Art.73 -- Teoria elementare della struttura del nucleo atomico, legge fondamentale dell'energia di legame delle strutture rette da forze centrali -- Antonio Dirita

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Premettiamo che la trattazione del nucleo atomico viene fatta considerando anche tutti
i modelli intermedi, anche se contengono 
vistose imprecisioni, in quanto, senza questi
passaggi, il modello finale, che concorda 
con i risultati sperimentali e consente di fare
giuste previsioni, risulterebbe 
poco chiaro e soprattutto non giustificato.

Trattando la sintesi del deutone (  Art.71   ) abbiamo visto che esso si presenta come un aggregato perfettamente simmetrico e stabile,
formato da un nucleo centrale, che genera uno spazio rotante uguale a    (2/4)·Kp²   generato con l'acquisizione di  (1/4)  della
sfera planetaria associata ai due protoni che restano in orbita con il residuo di massa uguale a (3/4)·mp in posizioni diametralmente
opposte alla distanza
                                             R11P = 57,63978486 ⋅ 10–15 m

Se con un'azione esterna si fornisce energia a questo aggregato, non essendo possibile avere in ogni momento un'azione perfettamente
simmetrica sui due protoni, ci sarà sempre uno dei due i due che si allontana dal nucleo prima e più dell'altro.
Se l'energia è sufficiente, ci troviamo così con un protone (che con l'allontanamento ha riacquistato la sua integrità) separato dal residuo
formato dall'altro protone legato all'elettrone eccitato.
Il residuo così formato viene indicato come neutrone, che in breve tempo ( circa 13 minuti ) si scinde nei
due componenti, secondo la reazione:

                                                       n → p + e + ν

dove ν∗ rappresenta la discussa particella antineutrino, che verrà trattata in dettaglio in un articolo futuro.
Se la forza applicata dall'esterno non è sufficiente per produrre la scissione, il deutone si deforma comunque sotto la sua azione, dando
origine ad un aggregato polarizzato
con il nucleo  (P⁺ + e, inizialmente compatto, che a breve distanza

                                      r0P  ≃ 1,40897046⋅10⁻¹⁵ m

si presenta neutro, mentre a distanze più elevate    R ≃ R11P = 57,63978486 ⋅ 10–15m    presenta uno spazio rotante
uguale a    –(2/4)·Kp² .
Se più deutoni vengono compressi in un volume molto piccolo, tale da consentire loro di interagire a distanza ravvicinata,  essendo le
forze
scambiate vettori con una definita direzione, l'azione esercitata certamente  polarizza i deutoni , rompendo la
simmetria.

In queste condizioni i deutoni si presentano con i protoni che si respingono e i residui neutri che invece non interagiscono fra loro, ma
solo con i protoni polarizzati, verso i quali esercitano una forza attrattiva con uno spazio rotante uguale a  –(2/4)·Kp² .
come risultato di questa distribuzione delle forze gli aggregati neutri, che non si respingono, si concentrano verso il centro,
formando un nucleo compatto, mentre i protoni si dispongono 
simmetricamente su un'orbita circolare, come è indicato nelle
figura seguente.

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Essendo il residuo di ogni deutone iniziale, presente nel nucleo centrale, ancora legato al protone periferico, non può scindersi in quanto
l'elettrone è vincolato ad assumere una precisa condizione di equilibrio, per cui il sistema, con un raggio opportuno dell'orbita, si presenta
stabile.
Avendo indicato come neutrone l'aggregato neutro, instabile, che si libera immediatamente dopo la scissione del deutone, non possiamo
certamente dire che la parte neutra centrale del deutone polarizzato sia un neutrone, tuttavia esso presenta caratteristiche molto simili, a
parte la stabilità, per cui nei nostri discorsi verrà trattato come tale, con la caratteristica aggiunta di essere capace di generare uno spazio
rotante, anche se sappiamo che in realtà esso è generato dallo scambio di massa con i protoni periferici.

