Art.52– La costante di Planck non ha valore universale, espressione teorica della costante di Planck generalizzata — Antonio Dirita

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Nell’  Art.50  abbiamo visto che la costante di Planck nacque come artificio matematico per poter avere accordo tra la curva osservata
e quella teorica nella radiazione emessa dal corpo nero.
La condizione irrinunciabile, per avere questo accordo era che gli oscillatori (atomi eccitati) emettessero energia non con distribuzione
continua di valori, ma sotto forma di ” pacchetti “ multipli di una quantità elementare, esprimibile con una relazione del tipo
En = n ⋅ (h⋅ν)  ,  rivelatasi successivamente non del tutto corretta.

Nello stesso tempo le teorie classiche non riuscivano a rendere conto della stabilità “indiscutibile” degli atomi, in quanto, secondo il
modello planetario di Rutherford, l’elettrone in moto sull’orbita è soggetto ad un’accelerazione che 
genera l’emissione di una
radiazione elettromagnetica con una conseguente 
perdita di energia.
Dopo un tempo più o meno lungo l’elettrone sarebbe destinato così a cadere sul nucleo, mentre l’esperienza ci dice che questo non si
verifica.
Entrambi questi risultati trovano una loro giustificazione nell’ambito della teoria degli spazi rotanti. In essa si dimostra infatti
che :

Nello spazio fisico, le orbite stabili ” di qualsiasi sistema  legato da forze centrali ” sono
quantizzate secondo
la relazione ( Art.10  ) :
                                                               Rp = R⋅ p²

L’energia irradiata, sotto forma di perturbazione, da una massa in moto su un’orbita eccentrica è proporzionale al quadrato
dell’eccentricità (  Art.13  ) e presenta la massima intensità nella direzione del semiasse maggiore.

L’energia che viene irradiata sull’orbita circolare minima si riduce dunque a zero e viene così raggiunto
un equilibrio stabile.

E’ chiaro che in un sistema formato da molte masse orbitanti si avrà emissione distribuita ìn tutte le direzioni.
In mancanza di risultati Teorici, per giustificare comunque le osservazioni sperimentali, Niels Bohr introdusse tre ipotesi
arbitrarie :

— Il valore del momento angolare dell’elettrone in moto sull’orbita deve essere un multiplo intero della costante di Planck , e
dunque l’energia di un elettrone potrà assumere solo valori opportuni associati a numeri interi.

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–L’atomo emette energia solo durante il passaggio dell’elettrone dallo stato con energia   E₁  a quello con energia  E₂  e la
frequenza della radiazione emessa è legata ai due stati da una relazione del tipo
:    
L’energia cinetica dell’elettrone in equilibrio sull’orbita è sempre uguale alla metà della energia potenziale, ossia risulta :                       
Sostituendo questa relazione nel secondo postulato di Bohr, si ottiene per la frequenza emessa l’espressione :

Confrontando questa relazione con la formula di Rydbergh-Ritz, sapendo che la frequenza è data da   ν = C/λ  si deduce
facilmente che i raggi delle orbite stabili, devono essere proporzionali ai quadrati di numeri interi.

Per ottenere questo risultato, Bohr propone il terzo postulato, dicendo che:
–il momento angolare dell’elettrone deve soddisfare la relazione :   
Anche se queste ipotesi non hanno una giustificazione teorica, con esse Bohr riuscì a giustificare molto bene lo spettro di emissione
dell’idrogeno.
Nulla però riusciva a dire sugli spettri di emissione degli atomi più
complessi.

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Restavano dunque ancora molti problemi da risolvere. Non ultimo quello che nasceva dalla mescolanza fra le proprietà
corpuscolari e ondulatorie
che la radiazione manifestava in molti processi e che erano state sintetizzate da
Einstein con l’introduzione del fotone,
descritto come particella dalla :   p = E /Cl   

e da Planck, che descrisse la radiazione con caratteristiche ondulatorie con la relazione

Art.50   ) :          E = h ⋅ ν.
Combinando le due espressioni, si ottiene :       
In questa relazione compaiono entrambi gli aspetti della radiazione : quello corpuscolare, attraverso l’impulso   , e
quello ondulatorio, con la lunghezza 
d’onda   λ .
Essa consente dunque la doppia lettura della radiazione ” nello stesso
tempo “.

