Art.52-- La costante di Planck non ha valore universale ; espressione teorica della costante di Planck generalizzata, origine del fotone e dell'onda materiale di De Broglie -- Antonio Dirita

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Nell'  Art.50  abbiamo visto che la costante di Planck nacque come artificio matematico per poter avere accordo tra la curva osservata
e quella teorica nella radiazione emessa dal corpo nero.
La condizione irrinunciabile, per avere questo accordo era che gli oscillatori (atomi eccitati) emettessero energia non con distribuzione
continua di valori, ma sotto forma di " pacchetti " multipli di una quantità elementare, esprimibile con una relazione del tipo
En = n ⋅ (h⋅ν)  ,  rivelatasi successivamente non del tutto corretta.

Nello stesso tempo le teorie classiche non riuscivano a rendere conto della stabilità "indiscutibile" degli atomi, in quanto, secondo il
modello planetario di Rutherford, l'elettrone in moto sull'orbita è soggetto ad un'accelerazione che 
genera l'emissione di una
radiazione elettromagnetica con una conseguente 
perdita di energia.
Dopo un tempo più o meno lungo l'elettrone sarebbe destinato così a cadere sul nucleo, mentre l'esperienza ci dice che questo non si
verifica.
Entrambi questi risultati trovano una loro giustificazione nell'ambito della teoria degli spazi rotanti. In essa si dimostra infatti
che :

Nello spazio fisico, le orbite stabili " di qualsiasi sistema  legato da forze centrali " sono
quantizzate secondo
la relazione ( Art.10  ) :
                                                               Rp = R⋅ p²

L'energia irradiata, sotto forma di perturbazione, da una massa in moto su un'orbita eccentrica è proporzionale al quadrato
dell'eccentricità (  Art.13  ) e presenta la massima intensità nella direzione del semiasse maggiore.

L'energia che viene irradiata sull'orbita circolare minima si riduce dunque a zero e viene così raggiunto
un equilibrio stabile.

E' chiaro che in un sistema formato da molte masse orbitanti si avrà emissione distribuita ìn tutte le direzioni.
In mancanza di risultati Teorici, per giustificare comunque le osservazioni sperimentali, Niels Bohr introdusse tre ipotesi
arbitrarie :

-- Il valore del momento angolare dell'elettrone in moto sull'orbita deve essere un multiplo intero della costante di Planck , e
dunque l'energia di un elettrone potrà assumere solo valori opportuni associati a numeri interi.

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--L'atomo emette energia solo durante il passaggio dell'elettrone dallo stato con energia   E₁  a quello con energia  E₂  e la
frequenza della radiazione emessa è legata ai due stati da una relazione del tipo
:    
L'energia cinetica dell'elettrone in equilibrio sull'orbita è sempre uguale alla metà della energia potenziale, ossia risulta :                       
Sostituendo questa relazione nel secondo postulato di Bohr, si ottiene per la frequenza emessa l'espressione :

Confrontando questa relazione con la formula di Rydbergh-Ritz, sapendo che la frequenza è data da   ν = C/λ  si deduce
facilmente che i raggi delle orbite stabili, devono essere proporzionali ai quadrati di numeri interi.
Per ottenere questo risultato, Bohr propone il terzo postulato, dicendo che:
--il momento angolare dell'elettrone deve soddisfare la relazione :   
Anche se queste ipotesi non hanno una giustificazione teorica, con esse Bohr riuscì a giustificare molto bene lo spettro di emissione
dell'idrogeno.
Nulla però riusciva a dire sugli spettri di emissione degli atomi più
complessi.

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Restavano dunque ancora molti problemi da risolvere. Non ultimo quello che nasceva dalla mescolanza fra le proprietà corpuscolari e
ondulatorie
che la radiazione manifestava in molti processi e che erano state sintetizzate da Einstein con l'introduzione del fotone,
descritto come particella dalla :   p = E /Cl   e da Planck, che descrisse la radiazione con caratteristiche ondulatorie con
la relazione (  Art.50   ) : 
         E = h ⋅ ν.
Combinando le due espressioni, si ottiene :       
In questa relazione compaiono entrambi gli aspetti della radiazione : quello corpuscolare, attraverso l'impulso   , e
quello ondulatorio, con la lunghezza 
d'onda   λ Essa consente dunque la doppia lettura " della
radiazione " nello 
stesso tempo.
A questo punto De Broglie nota che tutte le ipotesi arbitrarie che Bohr è costretto a introdurre, per poter descrivere il comportamento
dell'elettrone nell'atomo, altro non fanno che mettere in relazione le caratteristiche di moto della particella con la sequenza dei
numeri interi,
utilizzata da sempre per descrivere qualsiasi processo ondulatorio.
Pensa così trattare l'elettrone come il fotone, sostituendo semplicemente nella relazione che descrive il fotone
al suo impulso quello dell'elettrone dato da   p = m ⋅ V .  Scrive dunque :     
Anche se la relazione è stata ricavata ragionando sull'atomo, la sua lettura è applicabile a tutta la materia, dicendo che a qualsiasi corpo
materiale che abbia un impulso  p = m ⋅ V, si associa un comportamento ondulatorio con lunghezza d'onda λ legata all'impulso
dalla relazione indicata.