A questo punto notiamo che in un aggregato con più deutoni polarizzati, durante la rotazione del nucleo centrale e la rivoluzione dei
protoni periferici si ha un continuo scorrimento con scambio degli accoppiamenti, per cui non è più possibile distinguere i diversi deutoni

e il sistema si deve trattare come un unico aggregato formato da un nucleo centrale compatto, formato da

Z neutroni e Z protoni in orbita a una distanza minima uguale a

                                               R11P = 57,63978486⋅10–15 m .

Conseguenza del fatto che il nucleo centrale sia formato da neutroni, che sono aggregati neutri, è la compattezza del nucleo atomico in
quanto essi possono legarsi tra loro praticamente solo con un contatto diretto.
Se dunque  r0N  è il raggio della sfera che individua il neutrone ed  N  il numero delle unità presenti nel nucleo, il raggio della sfera di
neutroni compattati al centro del nucleo risulta, approssimativamente, dato da (  Art.17    ) :

Con la struttura che è stata proposta si ha :  
assumiamo arbitrariamente :               r0N = λCP = 1,32141⋅10⁻¹⁵ m

dove   λCP  si ricava dal bilancio del momento angolare nell'atomo di idrogeno :

                            me⋅ V11e⋅ R11e⋅2π = mp⋅ Cl⋅ λCP

e quindi in generale la sfera centrale compatta, dunque impenetrabile, del nucleo atomico ha un raggio uguale a :

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Anche se hanno dimensioni molto ridotte, in realtà i neutroni non si possono considerare particelle elementari indeformabili, ma
aggregati di particelle legate tra loro da una energia anche relativamente bassa, per cui, man mano che aumenta il numero N, la forza di
compressione verso il centro produce una riduzione del raggio  rN , il quale subisce così aumenti sempre più ridotti.
Questo equivale a dire che il valore dell'esponente  (1/3) , nell'espressione di  rN  , in realtà, per bassi valori di  , non si mantiene
costante, ma diminuisce con l'aumentare del numero di neutroni.
Dato però che la deformabilità delle sfere gradualmente diminuisce fino ad annullarsi in corrispondenza della deformazione massima,
esisterà un punto in corrispondenza del quale l'esponente di  N  raggiunge il valore minimo.

Aumentando ancora  , man mano che aumenta il raggio  rN  aumenta anche la superficie della sfera che racchiude il nucleo e con
essa, parallelamente, aumenta il numero dei neutroni superficiali, che non subiscono praticamente deformazione apprezzabile.
Se scriviamo l'espressione del raggio nella forma :       rN = r₀⋅ Nε  l'esponente   ε  assume un andamento simile a quello che,
qualitativamente, è indicato in figura 50 , la quale indica che, a partire dal valore minimo, raggiunto in corrispondenza di un valore
intermedio del numero di neutroni, l'esponente riprende ad aumentare e, per valori di  N  elevati, si raggiunge nuovamente il valore
(1/3), utilizzato per le particelle incomprimibili.

Per ricavare la curva esatta sarà necessario fare riferimento ad alcuni valori sperimentali.
Osserviamo che il modello di nucleo proposto presenta una forte analogia con la nota struttura atomica, per cui, per lo spirito unificatore
che abbiamo posto alla base della teoria, pensiamo a questo punto ad un modello atomico in cui abbiamo un nucleo
centrale, compatto,
di raggio  r, formato da un numero  N  di neutroni a contatto tra loro.
A distanza ravvicinata, con la prima orbita coincidente con quella del deutone ( nucleo con N = Z = 1 ), che vale 

                                      R11P = 57,63978486⋅ 10–15 m ,

si dispone un numero di  Z protoni distribuiti su falde e sotto falde secondo le relazioni, che abbiamo ricavato nella teoria
generale :

                                        NP = NP – 1 + 4 ⋅ (P – 1) + 2

oppure :                           NP + 1 = NP + 4 ⋅ P + 2                    con      N₀ = 0

Per le diverse orbite, associate a         P = 1, ⋅⋅⋅⋅ 7,            si ricava lo schema orbitale seguente.
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                                             N1 = 2 = 2

                                             N2 = 2 + 6 = 8

                                             N3 = 2 + 6 + 10 = 18

                                             N4 = 2 + 6 + 10 + 14 = 32

                                             N5 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50

Ad una distanza ancora maggiore, con la prima orbita coincidente con quella fondamentale dell'atomo di idrogeno :

                                        R11e = 5,29177249⋅ 10⁻¹¹ m

si dispone, su orbite analoghe, un numero di  Z  elettroni, seguendo lo stesso schema orbitale.

