Art.51-- Teoria dei quanti e origine della fisica quantistica, significato fisico della costante di Planck e dualismo del fotone onda-particella -- Antonio Dirita

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Vogliamo ora ricavare l'origine fisica della meccanica quantistica con la teoria degli spazi rotanti.
Abbiamo già visto con la teoria generale ( Art.10  ) che, in uno spazio rotante di valore  K²la condizione per avere l'equilibrio orbitale
nel rispetto dei principi di conservazione dell'energia e del momento angolare è che " il raggio dell'orbita " soddisfi
la condizione di quantizzazione :
                                                           R = R⋅ p²

in cui  R₁  rappresenta la prima orbita circolare stabile, associata a  p = 1.
Dunque la prima quantizzazione con validità universale, applicabile a tutta la materia, sia ai sistemi atomici e subatomici che a
quelli di dimensioni galattiche, è solo quella del raggio delle orbite. " Essa è quindi solo di
natura geometrica ".

Applicando la legge fondamentale degli spazi rotanti  (  Art.5  ) :             V²⋅ R = K² = costante

vediamo che "la quantizzazione del raggio genera una quantizzazione della velocità orbitale",espressa dalla
relazione :
                                                             V = V/p  

dove  V  è la velocità associata alla prima orbita con  p = 1.
Se   è il valore della massa in orbita, l'energia che la lega allo spazio rotante è uguale al valore dell'energia cinetica e vale quindi :
            
Se  mS1  è la massa solare che genera lo spazio rotante centrale  KS12, una massa solare di valore mS = Z⋅mS1 genera uno
spazio rotante dato da :
                                                  KZ² = Z ⋅ KS1²

Nell' Art.29  abbiamo ricavato per il raggio della sfera planetaria di una massa  m in moto sull'orbita di raggio Rdello spazio rotante
Ks², generato da una massa centrale ms , l'espressione :
               
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Ponendo :     Ks²/Kp² = Z  ,   si può scrivere :   
e quindi : 

Se  Rp  rappresenta la sfera planetaria del protone, coincidente con il raggio  R11dell'atomo di idrogeno, e   il numero di protoni

presenti nel nucleo che genera lo spazio rotante            KZP² = Z ⋅ Kp² ,       Rn  diventa la sfera planetaria del nucleo formato da
protoni.
Le caratteristiche orbitali dello spazio rotante  KZP² diventano quindi :

L'energia di legame della massa orbitante vale quindi :
 
Trattandosi di uno spazio conservativo, il valore dell'energia di legame  E è uguale all' energia che viene emessa dallo spazio rotante
quando la massa si sposta sull'orbita, partendo da una distanza teorica R = ∞ coincide anche 
con il valore di energia che

bisogna fornire alla massa in equilibrio sull'orbita per aumentare la sua velocità fino al valore di fuga   Vf = √( 2) ⋅ Veq ,
che la allontana dall'orbita fino alla distanza teorica  R = ∞ .

" Il valore dell'energia assorbita o emessa dipende dal valore della massa in equilibrio
sull'orbita "
e quindi, se si considerano sistemi con valori casuali delle masse, 
per esempio quelli
astronomici,
si avranno valori casuali delle energie.

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Se invece consideriamo gli atomi, in orbita abbiamo solo elettroni e
quindi il valore dell'energia  E , per un dato l'atomo, dipende solo
dall'orbita occupata 

Possiamo quindi calcolare il valore dell'energia associata all'elettrone sulla prima orbita dell'atomo di idrogeno, con   Z = 1
e   p = 1 abbiamo :
 

sostituendo i valori numerici, si ottiene :
                

Per qualsiasi atomo, l'energia di legame di un elettrone in orbita sarà :
    

con                                                  p = 1  ;  2  ;  3  ;  4  ; .....................

I valori discreti che può assumere il parametro  in qualsiasi spazio rotante impone così  " solo nella struttura
atomica "
la quantizzazione dell'energia, giustificando così il risultato ottenuto da Planck.
Interpretare quindi il risultato ottenuto sperimentalmente come una caratteristica particolare associata a tutta la materia non
è corretto 
e porta a circondare la costante di Planck di un alone di mistero attorno al quale si è sviluppata tutta la meccanica
quantistica.

