Art.69 — limiti dell’equazione di Schrodinger, calcolo della costante di Planck generalizzata — Antonio Dirita

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Se l’equazione di Schrodinger deve descrivere un sistema fisico reale, le costanti di separazione che abbiamo introdotto nell’  Art.68a    per
giungere a una soluzione devono essere tali da portare a funzioni che possano avere un significato fisico, qualunque esso sia , esse devono
quindi essere, finite, continue e ad un solo valore.
Questo risultato si può ottenere solo con le condizioni :

               n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;……..     ;     l ≤ (n – 1)     ;    | p| ≤ l

La massa  m  può dunque assumere solo posizioni associate a valori di energia che variano per quantità finite, passando da un valore di
n  al successivo. L’energia totale vale :

e quindi, sostituendo nell’espressione ricavata nell’ Art.68   :

si ha :  
da cui si ricava il valore del raggio associato al numero quantico  n :        
e quindi anche : 
Se si assume  h  come costante universale, queste relazioni ci dicono che il raggio della
traiettoria è inversamente proporzionale al quadrato 
della massa considerata e
l’energia totale direttamente proporzionale 
al cubo della massa.
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Il primo risultato è in disaccordo con l’osservazione sperimentale e con
i risultati teorici ottenuti per altre vie, dai quali risulta che, con una massa generatrice dello spazio rotante molto più elevata di quella in
moto sull’orbita, il raggio dell’orbita non dipende dalla massa presente.
Per quanto riguarda la seconda relazione, osserviamo che l’energia totale in valore assoluto è uguale all’energia cinetica (in condizione di
equilibrio).
La dipendenza dell’energia dal cubo della massa m risulta dunque in
disaccordo con la 
stessa definizione di energia cinetica.

Le due relazioni risultano quindi fisicamente inaccettabili.
Del resto, la stessa contraddizione si osserva nell’equazione della lunghezza d’onda di De broglie applicata al moto orbitale di una massa
in uno spazio rotante. Si hanno infatti le due ipotesi :

             λ = h/(m ⋅ V)      ;      2 ⋅ π ⋅ rn = n ⋅ λ   ossia :     λ = 2 ⋅ π ⋅ r₁⋅ n

La prima relazione indica una lunghezza d’onda inversamente proporzionale alla massa, mentre la seconda fornisce una lunghezza d’onda
associata alla massa indipendente dal suo valore e dipendente solo dall’orbita sulla quale essa si muove.
Chiaramente non possono essere vere entrambe.
L’unica maniera per recuperare l’indipendenza del raggio orbitale dalla massa nel primo caso, la proporzionalità diretta dell’energia nel
secondo e la coincidenza delle due ultime relazioni è quella diconsiderare h direttamente proporzionale alla
massa“.

Sostituiamo quindi la costante di Planck con l’espressione generale che abbiamo già ricavato (   Art.51  ) :

                                           H = 2 ⋅ π⋅ m ⋅ V₁ ⋅ r₁ 

che si riduce alla costante di Planck  h  quando la massa in orbita è l’elettrone e quindi con  m = m.
Quindi, sostituendo, si ottiene :        
e sostituendo ancora  (    Art.5    )     Ks² = V₁²⋅r₁     si ha in definitiva :                     rn = r₁ ⋅ n²
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con la stessa sostituzione l’energia risulta :   
coincidente con il risultato ottenuto nella teoria generale degli spazi rotanti e confermato dall’osservazione astronomica.
Sostituendo  H  al posto di  h  , nell’espressione di De Broglie, anche in questo caso le due relazioni coincidono. Si ha infatti :

Per esempio, le orbite circolari minime stabili del sistema Solare risultano (   Art.31   ) :    Rn = 6.151⋅10⁶ Km ⋅ n²

e quindi, per la Terra, con  nT = 5 , si ricava l’energia di legame :

In buon accordo con il valore :   
Per Mercurio, con nMe = 3 , si ottiene :

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In ottimo accordo con il valore :    
Per il pianeta più lontano, Plutone, con nPl = 30 , si ricava :

In ottimo accordo con il valore :   
Se si vuole associare alla Terra o a qualsiasi altra massa in moto equilibrato sulla stessa orbita (anche m → 0) , una lunghezza d’onda,
si dovrà avere :

Le stesse relazioni possono essere utilizzate per il nucleo atomico.
Supponiamo, per esempio di voler estrarre un neutrone dal nucleo U₉₂²⁴² per trasformarlo in U₉₂²⁴¹.

Dall’  Art.77.92    della tavola dei nuclidi ( che verrà pubblicata nei prossimi articoli) , si ricava la seguente configurazione dei livelli nucleari.