Prima di procedere al calcolo vero e proprio delle caratteristiche del nucleo atomico, è necessario fare alcune considerazioni, anche solo
qualitative, per capire i meccanismi fondamentali attraverso i quali esso s'inserisce nella teoria generale degli spazi rotanti.
Ritornando dunque al nostro nucleo atomico, lo tratteremo come un normale spazio rotante associato ad un sistema multiplo costituito
da sfere rotanti nello stesso verso ed, in prima approssimazione, uguali tra loro (protoni).
Se ripetiamo più volte il discorso che è stato fatto con i due atomi d'idrogeno che interagiscono per produrre la sintesi del deutone,
otteniamo un sistema con   Z  protoni polarizzati, in orbita attorno al centro di massa comune.
Nel centro si trovano tutte le masse satelliti che i singoli protoni hanno messo in comune per generare lo spazio rotante nucleare.
Lo studio dell'atomo viene così diviso in due parti.
La prima si occupa dell'azione che viene esercitata sui protoni in moto sulle sue orbite nucleari stabili dello spazio rotante negativo, che
viene generato dal nucleo rotante di neutroni centrali, " compatto ed impenetrabile ".
Questo spazio rotante viene completamente schermato dai protoni con il loro spazio contro rotante.
Per questa ragione, la sua azione sugli elettroni, che si muovono nello spazio esterno, oltre la fascia dei protoni, è praticamente nulla.
Questa parte dello studio dell'atomo viene detta nucleare, in quanto il nucleo atomico si
intende esteso fino all'ultima orbita protonica.

Oltre l'ultima orbita protonica l' unica azione presente è quella dovuta allo spazio rotante generato nella parte esterna dai protoni che,
per la loro distribuzione simmetrica, è equivalente a quello generato da una sfera di protoni posta nel centro.
La branca della fisica che si occupa di questa parte dell'atomo è quella propriamente
definita atomica.

E' ormai chiaro che, trattandosi di due spazi rotanti, ad essi si applicano tutte le relazioni che abbiamo ricavato trattando il problema
generale.

Nei due casi lo studio sarà dunque assolutamente analogo, anche se " i due spazi rotanti conservano la loro indipendenza " e ciascuno di
essi verrà considerato con le proprie caratteristiche particolari.

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In figura è stata riportata una prima approssimazione del modello atomico che abbiamo ricavato applicando la teoria degli spazi rotanti,
al quale facciamo riferimento per i calcoli che seguiranno.
In assenza di una teoria, "il modello atomico che abbiamo proposto non rappresenta certo quello definitivo",
ma un primo passo per iniziare, anche con qualche imprecisione, ad interpretare i fenomeni atomici macroscopici.

Utilizzando il modello di prima approssimazione e le relazioni che sono state proposte, vogliamo ricavare ora le caratteristiche più
importanti degli atomi, mettendo anche in evidenza le ragioni per le quali essi diventano instabili oltre un certo valore massimo di  Z ,
mentre risultano particolarmente stabili quelli per i quali  Z e/o N e/o A  assumono particolari valori, che vengono, proprio
per questo motivo, indicati come numeri magici.

Per semplificare il linguaggio che useremo per la nostra analisi, conveniamo di dividere il nucleo in due parti :
-- Il nucleo interno, caratterizzato dal numero di neutroni N, che definisce le caratteristiche degli elementi nucleari
   ( isotoni ).

-- Il nucleo esterno, caratterizzato dal numero di protoni in orbita  Z , il quale definisce invece le caratteristiche degli
elementi atomici ( isotopi ).

Per poter studiare e comprendere il comportamento dei nuclei atomici, è di fondamentale importanza la determinazione di una relazione
che consenta il calcolo teorico dell'energia di legame tra i suoi componenti, la quale attualmente è ottenuta con delle formule
semi empiriche, che sono state ricavate utilizzando sostanzialmente alcune analogie con processi ordinari ( nucleo a goccia   Art.72    ) .
Le relazioni che così si sono rese disponibili consentono inoltre di calcolare solo il valore medio dell'energia di legame per ogni nucleone
senza alcuna distinzione tra protoni e neutroni e del tutto trascurata è la posizione che essi occupano all'interno del nucleo.

