Art.53 --Teoria dell'urto tra particelle elementari, analisi teorica dell'effetto Compton e redshift gravitazionale (spostamento verso il rosso ) -- Antonio Dirita

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Nell'esperienza quotidiana si chiama urto un processo simile a quello che si verifica quando si scontrano due palle da biliardo oppure due
automobili.
In fisica il termine urto è usato con un significato più ampio, comprendendo qualsiasi tipo d'interazione tra particelle avente durata  Δt
molto breve rispetto al tempo di osservazione delle caratteristiche di moto delle masse interagenti.
Normalmente il processo viene studiato considerando il regime del sistema prima e dopo l'interazione e imponendo, praticamente
senza altre considerazioni, i principi di conservazione dell'energia e della quantità di moto.
La teoria che abbiamo elaborato ci dice però che qualsiasi interazione tra due masse si realizza sempre attraverso i loro spazi
rotanti.

Quello che noi vediamo è dunque il risultato dell'azione che il sistema esercita per conservare l'equilibrio, se esso è stabile, oppure, più in
generale, per raggiungere, dopo l'urto, un equilibrio associato a una condizione di maggiore stabilità.
In parole molto semplici, possiamo dire che l'azione che le due masse, nelle condizioni di moto considerate, esercitano reciprocamente è
sempre tale da favorire la formazione di un sistema più stabile di quello iniziale.
Con riferimento alla figura, supponiamo di avere una massa  m  alla distanza  R dal centro dello spazio rotante  Ks²generato dalla
massa solare centrale  m. Per semplificare l'esposizione, supponiamo che sia    m << ms .


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In queste condizioni, qualunque sia la velocità V della massa periferica, essa è libera e non interagisce in maniera apprezzabile con lo
spazio rotante.
Si ottiene così una deviazione  β =  dalla direzione del moto iniziale e la massa che continua, indisturbata, la sua corsa.
Se ora lanciamo la massa  m ad una distanza dal centro sempre minore, man mano che si riduce il raggio R , aumenta l'interazione
che tende a portare il sistema in una condizione di equilibrio più stabile.

Si possono presentare, a questo punto, due casi :

-- La massa m può trovare equilibrio stabile su un'orbita dello spazio rotante generato da m, ossia le due masse sono in grado di
formare un sistema legato stabile, come per esempio accade con un protone ed un elettrone, e in questo caso si manifesta una forza
che tende a ridurre la distanza   tra le due masse ( forza attrattiva ).

-- La massa m non è in grado di formare con ms un sistema legato stabile e quindi si manifesta una forza repulsiva, che
spinge le due masse verso l'unico punto di equilibrio possibile con R →∞ . E' questo, per esempio, il caso di due protoni oppure due
elettroni.
Incidentalmente ricordiamo che la forza d'interazione tra due masse date non è sempre attrattiva o repulsiva, ma l'una oppure
l'altra in rapporto al fatto che la coppia formi un sistema stabile avvicinandosi oppure allontanandosi.

Per esempio, un elettrone ed un protone formano un sistema stabile quando l'elettrone si trova sull'orbita fondamentale dello spazio
rotante del protone, alla distanza R11e .
Se si cerca di spostate l'elettrone verso una distanza  R < R11e  si manifesta una forza repulsiva che spinge l'elettrone verso
la posizione stabile  R11e . Se invece l'elettrone si trova ad una distanza dal protone   R > R11e , quest'ultimo esercita una forza
attrattiva
tendente a portare l'elettrone sull'orbita stabile R11e .
Non è dunque corretto dire che due cariche di segno (?) opposto si attirano senza precisare le
condizioni.

Ritornando al nostro problema, se prendiamo in considerazione il primo caso, riducendo la distanza, si ottiene una deviazione sempre
maggiore fino al valore massimo (  Art.49   ) :

                           βmax = π /2  corrispondente ad un'orbita parabolica con   e = 1.
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Dato che l'azione dello spazio rotante è indipendente dal valore delle masse, per lo studio dell'interazione fra particelle materiali possiamo
utilizzare i risultati che abbiamo ottenuto nell'  Art.49  , per la deviazione della luce :

che, per    VP = √2⋅ VeqP   fornisce :

                VP²⋅ Rp= 2⋅VeqP²⋅ R= 2⋅Ks²    e quindi     senβ = 1 → β = π/2

Un'ulteriore riduzione del raggio, anche minima, comporterebbe il passaggio della massa in moto su un'orbita ellittica.
E' chiaro che nel sistema formato dallo spazio rotante e la massa in moto, supposto isolato, considerandolo prima e dopo l'interazione,
devono essere verificati i principi di conservazione.