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L'intuizione di De Broglie di assimilare il comportamento dell'elettrone a quello del fotone fotone è corretta, ma non lo è l'interpretazione
dell'onda materiale associata .
Se si applica la relazione all'elettrone in orbita attorno al nucleo, si dice che la sua esistenza, e dunque l'esistenza dell'onda ad
esso associata, è possibile solo se sull'orbita si forma un'onda stazionaria, altrimenti verrebbe annullata per
interferenza distruttiva, come accade per qualsiasi oscillazione confinata in uno spazio limitato.
Le teorie correnti affermano dunque che la lunghezza dell'orbita deve
essere un multiplo intero della lunghezza d'onda,
ossia dovrà essere :

                                            2⋅π⋅Rn = n⋅λ = n ⋅ (h/p)

viene giustificata così l'ipotesi di Bohr :            p ⋅ Rn = n ⋅ h/(2⋅π)

Il comportamento ondulatorio della materia, indicato da De Broglie, ci dice quindi anche che :
quando un corpo di massa   è vincolato a muoversi entro uno spazio di dimensioni limitate L , la sua velocità V , e dunque la sua
energia  , possono assumere solo valori tali da dare origine, nello spazio considerato, a onde stazionarie. Dovrà dunque essere :

                                 λ = L/n     con      n = 1, 2, 3,..........
ossia :             
Quadrando e semplificando, si ottiene :    
Se la massa   si sposta in uno spazio conservativo come, per esempio, un campo di forze centrali, atomico, nucleare o gravitazionale,
su una traiettoria equipotenziale , si trova in condizione di equilibrio e quindi l'energia   En  è uguale a metà dell'energia 
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potenziale, esprimibile con una relazione del tipo :

dovrà dunque essere :   
Essendo l'orbita di raggio   il percorso ripetitivo realizzato dalla massa  in un periodo, si assume come spazio limitato,
obbligato, la lunghezza della circonferenza
   L = 2 ⋅ π ⋅ R .
Sostituendo, si ricavano quindi le caratteristiche orbitali necessarie per avere l'equilibrio :

Queste relazioni sono state ricavate senza alcuna ipotesi restrittiva, solo con la considerazione che, secondo l'ipotesi di De Broglie, la
massa  m
  si potrà trovare in equilibrio sull'orbita "solo come onda stazionaria"con opportuna lunghezza d'onda.
Esse dovrebbero dunque avere validità assolutamente generale.
La validità delle ipotesi viene verificata normalmente applicando le relazioni all'elettrone dell'atomo di idrogeno, ponendo :

           m = me     ;     Ks² = Kp²      ;      h = costante di Planck

e si ottengono valori in accordo con quelli sperimentali.
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Se si considera   una costante universale, la prima espressione fornisce un valore del raggio dell'orbita inversamente proporzionale
al quadrato della massa  m  che si muove sull'orbita.
Questo vuol dire che, raddoppiando la massa presente su un'orbita, il raggio si dovrebbe ridurre a un
quarto del suo
valore iniziale, in totale disaccordo con quanto si osserva sperimentalmente
nell'atomo e nel sistema Solare,
dove le orbite circolari stabili minime risultano indipendenti
dalle masse
e, esprimibili, con le relazioni teoriche (vedi   
Art.31  ) :

sistema Solare :                     Rp ≅ 6.153⋅10 Km ⋅ p²

atomo :                                     Rp ≅ 5,29177249⋅10–11 m ⋅ Z1/3

nucleo atomico :                    Rp ≅ 57,63978486⋅10–15 m ⋅ Z1/3 . 

con                                              p = 1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  .........

La seconda relazione, sempre assumendo   come costante universale, ci dice che l'energia cinetica della massa in equilibrio
sull'orbita, risulta direttamente proporzionale al cubo della massa e
  questo è, fisicamente, assurdo,
in quanto
risulta in totale disaccordo con tutta la fisica teorica e
sperimentale.

