Art.67– Origine e dimostrazione elementare del principio di indeterminazione di Heisenberg — Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

il problema che questo principio si propone di risolvere è la determinazione dell’errore minimo che si può commettere nella misurazione
di una grandezza, quando essa venga realizzata con lo strumento più preciso che riusciamo a concepire teoricamente, a prescindere
dalla sua reale fattibilità.

In altre parole, il principio vuole indicare il limite entro il quale una grandezza fisica definita ha significato.

” Il principio delle osservabili “ afferma infatti che non si possono definire le
grandezze fisiche che non siano, almeno concettualmente, misurabili.

Per definire completamente lo stato di moto della materia, è necessario assegnare la posizione occupata nello spazio, l’energia e l’impulso
posseduti, in un istante assegnato.
Immaginiamo inizialmente di avere a disposizione strumenti con precisione, potere risolutivo e sensibilità infinitamente elevati,
in modo da poter eliminare completamente gli errori strumentali per analizzare solo quelli di principio che non sarà
mai possibile eliminare.

In questo caso, se la materia considerata può occupare, in qualsiasi istante qualsiasi punto dello spazio fisico, ossia si muove in uno spazio
continuo, gli errori che possiamo commettere sono solo quelli legati alla ” simultaneità “ delle diverse misurazioni.

Solo se abbiamo uno stato stazionario, il valore delle grandezze da
misurare 
non cambia nel tempo e “sarà dunque possibile realizzare
tutte le misurazioni in istanti diversi senza introdurre errori nelle
misure rilevate”.
Studiando la teoria degli spazi rotanti abbiamo visto che la materia si organizza sempre nel rispetto dei principi di conservazione della
energia e del momento angolare e  ” non è mai stato osservato un caso  nel quale i due principi citati
non fossero verificati “.

Questa osservazione ci autorizza ad imporre la verifica dei due principi come condizione fondamentale per lo studio dell’equilibrio di
qualsiasi sistema e in qualsiasi condizione.
1
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Imponendo questi due vincoli all’organizzazione della materia nell’universo, si ricava la possibilità di realizzare una condizione di equilibrio
stazionario solo in corrispondenza di orbite circolari ben precise, associate a numeri quantici che indichiamo con Art.6   e  Art.10   ).
Se indichiamo con R₁ il valore del raggio dell’orbita associata a p = 1 , le orbite circolari sulle quali sarà realizzabile l’equilibrio stazionario
saranno espresse dalla relazione :
                                                        RP = R₁⋅ p²

Le condizioni di moto alla sfera planetaria sull’orbita vengono imposte dallo spazio rotante con la condizione di equilibrio (   Art.5   ) :

                                                         K² = V²⋅ R

dove   indica una costante caratteristica associata alla materia centrale che genera lo spazio rotante.
Sostituendo la prima relazione nella seconda, si ricava :      
Indicando con  V₁ la velocità di equilibrio sull’orbita di raggio  R₁ , si avrà :     
e quindi, per tutte le orbite stazionarie sarà :      
Essendo   V2  il valore dell’energia associata all’unità di massa in orbita, si può dire che :

Nello spazio rotante la quantizzazione del raggio delle orbite stabili
produce una quantizzazione dell’energia specifica ad esse associata.

2
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Se abbiamo una massa planetaria di valore   , in orbita stabile con velocità  , in uno spazio rotante di valore   , indicando con :

sulle orbite quantizzate si ricavano le relazioni :

ponendo :         
sulle orbite circolari stabili si verificano le espressioni :

Non avendo posto condizioni per ricavare queste relazioni, esse saranno di validità
assolutamente generale, per cui si applicano alle strutture atomiche 
come agli ammassi
galattici.

3
——————————————————————————————————————————————————————————————————
In entrambi i casi si verifica la quantizzazione delle orbite circolari stabili e     tra due orbite consecutive
l’equazione del moto non fornisce 
soluzioni reali “.

Questo vuol dire che, se si verifica una transizione da un’orbita
all’altra, non esiste alcuna possibilità di descrivere le condizioni di
moto
della massa  m  per tutta la durata della transizione.