          Ec/Es     Sa              mc/ms     n    1   2   3   4   5   6   7  E(eV)/T(1/2)
 1817.50)/(1817.0  U₉₂²⁴¹  241.05981/241.06033  92n  2+0  8+0 18+0 4+14 1+23 1+20  1+0   1.900M/(β⁻5m)
1822. 85)/(1822.7  U₉₂²⁴²  242.06273/242.06293  92n  2+0  8+0 18+0 4+14 1+23 1+20  0+1   1.200M/(β⁻16.8m)

La configurazione dell’ U₉₂²⁴² mette in evidenza che la trasformazione si potrà realizzare solo con la scissione del deutone presente
sul settimo livello 7successiva espulsione del neutrone, lasciando il protone in equilibrio sulla stessa orbita.
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L’energia di legame di un protone sul livello fondamentale vale :
       
L’energia di estrazione di un neutrone dal settimo livello sarà :     
Aggiungendo l’energia necessaria per scindere il deutone, l’energia totale richiesta per estrarre il neutrone risulta :

                        En7(92) = E₇(92) + 2.2246 MeV = 5.8016 MeV

Il valore sperimentale risulta 5.6 MeV.

Utilizzando il valore corretto dell’energia per livello pubblicata nell’  Art.75    , risulta :

                En7(92) = E₀(92) ⋅ 1/(2⋅7²+2.2246 MeV = 5.3508 MeV

entrambi i risultati teorici sono in buon accordo con il valore sperimentale.

Se invece vogliamo estrarre un neutrone dall’isotopo U₉₂²³⁴ , la configurazione dei livelli nucleari ci dice che i deutoni meno legati si
trovano sul sesto livello

     Ec/Es        Sa         mc/ms  n  1  2   3   4   5   6  7  E(eV)/T(1/2)
1772.46/1771.7  U₉₂²³³   233.03884/233.039635   92n   2+0   8+0   18+0   14+9   0+25   1+15   0+0   2.100M/ce20.9m
1778.94/1778.6  U₉₂²³⁴  234.04055/234.040952  92n  2+0  8+0  18+0  14+9  0+25   0+16  0+0  4.8598M/α2.455⋅10⁵a)

e quindi l’energia necessaria per estrarre un neutrone sarà :
        
e con la relazione approssimata :
        
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entrambi i valori sono in accordo con quello sperimentale uguale a  6.8447 MeV.

Si deve notare che la quantizzazione del raggio orbitale è indipendente
dalla massa e dunque ” ha carattere di legge universale “, mentre la
quantizzazione dell’energia è legata alla massa in orbita e quindi è
legata allo spazio rotante considerato.

Con le relazioni che abbiamo ricavato e gli esempi che abbiamo riportato, si rende possibile una discussione dell’equazione
di Schrodinger
senza alcun riferimento al mondo atomico o subatomico.
Non solo, ma si deve anche riconsiderare il valore della costante di Planck fin dall’origine.

Essa è stata introdotta come costante di proporzionalità fra l’energia emessa durante la transizione di una massa planetaria  m  da un
livello di energia  En1  ad un altro associato a un valore di energia En2 <  En1 e la frequenza della radiazione emessa sotto forma
di fotone, secondo la relazione :
                                      E₁₂ = En1 – En2 = H ⋅ ν₁₂

L’energia totale della massa m₁ in equilibrio sull’orbita, in valore assoluto, è uguale alla sua energia cinetica e quindi si ha :

Ricordando che, per qualsiasi spazio rotante la frequenza orbitale vale      νn = ν₁/n³  ,  sostituendo, si ottiene :

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Applichiamo inizialmente la relazione a un sistema elementare, formato da un protone centrale o comunque una massa che genera uno
spazio rotante  Kp²  uguale a quello del protone e una sola massa in orbita  muguale a quella dell’elettrone.
Si avrà :    
Se ora poniamo nel centro Z  protoni (o masse equivalenti) e sulle orbite un ugual numero di elettroni, avremo uno spazio rotante e tutte
le caratteristiche orbitali modificate secondo le relazioni (   Art.17   ) :

Che verificano l’equazione fondamentale (  Art.5   ) :                          V₁²(Z)⋅ R₁(Z) = Ks²(Z)
L’energia totale di un elettrone sul livello n-esimo sarà :
    
La prima parentesi non dipende dal numero atomico   Z  e quindi, per tutta la materia ordinaria, formata da atomi,
rappresenta un fattore
di valore costante.
Essendo l’atomo il componente fondamentale di tutta la materia ordinaria , se consideriamo solo la fascia
elettronica dell’atomo
,
possiamo porre :

          ( 2 ⋅π ⋅me⋅V11e⋅R11e ) = he = costante ( per la fascia degli elettroni )

E’ chiaro che, essendo l’atomo diffuso in tutto l’universo, se si considerano solo le transizioni degli
elettroni “, he assume il valore di costante 
universale.

