Art.59 -- Teoria della propagazione delle onde elettromagnetiche, sintesi delle equazioni di Maxwell e significato fisico di rotore e divergenza -- Antonio Dirita

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Ricordiamo che, se è assegnata una superficie S, si definisce densità della corrente e si indica con J , un vettore il cui flusso attraverso
S è uguale alla corrente elettrica I :
                 

L'equazione di continuità afferma che il flusso della densità di corrente  Juscente da una qualsiasi superficie chiusa   è uguale alla
variazione della carica elettrica racchiusa all'interno.
Ricordiamo che, se  Vi  è il volume delimitato dalla superficie chiusa S , viene definita divergenza del vettore J il limite :

che consente di passare da un integrale di volume a uno di superficie.

Fisicamente la  div J vuole indicare una caratteristica puntuale  ( lim(Vi→0) dello spazio. In particolare, indica la variazione che
subisce la caratteristica J↑ in un punto  P del volume considerato.
Se si ha  div J > 0 , vuol dire che in quel punto il valore di  J aumenta, ossia si ha una sorgente di  J e quindi, per la continuità 
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dello spazio fisico, si dovrà avere un flusso di J che esce da una qualsiasi superficie chiusa che abbia il punto P al suo interno.
Si raggiungerà quindi una condizione di equilibrio stazionario se l'aumento di  J↑ , espresso dalla  div J↑  , uguaglia il flusso netto
uscente dall'intero volume racchiuso dalla superficie scelta.
Viceversa, se  div J < 0 , si ha un pozzo di J , ossia un punto in cui il valore di Jdiminuisce e quindi si raggiungerà un equilibrio
quando la diminuzione è uguale al flusso che entra complessivamente dalla superficie chiusa .

Se  div J = 0 , il flusso netto ( somma di quello uscente più quello entrante ) che attraversa la superficie chiusa S è nullo e questo
indica che il valore di Jnel punto considerato si mantiene costante nel tempo.
Se si indica con ϱq la densità di carica, l'equazione di continuità diventa :

Integrando entrambi i membri rispetto a un volume definito V , si ha :
         
Applicando ora il teorema della divergenza, che è stato ricordato, al primo membro si può sostituire l'integrale della divergenza del
vettore J esteso al volume V con il flusso dello stesso vettore uscente dalla superficie S che lo racchiude.
L'equazione di continuità diventa quindi :
          
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nel caso stazionario sarà ovviamente :                             dϱq/dt = 0
Trattando il magnetismo planetario e quello atomico  (   Art.46   ), abbiamo visto che se si ha una sfera solare in equilibrio stazionario con
lo spazio rotante da essa generato, in qualsiasi condizione debbono essere soddisfatti i principi di conservazione.
In particolare, si deve verificare in ogni istante la conservazione del momento angolare del sistema, dato dalla somma vettoriale del
contributo fornito dalla rotazione delle masse in moto su se stesse più quello associato al moto di rivoluzione.
E' chiaro che, essendo una somma vettoriale, è possibile variare il risultato anche solo cambiando l'orientamento dei vettori nello spazio.
Se quindi, per una qualsiasi ragione, in un punto dello spazio fisico si verifica una variazione del momento angolare, nello spazio
circostante si verifica una 
polarizzazione degli elementi spaziali (rotanti), che vengono orientati in modo da fornire un momento
angolare contrario alla variazione iniziale.

Sia sui pianeti del sistema Solare che nell'atomo, abbiamo verificato che si ha una proporzionalità fra il momento angolare della massa
rotorivoluente sull'orbita e l'induzione B del campo magnetico associato.
Il processo viene descritto con la legge di Ampère, generalizzata da Maxwell.

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Essa afferma che, se abbiamo una corrente i , che attraversa nel punto  O la superficie   delimitata dalla linea chiusa l , su ogni punto
P di tale linea è possibile individuare un vettore H tale che la sua circuitazione sia uguale alla corrente i :

          
Ricordiamo ora che il rotore di un vettore è definito dalla relazione :      
si ricava :
  
e si dimostra il teorema :
     
applicandolo alla circuitazione di H , si ha :


da cui deriva :  
La definizione del campo magnetico  H serve solo per mettere in relazione il magnetismo con la causa che lo produce ma, dal
punto di vista pratico, non è utilizzabile direttamente, in quanto prescinde dal mezzo in cui il processo si sviluppa, mentre noi sappiamo
che il livello di polarizzazione dipende anche dalle caratteristiche del mezzo.
Si definisce dunque un vettore B , detto induzione magnetica , proporzionale ad H con costante μ caratteristica del mezzo,
indicata come permeabilità magnetica :
B = μ⋅ H

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Consideriamo ora un condensatore carico, come in figura.

Scegliamo una linea chiusa   che delimiti la superficie  S, che è attraversata dalla corrente i nel punto  P , e la  S , che invece non
è attraversata dalla corrente i , ma solo dalle linee del campo elettrico che attraversano lo spazio compreso tra le due armature.