Da entrambe le espressioni vediamo che l'accordo con le osservazioni sperimentali si può ottenere solo se si
assume
h
direttamente proporzionale al valore della massa in orbita.
Scriviamo dunque :
         
si ottiene così :                
Nella teoria generale degli spazi rotanti, abbiamo ricavato le relazioni   (   Art.17  ;   Art.38a   ) :

                Rn = R ⋅ n²   ;   Vn = Vn ⋅ (1)/n)   ;   Tn = T⋅ n³

sostituendo, si ottiene :    
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Abbiamo anche dimostrato che, in presenza di un nucleo formato da   Z   unità uguali fra loro, ciascuna delle quali associata uno
spazio rotante unitario Kp² , lo spazio rotante generato risulta                Ks² = Kp²⋅ Z
e le caratteristiche dell'orbita fondamentale  (   Art.29  ;  Art.50   )   :

            R(Z) = R₁₁⋅ Z1/3  ;   V(Z) = V₁₁⋅ Z1/3  ;   T(Z) = T₁₁ = 1/ν₁₁

sostituendo nell'espressione dell'energia, si ottiene:
         
Se poniamo :      
si può scrivere :                                                   En(Z) = H ⋅ νn(Z)

 

dove  H  è una costante caratteristica del sistema considerato e dipende
solo dalla massa unitaria che genera lo spazio rotante e da quella che si muove in
equilibrio sull'orbita.

Se la massa m si sposta dal livello n al livello n , l'energia associata alla radiazione emessa sarà :

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in cui si può dire che H rappresenta"l'intensità della radiazione"e risulta direttamente
proporzionale al valore della massa che si sposta , in perfetto accordo con il fatto che, fissato il sistema, se lo
spostamento di una massa m genera una radiazione (fotone) di frequenza ν, quando lo stesso spostamento viene effettuato
simultaneamente, nella stessa direzione,
da un numero   di particelle  m₁  verrà emessa
una radiazione formata da un fascio di N fotoni coerenti della stessa frequenza ν₁₂ data da :

Sostituendo il valore di  H  nelle espressioni di   R e   E , associati all'orbita secondo l'ipotesi di De Broglie, si ottengono le
relazioni :    
che forniscono valori in accordo con quelli sperimentali  solo nel caso dell'atomo di idrogeno, con
m = me    e  Z = 1.

Solo in questo caso il valore di H coincide con la costante di Planck h .
Il calcolo consente dunque di trarre le seguenti conclusioni :
--La costante è caratteristica del sistema elementare formato da una sola massa elementare attiva, che genera lo spazio
rotante, ed un'altra 
che si muove in equilibrio sull'orbita fondamentale.

-- La costante di Planck h non è dunque una caratteristica con valore universale, ma strettamente legata all'atomo di idrogeno.
E'chiaro quindi che essa interverrà in tutti i sistemi che utilizzano l'atomo di idrogeno come costituente elementare e quindi praticamente
in tutta la materia ordinaria.
-- In questo senso è una costante universale, ma non è applicabile con lo stesso valore al nucleo, ai sistemi
subnucleari e a quelli astronomici.

--La quantizzazione delle caratteristiche orbitali che si osserva negli atomi non è deducibile applicando l'ipotesi di De Broglie.

Considerare l'orbita come un percorso di lunghezza  L  entro il quale
la massa è confinata subendo una riflessione sugli 
estremi " non è
corretto ", in quando l'onda stazionaria, in
quest'ultimo caso nasce
proprio per la riflessione, " 
mentre sull'orbita questo non si verifica "
e la massa  m  si muove 
sempre nello stesso verso.

Non esistono ostacoli sui quali si produce riflessione e dunque non
può formarsi alcuna onda stazionaria.

Si deve osservare che oggi le onde materiali di De Broglie rappresentano ormai una realtà acquisita e dimostrata per la prima volta con la
diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo di nichel, che analizzeremo in un prossimo articolo.
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Vediamo ora di indagare sull'origine e sul significato fisico dell'onda materiale di De Broglie utilizzando la teoria degli spazi rotanti che
abbiamo elaborato.
Abbiamo visto che, quando una massa  si sposta nello spazio rotante dalla distanza  R  sull'orbita circolare minima  Req < R ,
l'energia che viene emessa dallo spazio rotante è uguale all'eccesso  ΔEe , rispetto al valore  Eeq che è necessario affinché la massa
possa restare in equilibrio sull'orbita  Req .
Nel caso di un elettrone, essa è uguale a quella trasferita dalla radiazione elettromagnetica di frequenza data relazione :

                                                    ν = ΔEe/he

avente una durata uguale a quella del regime transitorio (  Art.51   ) ( periodo orbitale ).
In definitiva si ha un pacchetto di oscillazioni alla frequenza  ν con una durata complessiva uguale a un periodo orbitale.
A questo punto osserviamo che le relazioni sono applicabili fino al punto posto alla distanza dal centro   R →∞ ,   corrispondente a

p →  ;   Veq →0  ;   Eeq →0.


La condizione di equilibrio con lo spazio rotante  coincide quindi con l'elettrone fermo ed
energia totale uguale a zero.