Studiando la teoria generale abbiamo visto però che, realizzando lo scambio alternato di energia tra spazio rotante e massa planetaria,
anche in presenza di un eccesso di energia  ΔE , rispetto al valore associato all’orbita circolare, diventa possibile realizzare un moto
stazionario con la massa m in equilibrio su un’orbita ellittica (   Art.12   ).
Nella realtà, questo scambio si realizza però solo negli spazi rotanti ordinari, nei quali si trovano aggregati di qualsiasi dimensione e questo
consente di verificare i principi di conservazione dell’energia e del momento angolare in qualsiasi punto dell’orbita ellittica.

In uno spazio rotante atomico, nucleare o subnucleare non esistono aggregati materiali liberi e quelli in orbita sono sempre costituiti da
materia nella condizione di “particella elementare”. In questo caso lo scambio continuo di energia con lo spazio fisico rotante su orbite
ellittiche, necessario per poter soddisfare il principio di conservazione, non è realizzabile, per definizione stessa di particella elementare.
Art.9a   ) Conseguenza di questa situazione è che le particelle elementari in equilibrio sulle orbite circolari stabili non riescono ad
assorbire o cedere la quantità di energia che le porterebbe in equilibrio su orbite ellittiche, a meno che l’afelio non coincida con un’altra
orbita circolare stabile.
L’analisi dettagliata del problema viene comunque fatta trattando un capitolo della teoria generale. Vogliamo qui solo mettere in evidenza
che, in queste condizioni, riusciamo a descrivere con precisione ( con errore nullo, usando gli strumenti ideali che sono stati
ipotizzati )
solo lo stato della massa   sull’orbita di partenza e su quella di arrivo, ma assolutamente nulla riusciamo
a
descrivere di quello che accade durante la transizione.
4
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Quando la massa   non si trova in equilibrio con lo spazio rotante nel quale si muove, ossia durante il passaggio da un’orbita all’altra,
le nostre equazioni sono del tutto impotenti e quindi, per esempio nel passaggio da R11 a
R₂
, la sua condizione può essere definita solo a meno delle seguenti differenze :

Queste relazioni ci dicono che, anche per bassi valori del numero quantico  , l’indeterminazione sul valore delle
grandezze misurate risulta, in
tutti i casi, dello stesso ordine di grandezza della misura stessa.

Questo si verifica solo per il tipo di organizzazione degli spazi rotanti atomici e subatomici e non tiene conto degli strumenti utilizzati che,
in questo caso sono stati considerati assolutamente perfetti.
Si tratta quindi di una indeterminazione legata solo alla struttura della materia.
Abbiamo dunque le indeterminazioni minime :

            Δt ≥ T₁    ;    ΔE ≥ E₁    ;    ΔP ≥ P₁    ;    ΔR ≥ R₁    ;    ΔV ≥ V₁
5
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Si ricavano quindi le relazioni :

Queste relazioni sono state ricavate con riferimento a  Z = 1  . Per qualsiasi altro atomo, nella teoria generale, si ricava (   Art.17   ) :
       
e dunque l’indeterminazione risulta molto più elevata.
Essendo in tutti gli atomi la particella in orbita un elettrone, sostituendo il valore della sua massa, si ottiene :

     2 ⋅ π ⋅ me ⋅ V₁₁⋅ R₁₁ = 6,6260755⋅10⁻³⁴ j⋅sec = h = costante di Planck
In definitiva, si ha quindi :

Di queste relazioni si fa un grande abuso, interpretandole senza tener conto della loro
origine.

Si dice infatti che l’errore che si commette nel rilevare una misura sarà tanto più elevato quanto minore è l’errore commesso nel rilievo
dell’altra coniugata 
e questo si ritiene valido senza limiti.
6
——————————————————————————————————————————————————————————————————
L’analisi che abbiamo descritto ci dice invece che, se anche ciascuna misurazione viene eseguita con con errore uguale a zero, sulla 
grandezza G, valutata durante una transizione, si avrà sempre l’indeterminazione

                                                 ΔG ≥ G₂ – G₁₁
anche se G₂ e G₁₁ non sono affetti da errori.
L’indeterminazione, che abbiamo calcolato, deriva unicamente dal fatto che non possiamo dire nulla sulle condizioni di moto della particella
durante il passaggio da un’orbita circolare stabile all’altra.
Siamo costretti a misurare solo le caratteristiche associate alla particella in equilibrio su
queste due orbite stazionarie.

La assoluta stabilità nel tempo degli atomi e dei nuclei ci assicura che le particelle in orbita non perdono energia. Questo vuol dire che
la loro velocità relativa rispetto allo spazio rotante nel quale si muovono è nulla.
L’orbita risulta dunque perfettamente circolare ed il moto stazionario.

