Art.56 -- Origine del fotone e calcolo teorico delle sue caratteristiche fisiche come onda/particella e dell'energia associata -- Antonio Dirita

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Il fotone venne introdotto per la prima volta da Einstein , studiando quello che definì " effetto fotoelettrico ", ossia l'emissione di
un elettrone da parte di un atomo ottenuta per mezzo di una radiazione elettromagnetica.
Da questi studi emerse che l’energia cinetica massima che possiedono gli elettroni emessi non dipende dall'intensità della radiazione
elettromagnetica, ma solo dalla frequenza con cui essa colpisce l'atomo.

Queste osservazioni sono però in contraddizione con le leggi di Maxwell, il quale riteneva che l’energia cinetica degli elettroni dipendesse
proprio dall’energia da essi posseduta, e quindi dall’irraggiamento ricevuto.
Utilizzando gli studi condotti da Planck, Einstein trovò una spiegazione dell’effetto fotoelettrico che si discosta da quella della fisica classica

La sua proposta fu, infatti, che la trasmissione di energia da parte della radiazione elettromagnetica avvenisse proprio tramite pacchetti
di energia, ai quali venne dato il nome di fotoni.
Nell’effetto fotoelettrico, ogni fotone interagisce con un solo elettrone, che può allontanarsi dalla superficie metallica solo se riceve una
energia maggiore del lavoro di estrazione.
Sperimentando l'effetto fotoelettrico Einstein osservò che per avere l'emissione di un elettrone la frequenza del fotone incidente doveva
superare il valore di soglia     νmin = Ee/h
dove  Erappresenta il lavoro di estrazione, caratteristico dell'atomo.
 Con una frequenza maggiore l'elettrone veniva emesso con un'energia cinetica                   Ec = h·ν – E
dipendente solo dalla frequenza della radiazione incidente.

Quello che accade all'elettrone nell'atomo intercettato quando la radiazione incidente ha una frequenza minore del valore di soglia non
viene specificato; si dice solo che l'elettrone non viene emesso dall'atomo, senza specificare la sorte dell'energia fornita.
Nella teoria degli spazi rotanti viene analizzata l'evoluzione dell'elettrone con un aumento graduale dell'energia fornita, partendo da un
valore anche uguale a zero.

Trattando la teoria generale degli spazi rotanti (   Art.12   ) , abbiamo visto che i principi di conservazione dell'energia e del momento
angolare applicati al moto di una sfera planetaria in uno spazio rotante centrale  Ks² portano a soluzioni reali dell'equazione del moto
solo nei punti in cui è verificata la condizione : 
dove la costante  C  vale il doppio della velocità areolare della massa m.
Oppure :    
Se la sfera planetaria arriva da R e ad essa non sono state applicate altre azioni esterne oltre a quella dello spazio rotante centrale,
per il principio di conservazione, il valore dell'energia   è sempre uguale zero e quindi, dalla prima relazione, si ricava la condizione, per
avere soluzioni reali :   
Se  E ≠ 0 , risolvendo la disequazione, si ricava il campo di esistenza delle soluzioni reali, che risulta :

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che, per E > 0 si riduce solo alla prima, in quanto la seconda fornisce un valore negativo del raggio.

In questo caso, sono dunque realizzabili solo traiettorie aperte.
Con  E < 0 i due estremi dell'intervallo di esistenza si riducono ad uno solo quando si verifica la condizione :
   
equivalente alle :   

In queste condizioni l'orbita diventa circolare di raggio :       .
Sostituendo il valore :                  
si ottiene la relazione fondamentale, per il valore del raggio dell'orbita stabile circolare minima :

Se ora, partendo da questa condizione di equilibrio, alla sfera planetaria viene fornita la quantità di energia ΔE , l'orbita diventa ellittica
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con semiasse maggiore dato da :           
con :     Ea = (E + ΔE)   ( si ricordi che l'energia E è negativa )
Per  ΔE– E  si ottiene   a   e quindi, aumentando  ΔE con continuità si può variare il raggio da      
a R → ∞ .

