Art.68-- Origine teorica e risoluzione dell'equazione di Schrödinger e d'Alembert, significato teorico dello stato quantico -- Antonio Dirita

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Dare un significato all'equazione di Schroedinger è molto difficile, in quanto essa viene ottenuta attraverso passaggi solo formalmente
corretti, senza alcuna preoccupazione per l'aspetto fisico. Il passo più importante e piuttosto arduo è l'accostamento dell'equazione
di Hamilton a quella delle onde di d'Alembert.

Questa equazione rappresenta l'origine della meccanica ondulatoria e, come tutta la meccanica quantistica, viene considerata applicabile
solo ai sistemi atomici e subatomici, fino alle particelle virtuali presenti nello spazio vuoto.
Con la teoria degli spazi rotanti abbiamo dimostrato che la quantizzazione delle orbite stabili in un sistema organizzato da un'azione
centrale è imposta unicamente dai principi di conservazione dell'energia e del momento
angolare, che hanno valore universale.

Partendo da questa osservazione, vogliamo dunque dimostrare che tutta la meccanica quantistica, e dunque l'equazione di Schrodinger,
deve essere applicabile a qualsiasi spazio rotante, dal subnucleare all'astronomico.
A questo punto ricordiamo che, se in un punto dello spazio fisico si genera una perturbazione sinusoidale di una grandezza che definisce
l'equilibrio tra il punto considerato e lo spazio circostante, " la perturbazione generata si propaga per onde nello spazio e nel tempo "
(   Art.20   ) .
In altre parole, se indichiamo con              ψ(0 ; t) = ψ(0 ; 0)⋅ sen(ω⋅t)    la legge spazio--temporale che descrive

la perturbazione indotta sulla grandezza considerata, attorno alla condizione di equilibrio nel punto  O  di figura ( dove abbiamo
indicato una corda di lunghezza infinita ), l'esperienza ci dice che, attraverso il legame che esiste con i punti dello spazio fisico circostante,
la perturbazione  ψ(0 ; t)  si trasferisce ad essi con una velocità  Vs  costante e caratteristica dello spazio considerato.

Quello che si propaga è dunque una perturbazione dell'equilibrio dello spazio ( nell'esempio lo
spazio è corda ) .
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Se lo spazio è vuoto oppure i suoi punti non sono interagenti fra loro ( spazio geometrico ), non esistono caratteristiche da perturbare e
quindi nessuna perturbazione potrà essere trasferita.

Nel nostro caso il punto  , posto alla distanza  r  da  O  verrà costretto, dalla continuità dello spazio fisico, a subire questa
oscillazione con un ritardo dato da :        .
Nel punto  P si avrà dunque una perturbazione dello spazio espressa da :
     
    
si ha :      
oppure, con l'identità di Eulero :     
Secondo tale relazione, la perturbazione prodotta nell'origine  O , variabile nel tempo con legge sinusoidale, si propaga nello spazio con
la stessa legge, e risulta così variabile sia nel tempo che nello spazio.
Con due derivazioni, si ricava l'equazione di d'Alembert, che indica in forma differenziale la perturbazione presente nel punto
P al tempo t :

          
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In questa relazione   ψ(r ; t)  non rappresenta una grandezza precisa, ma una qualsiasi
grandezza che varia nel tempo con legge sinusoidale.

Se questa variazione si produce nello spazio fisico, per le caratteristiche stesse dello spazio, essa si propaga con la velocità V.
E' dunque la velocità di propagazione   Vs   che dipende dalla grandezza perturbata e
quindi dà un significato alla funzione  
ψ(r ; t)  .

Essa è però sempre una perturbazione prodotta su una caratteristica dello spazio.
Trattando le derivate come rapporto tra differenziali, l'equazione si riduce ad una identità, indipendente dalla funzione  ψ(r ; t) .
Si ha infatti :    
equivalente a   r = Vs⋅ t   qualunque sia la perturbazione  ψ(r ; t)  che viene presa in considerazione.