Se ora applichiamo la legge di Ampère alla superficie  S₁ , la circuitazione dell'induzione magnetica B risulta proporzionale al valore
della corrente che attraversa il circuito per giungere sulle armature.   
Quando consideriamo la S2 , ritroviamo in entrata è la stessa corrente i , ma non si ha flusso uscente.
E' a questo punto che Maxwell, per rendere il sistema consistente, prendendo in considerazione il fatto, osservato
sperimentalmente, che
anche un campo elettrico variabile nel tempo è capace di generare un campo magnetico, pensò di
" estendere l'equazione di continuità " nella forma 
generale al caso non stazionario.
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Per raggiungere lo scopo, immaginò che in un regime transitorio il secondo termine potesse assumere valore non nullo.
Per uniformarsi con il primo, ipotizzò la relazione :     
con il vettore D proporzionale al campo elettrico attraverso una costante  ε caratteristica del mezzo :

scrivendo così l'equazione di continuità generalizzata nella forma :
   
il termine         viene detto densità di corrente di spostamento.
Sostituendo, si ottiene l'espressione dell'induzione magnetica :
     
e quindi la legge di Ampère--Maxwell :
    
oppure la forma alternariva :   
Questa legge mette in relazione un campo elettrico variabile nel tempo con il campo magnetico da esso generato.
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Esiste l'osservazione sperimentale speculare, che mostra come un campo magnetico variabile nel tempo generi corrente in un
circuito.

L'analisi teorica del problema si deve a Faraday, che, con la legge che porta il suo nome, afferma :
La forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è uguale, ma di segno
opposto, alla variazione nella unità di tempo del flusso 
dell'induzione magnetica B concatenato con il
circuito stesso, ovvero :

                                             f.e.m. = – dφ/dt

Ricordando la definizione di f.e.m. e di flusso concatenato, si ha :
    
applicando il teorema di Stokes a primo membro, si ha :


e quindi :     
e in definitiva :   
Riassumendo, in regime transitorio, ai campi elettromagnetici si applicano le equazioni di Maxwell :
-- nella forma integrale       

      
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-- nella forma differenziale       

      

Per una corretta lettura di queste relazioni, chiariamo il significato fisico del rotore di un vettore  V in un punto   dello spazio.

Con riferimento alla figura, consideriamo un vettore  V(x,y,z) in un punto  P₀ dello spazio descritto con il sistema di assi di
riferimento  x , y , z .
V(P₀ ,x,y)  sarà la proiezione sul piano   (x , y),  avente le coordinate x e y.
Con un piccolo spostamento del vettore  V(P,x,y) nello spazio, la proiezione sul piano (x , y) diventerà V(P₁,x₁,y₁) ,
con coordinate :
                                        x₁ = x + dx   ;   y₁ = y + dy

Durante lo spostamento del vettore da  P₀  a  P₁ le sue componenti sono state incrementate di : 
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La differenza fra i due incrementi ci fornisce una misura della tendenza della componente  V(P₀ ,x,y)  a ruotare, sul piano
(x , y),
rispetto alla direzione che ha nel punto P₀ .
Se, per semplicità di esposizione, poniamo dx = dy, la tendenza a ruotare sul piano sarà fornita dalla differenza :                            
se  Δ > 0  si avrà una rotazione nel verso antirario, nel verso opposto se  Δ > 0 .
Indichiamo questa differenza come la componente di un vettore con direzione perpendicolare al piano (x , y) , coincidente quindi
con l'asse z .
Considerando, in maniera analoga le componenti sui piani (y , z) e (z , x) , e sommando, si ottiene il vettore rot V(P) ,

che fornisce la rotazione di  V(P) nello spazio attorno al punto .

Se  rot V(P) = 0  il vettore  V(P) non ruota e dunque avrà nello spazio sempre la stessa direzione.

E' da notare che il  rot V(P) non dà alcuna indicazione sul valore di V(P) , ma solo sulla variazione della direzione nel tempo.

E' chiaro quindi che rot V(P) ≠ 0 implica V(P) ≠ 0 , ma  rot V(P) = 0 non non implica affatto V(P) = 0.

Riprendiamo ora il problema del condensatore sferico con  R₂→∞ , dunque la sfera di raggio  R₁ carica positivamente. In queste
condizioni, in ogni punto dello spazio si ha un campo elettrico costante nel tempo :
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Se, a questo punto, colleghiamo la sfera a un generatore di tensione variabile nel tempo con legge sinusoidale, sulla sfera si separerà una
carica elettrica  q che avrà lo stesso andamento nel tempo, secondo la relazione :

                                          qs(t) = 4⋅π⋅ε⋅ R₁⋅VG(t)

La carica variabile sulla sfera genera una perturbazione che si propaga nello spazio per onde, con le modalità  viste nell'   Art.20    .
Se consideriamo un punto ad una distanza dalla sfera r >> R₁ , possiamo considerare la propagazione per onde piane in direzione
radiale, secondo lo schema semplificato di figura.

Dato che la simmetria sferica del sistema rende il campo elettrico variabile solo nella direzione del raggio, il rotore si riduce solo alla
derivata rispetto al raggio. La legge di Ampère -- Maxwell in forma differenziale diventa :
     
Abbiamo visto però che la propagazione per onde della perturbazione, che nasce variabile solo nel tempo, la rende variabile anche nello
spazio con una 
velocità di propagazione Vs caratteristica del mezzo.
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Dunque risulta anche   (rot Ke) ≠0   e quindi si ha anche :
     
In definitiva, nel punto  P abbiamo i campi elettrico  Ke e magnetico  B che si rigenerano a vicenda, secondo le relazioni :
    
e si propagano nello spazio con la velocità Vs .
Derivando la prima equazione rispetto a r e la seconda rispetto a si ottiene
     
da cui si ricava :      
Derivando invece la prima equazione rispetto a t  e la seconda rispetto a  r si
ottiene : 

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 Art.59 -- Teoria della propagazione delle onde elettromagnetiche, sintesi delle equazioni di Maxwell e significato fisico di rotore e divergenza -- Antonio Dirita

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