Se l’orbita viene interpretata come probabilità di trovare la sfera planetaria ad una certa distanza dal
centro,
” si attribuisce alla particella un moto oscillatorio “ ( dunque con velocità variabile )
rispetto allo spazio rotante.

Questo crea però un moto accelerato con perdita di energia e conseguente instabilità del sistema, contrario all’esperienza quotidiana.

Questa ipotesi, che viene indicata come teoria degli orbitali, risulta anche in contraddizione con il fatto che la transizione di elettroni
tra due livelli produce l’emissione di un fotone avente sempre la stessa frequenza caratteristica.

Se così non fosse, facendo interferire due onde emesse dalla stessa transizione, si dovrebbero generare
dei battimenti, che non sono mai
stati verificati sperimentalmente.
Secondo la distribuzione di energia che si associa ai due orbitali tra i quali si verifica la transizione, si dovrebbero avere invece frequenze
con distribuzione continua in un certo intervallo.
Se si escludono variazioni nel tempo del raggio delle orbite circolari stazionarie, su di esse sarà possibile effettuare, nel tempo, le
misure indipendentemente una dall’altra, senza alcun
limite di principio sulla indeterminazione.
Durante la transizione si avrà invece :

                   Δt ≥ T₁   ;   ΔE ≥ E₁   ;   ΔP ≥ P₁   ;   ΔR ≥ R₁   ;   ΔV ≥ V₁
7
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Le espressioni della indeterminazione vanno dunque scritte nella forma :

Ribadiamo che questi limiti della indeterminazione delle misure, si applicano solo alle
transizioni all’interno degli atomi e sono indipendenti dagli strumenti 
utilizzati, i cui errori
sono stati assunti uguali a zero.

Per p → ∞ l’elettrone risulta indipendente dallo spazio rotante nucleare ed ha velocità di equilibrio uguale a zero.
Se quindi abbiamo un elettrone libero, fermo nello spazio, possiamo dire che esso si trova in perfetto equilibrio con il nucleo dal quale si
è separato.
Se ora lo acceleriamo, portandolo alla velocità    gli avremo fornito l’energia cinetica     
che risulta in eccesso rispetto al valore richiesto dalla condizione di equilibrio sull’orbita di confine, imposta dallo spazio rotante nel quale
si muove.
Se, a questo punto, con un mezzo qualsiasi, freniamo l’elettrone fino ad avere  V = 0  , al termine dell’operazione esso avrà trasferito
al mezzo frenante tutta l’energia  ΔE = E  con una velocità media                        Vm = V/2 .

Con questa operazione noi avremo ” forzato “ una transizione dell’elettrone dalla condizione iniziale con eccesso di energia
ΔE alla condizione finale 
di equilibrio con  Eeq = 0.
8
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Se come mezzo frenante viene utilizzato uno spazio rotante protonico, l’energia che esso assorbe crea una perturbazione che ha una
frequenza proporzionale all’energia trasferita, secondo la :

Se il tempo entro il quale viene completato il trasferimento dell’energia  ΔE  , alla velocità media Vm , viene indicato con  Tm , dalla
teoria generale degli spazi rotanti, sappiamo che si ha :  T = 2 ⋅ T.
Dalla teoria generale sappiamo anche che la perturbazione che viene creata nello spazio, dall’eccesso di energia trasferito, si propaga con
una lunghezza d’onda :             λ = Vm⋅T.
Con qualche semplice sostituzione, si ricava :
        
L’espressione è nota come ” onda associata di De Broglie “.
Questa relazione è assolutamente identica a quella che descrive la lunghezza d’onda  λ  associata alla perturbazione che viene generata
nello spazio da un fotone che trasferisce l’impulso  P .
E’ chiaro che, nel caso dell’elettrone, la propagazione dell’energia    ΔE   nello spazio si realizza attraverso lo spostamento della massa
me  alla velocità  V , la quale non è quindi una caratteristica propria dello spazio, mentre per il fotone il trasferimento avviene alla
velocità della luce  C.
Quello che, da questa lunga deviazione dal tema, risulta evidente è il fatto che l’onda associata di De Broglie non accompagna la particella
me per tutta la sua corsa, ma nasce durante la transizione, così come accade anche per le onde elettromagnetiche associate ai fotoni.
9
——————————————————————————————————————————————————————————————————
Da questo punto di vista è necessario rivedere le affermazioni che in genere vengono fatte circa l’onda associata a un protone oppure alla
materia ordinaria.
Il protone può essere frenato solo dallo spazio rotante elettronico e quindi si potrà generare l’onda associata solo facendolo interagire con
un elettrone.
La materia ordinaria, come per esempio un atomo di idrogeno, potrà formare un sistema equilibrato solo se entra in orbita in uno spazio
rotante generato da altra materia ordinaria, per il quale la relazione che abbiamo ricavato non è utilizzabile.