Tutte queste orbite avranno in comune i valori dell'energia iniziale E , del momento angolare (specifico ) C , della velocità areolare Va ,
dati dalle relazioni :  
Per esempio, applicando la relazione alla Terra, si ricava la velocità areolare :
     
utilizzando l'area dell'ellisse, si ottiene :    
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studiando le forze di Van der Waals (  Art.30   ),abbiamo visto che, per spostare una massa qualsiasi dalla condizione di equilibrio, in
direzione radiale, si deve applicare una forza data da :
       
Ponendo :        
si può scrivere :   
In ogni falda si annulla per  R = Req e coincide chiaramente con il valore della forza che lo spazio rotante esercita sulla
massa per riportarla in equilibrio.

Riportandola su un diagramma cartesiano, per tutto il raggio d'azione dello dello spazio rotante, si ottiene l'andamento indicato in figura.

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Nell'  Art.10 , abbiamo visto che il moto di un punto nello spazio fisico può verificare contemporaneamente i principi di conservazione
dell'energia e del momento angolare solo sulle orbite circolari di raggio :

                                      Rp = R₁⋅p²    con    p = 1 ; 2 ; 3 ⋅⋅⋅

La relazione si applica, naturalmente, a tutti gli spazi rotanti e quindi la figura rappresenta l'andamento della "forza che
agisce sull'unità 
di massa" , quando essa si muove in prossimità dell'orbita circolare stabile, di qualsiasi
sistema.

" Lo stesso diagramma " rappresenta sia le forze che si manifestano nel nucleo atomico
che quelle esercitate dal Sole sui suoi pianeti.
Se moltiplichiamo la forza F(R) per lo spostamento elementare   dR = Rp ⋅ dr otteniamo il lavoro dL = F(R) ⋅ dR
che lo spazio rotante centrale  Ks² deve compiere per produrre tale spostamento (radiale).
Integrando la relazione tra i limiti  ∞  ed  r , si ricava il lavoro compiuto per ottenere lo spostamento r , partendo dalla condizione di
indipendenza che si verifica per r = ∞.  Si ottiene così :
         
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Sostituendo Rp = R₁⋅p², si ha quindi :     
Se assumiamo uno spazio rotante elementare K1²come riferimento, si potrà considerare lo spazio rotante centrale Ks²generato
da  Z  unità uguali tra loro, secondo la relazione :        
Dalla teoria generale sappiamo che, per qualsiasi spazio rotante, si ha (  Art.29  ) :

                                     Ks² = K₁²⋅Z     ;      R₁ = R₁₁⋅ Z1/3

Sostituendo, si può dunque scrivere in generale :

Questo lavoro si manifesta come eccesso di energia, della massa in orbita, rispetto al valore richiesto per restare in equilibrio sull'orbita
circolare e, in funzione della distanza dalla condizione di equilibrio, ha l'andamento indicato nella figura seguente.

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Per meglio confrontare gli spazi rotanti tra loro, consideriamo una massa di valore unitario in orbita con velocità orbitale di un valore
prefissato.
Essendo la velocità della luce Cl  il valore massimo osservabile con i nostri mezzi, in qualsiasi spazio rotante la prima orbita osservabile,
e dunque raggiungibile, sarà quella di raggio minimo  Rns , sulla quale la velocità di equilibrio assume il valore massimo C.
Assumiamo quindi l'orbita di raggio minimo Rns , come riferimento per descrivere tutta la materia

                                                   Rns = KS²/Cl²

Se il lavoro viene calcolato integrando da   R = ∞  a   R = Rns  , il valore che si ottiene rappresenta il lavoro che lo spazio rotante
deve compiere per portare la massa considerata dalla condizione di indipendenza dallo spazio rotante, associata a  R = ∞  ,  al
confinamento nel minore spazio possibile, che coincide con l'orbita avente il raggio  Rns .

In definitiva otteniamo il lavoro che si deve compiere per sintetizzare la particella elementare che ne
deriva . 