Oggi, con la teoria degli spazi rotanti che abbiamo sviluppato, noi sappiamo che nessun mistero avvolge la variazione per salti discreti del
numero quantico , ma che deriva dalla necessità dello spazio fisico di verificare i principi di conservazione dell'energia
e momento angolare in qualsiasi spazio rotante, atomico o astronomico  (  Art.5   e   Art.6   ), e questo si realizza solo con la
quantizzazione solo del raggio orbitale .

Ritornando alla struttura atomica, fissato il numero atomico , con l'espressione di EZpe  si ottiene il valore dell'energia di
legame di un elettrone su  qualsiasi orbita :

per esempio, per lo stagno, con Z = 50 si ha :
                                              EZpe(50) = 184.657732 eV ⋅ (1/p²)

per un elettrone presente, per esempio, sull'ultima orbita, con p = 5  (orbita di confine dello stagno) , il valore dell'energia di legame

risulta :                                                                             EZpe(50 ; 5) = 7.38630928 eV

Il valore sperimentale dell'energia di prima ionizzazione risulta  Ei(50 ) = 7.344 eVin ottimo accordo
con il valore teorico.


Analogamente, per il radio, con Z = 88 , si ottiene :     EZpe(88) = 269.1798885 eV ⋅ (1 )/p²)

L'energia di estrazione di un elettrone dall'orbita di confine, con p = 7, risulta :    EZ1e(88 ; 7) = 5.493467113 eV.

Il valore sperimentale dell'energia di ionizzazione vale :   Ei(88 ) = 5.279 eV

Un elettrone, per esempio, sul secondo livello ha un'energia di legame :     EZ1e(88 ; 2) = 67.29497213 eV
Queste relazioni mettono in evidenza che :
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La quantizzazione universale riguarda solo la geometria dell'universo,ossia le orbite
delle sfere planetarie in moto
 su di esse e le loro velocità orbitali .
Risulta invece assolutamente indipendente dal valore delle masse.
La quantizzazione non è dunque una caratteristica peculiare dei
sistemi atomici e subatomici, ma di tutto l'universo.

Nei sistemi che hanno le masse in orbita tutte uguali fra loro, sistemi atomici
e nucleari, alle due quantizzazioni citate si
aggiunge quella della energia.

Con  costante, il numeratore diventa costante e l'energia dipendente unicamente dal livello occupato, che varia per salti.
La quantizzazione dell'energia non è dunque il risultato di un processo ignoto e misterioso, ma, molto più semplicemente, ciò
che si ricava 
applicando le normali leggi dell'equilibrio allo spazio rotante atomico, che in orbita ha solo elettroni.
Vediamo quindi quali sono l'origine fisica e il significato fisico della costante di Planck, introdotta con il calcolo artificioso ricordato
nell' Art.50 .
Ricordiamo che, nel calcolo della deviazione di una massa qualsiasi (anche m = 0), che si muove in uno spazio rotante, la condizione
β = π/2  corrisponde alla situazione in cui il valore dello spazio rotante solare  Ks² non è più sufficiente per trattenere la massa  m
in moto sull'orbita stabile di raggio minimo  Rn = 2⋅R (ricordiamo che  Rrappresenta il perielio dell'orbita, ossia il punto in
cui la velocità radiale s'inverte  (  Art.49   )
.
Se quindi, mantenendo la velocità  V costante, riduciamo anche di poco la distanza  Rp , la velocità  V diventa troppo bassa per
avere la massa   in equilibrio sull'orbita di raggio  R , ma anche troppo alta per poterla avere in equilibrio su quella di raggio
Rn – 1. In queste condizioni la massa   si trova con un eccesso di energia rispetto al valore richiesto per formare un sistema
equilibrato con lo spazio rotante,
restando in moto sull'orbita di raggio  Rn – 1, ma anche insufficiente per poterlo abbandonare.
Essa non ha dunque nessun punto di equilibrio stabile possibile nello spazio rotante e " l'unica " traiettoria sulla quale si possono
verificare i principi di conservazione dell'energia e del momento angolare è 
quella ellittica con una velocità che oscilla attorno al
valore di equilibrio.