Se nello stesso punto abbiamo un elettrone in moto con una velocitàV, il valore dell'energia cinetica coincide con l'eccesso  ΔEe
rispetto alla condizione di equilibrio (elettrone fermo) ed è uguale a quella che lo spazio rotante emetterebbe come un "pacchetto
di radiazione elettromagnetica"
se l'elettrone si spostasse sull'orbita associata a  p →∞ , raggiungendo la condizione di equilibrio
con i valori orbitali   Veq →0  e   Eeq →0 .

la frequenza della radiazione emessa  sarebbe :         ν = ΔE/he

con una durata dell'emissione uguale alla durata del transitorio  Te(∞) = T11e⋅ p³ → ∞.

Se la massa si muove con una velocità costante nel tempo e la si immagina in frenata  verso la condizione di equilibrio, si può dire che la
velocità di rallentamento tende a zero e quindi necessita di un tempo infinito per fermarsi.

In accordo con il secondo postulato di Bohr, l'energia ΔEviene emessa per tutta la durata del transitorio e quindi per un tempo
infinitamente lungo dunque con un livello di potenza uguale a zero. Questo vuol dire appunto che di fatto la particella non viene
frenata e continua il moto a velocità costante.
Se invece l'elettrone viene frenato, dallo spazio fisico nel quale si muove, raggiungendo la velocità di equilibrio   V = 0 ,  in un
tempo  Δt , nel tempo  Δt verrà emessa una radiazione elettromagnetica di frequenza         ν = ΔEe /h
con un livello di potenza :
                                                    Pν = ΔEe /Δt

Si deve' notare che l'emissione di una radiazione elettromagnetica come perturbazione dello spazio non è dovuta ad un processo
misterioso, ma è una immediata conseguenza del principio di conservazione dell'energia che lo spazio fisico deve soddisfare.
Abbiamo infatti una massa materiale ( in questo caso una particella elementare ) che ha nell'istante t0 una energia cinetica uguale a
ΔEe nell'istante t1 dopo un tempo Δt ,  un'energia uguale a zero. Se la massa in moto viene frenata da un mezzo materiale
vengono eccitati gli atomi del mezzo i quali riemettono la stessa energia come energia termica, ovvero come radiazione
elettromagnetica a bassa frequenza, in modo da soddisfare il principio di conservazione.

Se l'azione frenante viene esercitata in assenza totale di materia organizzata, ossia nello spazio fisico puro (quello che le teorie
correnti definiscono come spazio vuoto) ad eccitarsi saranno gli agenti che hanno prodotto l'azione frenante, ossia "gli elementi
spaziali  S0",
 che 
avendo dimensione  r0 oscilleranno su frequenze molto più elevate, direttamente proporzionali  alla
energia  ΔEche ha prodotto l'eccitazione, secondo la relazione  :            ν = ΔE/h .
Quello che abbiamo descritto coincide esattamente con il processo che genera il fotone. Anche in questo caso si ha infatti una massa
( elettrone ) che nell'istante iniziale ha un'energia uguale a  Ep1 e dopo un tempo  Δt un valore  Ep2 < Ep1 .
La differenza  ΔE= Ep2 – Ep1 è stata assorbita dall'agente frenante, ossia dal mezzo (spazio rotante) nel quale è avvenuto
il trasferimento da un livello all'altro.

Con il passaggio dal livello pal livello p2 diminuisce sia l'energia che il momento angolare dell'elettrone, per cui la reazione dello
spazio fisico dovrà essere tale da soddisfare i principi di conservazione di entrambi e quindi la radiazione non potrà essere emessa
in tutte le direzioni, con simmetria sferica, ma dovrà avere una precisa direzione per soddisfare la conservazione del momento
angolare. L'entità fisica, il fotone, che viene utilizzato per indicare questa condizione dello spazio deve avere carattere ondulatorio,
in quanto deve trasferire energia
 nello spazio senza spostamento di materia ordinaria (   Art.20   ) .
Deve essere direzionale, in quanto, rispetto al centro dello spazio rotante, deve compensare la riduzione del momento angolare
Lf = Lp1 – Lp2 .

Deve infine avere un'estensione limitata nel tempo e quindi nello spazio lungo la direzione di propagazione, in quanto la
perturbazione ha una durata finita, precisamente uguale alla durata del transitorio. Quando la durata è molto limitata, come accade,
per esempio, nelle transizioni fra orbite elettroniche o nucleari degli atomi (  Art.51  ), lo spazio percorso dalla perturbazione in un
periodo orbitale è tale da poter essere considerato un punto materiale.
Con queste caratteristiche il fotone si presenta come un pacchetto di onde elettromagnetiche con
estensione molto piccola che si 
muove nello spazio in linea retta come una qualsiasi particella
materiale e a seconda del metodo di osservazione, viene intercettato 
e rivelato come un'onda oppure
una particella.