Per esempio, una particella in moto in un punto dello spazio può produrre una perturbazione della densità nello spazio occupato,
del livello di energia o del 
campo elettromagnetico o altro ancora e ciascuna di queste perturbazioni si propagherà con una
velocità caratteristica, che, sostituita nell'equazione, 
dà il significato alla funzione  ψ(r ; t) .
L'equazione ha valore assolutamente generale e si applica alla perturbazione della corda come a quella di una trave rigida o qualsiasi altro
mezzo capace di trasferire una perturbazione.
Per esempio, se nel punto  O  abbiamo una massa ferma, si crea uno spazio rotante con essa in equilibrio. Una oscillazione della massa
nel punto  O    crea una perturbazione dello spazio rotante che si propaga dal punto O a tutto lo spazio circostante.
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Le caratteristiche dello spazio che vengono perturbate, in questo caso, sono indicate come campo elettrico e campo magnetico
e si propagano come campo elettromagnetico associato ad una onda elettromagnetica, che soddisfa le equazioni di Maxwell (    Art. 59  )
      
coincidenti con l'equazione di d'Alembert.
L'equazione d'onda di d'Alembert ha dunque valore assolutamente generale e quindi l'elemento importante non è
la grandezza  
ψ(r ; t)   che si propaga, ma il meccanismo che essa descrive.
Possiamo sinteticamente dire che l'importanza dell'equazione di d'Alembert sta nella sua capacità di selezionare le perturbazioni
fisicamente realizzabili da quelle che non lo sono, " attraverso l'unico parametro presente nella relazione, Vs ".

Se   Vs  è una costante e risulta   Vs ≠ 0  ,∞  , qualunque sia la perturbazione che si considera, esiste sempre una funzione
ψ(r ; t)  che la descrive come una onda le cui caratteristiche dipendono da  Vs .
Se invece il parametro Vs , per qualsiasi ragione, dipende dallo spazio e /o dal tempo, l'equazione d'onda diventa :

Dato che la perturbazione considerata si sviluppa e si propaga comunque nello spazio fisico, sarà fisicamente realizzabile, e dunque reale,
solo se verifica tutte le condizioni imposte dallo spazio stesso.
Nello spazio fisico da noi considerato queste condizioni sono rappresentate dai principi di conservazione dell'energia e
del momento angolare.

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La condizione in cui il parametro   Vs   non è costante si verifica, per esempio, quando lo spazio in cui si sviluppa la perturbazione non è
omogeneo oppure se viene generata da una massa  m  in moto non equilibrato.
Il caso più comune, che si verifica in tutto l'universo, è quello di una massa in moto in uno spazio rotante, i cui punti devono verificare la
legge fondamentale   (   Art.5   )
                                             V²⋅ R = Ks² = costante

e quindi rappresenta uno spazio nè omogeneo nè isotropo.
In questo caso i principi di conservazione e la realtà fisica impongono a Vs la dipendenza da parametri indipendenti che
ammettono
soluzioni reali e non banali dell'equazione solo quando assumono valori ben precisi che vengono indicati
come autovalori e le soluzioni
associate autofunzioni.
Ricordiamo che, se una particella si muove in un campo conservativo, in ogni momento verifica il principio di conservazione dell'energia,

che, nella forma più semplice, si scrive :   E = Ec + E

dove  Ec , Ep  ed E  rappresentano l'energia cinetica, potenziale e totale.
Sostituendo l'energia cinetica         ,
si ottiene l'equazione di Hamilton, che descrive il moto :     
da cui deriva :      