Si noti che questo lavoro risulta negativo e quindi in realtà " tutti i sistemi legati da forze centrali evolvono "spontaneamente" verso
la condizione di massimo confinamento, liberando energia ".
Si ha quindi :    
Per r = 1 si ottiene :
               Lmax = Cl²⋅ m = lavoro di sintesi (confinamento entro Rns ) della massa m

In generale il punto di massa unitaria in moto sull'orbita avrà quindi l'energia di legame uguale a metà dell'energia potenziale :
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Ponendo E = 0 , si ricavano i punti in cui si verifica l'inversione della velocità radiale in corrispondenza dei quali si hanno il perielio e
l'afelio dell'orbita. Si ricavano così i valori :       r = 1/2   e   r = ∞

Si ha quindi :                                                             Rmin = (1)/2)⋅ Req

risultato coincidente con quello che abbiamo ricavato, nei sistemi astronomici con la sfera planetaria
in moto su un'orbita aperta ( si 
vedano le curve reali ricavate per i pianeti del sistema Solare   Art.12   ).
Essendo l'energia specifica associata all'equilibrio    Eeq = Veq²/2  , l'eccesso di energia rispetto al livello di equilibrio sarà :

       
La curva dell'eccesso di energia E in funzione del raggio dell'orbita risulta quella indicata in figura.

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Con riferimento alla stessa figura, se alla massa in equilibrio viene fornito come eccesso di energia (rispetto al valore di equilibrio)
una frazione  α dell'energia specifica di equilibrio ( il riferimento è sempre all'unità di massa ), si ha :   
l'energia complessivamente posseduta diventa :

ponendo E = 0 , si ricavano, in questo caso, i punti :


Per valori di   α  negativi non si hanno soluzioni reali, ossia, se alla massa si sottrae
energia, " anche una quantità infinitesima ", essa non 
ha più alcuna possibilità di restare
in equilibrio sull'orbita.

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Anche questo risultato è perfettamente coerente con quanto abbiamo visto trattando la teoria generale.
Abbiamo infatti già ricavato che il primo punto in corrispondenza del quale è possibile avere un nuovo equilibrio è quello associato al
numero quantico  (p – 1)  con valori del momento angolare e dell'energia potenziale minori di quelli del livello di partenza .
Il nuovo equilibrio si potrà dunque realizzare solo con un "improvviso" adattamento di questi valori, senza avere alcuna possibilità di
passare attraverso posizioni stabili intermedie.
Per valori di  α  positivi l'energia assume l'andamento indicato in figura. Si hanno, in questo caso, due punti di equilibrio che vengono
indicati come

dove  e = √(α)  indica l'eccentricità dell'orbita e la massa planetaria oscilla continuamente tra questi due punti, che gradualmente si
avvicinano all'orbita circolare  R.
Ricordiamo che per l'orbita ellittica, indicando con  a  e   i due semiassi maggiore e minore, si hanno le relazioni :

Ricaviamo ora l'equazione della traiettoria integrando l'equazione del moto.
Consideriamo il caso generale in cui lo scambio di energia si realizza in uno spazio fisico non puro, in cui la velocità della massa planetaria
in movimento è diversa da quella associata all'equilibrio della falda in cui si muove.
Trattando la teoria generale degli spazi rotanti, abbiamo visto che, quando le masse planetarie sono trascurabili rispetto a quella centrale,
che genera lo spazio rotante, la geometria delle orbite risulta praticamente indipendente dal valore delle masse.
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Si deve innanzitutto considerare che :
Una massa in perfetto equilibrio, su un' ORBITA CIRCOLARE, in uno spazio rotante non perturbato,
avendo velocità orbitale perfettamente 
coincidente, in ogni momento, con la velocità di equilibrio della
falda di 
spazio in cui si muove, presenta velocità di scorrimento relativo nulla rispetto allo spazio fisico
circostante e dunque tra essi, NON SI PUO' 
TEORICAMENTE, realizzare nessuno scambio di energia.
Questa è la condizione che "si realizza perfettamente " , o quasi, negli atomi non eccitati e nei nuclei atomici i quali, per questa ragione,
risultano praticamente stabili, con dei tempi di decadimento infinitamente lunghi.
Se assumiamo questa come situazione di riferimento, è chiaro che l'energia effettivamente disponibile per lo scambio sarà sempre quella
che eccede il valore che la massa   possiede quando si trova in equilibrio sull'orbita circolare di raggio minimo.
Se ipotizziamo uno scambio di energia direttamente proporzionale al valore della velocità di scorrimento relativo tra la massa in orbita e
lo spazio fisico circostante, possiamo ritenere la variazione dell'energia della massa sulla traiettoria equivalente a quella data dall'azione
di una forza frenante.
Lo scambio di energia può essere quindi descritto attraverso l'accelerazione agente sulla massa unitaria, che si può esprimere con una
relazione del tipo :
                                   as = – β ⋅ (V – Vn).