L’espressione dell’energia di legame dell’elettrone sull’orbita n-esima sarà :
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Se l’elettrone si sposta dal livello n₁ al livello n₂ , la frequenza ” del fotone emesso “ risulta :
    
e quindi la sua energia sarà :                                          E12e(Z) = h⋅ ν12e(Z)

E’da tenere presente che  E12e(Z)  rappresenta l’energia associata alla transizione di un solo elettrone.
Consideriamo ora due elettroni che, si spostano dal livello  n₁ al livello  n₂ in maniera del tutto indipendente, nei tempi e nella
direzione in cui si verifica la 
transizione. Verranno emessi due fotoni, in tempi e direzioni indipendenti, di energia

                            E12e(Z) = he⋅ ν12e(Z)   e frequenza   ν12e(Z) .

L’energia complessivamente emessa sarà :

                                       E12-2e(Z) = 2 ⋅ [h⋅ ν12e(Z)]

Più in generale, se gli elettroni indipendenti che migrano sono  Ne  avremo :

                                      E12-Ne(Z) = Ne ⋅ [he ⋅ ν12e(Z)]

dove il primo fattore indica il numero di fotoni emessi e il secondo l’energia e la frequenza di ciascuno di essi.
Supponiamo adesso che gli  Ne  elettroni realizzino la transizione nello stesso istante e nella stessa direzione, come se formassero un
aggregato compatto.
Dato che nel sistema nulla è cambiato, l’energia emessa sarà ancora quella del caso precedente, data dalla relazione :

                                       E12-Ne(Z) = Ne ⋅ he ⋅ ν12e(Z)

Avremo quindi un fascio molto compatto (teoricamente sovrapposti) formato da Ne fotoni perfettamente coerenti,
assolutamente indistinguibili, aventi frequenza ν12e(Z) .
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Il fattore di proporzionalità fra la frequenza e l’energia totale associata al fascio vale :     H = N⋅ he  .

Immaginiamo ora di lasciare invariata la massa centrale che genera lo spazio rotante e di sostituire gli elettroni presenti sulle orbite con
masse tutte uguali tra loro di valore :     m₁ = Ne ⋅ me .
In definitiva abbiamo una massa centrale che genera uno spazio rotante di valore :               Ks²(Z) = Z ⋅ Kp²
sulle cui orbite si muovono in equilibrio le masse elementari  m₁ .
Le caratteristiche dell’orbita fondamentale del sistema con le masse  m₁ in orbita risultano :
              
Se consideriamo, per esempio il nucleo atomico, si ricava :

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e quindi, in definitiva :                   
Se una sola massa  m₁ si sposta dal livello  n₁ al livello  n₂ , senza nessuna modifica possiamo ripetere il discorso che abbiamo già
fatto per l’elettrone.
L’energia associata all’unico fotone emesso sarà :
   
La frequenza della radiazione emessa risulta quindi :
       
Se consideriamo il nucleo atomico, con   m₁ = mp , si avrà :

Il valore dell’energia del fotone emesso con la transizione di un protone, si può anche scrivere :
       
sostituendo i valori numerici si ottiene :
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coincidente con il risultato ottenuto per altra via.
Le espressioni che abbiamo ottenuto ci dicono che la frequenza del fotone dipende sia dalla massa generatrice, che ha subito la

transizione che dallo spazio rotante centrale   Ks² = Z ⋅ Kp² .

La costante di proporzionalità  H₁ tra la frequenza e l’energia del fotone è invece dipendente dalla massa che
subisce la transizione.

Per definire l’energia di un fotone non è quindi sufficiente conoscere il valore della frequenza, ma è necessario conoscere anche la massa
m₁  che lo ha generato, per poter calcolare la costante  H  ( il problema non si pone se implicitamente si considera sempre
m₁ = me ).

Quando la relazione venne proposta da Planck, gli spettri ai quali poteva fare riferimento erano solo quelli associati a transizioni
di elettroni nell’atomo e quindi
  h  assumeva realmente valore di costante universale,

in quanto non si poneva il problema di individuare la massa generatrice del fotone.
Se però si considera un fotone emesso dal nucleo atomico in seguito a una transizione di un protone tra due livelli nucleari (   Art.77N    ),
per il calcolo di  H  è necessario tenere conto del rapporto tra la massa del protone e quella dello elettrone. Si ha quindi :
            
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 Art.69 — limiti dell’equazione di Schrodinger, calcolo della costante di Planck generalizzata — Antonio Dirita

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