A questo punto De Broglie nota che tutte le ipotesi arbitrarie che Bohr è costretto a introdurre, per poter descrivere il comportamento
dell’elettrone nell’atomo, altro non fanno che mettere in relazione le caratteristiche di moto della particella con la sequenza dei
numeri interi,
utilizzata da sempre per descrivere qualsiasi processo ondulatorio.
Pensa così di trattare l’elettrone come il fotone, sostituendo semplicemente nella relazione che descrive il fotone
al suo impulso quello dell’elettrone dato da   p = m ⋅ V .
Scrive dunque :                       
Anche se la relazione è stata ricavata ragionando sull’atomo, la sua lettura viene estesa a tutta la materia, dicendo che a
qualsiasi corpo materiale che abbia un impulso    p = m ⋅ V  , si associa un comportamento ondulatorio con lunghezza d’onda λ
legata all’impulso dalla relazione indicata.

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L’intuizione di De Broglie di assimilare il comportamento dell’elettrone a quello del fotone è corretta, ma non lo è l’interpretazione dell’onda
materiale associata .
Se si applica la relazione all’elettrone in orbita attorno al nucleo, si dice che la sua esistenza, e dunque l’esistenza dell’onda ad esso
associata, è possibile solo se sull’orbita si forma un’onda stazionaria, altrimenti verrebbe annullata per
interferenza
distruttiva, come accade per qualsiasi oscillazione confinata 
in uno spazio limitato.
Le teorie correnti affermano dunque che la lunghezza dell’orbita deve
essere un multiplo intero della lunghezza d’onda,
ossia dovrà essere :

                                            2⋅π⋅Rn = n⋅λ = n ⋅ (h/p)

viene giustificata così l’ipotesi di Bohr :            p ⋅ Rn = n ⋅ h/(2⋅π)

Il comportamento ondulatorio della materia, indicato da De Broglie, ci dice quindi anche che :
quando un corpo di massa   è vincolato a muoversi entro uno spazio di dimensioni limitate L , la sua velocità V , e dunque la sua
energia  , possono assumere solo valori tali da dare origine, nello spazio considerato, a onde stazionarie. Dovrà dunque essere :

                                 λ = L/n     con      n = 1, 2, 3,……….
ossia :             
Quadrando e semplificando, si ottiene :    
Se la massa   si sposta in uno spazio conservativo come, per esempio, un campo di forze centrali, atomico, nucleare o gravitazionale,
su una traiettoria equipotenziale , si trova in condizione di equilibrio e quindi l’energia   En  è uguale a metà dell’energia 
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potenziale, esprimibile con una relazione del tipo :

dovrà dunque essere :   
Essendo l’orbita di raggio    il percorso ripetitivo realizzato dalla massa  in un periodo,  si assume come spazio
limitato, obbligato, la lunghezza della circonferenza
 
 L = 2 ⋅ π ⋅ R .
Sostituendo, si ricavano quindi le caratteristiche orbitali necessarie per avere l’equilibrio :

Queste relazioni sono state ricavate senza alcuna ipotesi restrittiva, solo con la considerazione che, secondo l’ipotesi di De Broglie, la
massa  m
  si potrà trovare in equilibrio sull’orbita “solo come onda stazionaria”con opportuna lunghezza d’onda.
Esse dovrebbero dunque avere validità assolutamente generale.
La validità delle ipotesi viene verificata normalmente applicando le relazioni all’elettrone dell’atomo di idrogeno, ponendo :

           m = me     ;     Ks² = Kp²      ;      h = costante di Planck

e si ottengono valori in accordo con quelli sperimentali.
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Se si considera   una costante universale, la prima espressione fornisce un valore del raggio dell’orbita inversamente proporzionale
al quadrato della massa  m  che si muove sull’orbita.

Questo vuol dire che, raddoppiando la massa presente su un’orbita, il raggio si dovrebbe ridurre a un
quarto del suo
valore iniziale, in totale disaccordo con quanto si osserva sperimentalmente
nell’atomo e nel sistema Solare,
dove le orbite circolari stabili minime risultano
indipendenti
dalle masse
e, esprimibili, con le relazioni teoriche (vedi   
Art.31  ) :

sistema Solare :                     Rp ≅ 6.153⋅10 Km ⋅ p²

atomo :                                     Rp ≅ 5,29177249⋅10–11 m ⋅ Z1/3

nucleo atomico :                    Rp ≅ 57,63978486⋅10–15 m ⋅ Z1/3 . 

con                                              p = 1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  ………

La seconda relazione, sempre assumendo   come costante universale, ci dice che l’energia cinetica della massa in equilibrio
sull’orbita, risulta direttamente proporzionale al cubo della massa e  
questo è, fisicamente, assurdo,
in quanto
risulta in totale disaccordo con tutta la fisica teorica e
sperimentale.