Imponendo la conservazione dell'energia e della quantità di moto, applicando il teorema di Carnot al triangolo degli impulsi, si può

scrivere :   
sostituendo    P = m⋅V  ;                 e ponendo :   
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con qualche semplice passaggio, si ricava l'equazione :

dalla quale vediamo che se  m/ms << 1,  per qualsiasi deviazione  δ  risulta sempre  r = 1 e non si verifica quindi alcuna
variazione apprezzabile della velocità.

E' da notare l'assoluta indipendenza della deviazione β dalla massa
m interagente con con lo spazio rotante e dunque l'espressione di β
si applica al fotone come al nucleo atomico 
o agli ammassi galattici.

Per esempio, un asteroide che passa,  alla velocità    V = 3 Km/sec   ad una distanza dal centro della Terra  R = 10⁶ Km
subisce una deviazione ( ricordiamo che per eccentricità  e ≥ 1 si ha  Rp = Rn/2  (   Art.12  e  Art. 13  ) :

Se invece di un asteroide consideriamo per esempio un fotone che passa in prossimità del confine di un atomo di uranio  ( Z = 92 ) ,
alla distanza dal centro Rn = 3⋅10⁻¹⁰ m, il calcolo è assolutamente identico.
Lo spazio rotante creato dal nucleo di uranio vale :

        Kz²(92) = 92 ⋅ Kp² = 92⋅253.2638995 m³/sec² = 23300.27875 m³/sec²

essendo m = 0 , la velocità del fotone rimane invariata su tutta la traiettoria e vale : Cl = 299792458 m/sec
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La deviazione della traiettoria risulta :

in secondi d'arco :   
Se con lo stesso atomo, nelle stesse condizioni, interagisce un elettrone con una velocità di 10⁸ m/sec , si ottiene una deviazione
uguale a 1,8082°.
E' da notare che, quando           VP²⋅Rn >> 2⋅K²,  si ha    sen β ≃ β  e quindi in questo caso, il valore della deviazione  δ
dalla direzione di immissione della massa nello spazio rotante diventa :

A questo punto ricordiamo che qualsiasi massa, anche  m → 0 , spostandosi in uno spazio rotante deve soddisfare l'equazione

fondamentale  (   Art.5   ) :              V²⋅ R = K²        che si può anche scrivere :                  V²= K²/R
e differenziando :   
si ottiene quindi :             
Ricordiamo ora che in uno spazio rotante la velocità orbitale e quella radiale ( velocità di fuga dall'orbita ) stanno nel rapporto
VR = √2⋅ V
  . Sostituendo si ha quindi :     
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------moltiplicando per la massa in moto  m   e ricordando che      (VR²/2)⋅ m = E   per una massa in moto, in direzione radiale
(
è il caso con eccentricità  e ≥ 1 ), si può scrivere :

Si noti che questa relazione è una caratteristica di tutti gli spazi rotanti e non è legata alla massa della
particella in moto, in quanto il differenziale dE 
è proporzionale alla massa m.

Se consideriamo ora il fotone che si allontana dal centro dello spazio rotante solare, ricordando che per il fotone l'energia di massa
E = m ⋅ Cl²  è tutta trasformata in radiazione elettromagnetica    E = h ⋅ ν   sostituendo nella relazione, si ottiene :

semplificando :     
ricordando che   λ ⋅ ν = Cl  ,     differenziando si ha :         
e quindi anche :                  
integrando tra i limiti  R = e  R = r  si ottiene :

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dove, al secondo membro abbiamo l'energia potenziale per unità di massa.

Ricordando che                      Ks²/Cl² = r1s = raggio dell'orbita minima raggiungibile
sostituendo, si ottiene :   
posto :   Δν = ν – νr    si può anche scrivere :   

E' da notare che generalmente si ha    r >> r1s    e quindi si sviluppa in serie di Taylor l'esponenziale, fermandosi al secondo
termine,
per cui si utilizza la relazione approssimata :        
Se, per esempio, osserviamo l'orbita di un pianeta del Sistema Solare, con perielio  RP ed afelio  R, fissato il fotone da utilizzare per
la misurazione, tra i due punti verrà osservata una differenza di frequenza complessiva :

che si traduce in una errata valutazione delle distanze.
Il rapporto   (r1s/r)     viene generalmente definito  redschift gravitazionale ed è calcolabile senza ricorrere agli
effetti relativistici.