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Si è così formato un sistema chiuso che possiede un eccesso di energia  ΔE rispetto alla condizione di equilibrio stabile, che non riesce
a trasferire da nessuna parte e quindi si crea un'oscillazione della massa  tra  Rn –1 ed  Rn con un continuo scambio di energia
tra massa e spazio rotante.

Si dice brevemente che il sistema è eccitato dall'energia  ΔE , che lo pone in un regime transitorio, analogamente a quanto si verifica,
per esempio, in un circuito  RLC 
con il condensatore inizialmente carico.

Come abbiamo visto trattando l'evoluzione del sistema Solare  (  Art.13    ) e del nucleo atomico, a questa oscillazione si associa una
perturbazione dell'equilibrio dello spazio rotante che si manifesta con una lentissima emissione di energia che dura fino alla totale
eliminazione dell'eccesso  ΔE con conseguente riduzione del raggio dell'orbita fino al valore di equilibrio stabile  Rn – 1.

E'chiaro che, se invece di attendere la fine di questo lento decadimento della orbita, noi dall'esterno immettiamo la massa  m
direttamente sull'orbita stabile  Rn – 1 ,   essendo per ipotesi    
la massa  m  si ferma sull'orbita, emettendo in un solo periodo la energia potenziale :

Questa energia viene emessa sotto forma di perturbazione delle caratteristiche dello spazio fisico e si propaga con la velocità
della luce  Cl .

Tutto il processo di emissione (non la propagazione) deve esaurirsi quando il sistema
avrà raggiunto il regime finale 
(di equilibrio), ossia dopo un periodo orbitale, in accordo con
l'osservazione sperimentale ed il secondo postulato di Bohr (  Art.50   ).
La velocità di fase di questa perturbazione vale :

essa è dunque uguale a metà della velocità della massa proiettile.
Naturalmente è possibile il processo inverso.
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Se una radiazione di frequenza ν,  viene fatta interagire con lo spazio rotante Ks², sappiamo che viene trasferita sull'orbita un'energia
uguale a E = h ⋅ ν .
Se supponiamo, per semplicità, che sia   E = Eeq  , abbiamo    ν = Eeq/h   e in un periodo orbitale lo spazio rotante variabile
associato alla perturbazione trasferisce tutta l'energia   alla massa in orbita, la quale si trova così con un eccesso di energia  ΔE 
uguale a quella di equilibrio Eeq, quindi l'energia raggiunge un valore doppio e la velocità orbitale diventa uguale al valore di
fuga dall'orbita.

In queste condizioni, con  e = 1 , la massa percorre un'orbita parabolica, uscendo definitivamente dallo spazio rotante.
Per verificare il principio di conservazione dell'impulso del sistema, la massa solare centrale  m dovrà acquisire un impulso uguale a
quello associato alla perturbazione assorbita .
Normalmente, quando si tratta questo argomento ci si riferisce all'interazione tra particelle atomiche e subatomiche.
In tal caso l'assorbimento o l'emissione di un elettrone da parte di un atomo viene indicato come effetto fotoelettrico e
la perturbazione che viene emessa o assorbita viene detta "fotone".
Le masse presenti sulle diverse orbite dello spazio rotante hanno un'energia di legame ( energia associata al fotone emesso) uguale a

dove νeq indica la frequenza del moto orbitale.
Se la relazione si applica all'atomo di idrogeno, caso particolare di atomo che ha un solo protone ed un
solo elettrone in orbita,
per l'energia emessa si ottiene :

                   E = E11e = (2⋅π)⋅(R11e⋅me⋅V11e) ⋅ (ν11e/2) = h · ν

I valori numerici associati all'atomo di idrogeno sono noti (  Art.17   ) :

R11e = 5,29177249·10–11 ;   me9,1093897·10–31 Kg   ;   V11e = 2187691.415 m/sec

                           Kp² = V11e²⋅ R11e= 253.2638995 m³/sec²

T11e = (2⋅π⋅R11e )/V11e = 1,51982985·10–16 sec
sostituendo si ottiene :

