50

si ottiene :          
          
3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A questo valore si deve aggiungere l'energia di legame dei neutroni eccedenti, che non abbiamo ancora collocato nella giusta posizione e
quindi il calcolo è in realtà riferito ad un nucleo atomico avente  N = Z = 92  .
Utilizzando il modello nucleare che abbiamo elaborato, possiamo ricavare il valore massimo del numero atomico  Z  oltre il quale il
nucleo
diventa instabile.
Secondo il modello proposto la velocità orbitale massima viene raggiunta dai protoni in moto sulla prima orbita e si ricava utilizzando la
legge fondamentale degli spazi rotanti :
       
ricordando che (   Art.17   )       
si ottiene la velocità sulla prima orbita :    
Quando sulla prima orbita la velocità di fuga è uguale al valore massimo osservabile (che per noi è uguale alla velocità della luce), ossia
con    V1pmax= Cl/√2 non è possibile aumentare ulteriormente il numero di neutroni centrali in quanto un aumento
dello spazio rotante generato porterebbe la velocità oltre il limite 
massimo imposto dalla velocità della luce.
Si ha quidi :     
risultato in perfetto accordo con il fatto che l'uranio rappresenta
l'ultimo elemento 
naturale relativamente stabile.

Con l'esempio dell'  U₉₂²³⁸  abbiamo visto che l'energia di legame calcolata con l'espressione che abbiamo ricavato risulta in difetto,
in quanto manca l'energia di legame dei neutroni eccedenti, che normalmente viene indicato con il numero isotopico
I = N – (2 ⋅ Z), di cui vedremo in seguito il calcolo teorico.
Utilizzando i dati noti dalle osservazioni sperimentali, si ricava la relazione che individua il ruscello dei nuclei stabili :

che può essere sostituita con una delle tante disponibili , per esempio :
   
4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anche se l'espressione teorica dell'energia di legame è solo una prima approssimazione, quindi non fornisce risultati rigorosi, eseguendo
il calcolo per alcuni nuclei conosciuti, risulta molto chiara la conferma della previsione teorica, secondo la quale :
l'energia per strato E₀ non dipende affatto dal numero totale dei neutroni nucleari, ma
solo ed esclusivamente dal numero Z di neutroni , 
che si trovano al centro del nucleo.
Ad ogni elemento è quindi associato un preciso valore dell'energia
per strato
        
Questo risultato è di straordinaria importanza, in quanto consente di dire che:
il valore dell'energia per strato E₀, quindi anche tutte caratteristiche
dello spazio rotante nucleare, non vengono influenzati dal numero
dei 
protoni presenti in orbita nella parte " penetrabile " del nucleo.

Esse rappresentano quindi caratteristiche associate al nucleo centrale formato da N neutroni aggregati in una sfera impenetrabile .
La situazione è identica a quella che si manifesta alla periferia dell'atomo ( e viene descritta da relazioni analoghe ), dove l'energia
potenziale che la sfera generatrice trasferisce alle orbite elettroniche dipende solo dal numero dei protoni "centrali" e non è influenzata
in maniera apprezzabile dal numero di elettroni in orbita.
Se prendiamo in considerazione alcuni elementi di cui sia ben nota l'energia di legame  EZN , utilizzando la relazione :
       
possiamo calcolare l'energia potenziale per orbita  E₀(Z)  che si associa allo spazio rotante di qualsiasi nucleo formato da  Z neutroni
centrali .
Dato che il nucleo atomico con  Z = 2  presenta una maggiore simmetria rispetto a quella del deutone, possiamo adattare il valore
E₀(1) = 17,792 MeV in modo che, per  Z = 2 , risulti  E₀(2) = 28,2955 MeV . Si ricavano così le espressioni :