In ogni caso, riprendendo l'idea di De Broglie,  l'oscillazione nasce solo quando una massa in moto viene frenata dal mezzo ed
ha una durata uguale al transitorio.
Questo vuol dire che a una massa in moto non accelerato non è associata nessuna onda materiale di valore misurabile. Se si vuole
associare un'onda materiale a una massa in moto uniforme, dunque a velocità costante, si deve precisare che la sua ampiezza ha
valore uguale a zero.  Il carattere ondulatorio nasce solo nel momento in cui viene frenata da spazio fisico puro.
Nulla accade se viene frenata da un'altra massa che possa acquisire l'energia e il momento angolare sottratto, in modo da
soddisfare i principi di conservazione.

Se siamo in uno spazio conservativo, possiamo pensare al processo inverso, ossia, se abbiamo un elettrone in equilibrio sull'orbita p, in
moto con velocità Veqp  l'energia è di segno negativo e vale :                   Eeq = – (1/2) ⋅ me⋅Veq² .

Se viene fornita energia si sposta allontanandosi dal centro dello spazio rotante e, se l'energia fornita è sufficiente può rallentare fino
all'orbita associata a  p →∞ , con la velocità  Ve = 0 .
La frequenza che deve avere la radiazione incidente per portare l'elettrone dall'orbita p a  p →∞, per la reversibilità del processo,
sarà uguale a quella della radiazione emessa  nel passaggio da  p →∞
 a  p , ossia :
     da cui si ha : 
che si può scrivere :  
Il primo membro rappresenta la lunghezza d'onda   λe  corrispondente alla frequenza di rivoluzione  νe dell'elettrone, che si muove
sull'orbita associata a  p →∞ , con la velocità  V, dunque con un eccesso di velocità Vrispetto all'equilibrio  con  Ve = 0 .
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Si può dunque scrivere :      
Questa relazione può essere generalizzata agli elettroni in equilibrio su tutte le orbite stabili, considerando che in questo caso l'energia
dell'elettrone è di segno negativo e vale :             .
Rispetto all'elettrone fermo sull'orbita  p →∞  si ha quindi un difetto di energia e quindi l'energia    ΔE = Eeq  rappresenta il
valore dell'energia raggiante che bisogna fornire per fermare l'elettrone , portandolo sull'orbita p∞ .
        
Si noti che     λe = 2·λ    rappresenta la lunghezza d'onda associata alla transizione dall'orbita  p  a quella di equilibrio
associata al numero quantico  p .

L'emissione di energia raggiante si verifica solo durante la transizione perciò  λe  è
definita ed ha significato solo durante il 
periodo di transizione.
In condizioni stazionarie non ha nessun significato.

Se abbiamo un elettrone in moto con la velocità  V costante nello spazio ordinario, dunque sull'orbita  p  dello spazio rotante
protonico, in base  a quanto abbiamo visto, possiamo pensare che la sua velocità raggiungerà il valore di equilibrio (zero) in un tempo
infinito
e tale risulterà anche la durata del transitorio, durante il quale verrebbe emessa la radiazione di energia
.
Dato che l'energia irradiata è data dal prodotto tra la potenza della radiazione e la durata dell'irraggiamento, ne risulta un livello
di potenza   P→0   e quindi non rilevabile dagli strumenti.
Dunque, di fatto risulta che l'elettrone in moto nello spazio ordinario non irradia.
Se però esso viene intercettato da uno schermo materiale, l'arresto si realizza in tempi brevi con risultati diversi, che analizzeremo in un
prossimo articolo .
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Per gli elettroni in equilibrio sulle orbite, dunque in condizioni stazionarie, la sola lunghezza d'onda che si può definire è quella
associata al moto
di rivoluzione  λeq  ed indica lo spazio percorso in un periodo  Teq ,  che
quindi risulta :
  
diversa da  λ e non è associata ad alcuna grandezza variabile nel tempo.
Tutta la ricostruzione che abbiamo fatto mette in evidenza che la costante di Planck è stata ricavata solo con riferimento alla radiazione
emessa dal corpo nero e quindi solo  alla fascia elettronica dell'atomo.
Essa è quindi intimamente legata allo spazio rotante del protone e alle caratteristiche dell'elettrone e
non è utilizzabile in altri spazi rotanti 
con masse in orbita diverse dall'elettrone.

