Art.72-- Calcolo delle formule empiriche di Weizsacker, Green, Wapstra, Rohlf ; calcolo delle masse nucleari con il modello del nucleo a goccia -- Antonio Dirita

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Premettiamo che non abbiamo oggi una teoria soddisfacente del nucleo atomico, per cui i dati noti sono praticamente tutti rilevati
sperimentalmente.

Prima di elaborare una teoria del nucleo atomico coerente con quella degli spazi rotanti, vediamo con quali ipotesi restrittive sono state
derivate le formule empiriche che vengono utilizzate per il calcolo approssimato delle masse e dell'energia di legame dei nuclei atomici.
Abbiamo visto che il nucleo atomico è completamente definito dal numero di protoni   Z  , di neutroni   N  e dell'energia di
legame EZN.

Questi valori vengono forniti tutti direttamente dall'osservazione sperimentale e quindi non siamo in grado di distinguere due nuclei che
abbiano tutti e tre i valori coincidenti entro i limiti di errore associati agli esperimenti.
Qualunque sia il modello che viene proposto per descrivere un aggregato di particelle diverse tra loro, il primo problema che si pone è
quello di definire la loro collocazione all'interno del volume occupato dall'aggregato.
Se immaginiamo le particelle con caratteristiche a simmetria sferica, tenendo presente che ciascuna di esse ha, nei confronti di tutte le
altre appartenenti a un certo tipo, lo stesso comportamento, si deve pensare a una distribuzione uniforme di un tipo nell'altro e se ne
ricava un aggregato che presenta ancora una simmetria sferica.
Questa distribuzione non crea nessun problema se il numero delle particelle presenti di ciascun tipo è lo stesso. Si ha infatti una serie di
legami del tipo :
                ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ 
                    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ 
                    ↑↓    ↑↓     ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ 
                    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓     ↑↓    ↑↓
                ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ n ↔ p ↔ 

In questo caso sarà sufficiente ipotizzare che entrambe le particelle abbiano la capacità di legarsi stabilmente a più particelle dell'altro tipo,
caratteristica affatto intuitiva, dal momento che, per esempio, il protone esaurisce la sua capacità d'azione legandosi ad un solo
elettrone, nonostante esso abbia una massa molto più piccola.
La scelta del modello si complica ulteriormente se il numero di particelle dei due tipi è diverso, come accade nel nostro caso.
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Si pone infatti il problema di collocare le particelle in eccesso, che nel nostro caso sono neutroni.
La scelta più semplice sarà, naturalmente, una distribuzione uniforme nella matrice che è stata tracciata.
Dobbiamo decidere però se legarli ai neutroni già presenti, ai protoni oppure ad entrambi, senza alcuna distinzione. E' chiaro che la scelta
non potrà essere arbitraria, ma deve tener conto delle osservazioni sperimentali alle quali il modello deve dare risposte. Riportiamo qui
qualcuna delle più evidenti.
-- negli isotopi naturali si ha sempre un eccesso di neutroni e mai di protoni

-- contrariamente a quanto si potrebbe supporre, l'eccesso di neutroni, e non di protoni, crea instabilità nella struttura del nucleo

-- l'eccesso di neutroni accettabile, per la stabilità, aumenta con le dimensioni del nucleo considerato

-- in natura non si hanno mai aggregati liberi del tipo p ↔ p oppure n ↔ n

-- i legami semplici che si osservano sono :
  p ↔ n ( deutone ) stabile ;  n ↔ p ↔ n
 ( trizio ) instabile ( T ≃12,33 anni ) ; p ↔ n ↔ p ( elio ) stabile

-- in natura non si trovano neutroni liberi e quando essi vengono prodotti, in un tempo di circa 13 minuti, si trasformano in
protoni, liberando un elettrone.