Da entrambe le espressioni vediamo che l’accordo con le osservazioni sperimentali si può
ottenere
 
solo se si assume h direttamente proporzionale al valore
della massa in orbita.

Scriviamo dunque :
         
si ottiene così :                
Nella teoria generale degli spazi rotanti, abbiamo ricavato le relazioni   (   Art.17  ;   Art.38a   ) :

 

                Rn = R ⋅ n²   ;   Vn = Vn ⋅ (1)/n)   ;   Tn = T⋅ n³

sostituendo, si ottiene :    
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Abbiamo anche dimostrato che, in presenza di un nucleo formato da   Z   unità uguali fra loro, ciascuna delle quali associata uno spazio

rotante unitario Kp² , lo spazio rotante generato risulta                Ks² = Kp²⋅ Z

e le caratteristiche dell’orbita fondamentale  (   Art.29  ;  Art.50   )   :

            R(Z) = R₁₁⋅ Z1/3  ;   V(Z) = V₁₁⋅ Z1/3  ;   T(Z) = T₁₁ = 1/ν₁₁

sostituendo nell’espressione dell’energia, si ottiene:
         
Se poniamo :      
si può scrivere :                                                   En(Z) = H ⋅ νn(Z)

 

dove  H  è una costante caratteristica del sistema considerato e dipende
solo dalla massa unitaria che genera lo spazio rotante e da quella che si muove in
equilibrio sull’orbita.

Se la massa m si sposta dal livello n al livello n , l’energia associata alla radiazione emessa sarà :

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in cui si può dire che H rappresenta ” l’intensità della radiazione “e risulta direttamente
proporzionale al valore della massa che si sposta , in perfetto accordo con il fatto che, fissato il sistema, se lo
spostamento di una massa m genera una radiazione (fotone) di frequenza ν, quando lo stesso spostamento viene effettuato
simultaneamente, nella stessa direzione,
da un numero   di particelle  m₁  verrà emessa
una radiazione formata da un fascio di N fotoni coerenti della stessa frequenza ν₁₂ data da :

Sostituendo il valore di  H  nelle espressioni di   R e   E , associati all’orbita secondo l’ipotesi di De Broglie, si ottengono
le relazioni :    
che forniscono valori in accordo con quelli sperimentali  solo nel caso dell’atomo di idrogeno, con
m = me    e  Z = 1.

Solo in questo caso il valore di H coincide con la costante di Planck h .
Il calcolo consente dunque di trarre le seguenti conclusioni :

–La costante è caratteristica del sistema elementare formato da una sola massa elementare attiva, che genera lo spazio
rotante, ed un’altra 
che si muove in equilibrio sulla sua orbita fondamentale.

— La costante di Planck h non è dunque una caratteristica con valore universale, ma strettamente legata all’atomo di idrogeno.

E’chiaro quindi che essa interverrà in tutti i sistemi che utilizzano l’atomo di idrogeno come costituente elementare e quindi praticamente
in tutta la materia ordinaria.
— In questo senso è una costante universale, ma ” non è applicabile con lo stesso valore al
nucleo, ai sistemi subnucleari e a quelli astronomici “.

–La quantizzazione delle caratteristiche orbitali che si osserva negli atomi non è deducibile applicando l’ipotesi di De Broglie.

Considerare l’orbita come un percorso di lunghezza  L  entro il quale
la massa è confinata subendo una riflessione sugli 
estremi ” non è
corretto “, in quando l’onda stazionaria, in
quest’ultimo caso nasce
proprio per la riflessione, “ 
mentre sull’orbita questo non si verifica ”
e la massa  m  si muove 
sempre nello stesso verso.

Non esistono quindi ostacoli sui quali si produce un’onda riflessa e
dunque non
può formarsi
interferenza costruttiva per dare origine a
un’onda stazionaria .

Si deve osservare che oggi le onde materiali di De Broglie rappresentano ormai una realtà acquisita e dimostrata per la prima volta con la
diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo di nichel, che analizzeremo in un prossimo articolo.
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 Art.52– La costante di Planck non ha valore universale, espressione teorica della costante di Planck generalizzata — Antonio Dirita

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