Se abbiamo, uno spazio rotante Ks²comunque generato, atomico, nucleare o astronomico, rifacendo il percorso di Planck, otteniamo
la stessa relazione:
                                        E = hmν         con    E = Eν = Eeq

dove E rappresenta l'energia di legame della massa  m in moto su un'orbita stabile dello spazio rotante Ks²ν è la frequenza della
radiazione capace di trasferire nello spazio la stessa energia e quindi capace anche di rimuovere la massa  m , portandola fuori dallo
spazio rotante e  h ,rappresenta la solita costante di proporzionalità, riferita però a questo
caso
Si ricava dunque :
        
con qualche semplice sostituzione :
           
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sostituendo ancora la frequenza di rivoluzione νeq , si ottiene :
        
uguagliando Eeq all'energia trasferita dalla radiazione       Eν = hmν ,      si ha :
           
Questa relazione si applica a qualsiasi spazio rotante, che potrà anche non presentare alcun legame con l'elettrone,
di cui si può ignorare l'esistenza.
Se ripercorriamo la strada indicata trattando lo spazio rotante atomico  (  Art.51   ) , in cui la particella in orbita è l'elettrone, poniamo :
     
L'espressione della frequenza ν della radiazione coincide formalmente con quella ricavata per la fascia elettronica dell'atomo.
Per quanto riguarda la costante di proporzionalità  h , l'espressione fornita coincide esattamente con quella scritta con riferimento
alla fascia elettronica dell'atomo e fornisce il valore massimo del momento angolare della particella di massa   in orbita nello
spazio rotante considerato.

Non abbiamo dunque alcun motivo valido per fornire una relazione
diversa.

Dal punto di vista formale è tuttavia possibile assumere l'elettrone come riferimento per le particelle in orbita e il protone come
generatore dello spazio rotante.

Avendo posto                                                                Zs = Ks²/Kp²

abbiamo assunto per qualsiasi spazio rotante il protone come unità elementare della massa solare generatrice e quindi si ha :

                                              R11s⋅ V11s² = Kp²
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indipendentemente dal tipo di spazio rotante. Si ha quindi :
      
in generale sarà :            
Per rapportare questo valore al valore ricavato per la fascia elettronica dello atomo, sostituiamo ancora :

        
e si ottiene :    
Se si vuole dare valore universale alla costante di Planck in modo da utilizzare lo stesso
valore per qualsiasi spazio rotante e qualsiasi massa orbitante, ossia :

             hm = he = h = 2⋅π⋅me⋅R11e⋅V11e = 6.6260755⋅10⁻³⁴ j⋅sec

il fattore in parentesi deve essere trasferito alla frequenza, ponendo :
     
si ottiene così la relazione :                                    Eν = h ⋅ ν

E' chiaro che, se si sposta solo un fattore, il valore dell'energia che si ottiene non cambia. Cambia però la frequenza  ν della radiazione
emessa e questo è un fatto che ha implicazioni fisicamente importanti.
Non esiste però nessuna ragione teorica valida per fare questa scelta, se non  la volontà di dare
necessariamente un valore universale alla costante di Planck h .
Inoltre, la costanza del valore di  h in spazi rotanti con masse orbitanti diverse crea una contraddizione logica nel processo di emissione
della radiazione.
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Secondo la teoria che abbiamo esposto, e l'esperimento lo conferma, i fotoni sono pacchetti d'onda che trasferiscono
nello spazio un valore di energia dipendente solo dalla frequenza.
Fotoni che hanno la stessa frequenza sono uguali tra loro ; non possono quindi esistere fotoni che trasferiscono energia diversa con
la stessa frequenza.
Per aumentare l'energia trasmessa a una data frequenza è necessario aumentare il numero di fotoni e non è possibile, per
esempio, aumentare 
l'ampiezza delle oscillazioni, come succede per qualsiasi altro tipo di onda.
E' chiaro che, essendo un'osservazione sperimentale, questo comportamento dipende dal processi di generazione ed emissione del
fotone e non dalle scelte teoriche fatte per descriverlo.
Vediamo una possibile giustificazione nell'ambito della teoria degli spazi rotanti.

Negli Art.12  ;   Art.13   ;  Art.31   ;  Art.48  abbiamo visto che l'eccentricità dell'orbita percorsa da una massa satellite in moto in uno
spazio rotante è proporzionale all'eccesso di energia rispetto al valore associato all'equilibrio. Se dunque all'elettrone in orbita viene
fornita energia, man mano che essa viene assorbita aumenta l'eccentricità dell'orbita e, quando l'energia assorbita uguaglia
 il valore
associato all'equilibrio, l'eccentricità risulta  e = 1
 , la velocità della massa in orbita raggiunge il valore di fuga e la traiettoria diventa
una parabola. L'elettrone, per esempio  einfigura, si allontana definitivamente dallo spazio rotante, lungo il tratto centrifugo dell'orbita.
Questa fuga impedisce all'elettrone un ulteriore assorbimento di energia, se anche essa è disponibile. Se si continua a fornire energia
all'atomo, essa verrà assorbita da un secondo elettrone  e, che subirà la stessa sorte di  e.
                              