A questo punto osserviamo che, se intercettiamo una massa in movimento, le caratteristiche attraverso le quali essa si manifesta sono
l'energia e l'impulso che vengono trasmessi al ricevitore.
Se abbiamo quindi due masse che trasferiscono la stessa energia e lo stesso impulso, intercettandole, non si possono
distinguere e dunque 
sono equivalenti ( solo dal punto di vista delle caratteristiche rilevate ).
Il ragionamento si applica, naturalmente, anche al fotone, in quanto anch'esso, durante il moto, trasferisce energia e impulso, che,
se
coincidono con quelli di un'altra massa, lo rendono da essa indistinguibile. Abbiamo quindi :
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per una massa  m  :         
per il fotone :           
Al fotone viene quindi associata un'onda che si sposta con la velocità di fase
      
Seguendo il ragionamento di De Broglie, se una massa trasferisce lo stesso impulso, per essere indistinguibile dal fotone, dovrà essere
rappresentabile con un'onda avente la stessa lunghezza d'onda, ossia :    
Se trasferisce la stessa energia, dovrà anche essere :
         
La velocità di fase dell'onda " materiale " risulta quindi :
        
" A parità di energia trasferita ", tra la frequenza dell'onda materiale  νm  e quella del fotone equivalente  νf  si ha quindi il rapporto :

In definitiva secondo De Broglie, analogamente a quanto è previsto per il fotone, una particella materiale che trasferisce l'impulso  P

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potrà presentare comportamento di carattere corpuscolare oppure ondulatorio in rapporto alle condizioni in cui vengono effettuati i rilievi.

Il ragionamento di De Broglie è stato fatto osservando energia ed impulso di una particella materiale, prendendo come riferimento il
fotone, e la coincidenza dei valori ci porta a dire che la particella, non conosciuta, si comporta come il fotone, noto, dunque come
un'onda.
In un esperimento equivalente, si ritiene noto il comportamento della particella materiale e si scopre quello del fotone, non conosciuto.
Perfettamente equivalente è quindi il ragionamento alternativo :
Se osserviamo energia ed impulso di un fotone, prendendo come riferimento la particella materiale, la coincidenza dei valori ci porta a
dire che il fotone, non conosciuto, si comporta come la particella materiale, nota.

Dopo aver effettuato i due esperimenti l'operatore si domanda :
Devo trattare il fotone come una particella oppure la particella come un fotone?
E'possibile che particella e fotone siano lo stesso oggetto, che può essere trattato con una sola teoria?
Per dare una risposta, è necessario realizzare un unico esperimento ideale, con valori e condizioni assolutamente identiche  per entrambi
gli oggetti da analizzare. Questo però non è oggetto di questo articolo.

Ritornando al nostro tema, la lunghezza d'onda associata al comportamento ondulatorio sia per il fotone che per qualsiasi massa " è
inversamente proporzionale all'impulso trasferito ". Si ha quindi per la massa   :

dove con  Ep  abbiamo indicato l'energia potenziale della massa  m .
La velocità di fase  vm  con la quale l'onda associata si propaga risulta :    
l'hamiltoniana diventa così :    
Si tratta, a questo punto di capire che cosa descrive questa relazione.

Nella rappresentazione come particella in moto in uno spazio conservativo, l'equazione di Hamilton, scritta nella forma :

    

indica il valore della velocità che la massa  m  deve avere per poter verificare il principio di conservazione dell'energia.
Analogamente, nella rappresentazione come un'onda in moto nello stesso spazio, la relazione
            
rappresenta la lunghezza d'onda che la massa  m  deve manifestare per poter verificare il principio di conservazione dell'energia.
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Per evitare errate interpretazioni della lunghezza d'onda   λ  , si deve ricordare che le onde rappresentano solo
uno strumento
per
descrivere il trasferimento di uno stato perturbato del mezzo da un
punto all'altro dello spazio fisico ".

In realtà oltre " allo stato perturbato " non esiste quindi nulla che si sposta e questo vale naturalmente per la
massa  m  come per il fotone.
La lunghezza d'onda  λ  non è quindi associata a una particolare caratteristica della particella in moto, ma a quella che si sta utilizzando
per il rilievo.
L'onda associata è sempre comunque estesa nello spazio da    ∞ a + ∞   con lunghezza d'onda  λ  costante e numero d'onda
k = (2 ⋅ π)/λ .