Se indichiamo con  X = (R – Rn la distanza dall'orbita circolare stabile, di raggio Rn , si ottengono le accelerazioni (   Art.30  ) :

ricordiamo che l'espressione di   è stata ricavata con la condizione che durante il moto si abbia :        V ⋅ R = costante .
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L'equazione del moto diventa  :
          
La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo:                  X = X₀⋅eγ⋅t

Sostituendo nell'equazione iniziale, derivando e mettendo in evidenza il fattore   eγ⋅t ,  si ottiene l'equazione :                                
Poiché l'esponenziale non si annulla mai, dovrà essere :       
Le cui radici sono:
  
La soluzione generale dell'equazione differenziale risulta una combinazione lineare delle due soluzioni, ossia del tipo :                                     
Trattandosi di due radici complesse coniugate, e considerando che per t = 0 dovrà essere     X = Xmax , la soluzione diventa :
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ricordando ora la relazione :
 
sostituendo si ha quindi l'equazione dell'orbita :  
con :   

sulla quale si verifica la conservazione del momento angolare specifico, che viene espresso dalla relazione     V ⋅ R = costante

Si tratta di un'orbita ellittica con una eccentricità che si riduce ad ogni periodo secondo la relazione :

Ricordando che l'eccentricità dell'orbita è in relazione con l'eccesso  ΔE  di energia rispetto al valore associato all'equilibrio sull'orbita
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circolare, secondo la relazione   , sostituendo, si ottiene l'espressione dell'eccesso di energia disponibile dopo
un tempo  t  dalla formazione del sistema e quindi l'energia che viene liberata se la massa in orbita " cade " sull'orbita circolare stabile

dopo un tempo t dall'immissione sull'orbita  (t = 0) . Si ha dunque :         ΔE = ΔE(t = 0)e–β⋅t
con l'andamento indicato in figura.

Il diagramma mette in evidenza che subito dopo la formazione del sistema, con orbita molto eccentrica, viene irradiata, attraverso
l'emissione di onde 
gravitazionali, una energia molto elevata, che tende a zero man mano che l'orbita si avvicina a quella
circolare, associata all'equilibrio stabile.

Nell'  Art.52   abbiamo calcolato la dimensione minima di un fotone considerando l'emissione dell'energia in eccesso in un solo periodo,
dunque con carattere impulsivo.
In questo caso l'emissione è continua e dopo un tempo Td l'energia irradiata sarà         Er = ΔE(t = 0) – Ed
dove con  E abbiamo indicato l'eccesso di energia residuo, della massa in orbita, rispetto al valore associato all'orbita circolare stabile,
che si raggiungerà teoricamente con  t →∞.
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E' chiaro che, se la massa orbitante, dopo un tempo Td , " cade " sull'orbita circolare direttamente, in un solo periodo orbitale emetterà
tutta l'energia residua Ed , con un " pacchetto " di onda gravitazionale di durata uguale al periodo orbitale.
Questa situazione è frequente soprattutto nei nuclei atomici, dove il pacchetto di onde elettromagnetiche emesse, in accordo con quanto
abbiamo previsto teoricamente, presenta un valore elevato di energia  Ed  se il valore del tempo Td  è basso, mentre diventa molto
basso, quando il tempo di decadimento è molto elevato, tendente a infinito per i nuclei stabili.
Negli spazi rotanti puri come, per esempio, quelli atomici e nucleari, in cui non sono presenti aggregati materiali vaganti, l'unica
diminuzione di energia è quella prodotta dalla radiazione associata al moto accelerato della massa sull'orbita ellittica e quindi risulta
β → 0  con tempi  Td→∞ .
Questo comporta una notevole stabilità dell'orbita, con evoluzione nel tempo praticamente irrilevante.
β assume invece valori molto piccoli, e dunque si trascura, nello spazio vuoto ordinario, dove sono comunque presenti degli aggregati
subatomici e subfotonici in grandi quantità, che però non esercitano una grande azione frenante.