Il valore massimo dell'energia che un elettrone orbitale riesce ad assorbire è uguale all'energia di legame ( energia cinetica di equilibrio )
che lo allontana dall'atomo impedendogli di fatto di assorbire altra energia. Non è dunque possibile avere emissione di elettroni aventi
energia maggiore di quella associata all'orbita di provenienza. Fornendo più energia non aumenta quella dell'elettrone, ma il numero di
quelli emessi. Se dunque vogliamo aumentare l'energia di un fascio di elettroni emessi per effetto fotoelettrico, non possiamo aumentare
la velocità degli elettroni, ma solo il numero di quelli che compongono il fascio, che hanno comunque tutti la stessa energia (zero quando
sono fuori dallo spazio rotante.
Vediamo ora l'analisi del processo inverso, considerando gli elettroni, nell'esempio di figura   e1 ed  e2 , inizialmente lontano, fermi,
fuori dal raggio d'azione dello spazio rotante nucleare.
Come abbiamo già visto, se l'elettrone  e, avente energia iniziale uguale a zero, si trasferisce sull'orbita stabile ppassa in orbita
con energia cinetica  Eeqp , e viene emesso un fotone con frequenza data dalla  relazione      Eeqp = h ⋅ ν ,   in modo da
conservare l'energia totale del sistema.
Se aumentiamo l'energia cinetica iniziale dell'elettrone  della quantità  ΔE , quando esso giunge sull'orbita p , non viene emesso
un fotone di energia maggiorata di   ΔE ,  ma lo stesso fotone di frequenza     ν
 = Eeqp/h   e l'energia    ΔE  che è stata
fornita inizialmente rimane all'elettrone sull'orbita come energia di eccitazione, facendogli percorrere un'orbita ellittica di eccentricità
e = (ΔE/Eeqp)1/2 .
Aumentando l'energia  ΔE fornita inizialmente aumenta l'eccentricità fino a quando, raggiunto 
il valore ΔE = Eeqp 
l'orbita
diventa parabolica e l'elettrone inviato sul nucleo non viene assorbito, ma riflesso insieme al fotone 
ν = Eeqp/h .
Naturalmente, l'energia del fotone emesso è quella fornita inizialmente all'elettrone.
In definitiva, possiamo dire che l'impossibilità di avere fotoni di diversa energia con la stessa frequenza, ovvero di poter variare il
valore dell'energia variando l'ampiezza dell'oscillazione e non il numero di fotoni, deriva dal fatto che non è possibile fornire
all'elettrone in orbita un'energia maggiore di quella associata all'equilibrio  Eeqp
  in quanto interviene la velocità di fuga che lo
allontana fuori dal raggio d'azione del nucleo impedendogli di assorbire altra energia.
Se, per esempio, forniamo all'elettrone un'energia iniziale   ΔE = n · Eeqp  , esso percorrerà  orbite paraboliche ( si tratta
di un esperimento ideale ) ritornando infine a distanza infinita dal nucleo, dopo l'emissione di  fotoni aventi tutti la frequenza
ν = Eeqp/h e la stessa energia ΔE/n .

 

Supponiamo ora di poter realizzare il seguente esperimento.
Abbiamo n elettroni in moto equilibrato sull'orbita p dello spazio rotante di un atomo con  Zs  protoni nucleari. L'energia di legame
di ciascun elettrone in orbita vale  Eeq1  ed è uguale all'energia  Eν1  della radiazione disponibile, secondo la relazione :

                                                 Eν1 = heν = Eeq1 .

Inviando simultaneamente  ne  , fotoni uguali fra loro, sull'orbita otteniamo l'emissione di  ne elettroni
simultaneamente.
In definitiva abbiamo fornito l'energia :
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Sappiamo che nello spazio rotante le caratteristiche orbitali dipendono solo dalla sfera solareche genera lo
spazio rotante, e non dal valore delle masse in moto sulle orbite.
A parte qualche problema, superabile, di stabilità del sistema, supponiamo di sostituire gli n, elettroni presenti sull'orbita, con un solo
aggregato di massa  m = ne⋅ m.
Secondo l'equazione fondamentale degli spazi rotanti                           Veq²⋅ Req = Ks²

il nuovo aggregato si muoverà sull'orbita ancora con la velocità  Veq  e quindi con un'energia cinetica ( energia di legame ) data da :

Dato che la frequenza del moto orbitale non è cambiata rispetto al caso in cui avevamo gli  ne  elettroni, se inviamo sulla massa
m = ne⋅me   ancora gli   n fotoni "simultaneamente", aventi la stessa frequenza ν e la stessa fase, ciascuno di
essi si trova, come prima,
nelle giuste condizioni dinamiche per fornire il contributo  1/nall'impulso necessario per accelerare la
massa  , che raggiunge così la velocità di fuga.
Se gli elettroni si trovano sulla stessa orbita in condizioni di moto identiche, il fatto che essi siano indipendenti o aggregati in una sola
massa non cambia la dinamica del processo.
E' dunque possibile produrre l'emissione di una massa m = ne⋅ me  con i fotoni utilizzati nel modo che abbiamo indicato, anche
se la loro frequenza è appena sufficiente per espellere uno solo degli elettroni aggregati.