5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

In queste relazioni non sono stati considerati i neutroni eccedenti, in quanto non sappiamo ancora dove si debbono collocare.
L'energia di legame Ec(MeV) che così si ottiene risulta quindi minore del valore sperimentale Es(MeV).
Naturalmente, per i nuclei aventi numero isotopico uguale a zero il problema della collocazione dei neutroni eccedenti non si
pone
e quindi, se l'espressione teorica dell'energia di legame è corretta deve fornire risultati coincidenti con i valori sperimentali.
Eseguendo i calcoli si ottengono i valori di Ec(MeV) che vengono riportati con i valori sperimentali Es(MeV) nella tabella seguente.

configurazione di prima approssimazione dei livelli nucleari dei nuclei isodiaferi  I = 0

 Ec(MeV)/Es(MeV)  ΔE(Z)  E₀(Z)/(E0s(Z) Sa  n 1 2 3 4 5 6   α
 ((88,285 )/(92,162)) -3,877 ((58,86)/(61,441)) C₆¹² 6n 2 4 0 0 0 0 1+
(4/8)
((124,775)/(127,62)) -2,845 ((71,30)/(72,925)) O₈¹⁶ 8n 2 6 0 0 0 0 1+
(6/8)
(( 335,636)/(342,05)) -6,414 ((131,34)/(133,845)) Ca₂₀⁴⁰ 20n 2 8 10 0 0 0 2+((10)/(18))
(( 411,972)/(411,47)) 0,502 ((148. 31)/(148,129)) Cr₂₄⁴⁸ 24n 2 8 14 0 0 0 2+((14)/(18))
((472,348 )/(462,74)) 9,608 ((160. 42)/(157,157)) Co₂₇⁵⁴ 27n 2 8 17 0 0 0 2+((17)/(18))
(( 527,056)/(515,00)) 12,056 ((172. 10)/(168,163)) Zn₃₀⁶⁰ 30n 2 8 18 2 0 0 3+
(2/(32))
((703,627)/(669,93)) 33,697 ((208. 48)/(198,498)) Zr₄₀⁸⁰ 40n 2 8 18 12 0 0 3+((12)/(32))
((892,087)/(824,80)) 67,287 ((241. 92)/(223,675)) Sn₅₀¹⁰⁰ 50n 2 8 18 22 0 0 3+((22)/(32))

dove abbiamo indicato la configurazione approssimata di alcuni nuclei aventi numero isotopico uguale a zero, considerando tutti i livelli
occupati regolarmente fino a saturazione.
Essendo il calcolo di prima approssimazione, l'accordo tra i valori teorici e quelli sperimentali risulta più che buono .

Bisogna ancora considerare che il principio di esclusione di Pauli, applicato alla fascia elettronica dell'atomo, si applica anche ai protoni in
moto sulle orbite nucleari, in quanto anche il protone è una particella rotante su se stessa e può avere spin positivo oppure negativo e
quindi, man mano che aumenta  Z  aumenta anche il numero dei protoni che passano sulle orbite più esterne senza saturare quelle
interne, così come accade per gli elettroni.
Questo spostamento dei protoni verso l'esterno causa una riduzione del fattore di riempimento α che diventa :
      
con conseguente riduzione dell'energia di legame.

Riportando su un diagramma cartesiano i valori teorici e sperimentali delle energie, si ottiene l'andamento delle energie indicato in figura.

Una semplice espressione che si adatta alla curva sperimantale può essere              E0p(Z) = 21(MeV) ⋅ Z3/5

Prendendo alcuni valori sperimentali è possibile ottenere facilmente un buon accordo fra le due curve, utilizzando un fattore correttivo.
Con pochi punti si ottiene l'espressione definitiva dell'energia nucleare per strato che utilizzeremo nei calcoli che seguiranno.
       
Dove  s vale sempre zero e si assume s = 1 solo per Z > 83 .

6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Art.74 -- Calcolo elementare dell'espressione teorica dell'energia di legame del nucleo atomico -- Antonio Dirita

Lascia un commento