Nell'  Art.13  abbiamo visto però che il moto della massa orbitante nello spazio rotante è definito da altri fattori oltre al coefficiente β .
La curva iperbolica   γ = C/R sulla quale si sviluppa il moto è definita dal momento angolare specifico della massa in orbita,
mentre
l'ampiezza dell'oscillazione del raggio orbitale attorno al valore di equilibrio Rn , ossia l'eccentricità dell'orbita è data
dall'eccesso di energia.

Lo smorzamento dell'orbita nel tempo è invece dato dal coefficiente β , legato allo spazio fisico nel quale si organizza lo spazio rotante.
Nello spazio fisico puro con la costante   β  si tiene conto dell'energia irradiata e quindi l'eccesso di energia è ancora espresso dalla
relazione
                                                  ΔE = ΔE(t = 0) e–β⋅t

anche l'eccentricità dell'orbita sarà :                           e = e(t = 0)e–(β/2)⋅t
e il raggio orbitale :       
La distanza dall'orbita di equilibrio Rn risulta :
          
con l'andamento non simmetrico indicato in figura, dalla quale risulta chiaramente una distanza dell'afelio sempre maggiore del perielio.
Le due distanze tendono ad assumere lo stesso valore per  t→∞ .

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Simmetrica risulta invece la curva della distanza dal valore medio del raggio orbitale (semiasse maggiore), che è espressa invece dalla
relazione :       

che, per bassi valori dell'eccentricità diventa :     Xa ≅ Rn⋅ e(t = 0)e–(β/2)⋅t)⋅ cosω⋅t)
con il seguente andamento nel tempo.


Dal punto di vista delle azioni che vengono esercitate, il sistema formato dalla massa centrale ferma, che genera lo spazio rotante  Ks2,
e quella planetaria in moto su un'orbita ellittica è equivalente  a quello formato dal sistema in cui la massa planetaria si muove in
equilibrio sull'orbita circolare avente raggio uguale al semiasse maggiore e la massa centrale non è ferma, ma in moto su un'orbita
circolare di raggio  Xa .
La massa planetaria viene così sottoposta all'azione di uno spazio rotante variabile nel tempo con legge sinusoidale.
L'accelerazione radiale associata alla variazione del raggio orbitale può essere calcolata differenziando l'espressione dell'accelerazione

a = Ks2/R2        (Δa)K2=cost  = (2·Ks2/R3)·ΔR   ;    (Δa)R=cost  = ΔKs2/R2

Uguagliando le due relazioni, vediamo che, fisicamente , la variazione del raggio crea nello spazio una perturbazione dello spazio
rotante che genera l'accelerazione  . E' chiaro che, essendo lo spazio rotante caratterizzato solo dal valore  Ks, esprimeremo

la perturbazione solo come variazione di questo valore.

(Δa)K2=cost  = (Δa)R=cost   da  cui deriva  :   ΔK2 = (2·Ks2/R)·ΔR = 2·Veq2·ΔR = 2·Veq2·Xa

sostituendo l'espressione di   X e ricordando la legge fondamentale   (  Art.5  )               Veq2·Rn = Ks2

si ottiene la perturbazione Kf2 dello spazio rotante generata nella direzione del semiasse maggiore dell'ellisse :

                            Kf2 = ΔK2 ≅ 2·Ks2⋅ e(t = 0)e–(β/2)⋅t)⋅ cosω⋅t)

Questa perturbazione sinusoidale, ha una durata limitata, uguale alla durata dell'eccentricità dell'orbita. Con riferimento alla figura,
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sostituendo successivamente al posto di   i valori (T/4)  ;  (T/4 + 1T)  ;  (T/4 + 2T)  ;  (T/4 + 3T)  ; ecc.,

si ottengono le ampiezze massime successive      KM1  ;  KM2  ;  KM3  ;  KM4  ;  ecc. e risulta :

  

Eseguendo i rapporti fra le potenze massime successive, si ottiene :

Il rapporto fra le ampiezze successive si mantiene costante e cioè le ampiezze decrescono in progressione geometrica.
    