Su un'onda armonica di questo tipo, infinitamente estesa, i punti dello spazio sono tutti identici fra loro e quindi non è più possibile
individuare la massa  o il fotone con caratteristiche localizzate.
Se non esiste nulla che trasferisca energia e impulso, l'onda stessa non può trasferire nulla e quindi anche l'equazione di Hamilton
associata perde il suo significato iniziale senza acquistarne un altro.
E' chiaro che non ha nessun significato una perturbazione estesa per tutto lo spazio, presente da sempre e per sempre.
Una perturbazione ha fisicamente un significato solo se s'inserisce in uno spazio imperturbato, per un tempo limitato.
Se vogliamo recuperare l'informazione legata alla particella come corpuscolo e conservare, nello stesso tempo, quelle legate all'onda
associata, prendiamo in considerazione una perturbazione che si manifesta in uno spazio limitato  Δr  con una durata limitata  Δt  ,
come è indicato in figura.
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Così facendo non è però più possibile descriverla con un solo valore di   , ma solo attraverso la sua trasformata di Fourier, che ha un
numero di componenti e quindi un intervallo del numero d'onda  Δk  tanto maggiore quanto minore è l'estensione nello spazio Δx .
Lo stesso discorso può essere fatto utilizzando l'estensione nel tempo  Δt  e si parlerà in questo caso di intervallo di pulsazione  Δω .
E' da tener presente che gli intervalli  Δx  oppure  Δt  non si possono scegliere arbitrariamente, in quanto le trasformate di Fourier
soddisfano la condizione
                              Δx ⋅ Δk > 1          e analogamente         Δω ⋅ Δt > 1 .
Nel caso della particella in esame, abbiamo :
    
e quindi dovrà essere :      
analogamente, si ha :     
e dunque anche :       

In definitiva, se abbiamo una particella, potrà essere descritta solo come un pacchetto d'onda centrato su  , formato da onde di diverse
frequenze ν e diverse velocità di fase.
Qualunque sia la scelta di ψ(r ; t) , la limitazione dei due intervalli localizza il pacchetto d'onde caratterizzato da due velocità :
-- Velocità di fase :     
uguale quindi a metà della velocità della particella.
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Ricordando che :     
-- la velocità di gruppo sarà :
     
coincidente con quella della particella.
Il fotone invece non può essere descritto come pacchetto d'onda in quanto la sua velocità è costante e
quindi l'unica descrizione possibile
è quella data da Maxwell come onda elettromagnetica, che non
è un pacchetto d'onde.

Se si sostituisce l'espressione della velocità di fase dell'onda associata alla particella    
alla velocità di propagazione che compare nell'equazione di d'Alembert, si ottiene la relazione :
    
che è già in sostanza l'equazione di Schroedinger.
In base all'origine dell'equazione di d'Alembert e a quanto abbiamo ricordato, possiamo dire che :
In questa equazione, la funzione  ψ(r ; t)  può rappresentare qualsiasi perturbazione
indotta nello spazio dalla presenza di una particella, che 
si propaghi con la velocità di
fase vm .

Per risolvere l'equazione è necessario conoscere la legge con la quale varia l'energia nel tempo e nello spazio e in generale il calcolo non
è semplice.
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Per fortuna, nei casi più comuni l'energia non dipende dal tempo e questo ci permette di separare facilmente le variabili ponendo

                                             ψ(r ; t) = ψ(r)⋅ϕ(t)

sostituendo, derivando e dividendo per il prodotto   ψ(r)⋅ϕ(t)  , si ottiene :
      
In questa equazione il primo membro dipende solo dalle coordinate spaziali ed il secondo solo da quella temporale.
Essi potranno essere uguali solo se entrambi sono uguali ad una costante indipendente dal tempo e dallo spazio.
Ponendo la costante di separazione uguale a     ω² , si hanno quindi le due equazioni :