Le ultime osservazioni indicano come unica possibilità quella di legare il neutrone in eccesso a un protone libero o " poco legato ", in
quanto, se esso è già legato anche a un solo neutrone, il nuovo legame risulta instabile.
Considerando anche le altre osservazioni, non solo risulta impossibile poter collocare in maniera stabile i neutroni in eccesso, ma si ha
anche una chiara incompatibilità con la matrice elementare proposta.
La stabilità del deutone e l'instabilità del trizio indicano che, legandosi ad un neutrone " a distanza piuttosto ravvicinata ", il
protone
esaurisce " quasi del tutto " la sua capacità d'azione ( ricordiamo che il discorso viene fatto altrove in termini più precisi con
il bilancio del momento angolare ) e non riesce più a legarsi stabilmente ad un altro neutrone. Il secondo legame potrà diventare
stabile solo se il primo è più debole.
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Tutte le osservazioni e le esigenze che sono state indicate possono essere soddisfatte se il nucleo viene pensato formato solo da legami
(neutroni)  (protoni polarizzati) , con livello di polarizzazione, e dunque di energia di legame, dipendente dalla loro
distanza ed è il modello proposto dalla teoria degli spazi rotanti.
Per semplificare la trattazione, si può prescindere da queste osservazioni e "considerare tutte le particelle equivalenti,
indicandole come nucleoni".

In questo modo si rendono possibili tutti i legami di una particella con quelle direttamente a contatto.
E' chiaro comunque che, qualunque sia il modello scelto, per conservare una simmetria sferica, le particelle debbono disporsi su strati
concentrici e il numero di strati determina il raggio del nucleo.
Calcoliamo dunque il numero di strati che si ottengono nei casi reali con due diversi modelli.
In un'analisi di prima approssimazione, che siamo comunque obbligati a fare se non conosciamo i meccanismi che stanno alla base della
sintesi nucleare, possiamo ipotizzare un solo tipo di legame tra protone e neutrone, i valori  Z  ed  N  definiscono così in maniera
inequivocabile il nucleo.
Non potendo avere nuclei formati con gli stessi valori di  Z  ed  N  con legami diversi, anche il valore dell'energia di legame   EZN  è
univocamente definito.
Se invece si ammette l'esistenza, nel nucleo, di diversi tipi di legame, i valori  Z  ed  N  , da soli, non possono essere sufficienti per
caratterizzare un nucleo, in quanto sarà possibile avere nuclei con gli stessi valori di Z  ed  N e diversa energia di legame.
Le teorie correnti più accreditate, per giustificare la convivenza, nel nucleo, di protoni e neutroni, prevedono un solo tipo di legame che
non distingue il tipo di particella ed esercita quindi la stessa azione negli accoppiamenti  p n ; n p ; p p ; n ↔ n .
Si parla così di legame tra nucleoni, senza più alcuna distinzione tra protoni e neutroni.
Questa semplificazione viene comunque accettata anche se risulta in chiaro contrasto con il fatto che nella, ormai lunga, esperienza di
atomica e nucleare  non è mai stata osservata o prodotta alcuna forma di legame diretto tra
neutroni oppure tra protoni.

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Con questa scelta viene evitato così il problema della collocazione, all'interno del nucleo, dei neutroni eccedenti.
Senza alcuna distinzione, i nucleoni vengono semplicemente considerati con una distribuzione uniforme ad una distanza costante tra loro.

Se si indica con   r₀  il valore del raggio della sfera che " viene occupata " da un nucleone, il raggio del nucleo formato da  A  nucleoni
risulterà (  Art.17   ) :                
Normalmente, per il nucleo atomico, viene proposta la dipendenza, verificata sperimentalmente :

Dal valore di  R₀  si ricava :

in evidente contrasto con la incomprimibilità dei protoni.
Osserviamo ancora che, se i nucleoni si dispongono ad una distanza tra loro fissa uguale a  r₀  , formano necessariamente  n  strati
contigui su ciascuno dei quali si trovano  An  nucleoni, che vengono forniti dalla relazione :

