Art.60 -- Vettore di Poynting, calcolo dell'energia associata al campo elettromagnetico e alle onde gravitazionali -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Ricordiamo che una perturbazione sinusoidale  X(t) prodotta in un punto  dello spazio si propaga per onde in direzione radiale,
secondo la relazione ( Art.20  ) :
    
dalla quale si ottiene :        
equazione caratteristica della propagazione per onde :
            
Confrontando questa espressione con quelle dei campi elettrico e magnetico si vede che la loro velocità di propagazione vale :
 
Utilizzando l'osservazione sperimentale che le onde elettromagnetiche, nello spazio vuoto, si propagano con la velocità della luce, si pone :
     
Utilizzando la definizione di potenziale ( elettrico o gravitazionale ), abbiamo ricavato l'espressione della potenza trasferita da una corrente
di elettroni in regime stazionario :       P = V ⋅ i
Nello spazio vuoto, in presenza solo di un campo elettromagnetico, bisogna generalizzare questa relazione, sostituendo la corrente di
spostamento alla corrente di elettroni i .
1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Considerando uno spostamento infinitesimo  dr nella direzione del moto, la tensione tra i due punti vale :

  
la corrente di spostamento vale :    
La potenza trasferita dal volume di spazio fisico      dv = dS ⋅ dr        sarà quindi :
   
da cui si ricava :         
Indicando con  Ev,t  l'energia trasferita dal volume unitario nell'unità di tempo, integrando tra  0 e  Ke , si ottiene :                              
Per il campo magnetico, si ha :    
ricordando che :       
si ottiene:     
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e quindi, integrando :         
sostituendo nell'espressione di    Ev,t(Ke   , si ottiene l'energia trasferita, dal volume unitario nell'unità di tempo, dall'induzione
magnetica B :    
l'energia trasferita complessivamente dal campo elettromagnetico, dal volume unitario nell'unità di tempo, sarà :
   
Si deve notare che il trasferimento di energia avviene sempre nella direzione ortogonale al piano individuato dai vettori  Ke e  B e
quindi è possibile dare anche questa informazione, esprimendo l'energia Ev,t(Ke ; B) utilizzando il loro prodotto vettoriale.
Scriviamo l'energia Ev,t(Ke ; B) nella forma :

Si definisce vettore di Poynting il prodotto vettoriale :
  
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e si ha quindi :                  
Si ha quindi la relazione :                     P = Cl ⋅ Ev,t(Ke ; B)

A secondo membro abbiamo la potenza che attraversa la superficie unitaria.
Si ha infatti :
 
Se abbiamo uno spazio sede di un campo elettromagnetico e consideriamo un volume finito  , delimitato dalla superficie chiusa  S ,
si potrà enunciare il principio di conservazione dell'energia, dicendo che :

il "flusso dell'energia uscente" dalla superficie chiusa S nell'unità di tempo (potenza uscente) è uguale
alla variazione, che si verifica nell'
unità di tempo, dell' energia Ev,t(Ke ; B) disponibile nel volume V
da 
essa racchiuso.
Usando il vettore di Poynting, si ha :     
applicando il teorema della divergenza al primo membro, si ottiene :        
che esprime l'equazione di continuità dell'energia.

A questo punto notiamo che tutte le equazioni sono state ricavate utilizzando il campo elettrico, ma si possono ricavare allo stesso modo,
con riferimento al campo gravitazionale.
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bisogna però considerare che esiste già una teoria della gravitazione ormai acquisita e non è sempre possibile rivedere delle definizioni
per adattarle ad un nuovo impianto teorico.
Se consideriamo, per esempio, il campo elettrico, esso viene definito come vettore il cui flusso uscente da una superficie chiusa è uguale
al valore della carica elettrica presente nel volume da essa racchiuso.
In un sistema a simmetria sferica, con la carica elettrica posta al centro si ha così la relazione :    
nella quale qs si assume come concetto primitivo che soddisfa il principio di conservazione.
Talvolta viene data la definizione operativa di campo elettrico attraverso la forza che esso esercita su una carica esploratrice.
Viene così introdotto il lavoro che si compie quando la forza esercitata sposta la carica unitaria di un tratto dr nella direzione del campo.
Si arriva quindi a definire il potenziale e la differenza di potenziale tra due punti, in termini di energia e dunque di accesso reale. Infatti, il
motore di tutte le trasformazioni, in qualsiasi campo, è il generatore di tensione.
Esso rappresenta il punto di partenza per qualsiasi analisi.
Se vogliamo trattare il problema con gli spazi rotanti, in questo caso abbiamo l'osservazione sperimentale e la giustificazione teorica che
la materia, posta in un punto qualsiasi dello spazio fisico, rende lo spazio circostante attivo, capace di imporre in ogni punto la
condizione di equilibrio :

                                                                                                     V²⋅ R = Ks²

verificata sia in campo astronomico che atomico e nucleare.

Ks² diventa così una costante del sistema, che non dipende dal punto considerato, ma solo dalla materia posta nel centro.
Nello spazio considerato sarà dunque possibile definire un vettore   Km↑  il cui flusso uscente da una superficie chiusa sia uguale al
5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
valore Ks² generato nel volume da essa racchiuso. Si verificherà quindi :    
dove con  δKS² abbiamo indicato la densità della materia nel volume di spazio considerato.
In uno spazio con simmetria sferica si ottiene :       
dove  α  rappresenta una costante caratteristica del mezzo in cui  Ks² agisce.
Se in questo spazio alla distanza   dal centro poniamo una massa  m  su di essa si manifesta una forza :
         
Questo ci consente di definire un potenziale in termini di lavoro :
    
Con riferimento alla massa unitaria, per uno spostamento finito, dal punto A al punto B , si definisce la differenza di potenziale, o
tensione tra il punto
e il punto  , l'integrale :
          
Nel nostro sistema a simmetria sferica, passando da R₁ a R₂ , si ricava :
          
e con   R₂ →∞  si ottiene il valore del potenziale assoluto presente nel punto distante r dal centro :
    
Dato che nelle teorie correnti il potenziale gravitazionale è già definito dalla relazione :     
per lo spazio vuoto, per conservare la validità della definizione nota, si dovrà assumere :    
Abbiamo a questo punto una perfetta analogia di comportamento tra campo elettrico e gravitazionale, per cui , qualsiasi trattazione potrà
essere riferita a uno oppure all'altro, adattando semplicemente la simbologia usata.
6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Art.60 -- Vettore di Poynting, calcolo dell'energia associata al campo elettromagnetico e alle onde gravitazionali -- Antonio Dirita

Lascia un commento