               E = (2⋅π)⋅(1,054572661·10–34 J·sec) ⋅ (3,289841952·1015 sec–1) = h · ν

Al primo membro i valori in parentesi coincidono con quelli ottenuti sperimentalmente da Planck e quindi il secondo membro può 
descrivere l'energia del fotone emesso (in questo caso) se si pone :

                               h = (2·π)·(R11e · me · V11e)
              

Dato che in tutti gli atomi presenti nell'universo le masse in orbita sono sempre elettroni e il nucleo
che genera lo spazio rotante nucleare è 
formato sempre da protoni, può essere certamente utile
assumere queste due particelle, ciascuna nel proprio ruolocome riferimento per descrivere tutto
lo spazio fisico.

Qualsiasi spazio rotante di valore  Ks², "comunque generato " , atomico, nucleare o astronomico, può essere messo
in
relazione con quello del protone  Kp² con la semplice relazione:

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e si ottiene :  
in cui Kp2 , R11e e V11e  rappresentano i valori associati a  Z = e  p = , dunque all'atomo di idrogeno.
Sostituendo nell'energia di equilibrio, abbiamo quindi :
e quindi, in
A questo punto notiamo che la prima parentesi coincide numericamente con la costante di Planck
e quindi possiamo porre :
                       h = 2 ⋅ π⋅ me⋅ V11e⋅ R11e = 6.626075449⋅10⁻³⁴ j ⋅ sec

La costante di Planck è uguale al momento angolare dell'elettrone
in moto sull'orbita fondamentale del protone.

abbiamo dunque :                      
Applicando l'equazione fondamentale  (   Art.5   ), per qualsiasi spazio rotante si ricava :
      
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si hanno quindi le relazioni fondamentali :

                                        Teq = T11e ⋅ p3    equivalente a :          νeq = ν11/p3

Queste relazioni ci dicono che il periodo orbitale, quindi la frequenza orbitale, dipendono
solo dal numero quantico  p  associato all'orbita e
non dipendono dalla natura
dello spazio rotante considerato.

Esse saranno dunque applicabili a qualsiasi sistema, atomico, nucleare  oppure astronomico.

Per esempio, qualsiasi massa in moto sull'orbita associata a  p = 10 ( ricordiamo che come orbita fondamentale di riferimento è
stata assunta quella dell'atomo di idrogeno  R11e )  di qualsiasi sistema governato da forze centrali , avrà
un periodo orbitale :

               T₁₀ = T11e⋅ 10³ = 1.51982985⋅10⁻¹⁶ sec ⋅ 10³ = 1.51982985⋅10⁻¹³ sec

A titolo puramente esplicativo, calcoliamo il periodo orbitale della Terra sulla orbita  pT  dello spazio rotante
solare.

Per il Sistema Solare ( rapportato al protone, che abbiamo preso come riferimento ) si ricava :

Questo vuol dire che sono necessari 5. 2405802⋅10¹⁷ protoni (non atomi di idrogeno) per generare lo spazio rotante solare ( in
questo caso il Sole viene trattato come un nucleo atomico formato da  Zs = 5. 2405802⋅10¹⁷ protoni ).
Le caratteristiche dell'orbita fondamentale, associata a p = 1, con il riferimento assunto, risultano :

                                 Rs1 = R11e⋅ Zs1/3 = 42,6639419⋅10⁻⁶ m

                                 Vs1 = V11e⋅ Zs1/3 = 1,76378592⋅10¹² m/(sec

                                 Ts1 = T11e/1³ = 1,51982985⋅10⁻¹⁶ sec

Si tenga presente che quest'orbita non è osservabile e quindi non genera nessuna violazione. Questi risultati si ottengono perché è stato
scelto come riferimento un raggio di valore molto basso e quindi si raggiungono velocità elevate ( che però non sono osservabili).
Del resto, il Sole non è puntiforme e al suo interno " la velocità di equilibrio reale " è data dalla :
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 da cui :     
Considerando il pianeta Terra, sono note le caratteristiche orbitali :  RT = 149597870 Kme = 0,016707
utilizzando le relazioni ricavate nell'  Art.38a   si ottiene :
            