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Individuato il numero di strati  ns  occupati da  Ans  nucleoni, il  raggio     rA = rns
del nucleo sarà :
                                          rA = rns = r₀⋅(1 + 2⋅ns)

sommando i nucleoni presenti su ogni strato, il numero complessivo di quelli presenti nel nucleo avente ns strati saturi risulta :


Possiamo verificare la relazione calcolando, per esempio, il raggio del Sole come aggregato di atomi di idrogeno, considerando che, in
questo caso, abbiamo ns >> 1. Si ha quindi :     
dove  ms  e mH  indicano le masse rispettivamente del Sole e dell'atomo di idrogeno. Si ricava quindi :
    
il raggio dell'atomo di idrogeno è noto e vale :

Il raggio del Sole risulta :                          rs = r⋅ (1 + 2⋅ns) = 695843 Km

in perfetto accordo con il valore fornito dall'osservazione astronomica.
Sviluppando il calcolo per i diversi valori di ns , si ottiene :

ns 0 1 2 3 4
Ans 1 13 63 176 377
rns r₀ (3 ⋅ r₀) (5 ⋅ r₀) (7 ⋅ r₀) (9 ⋅ r₀)

Secondo le ipotesi che stanno alla base delle teorie correnti, i diversi isotopi dovrebbero presentare " un valore del raggio nucleare
costante "
fino alla saturazione dello strato, con aumento improvviso di due unità quando si passa da uno strato al successivo.
Solo quando risulta ns >> 1 la discontinuità si elimina. Si ha infatti :

da cui si ricava : 
e quindi il raggio del nucleo :

relazione già nota per altra via.

Per i nuclei atomici si ha ns = (1 ÷ 4) e quindi la condizione che abbiamo indicato non è affatto soddisfatta.
L'espressione del raggio del nucleo atomico, che si ricava con le ipotesi che sono alla base del modello a goccia, non dovrebbe quindi
essere quella che 
viene proposta in quanto risulta incoerente con le ipotesi stesse.
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Dato però che l'espressione è verificata sperimentalmente, si deve pensare che le condizioni indicate con le ipotesi fatte non vengano
realizzate nel nucleo atomico e che al valore del raggio, fornito dalla relazione sperimentale, si dovrà dare un significato diverso da quello
che è stato indicato.
A questo punto ricordiamo che, trattando la teoria generale degli spazi rotanti, per il valore massimo del raggio della sfera planetaria,
associata allo spazio rotante Kp², in orbita alla distanza RP dal centro dello spazio rotante solare Ks², abbiamo ricavato la relazione

Art.29   e   Art.30   ):        
nella quale rpmax rappresenta il raggio della sfera entro la quale deve essere racchiusa la materia che forma la sfera satellite per non
perdere massa dalla superficie e quindi per essere stabile.
Se il sistema in esame è un aggregato di protoni con i protoni stessi in orbita, la superficie stabile è assegnata dal limite imposto dalla
velocità della luce :

La distanza  RP  indica invece il valore minimo del raggio dell'orbita per avere il sistema stabile ( in astronomia dicevamo per non avere
una disgregazione superficiale dovuta agli effetti di marea ).
RP  rappresenta, quindi il raggio della superficie stabile del nucleo centrale compatto, impenetrabile, che genera lo spazio rotante di
valore  Ks².
In definitiva,  RP  rappresenta il massimo accostamento al centro dello spazio rotante, che possiamo realizzare con un proiettile
proveniente dall'esterno e dunque il valore del raggio che è possibile rilevare con un esperimento di laboratorio.