Questo risultato contraddice però l'ipotesi secondo la quale, per espellere la massa con
energia di legame
   ,
si debba impiegare un solo fotone caratterizzato da una frequenza

          ν = (ne⋅ν)       e quindi energia :       Eν = he⋅ν = he⋅(ne⋅ν) = Eeq
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Se scriviamo questa relazione nella forma equivalente :              Eν = (ne⋅he)⋅ν = hm⋅ν = Eeq

è facile verificare che, moltiplicando la costante  he  per  nsi "costruisce" un fotone perfettamente equivalente agli ne precedenti,
considerati coerenti ed agenti simultaneamente, con la stessa frequenza ν .

Se ora consideriamo il processo inverso, quando la massa m , partendo da una distanza R →∞ , giunge sull'orbita, viene emesso
un fotone che ha una frequenza dipendente unicamente dalle condizioni di moto che si realizzano 
sull'orbita che, per quanto
abbiamo visto, sarà uguale a ν con una energia uguale a quella di legame  Eeq, secondo la relazione :

                                             Eν = hm⋅ν = Eeq

La costante di Planck, che, con riferimento alla fascia elettronica dell'atomo, abbiamo indicato con h, assume un valore dipendente
dalla massa in orbita sulla fascia periferica dell'atomo, l'elettrone.

La sua caratteristica di costante universale è quindi legata unicamente alla universalità dell'elettrone nell'atomo.

In uno spazio rotante diverso, nel quale l'elettrone non compare come massa orbitante
o non compare affatto, come, per esempio, nel nucleo atomico, non 
è possibile
che la costante  h  assuma un valore dipendente da una particella
inesistente.

Consideriamo quindi la costante di Planck nella sua forma più generale :

Ricordiamo che per lo spazio rotante nucleare abbiamo ricavato :
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       e per il protone polarizzato in orbita    m = 3/4 · mp
sostituendo si ottiene la costante di Planck valida per le reazioni nucleari:
      
sostituendo i valori numerici si ottiene :

                      hpN = 32.13776478 ⋅ h= 2.129472558⋅10⁻³² j⋅sec

La frequenza della radiazione che bisogna fornire per estrarre un protone dal livello nucleare p di un nucleo atomico di numero atomico
Z  , vale :

ricordando che :   

numericamente si ottiene :  
Per esempio, per poter produrre l'espulsione di un protone dal quarto livello nucleare di un  atomo di stagno  con 
( Z = 50 ; p = 4 )
,
trascurando per il momento l'energia richiesta per altre transizioni connesse, è necessario inviare un fotone
con 
frequenza :
                               ν(50 ; 4) = 6.471102159⋅10¹⁹ Hz⋅(502/3⋅1/4²) = 5.489148⋅10¹⁹ Hz
ed energia :
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                       Eν(50 ; 4) = hpν(50 ; 4) = 7.2957 MeV

L'energia di legame del protone sul quarto livello nucleare, utilizzando il valore dell'energia per strato riportata nell' Art.75    vale:


in ottimo accordo con l'energia associata alla radiazione nucleare calcolata.
Se si utilizza il valore corrente della costante di Planck con valore universale, si pone :

                                 hpN = he = h = 6.6260755⋅10⁻³⁴ j⋅sec

e si sposta il secondo fattore sulla frequenza, che diventa :

sostituendo i valori numerici :    

Come si può vedere, considerando la costante di Planck indipendente dallo spazio rotante la frequenza della radiazione associata ai livelli
nucleari risulta maggiore di un fattore uguale a 32,13776478 , ma il valore dell'energia è data comunque dalla relazione :


Se consideriamo, per esempio la transizione di un protone dalla quinta orbita alla quarta in un nucleo di neodimio ( Z = 60 ) , la
radiazione γ emessa avrà :
-- energia :

eseguendo i calcoli :                             Eν(60; 5-4) = 2.9659 MeV

-- frequenza :

Una maggiore precisione si ottiene utilizzando l'energia per strato (   Art.75    ) :

con i valori numerici :

in ottimo accordo con i valori sperimentali.
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 Art.52-- La costante di Planck non ha valore universale ; espressione teorica della costante di Planck generalizzata, origine del fotone e dell'onda materiale di De Broglie -- Antonio Dirita

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