E' chiaro che quelli citati costituiscono dei grossi limiti, in quanto ci troviamo costretti a studiare gli elementi nucleari nelle
condizioni in cui 
ci troveremmo con gli elementi atomici se, invece del valore dell'energia di legame che il nucleo associa ai singoli
elettroni sulle diverse 
orbite, fosse conosciuto solo il valore medio della energia associata ad una qualsiasi particella costituente
l'atomo, senza precisare se 
protone oppure elettrone.

Scopo di questo capitolo è proprio quello di ricavare teoricamente il valore della energia di
legame 
associata a ciascun componente 
dell'atomo " in rapporto all'orbita
percorsa e, ancora più in generale, alla 
posizione occupata. 
Se lo spazio fisico in cui si genera lo spazio rotante è omogeneo, indicando con   δ la sua densità lineare, la massa associata ad una
intera orbita avente raggio Rp vale :
                                                 mp = δl⋅ 2 ⋅ π⋅ Rp   .

Le equazioni fondamentali che descrivono il comportamento di uno spazio rotante (   Art.5    e    Art.10    ) :

                                Vp² ⋅ Rp = K² = costante    ;   Rp = R₁⋅ p²

si possono scrivere nella forma :

dove con  mp   abbiamo indicato la massa globalmente presente su un'intera orbita e quindi  Ep  rappresenta l'energia cinetica che la
sfera rotante centrale trasferisce a tutta l'orbita, attraverso lo spazio rotante generato.
Si ricava dunque :
                                      Ep = π ⋅ δ⋅ K² = costante

Questa relazione descrive una importante caratteristica di tutti gli
spazi rotanti.

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Se si ha uno spazio fisico omogeneo, con δl = costante, essa ci consente di dare il seguente enunciato, fondamentale per tutta la
teoria.
L'energia potenziale che uno spazio rotante trasferisce a ciascuna
orbita è una costante, 
indipendente dall'orbita che si considera, ed è
legata unicamente alla sfera 
centrale generatrice.

Trattando la teoria generale, abbiamo visto che negli spazi rotanti con masse planetarie in orbita tutte uguali tra loro, la condizione di
equilibrio si realizza saturando le orbite con un numero di sfere planetarie dato da :              Nm = 2 ⋅ p²

Se m₁  indica la massa inerziale di ciascuna sfera planetaria presente sulla orbita associata al numero quantico   , la massa che
complessivamente è presente sull'orbita satura sarà :
                                                        mp = m₁⋅ 2 ⋅ p²
la densità lineare   δl  dello spazio risulta dunque :

il valore dell'energia potenziale associata all'intera orbita dal nucleo vale quindi :

Se si tiene conto che a questa categoria di spazi rotanti appartengono anche quello
atomico e nucleare, risulta chiara la straordinaria importanza di questa 
relazione.
Scritta nella forma :

essa mette infatti in evidenza che in questi spazi rotanti l'energia
associata ai 
diversi strati è indipendente dallo strato considerato e
coincide con l'energia potenziale " gravitazionale " associata ad una
sola massa planetaria in moto 
sull'orbita fondamentale,  con p = 1 .

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Per esempio, nell'atomo di idrogeno, considerando il protone fermo al centro, l'energia Ep associata all'orbita fondamentale ( saturabile
teoricamente con due elettroni ) risulta :

Essendo la prima orbita satura con due elettroni, l'energia di legame dell'unico elettrone presente sull'orbita (p = 1) sarà :

Si ottiene così un valore coincidente esattamente con l'energia di legame dello elettrone
in orbita nell'atomo di idrogeno, ricavato sperimentalmente.