Con il riferimento assunto l'energia di legame della Terra allo spazio rotante solare risulta :

praticamente coincidente con il valore calcolato con ll formula dell'energia cinetica :

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Tornando al nostro problema, se si sostituisce l'espressione di νeq in quella dell'energia, si ottiene :

abbiamo visto che la velocità di fase della perturbazione associata al moto di una particella " in transizione " è uguale a metà della
velocità della particella stessa,
quindi nel nostro caso la radiazione emessa avrà una frequenza :       ν = νeq/2

Se poniamo, per la radiazione emessa :               si ottiene dunque :

e quindi la frequenza risulta :                 
ponendo    Z = 1   e  p = 1  , si ottiene la frequenza associata alla transizione sul livello fondamentale dell'atomo di idrogeno da
R → ∞ :            
Ad ogni particella in orbita sul livello p dello spazio rotante di qualsiasi atomo viene associata così una frequenza :

che rappresenta la frequenza della radiazione che viene emessa quando una particella giunge sull'orbita da una distanza R∞ 
oppure il valore minimo 
della frequenza della radiazione che bisogna fornire all'atomo per allontanare la particella dallo spazio
rotante per effetto fotoelettrico.

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In generale, per una massa   qualsiasi, in orbita in uno spazio rotante Ks² , atomico oppure astronomico, l'energia di legame o
quella della radiazione che viene emessa quando la massa giunge sull'orbita è data dalla relazione :

Sostituendo i dati relativi alla Terra si ottiene , per esempio :
 
Abbiamo, a questo punto, un'espressione  di validità assolutamente generale  della
radiazione associata all'equilibrio di una massa    m   in 
moto su un'orbita ellittica di semiasse maggiore   R   , data dal
prodotto 
di tre fattori :

sinteticamente :                                         Eν = h ⋅ ν(1 ; 1) ⋅ f(Z ; R ; m)

Si noti che, essendo il nucleo atomico organizzato come uno spazio rotante, ad esso si applica la stessa
relazione,
 
sostituendo i valori che abbiamo già ricavato :
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sostituendo, per il nucleo atomico si ottiene la relazione :
  
con i valori numerici, con  Z = 1  e  p = 1 si ottiene l'energia di legame di un solo protone nucleare :

                                           Eν(1 ; 1) = 8.6008173 MeV

I valori numerici che si ottengono confermano la validità universale
della relazione.

Il problema da risolvere, a questo punto, è il seguente.
L'espressione dell'energia raggiante generalizzata, che abbiamo ricavato è data da tre fattori :

                            Eν = h ⋅ ν(1 ; 1) ⋅ f(Z ; R ; m)

L'espressione finale ricavata utilizzando l'ipotesi di Planck è data da due fattori :                         Eν = h ⋅ ν

inizialmente si prevedeva però una relazione del tipo :      E = (n ⋅ h) ⋅ ν   in cui per ogni frequenza erano previsti oscillatori
con un diverso contributo di energia  (  Art.50     ).

In una fase successiva, solo per poter procedere nel calcolo,  si è reso necessario scrivere la relazione nella forma
E = h ⋅ (n ⋅ ν₁) ,  considerando così per tutti gli oscillatori la stessa costante di proporzionalità fra energia e frequenza della
radiazione emessa.
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Le frequenze emesse, considerate possibili e conteggiate nel calcolo, sono dunque :

                                 ν = n ⋅ ν₁            con        n = 1, 2, 3, 4, ..............