Il nucleo atomico non è limitato al nucleo impenetrabile definito da  RP , ma comprende anche la fascia protonica orbitale penetrabile,
avente il raggio   RZNP >> RP   , che non viene rilevata dalle prove di laboratorio. Se il nucleo è formato da Z unità uguali a quelle

in orbita, si potrà scrivere :                                         Ks² = Z ⋅ Kp²
e quindi si ottiene :      
Dall'osservazione sperimentale, per gli isotopi naturali. si ricava la relazione :    
Sostituendo, si ha l'espressione definitiva del raggio della parte centrale del nucleo atomico ( nucleo impenetrabile ) :

che fornisce risultati in buon accordo con l'osservazione sperimentale. Per esempio, sperimentalmente si ha :

                                R₁(79) = 6⋅10⁻¹⁵ m     ;     R₁(238) = 8,68⋅10⁻¹⁵ m

i risultati teorici risultano :       R₁(79) = 6,045⋅10⁻¹⁵ m     ;     R₁(238) = 8,731⋅10⁻¹⁵ m

Si verifica così che l'espressione sperimentale ricavata per il raggio nucleare soddisfa il raggio di una goccia di liquido solo perchè presenta
ns >> 1 ma non è per la stessa ragione che è verificata dal nucleo atomico.
Anzi, essa risulta in contraddizione con il modello del nucleo a goccia, che presenta ns = 1 ÷ 4, come risulta dalla tabella seguente,
ottenuta con le relazioni che sono state ricavate poc'anzi.

modello N Z I A As Ns n₀ ns
a goccia 8 8 0 16 13  1,11 2
spazi rotanti 8 8 0 16 6 1,75 2
a goccia 33 28 5 61 50 2 2
spazi rotanti 33 28 5 61 5 3,16 4
a goccia 84 60 24 144 95 2.71 3
spazi rotanti 84 60 24 144 24 4,48 5
a goccia 146 92 54 238 140 3,31 4
spazi rotanti 146 92 54 238 36 5,50 6

I risultati che abbiamo ottenuto dimostrano che il modello nucleare ricavato applicando la teoria degli spazi rotanti soddisfa perfettamente
la relazione sperimentale, ma per ragioni diverse da quelle indicate dall'analogia. Viene così meno uno dei motivi per cui essa è stata
proposta. Un altro punto fondamentale dello studio del nucleo atomico è l'osservazione sperimentale secondo la quale :
l'energia di legame per ogni nucleone, in prima approssimazione assume un valore costante, indipendente dal numero di massa  A .
Questa osservazione farebbe pensare a una importante proprietà delle forze nucleari : esse dovrebbero essere a corto range.
In questo caso infatti ogni singolo nucleone all'interno del nucleo saturerebbe la sua azione interagendo solo con i nucleoni circostanti 
( solo con quelli che si trovano a contatto ) e non con tutti gli   nucleoni.
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Questa particolare condizione (saturazione dell'azione) attribuirebbe a tutti i nucleoni la stessa energia di legame, a patto che ciascuno
di
essi abbia la possibilità, nell'aggregato, di essere circondato dallo stesso numero di nucleoni.
Questa circostanza non può certamente essere verificata dai nucleoni che si trovano sullo strato periferico, i quali saranno trascurabili
solo se il numero di strati   n è molto elevato, come si verifica in una goccia di liquido.
Da questo punto di vista il nucleo atomico si trova in una condizione piuttosto sfavorevole, in quanto, ammettendo    Zmax = 118
con   Nmax = 175 , si ottiene   ns = 1 ÷ 3,58 .