Ritornando al nostro tema, possiamo concludere che, nel caso dell’elettrone libero, anche se, quando viene fermato, si crea una
perturbazione avente una componente ondulatoria, non esiste nessuna quantizzazione del fenomeno e non
esiste quindi nessun limite concettuale nella determinazione delle 
misure e gli errori
saranno solo quelli strumentali.

Se, a questo punto, teniamo conto che gli strumenti reali non sono quelli che abbiamo finora considerato, alle ” indeterminazioni di
principio”
, nelle misure, dobbiamo aggiungere gli errori strumentali.

Naturalmente, per valutare il limite inferiore degli errori, consideriamo il caso in cui gli strumenti utilizzati siano i più opportuni.
Consideriamo che gli strumenti di misura necessari sono  metro ed orologio  e che  i più precisi di cui possiamo disporre sono
proprio quelli che sfruttano la costanza praticamente assoluta, nel tempo, delle transizioni e dunque delle radiazioni che si verificano
nella struttura atomica, nucleare e subnucleare
La relazione che descrive queste radiazioni è del tipo :         
10
——————————————————————————————————————————————————————————————————
in cui  T  è la durata della transizione da un’orbita stabile all’altra.
La relazione si può anche scrivere :
                                      E ⋅ λ = h ⋅ C    ;    E ⋅ (2⋅T) = h
oppure :          
Per indurre, nel sistema in esame, la minore perturbazione possibile, siamo portati ad assumere un valore di energia  E  , associato alla
radiazione, molto basso.
Questa scelta comporta però valori elevati di λ e T e, dato che questi valori rappresentano la minima indeterminazione che possiamo
avere sul tempo e sulle distanze, dobbiamo accettare un compromesso.
Supponendo comunque di aver fatto la scelta più opportuna, avremo i valori minimi di indeterminazione :

                       ΔX = λ    ;    ΔP = P    ;    ΔE = E    ;    Δt = (2 ⋅T)

e risulta ancora :                                         ΔX ⋅ ΔP = h    ;    ΔE ⋅ Δt = h

Questi risultati indicano che gli errori strumentali risultano dello stesso ordine di grandezza di quelli di principio.
Va ricordato che le indeterminazioni di principio non derivano da misurazioni, ma nascono per il fatto che, essendo impossibile misurare
durante il periodo di transizione, siamo costretti a rilevare le misure nei due stati stazionari di partenza e di arrivo.
A questa indeterminazione vanno aggiunti gli errori strumentali che siamo costretti a commettere durante i rilievi, che vengono
effettuati comunque nello stato stazionario.
E’ chiaro che, pur essendo “indeterminazione ed errori strumentali” valori che concorrono a definire lo stesso risultato, si tratta di due
entità diverse dal punto di vista concettuale.
I primi sono legati unicamente al sistema in esame e non possono essere da noi scelti.
I secondi invece dipendono solo dagli strumenti che utilizziamo e quindi sono il risultato delle nostre
scelte.

Trattandosi sempre di uno stato stazionario, non esiste il problema di dover effettuare i rilievi simultaneamente e dunque possiamo, per
ciascuna misura, minimizzare l’errore (non l’indeterminazione che invece è fissa) scegliendo di volta in volta lo strumento più opportuno.

Con questo accorgimento, nello studio di particelle legate, nelle transizioni tra orbite stabili, gli errori strumentali possono essere resi
trascurabili rispetto alle indeterminazioni proprie della transizione in esame.
Naturalmente questo non è possibile trattando particelle libere alle quali non sono legate indeterminazioni di principio.
In questo caso è però necessario effettuare le misurazioni simultaneamente.

11
——————————————————————————————————————————————————————————————————

 Art.67– Origine e dimostrazione elementare del principio di indeterminazione di Heisenberg — Antonio Dirita

Lascia un commento