Le soluzioni della prima equazione sono del tipo :     
Per il nostro problema, trattandosi di una perturbazione imposta nell'istante   t = 0  , la funzione deve essere periodica con valore
iniziale uguale a zero e quindi si assume :
     
derivando, si ha :   
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sostituendo nella seconda equazione, si ottiene :
       
e quindi, in definitiva :
   
Questa equazione viene detta degli stati stazionari , in quanto le grandezze che vi compaiono non dipendono dal tempo.
L'energia  E  compare nell'equazione come parametro imprecisato, che non dipende dalla variabile r , e si dimostra che essa ammette
soluzioni non banali (non identicamente nulle) solo per determinati valori del parametro   , che vengono detti autovalori e
le corrispondenti soluzioni autofunzioni .

Per questi motivi l'equazione di Schrödinger sotto questa forma viene detta "equazione agli autovalori per l'energia totale"
ed è scritta normalmente nella forma più generale :
      
dove ∇² è l'operatore di Laplace, dato da :
-- in coordinate cartesiane :            
oppure, trasformando   ψ(x ; y ; z)     in   ψ(r ; ϑ ; ϕ)  con :


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              x = r ⋅ senϑ⋅ cosϕ   ;   y = r ⋅ senϑ ⋅ senϕ   ;   z = r ⋅ cosϑ
-- in coordinate sferiche :
   
e quindi, in definitiva si ottiene l'equazione :
          
Con il metodo della separazione delle variabili, poniamo :   ψ(r ; ϑ ; ϕ) = R(r)⋅T(ϑ)⋅F(ϕ)

sostituendo le derivate come sono indicate dall'operatore di Laplace , se si moltiplica per                      (r²⋅sen²ϑ)     

e si divide per                          R(r)⋅T(ϑ)⋅F(ϕ)  ,
si ha :

Il primo membro dipende solo da  r  e ϑ  , ed il secondo solo da ϕ . Entrambi devono quindi essere uguali a un valore costante che
indichiamo con   p².
Si ha dunque :                
Come abbiamo già visto, le soluzioni di questa equazione sono sinusoidi del tipo :       Fp(ϕ) = e ± i⋅p⋅ϕ

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Dovendo assumere la funzione d'onda un solo valore, le funzioni Fp(ϕ) , che si ricavano con i diversi valori della costante p , devono
essere periodiche rispetto alla variabile  ϕ  , con un periodo multiplo di quello associato a p = 1 .
La costante  p  dovrà quindi essere un numero intero :
                                                      p = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ......

Uguagliando il primo membro dell'equazione alla costante    p² , se dividiamo per    sen²ϑ    e separiamo le variabili ritenendo
(E– Ep) indipendente da  ϑ , otteniamo :

il primo membro dipende solo da r ed il secondo solo da ϑ e quindi devono entrambi essere uguali a una costante, che indichiamo con

                               l ⋅ (l + 1)   con  l = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;.......

in modo da avere al secondo membro l'equazione di Legendre associata al parametro , diversamente l'equazione non
potrebbe ammettere soluzioni periodiche con periodo uguale a  (2⋅π) .
Abbiamo quindi :
     
Per  p ≠ 0  le soluzioni sono le funzioni associate di Legendre, che sono polinomi del tipo :
 
Uguagliando il primo membro a  l ⋅ (l + 1)  e sostituendo l'espressione dell'energia potenziale :
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si ottiene l'equazione di Laguerre :

Le soluzioni di questa equazione sono date da :
      
dove  Pn+l2⋅l+1(α)  sono i polinomi di Laguerre dati da :
         
con la variabile  α  legata al raggio  r  dalla relazione :
       
Le soluzioni di Laguerre richiedono che l'energia  E  della particella assuma solo i valori legati al parametro  n  dalla relazione :
     
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 Art.68-- Origine teorica e risoluzione dell'equazione di Schrödinger e d'Alembert, significato teorico dello stato quantico -- Antonio Dirita

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