Questo vuol dire che con    Amax293   si hanno 129 nucleoni interni mentre quelli superficiali risultano ben 164 .
Dunque per questa via "la costanza dell'energia di legame per nucleone non viene affatto giustificata".
Essendo la relazione ricavata sperimentalmente, essa dovrà certamente essere accettata e quindi, se si dimostra sbagliata l'analogia
tra il
nucleo atomico e la goccia liquida, la giustificazione deve essere ricercata attraverso altre vie.
Vediamo invece come, in maniera lineare e semplice, questa osservazione sperimentale, si giustifica, attraverso il calcolo teorico,
nell'ambito della teoria degli spazi rotanti.
Studiando l'equilibrio di una sfera materiale in uno spazio rotante centrale, è stato ricavato il valore del raggio della sfera planetaria che
consente un moto di rotorivoluzione sincrono in perfetto equilibrio alla distanza  RP  dal centro :

con   Ks² = Z ⋅ Kp² ,   si ottiene :               RZP = Z1/3 ⋅ rp

Analizzando la condizione di equilibrio dei due protoni nel processo di sintesi di un deutone (Z = 1), abbiamo ricavato :

distanza tra protone e neutrone :             R₁₁ = rp = 57,63978486⋅10⁻¹⁵ m

spazio rotante associato al nucleo/neutrone :               Kn² = – Kp²/2

Il raggio dell'orbita fondamentale del nucleo avente numero atomico  Z , sarà dunque :          RZN1 = R₁₁ · Z1/3

Tenendo conto della relazione che esprime la quantizzazione delle orbite     Rp = R₁⋅ p²
il raggio dell'orbita associata al numero quantico p  sarà :
       
Ricordando ora la legge fondamentale degli spazi rotanti  (   Art.5   ):       Vp²⋅ Rp = Ks² = Z ⋅ Kp²

sostituendo la relazione :            Ks² = Z ⋅ Kn² = Z ⋅ (Kp²/2)

si ricava quindi la velocità della particella in orbita nello spazio rotante nucleare :
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e quindi :      
Per ciascuna particella in orbita si ricava così il valore teorico l'energia di legame :
         
Nel processo di sintesi del deutone  (  Art.70  )  abbiamo visto che la massa in orbita non è tutta quella del protone, ma
m₁= (3/4)⋅ mp , in quanto (1/4)⋅ msi utilizza per polarizzare il neutrone accoppiato . Si ha quindi definitivamente :


Si noti che tutte le particelle che occupano il livello  p  hanno le stesse caratteristiche orbitali e quindi sono legate allo spazio rotante con
lo stesso valore di energia.
Se dunque consideriamo il livello  p  saturo, il numero di particelle su di esso presenti sono   np = 2 ⋅ p² e quindi il valore
dell'energia che lo spazio rotante trasferisce a tutto lo strato sarà :

indipendente dal livello considerato.

Questa rappresenta una proprietà fondamentale degli spazi rotanti, che analizzeremo in dettaglio in un prossimo articolo.
Sostituendo i valori numerici, si ottiene :


Se moltiplichiamo l'energia per strato  E₀(A)  per il numero di strati ( o livelli )occupati  n₀  , otteniamo l'energia di legame di tutte le
particelle in orbita.
Abbiamo visto che, con la sintesi di deutoni in orbita, il numero dei livelli occupati viene definito non dai protoni, ma dai neutroni, secondo
la relazione :     
Per gli isotopi naturali ns assume valori bassi, compresi nell'intervallo 2÷5 , e quindi si si può assumere N ≃ n₀³ .
Si ricava dunque :  n₀ ≃ N1/3  Sostituendo, si ottiene l'espressione approssimata  dell'energia di legame :


in buon accordo con i rilievi sperimentali.
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Anche se l'analogia del nucleo atomico con una goccia risulta assolutamente inutile, l'espressione dell'energia di legame, che si ricava
facendone ricorso, fornisce valori accettabili in un ampio intervallo di valori di Z e N.
Questo si verifica perchè, come vedremo, l'analogia viene citata spesso, ma in realtà nei calcoli non troviamo nessun riferimento ad
essa,
ma solo a risultati sperimentali.
In realtà si risolve il problema matematico di cercare un' espressione teorica, che sia capace di descrivere una curva assegnata, ma non la
giustificazione della curva attraverso l'analisi dei processi fisici che la determinano.
Cerchiamo dunque un'espressione del tipo :

      Eg(Z ; N) = α ⋅ f₁(Z ; N) + β ⋅ f₂(Z ; N) + γ ⋅ f₃(Z ; N) + δ ⋅ f₄(Z ; N)  ⋅

dove ciascuna funzione viene definita sulla base di osservazioni sperimentali oppure considerazioni di carattere fisico.
I coefficienti verranno invece determinati facendo coincidere la funzione con valori noti di   Eg(Z ; N)  , opportunamente scelti.