Oggi sappiamo dall'esperienza, e la teoria degli spazi rotanti lo dimostra con il calcolo teorico, che si ha una quantizzazione
e quindi non sono tutte queste le 
frequenze possibili.
Il calcolo impostato da Planck non era dunque corretto, anche se il risultato finale si è rivelato in accordo con quello sperimentale.
Considerando ora che quando venne analizzato lo spettro di emissione del corpo nero l'unica radiazione nota, che venne presa in
considerazione, era quella atomica, riprendiamo l'espressione dell'energia    associata ai diversi livelli, limitandoci alla sola fascia
elettronica :       
Il fattore  abbiamo visto che è legato all'elettrone  in equilibrio sulla prima orbita dell'atomo di idrogeno, associato dunque a
Z = 1  e  p = e lo indichiamo perciò con h(1 ; 1)  , dato dalla relazione :

                                        h(1 ; 1) = 2⋅π⋅ me⋅ V11e⋅ R11e

ed è uguale al momento angolare dell'elettrone in orbita moltiplicato per (2⋅π) .

Le energie possibili sono tutte e solo quelle legate alla transizione dal livello  p  al livello  p .
Si ha quindi : 
Escludendo per adesso tutti gli altri spazi rotanti, se vogliamo descrivere le caratteristiche della radiazione emessa dalla fascia
elettronica" di tutti gli atomi conosciuti solo con due fattori, dobbiamo accorparne due, in modo da
ricondurci ad un'espressione  del tipo :

                        E = h(Z ; p) ⋅ ν(1 ; 1)  oppure  E = h(1 ; 1) ⋅ ν(Z ; p)
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Dato che , in questo caso, la radiazione viene emessa sempre da elettroni, ai quali è riferito il fattore h , l'esperienza ci dice che esiste
una proporzionalità fra energia e frequenza della radiazione, qualunque sia l'atomo emettitore.

Poniamo dunque :
         
Durante il passaggio dal livello  p₁  al livello  p₂  , abbiamo visto che l'elettrone percorrerebbe una traiettoria ellittica avente
eccentricità :    
periodo :  
Quest'orbita non viene però percorsa tutta con lo stesso eccesso di energia, in quanto la particella irradia durante tutto il percorso e non
ritorna al punto di partenza. Si deve quindi pensare che, quando, dopo un semi periodo, giunge al perielio, non risale all'afelio, ma
sul livello p₂ .

La durata dell'emissione, ossia il periodo transitorio sarà quindi uguale alla somma dei due semi periodi :

La frequenza della radiazione risulta :
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l'energia trasferita vale :            E(P-P) = he(1 ; 1) ⋅ ν(Z ; p)

Per chiarire quanto abbiamo visto, consideriamo per esempio un isotopo del ferro (Z = 26 ) in cui si verifichi la transizione da
p = 4 a p = 3
.
La durata della perturbazione vale :
     
la frequenza della radiazione :      ν(26 ; 43) = ν(1 ; 1) · 262/3 · (1/32 – 1/42)

        ν(26 ; 43) = 3.289841951⋅10¹⁵ Hz⋅ 0.426629726 = 1.40354437⋅10¹⁵ Hz

la lunghezza d'onda della radiazione emessa risulta :

λ(26 ; 43) = Cl(26 ; 4→3) = 2,99792454⋅108 m/sec/1,40354437⋅10¹⁵ Hz = 213,5967⋅10–9 m

:
Il numero di oscillazioni di lunghezza d'onda λ(26 ; 4 –3) che formano
il fotone sarà :

                                    n = Tt(4;3)⋅ν(26 ; 4–3) = 9.705826

e quindi l'estensione del fotone nella direzione del moto :

                                  Lf = n ⋅ λ(26 ; 4–3= 2.073⋅10⁻⁶m

Il fotone si presenta dunque come un pacchetto di onde con frequenza di  1.4⋅10¹⁵ Hz  lungo circa  μm 
Per concludere, notiamo che la relazione
                                                Ee(Z ; p) = he ⋅ ν(Z ; p)

ci dice che la costante di Planck rappresenta la costante di proporzionalità tra l'energia cinetica di un
elettrone in equilibrio, su qualsiasi orbita 
di qualsiasi atomo, e la frequenza di un'onda elettromagnetica
capace 
di trasferire nello spazio la stessa energia.

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 Art.51-- Teoria dei quanti e origine della fisica quantistica, significato fisico della costante di Planck e dualismo del fotone onda-particella -- Antonio Dirita

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