In definitiva si ha quindi :
     
Sostituendo allo spazio rotante l'energia associata la durata del transitorio risulta dunque :

Il numero di periodi necessari per irradiare l'eccesso di energia  ΔE₀  risulta :

La dimensione dello spazio perturbato, che si allontana dallo spazio rotante sarà :
       
Se consideriamo l'atomo di idrogeno di cui sono noti (   Art.51   ) :

               ΔE₀ = E11e = 13,60569806 eV    ;    T11 = 3,039659723 ⋅ 10⁻¹⁶ sec

assumendo " arbitrariamente "      ln(ΔE₀/ΔEn) = 10    possiamo calcolare la costante (2/β) , che è una
caratteristica dello spazio vuoto interatomico :

2/β = T11/ln(ΔE₀/ΔEn= 3,039659723 ⋅10⁻¹⁶ sec/10 = 3,039659723 ⋅10⁻¹⁷ sec

In generale, il numero n di oscillazioni necessarie per emettere il generico eccesso di energia  ΔE  con la frequenza  ν  risulta :

                        n = (2/β)⋅ ln(ΔE/ΔEn)⋅ν = T11ν/10
dunque :
                                          n ≅ 3,039659723 ⋅10-17 sec ⋅ ν

Ricordiamo che per la frequenza  ν  si ha   ν = νeq/2 .
La lunghezza dello spazio perturbato (che viene emesso come fotone) sarà :

                            Lf = (n⋅λ) = = (T11ν/10)·(Cl/ν) ≅ λ11/10

 si ha quindi :              Lf ≅ λ11/10 = 9,1126706 ⋅ 10⁻⁹ m
A titolo puramente esplicativo, consideriamo l'energia irradiata dalla Terra da quando la Luna ha iniziato ad allontanarsi (  Art.43   )
fino ad oggi, per valutare il fattore β/2 nello spazio vuoto astronomico.
         RT0 = 221,1 ⋅ 10⁶ Km    ;    RT = 149,6 ⋅ 10⁶ Km     ;    tLT = 4,675 ⋅ 10⁹ anni

dalla legge fondamentale (  Art.5  )       Ks² = V²⋅ R       si ottiene:

analogamente si calcola        VT = 29,7859 Km/se
e quindi :     
      
La lunghezza d'onda  λT  della perturbazione dello spazio rotante solare prodotta dall'eccentricità dell'orbita terrestre risulta :

λT = Cl⋅ (2⋅TT) = 299792,458 Km/sec⋅ (2⋅365,256336 a) = 3,774 ⋅ 10¹³ Km = 3,989 al

decisamente oltre il confine del sistema Solare, per cui risulta difficilmente rilevabile.
E' da notare che, nonostante  β  assuma valori molto più elevati nello spazio vuoto ordinario, il decadimento orbitale è molto piccolo
rispetto al valore che si verifica negli atomi, dove il transitorio dura un solo periodo. Questo è dovuto al fatto che il rapporto fra
l'accelerazione che muove l'elettrone nell'atomo e quella che muove gli i corpi celesti in direzione radiale è molto elevato; per esempio,
per la Terra tale rapporto vale di circa 10²⁵ .

La breve durata dell'oscillazione associata al fotone gli attribuisce il doppio carattere ondulatorio e corpuscolare (presenti comunque
contemporaneamente) che vengono messi in evidenza separatamente in rapporto allo strumento utilizzato per intercettarlo.
Se viene intercettato secondo le regole viste nell'  Art.20   , viene messo in evidenza il suo carattere ondulatorio.  Se invece viene

intercettato in due punti posti a una distanza fra loro     d >> Lf   non può essere evidenziata l'oscillazione, ma solo il carattere
impulsivo e quindi il suo comportamento sarà di tipo corpuscolare. Non è dunque il fotone che ha un comportamento diverso, ma
è l'operatore che lo intercetta in modo da rilevare uno dei due aspetti sempre presenti.
E' chiaro che non è possibile rilevare contemporaneamente i due comportamenti sullo stesso fotone intercettato.
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 Art.56 -- Origine del fotone e calcolo teorico delle sue caratteristiche fisiche come onda/particella e dell'energia associata -- Antonio Dirita

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