Considerando che all'interno del nucleo una particella ne ha sei confinanti, se si associa l'energia di legame  e₁  ad un solo legame, il
contributo di ciascuna di esse sarà  6 ⋅ e₁ .
Se  A  è il numero delle particelle presenti in tutto il nucleo, complessivamente l'energia di legame sarà :

dove la divisione per   è necessaria perchè altrimenti un legame verrebbe considerato due volte, da X verso Y a da Y verso X .

Sappiamo che l'osservazione sperimentale più importante è che, variando  ed  N  con  A  costante, l'energia di legame varia di poco,
mantenendosi su un valore medio di circa 8 MeV.
Naturalmente, questo rappresenta il risultato fornito da tutti gli effetti che sono stati indicati, agenti contemporaneamente.
Se poniamo   f₁(Z ; N)   ad indicare questo risultato, il primo contributo sarà :

Se il nucleo fosse analogo a una goccia liquida ( numero di strati ns >> 1 ) , il valore atteso del coefficiente sarebbe α ≃ 8 MeV.
Questo valore di energia è stato calcolato considerando tutti i nucleoni legati alla stessa maniera.
In realtà, quelli che si trovano sulla superficie hanno metà legami e quindi ad essi bisogna detrarre un contributo pari a      α/2

Il numero di particelle che occupano lo strato periferico del nucleo, anche se utilizziamo l'analogia con la goccia, essendo molto basso il
numero di strati, non soddisfa la relazione che è stata ricavata, ma :       
Ritenendo  arbitrariamente    ns >>>1 , si assume :        Rns = r₀⋅ A1/3
e quindi si ricava :         
che corrisponde all'approssimazione :  
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Se esprimiamo queste considerazioni con il termine   f₂(Z ; N)  ,  poniamo :

L'aspettativa per il coefficiente sarà :                           β ≃ 4⋅ π = 12,56 MeV.

A questo punto si considera la forza di repulsione tra i protoni, che vengono immaginati uniformemente distribuiti e, con la solita
approssimazione, si calcola l'energia potenziale associata, con il metodo classico.
Consideriamo quindi una sfera di raggio rA contenente una carica elettrica  (Z⋅e) , uniformemente distribuita.
La densità di carica sarà :         
Approssimando con funzioni continue, alla generica distanza  r  dal centro, la carica elettrica racchiusa nella sfera sarà :
           
l'energia di legame tra la carica interna  q(r)  e lo strato  dq(r)  risulta :
         
integrando e sostituendo   rA ≃ r₀⋅ A1/3 , si ottiene :
     
il coefficiente atteso è dunque :       
A questo punto osserviamo che i nuclei atomici presentano diversa stabilità, in rapporto al valore di  Z  e N .
E' chiaro che quelli che realmente esistono in natura avranno valori di  Z e N  corrispondenti alla massima stabilità e sono individuati
dalla relazione sperimentale :                      
dalla quale si ricava la relazione, valida per i nuclei stabili :    
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Sempre sperimentalmente, si osserva che, allontanandosi da questa curva, sia aumentando che diminuendo il numero isotopico
I = N – Z = A – 2 ⋅ Z la stabilità diminuisce e quindi diminuisce l'energia di legame per nucleone.