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La variazione della frequenza dovuta all'azione gravitazionale, che abbiamo calcolato, è solo una componente del redschift totale.
Si hanno infatti altre due componenti :
la prima dovuta all'effetto Doppler e la seconda all'effetto Compton.

Si noti che, anche se non è stato espressamente dichiarato, lo spazio rotante  Ks² è stato ritenuto vincolato a un punto fisso dello spazio,
associato dunque a una massa inerziale infinitamente elevata.

Con riferimento alla figura, quando lo spazio rotante centrale  Ks² è associato a una massa inerziale  m di valore finito, priva di
vincoli, la deviazione β  del fotone ( il discorso si applica comunque a qualsiasi altra massa ) comporta una variazione dell'impulso
dal valore Pf  al valore  Pf con la cessione della differenza  Pm  alla massa  ms  solidale con lo spazio rotante interagente.
Dalla interazione la massa  m  esce con una variazione   ΔV  della velocità in direzione parallela all'impulso  P .
Imponendo la conservazione dell'impulso e dell'energia al sistema, supposto isolato, se applichiamo il teorema di Carnot al triangolo
degli impulsi, si può scrivere :

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sostituendo le relazioni note per il fotone :

eliminando  V² , si ottiene :

essendo    Δλ = (λ – λ)  << λ  ,       si ha :           λ/λ + λ/λ ≃ 2
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e quindi, l'espressione che descrive l'effetto Compton, diventa :

ricordando che :      
con  V = Cl , si può ancora scrivere :
          
Quando     VP²⋅ Rn >> 2⋅Ks²   si ottengono piccole deviazioni e quindi :
       
Casi particolarmente interessanti sono quelli in cui lo spazio rotante centrale viene generato da un elettrone o da un protone ed a questi
casi ci si riferisce generalmente  quando si parla di effetto Compton .  In questi casi, sostituendo i valori numerici, si ottiene :

                                 Δλ = 2,42631⋅10⁻¹² m ⋅(1 – cos δ)

                                 Δλ = 1,32214⋅10⁻¹⁵ m ⋅(1 – cos δ)

Se si sostituisce nelle relazioni l'espressione teorica di  h , si ottiene :
       
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con    ms = me   si ricava :     
ricordando che :         Cl/V11e = pns = 137,0359896 = costante di struttura fine
si può scrivere :
   
analogamente, con   ms = mp   si ottiene :
     
dove  r1P indica l'orbita sulla quale la velocità di equilibrio è uguale a quella della luce  C.

Le relazioni che abbiamo ricavato sono estremamente interessanti, in quanto ci consentono di calcolare l'angolo di diffusione di
qualsiasi particella o
massa ordinaria lanciata in qualsiasi spazio rotante, con una velocità maggiore di quella di fuga dal punto
in cui viene immessa.

Inoltre esse mettono in evidenza che l'effetto Compton e la deviazione della luce, che si osserva quando
essa passa entro 
il raggio d'azione di un campo gravitazionale, seguono lo stesso meccanismo e le stesse
leggi che vengono
seguite dagli aggregati ordinari.

Per chiarire questo aspetto, consideriamo un elettrone accelerato che viene sparato contro un protone ad una distanza dal centro
Rn = 1.5⋅10⁻¹⁰ m ,     con la velocità  Vp = 5⋅10m/sec .

Lo spazio rotante è quello del protone e vale :         Kp² = 253.2638995 m³/sec²
la deviazione risulta :       
noto il rapporto tra le masse :            me/m= 544.616⋅10⁻⁶ ricaviamo la variazione della velocità per effetto Compton con la
relazione :
       
sostituendo i valori numerici, si ottiene                                            r = V/V = 0.6085 .
utilizzando la lunghezza d'onda associata all'elettrone, si ha :

                               Δλ / λ = – ΔV / V = (1– 0.6085)/1 = 0.3915

                      Δλ = λ ⋅ 0.3915 = (h/(me ⋅ Vp)) ⋅ 0.3915 = 5.69546⋅10⁻¹¹m
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 Art.53 --Teoria dell'urto tra particelle elementari, analisi teorica dell'effetto Compton e redshift gravitazionale (spostamento verso il rosso ) -- Antonio Dirita

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