D'ora in poi, per questi spazi rotanti, parleremo di " energia per strato " senza ulteriori precisazioni.
E' chiaro che Ep indica anche il valore massimo dell'energia che lo spazio rotante può trasferire complessivamente
alle masse presenti
sull'orbita.
Dato che la velocità orbitale è definita solo dalle caratteristiche della sfera centrale, di fatto l'energia Ep definisce anche il valore massimo
della massa che complessivamente può muoversi sull'orbita.
Queste limitazioni hanno carattere generale e dunque saranno certamente, presenti anche negli spazi rotanti astronomici.
In questo caso diventa però difficile verificarle, in quanto le masse che si muovono sulle orbite sono molto diverse tra loro.
Molto più facile risulta invece la verifica negli spazi rotanti atomici e nucleari, nei quali, con ottima approssimazione, abbiamo masse
tutte uguali tra loro e uniformemente distribuite sull'orbita, per cui risulta realmente :
     
Eliminando l'indice  , ormai inutile, l'energia per strato  E₀  associata ad una orbita, nei due atomi, interno ed esterno, si può
scrivere :

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Se consideriamo l'aggregato atomico più semplice, con : N = Z = 1 , ricordando che :

si ottiene :

L'energia che lega un solo protone nucleare sarà dunque :

Per la fascia elettronica, periferica, si ha :

L'energia che lega al nucleo un solo elettrone, in questo caso, vale :
      
Il rapporto fra l'energia nucleare e quella elettronica risulta :
       
Facciamo osservare che finora abbiamo sempre considerato il centro dello spazio rotante coincidente con il centro di rotazione.
Questa condizione è però verificata, con buona approssimazione, solo se è possibile trascurare il valore della massa satellite rispetto a
quella del nucleo centrale, che genera lo spazio rotante.
Se si considera lo spostamento del centro di massa, nell'atomo di idrogeno, si ottiene :
      
che coincide esattamente con l'energia di estrazione dell'elettrone orbitante, nell'atomo di idrogeno, che si ricava sperimentalmente.
E' ancora da notare che  E₀  rappresenta l'energia cinetica dello spazio fisico che
si muove solidale con l'orbita.

Essa viene trasferita ad una particella solo quando realmente questa è presente sull'orbita, altrimenti rimane associata allo
spazio 
rotante come valore massimo di energia potenzialmente trasferibile.
E' facile immaginare che il valore di energia trasferibile diminuisce man mano che parte di essa viene utilizzata.
Per maggiore chiarezza del discorso, consideriamo come esempio numerico l'atomo di ossigeno, avente  N = Z = 8 .
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Per semplicità, supponiamo di poter trascurare la riduzione del valore dello spazio rotante dovuta all'energia impegnata sotto forma di
energia di legame ed anticipiamo il risultato che ricaveremo in seguito :

i valori dello spazio rotante risultano :

Si noti che lo spazio rotante della fascia elettronica è maggiore di quello nucleare.
Si ricavano dunque i valori dell'energia per strato :

Per tener conto di alcune approssimazioni di calcolo, il valore riferito al nucleo deve essere moltiplicato per un fattore correttivo, per cui
si considera :       
Dallo schema orbitale si vede che la prima orbita è completa con due protoni, quindi, su questa orbita, la   E0   viene interamente
convertita in energia di legame.
Sulla seconda orbita, associata al numero quantico p = 2, il numero massimo di protoni che possono orbitare vale :

                                                  N₂ = 2 ⋅ p² = 8

mentre invece nell'atomo ne troviamo realmente solo sei. Dunque, su questa orbita l'energia di legame utilizzata sarà :

                                                   E₂ = E₀⋅(6/8)

L'energia di legame complessiva risulta quindi :

per tutto l'atomo, lenergia di legame vale dunque :

Una verifica può essere fatta calcolando l'energia di estrazione dell'elettrone dall'orbita periferica.
Sapendo che l'energia associata a tutta l'orbita vale E0e  e che il numero di elettroni che satura l'orbita vale  8  , si ottiene l'energia
assegnata a ciascun eletrone presente sull'orbita :

praticamente coincidente con il valore ottenuto sperimentalmente. In questo caso, per simmetria,
il nucleo centrale è fermo e non serve alcuna correzione.
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 Art.73 -- Teoria elementare della struttura del nucleo atomico, legge fondamentale dell'energia di legame delle strutture rette da forze centrali -- Antonio Dirita

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