Per tener conto di queste osservazioni, si pone :            f₄(Z ; N) = I²/A
sostituendo nell'espressione di   Eg(Z ; N) , si ottiene :
        
derivando e uguagliando a zero, si ricava la curva sulla quale si trovano i nuclei in corrispondenza dei quali si ha la massima stabilità.
      
ossia : 
In definitiva, l'energia per nucleone Eg(A) in funzione della sola variabile diventa :

Diagrammando la funzione Eg(A) =f(A) , con i valori sperimentali, risulta un massimo in prossimità di   A = 60   e quindi,
derivando e ponendo :
si ricava il valore :  β = 19,605⋅γ

Sperimentalmente, sempre per A = 60 , si ottiene  Eg(60) = 8,818 MeV / nuc , che, sostituito nell'espressione teorica, ci
consente di ricavare il valore del coefficiente  α  , che risulta :

    

da cui si ottiene :                                                              α = 8,5069⋅γ + 8,818

Facendo riferimento alle osservazioni sperimentali, viene infine aggiunto un termine, detto di parità, che tiene conto del diverso
comportamento dei nuclei (pari--pari),(dispari--dispari) e (pari--dispari).
Vengono proposte diverse espressioni la più comune delle quali è :             ± 33/A3/4
dove il segno + vale per i nuclei (p--p), il per i (d--d), mentre si assume nullo per  A  dispari.

A questo punto bisogna definire il valore del coefficiente γ , che può essere assunto uguale a quello teorico oppure tale da fornire il
valore 
dell'energia di legame di un nucleo noto. Noi utilizzeremo comunque il valore che è ricavato teoricamente.
L'espressione definitiva dell'energia di legame risulta quindi :
    
I coefficienti sono stati calcolati sempre utilizzando i valori sperimentali delle masse atomiche ed il loro valore varia a seconda del metodo
usato. In tabella riportiamo quelli di uso più comune ( Wapstra usa come termine di parità ±11 /√A ).

coefficiente calc.app. Weizsacker Green Wapstra Rohlf altri
α 14.033 15,565 15,753 15,835 15,75 14,1
β 12.018/25.887 17,233 17,804 18,33 17,80 13
γ 0,613 0,699 0.708 0,714 0,711 0,595
δ 20.433 23,287 23,69 23,2 23,70 19

Nella tabella che segue riportiamo il confronto tra i valori sperimentali ( S ) e quelli calcolati con le diverse espressioni empiriche.
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I valori calcolati con l'espressione che abbiamo ricavato senza alcuna forma di ottimizzazione dei coefficienti  ( C ) , sono stati ottenuti
utilizzando i valori teorici, con la sola sostituzione del secondo termine con     E₂ = 25,887⋅ N4/7 ,      che tiene conto del basso
numero di strati presenti nel nucleo.

Sull'ultima riga è stato riportato il valore dell'energia di legame calcolato con l'espressione teorica di prima approssimazione ricavata
con la teoria degli spazi rotanti, utilizzando la energia per strato   E₀(N)  riportata a pagina 756 e considerando tutti i livelli occupati
con regolarità, senza alcun vuoto, come previsto dalla relazione :

Il risultato, già più che buono, potrà essere migliorato ancora, considerando la presenza dei deutoni in orbita.
Osservando la tabella dei pesi dei diversi effetti nucleari che sono stati presi in considerazione per ricavare l'espressione dell'energia di
legame, si vede chiaramente che il legame con il modello proposto risulta molto scarso.
Dato però che le formule empiriche ricavate soddisfano comunque i risultati sperimentali, è necessario capire le ragioni per le quali ciò
accade. Per fare questo, prendiamo in considerazione i valori sperimentali dell'incremento che subisce l'energia di legame del nucleo
quando ad esso viene aggiunto un protone oppure un neutrone. Nei prossimi articoli analizzeremo questo aspetto.
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 Art.72-- Calcolo delle formule empiriche di Weizsacker, Green, Wapstra, Rohlf ; calcolo delle masse nucleari con il modello del nucleo a goccia -- Antonio Dirita

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