Art.50-- Origine teorica e calcolo elementare della costante di Planck, problema del corpo nero e catastrofe ultravioletta, la crisi della fisica classica -- Antonio Dirita

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Nell'   Art.48   abbiamo visto che le indicazioni fornite dalla  legge di Wien  inducevano alla ricerca di una relazione teorica tra la
temperatura del corpo e la lunghezza d'onda della radiazione emessa.
Secondo le conoscenze del tempo, rifacendosi a Maxwell e alle prime prove di Hertz sulle onde elettromagnetiche, venne spontaneo
immaginare i corpi formati da tanti piccoli oscillatori di Hertz, ciascuno con la propria frequenza 
di oscillazione, coincidente con
quella della radiazione emessa.

Con questa ipotesi sul meccanismo di emissione, molti ricercatori giunsero allo stesso risultato, la formula di
Rayleigh -- Jeans :
   
dove   è la costante di Boltzmann, ricavata con la teoria cinetica dei gas, e  Cl  la velocità della luce .
Desta certamente meraviglia il fatto di trovare, in una trattazione che riguarda onde elettromagnetiche, delle costanti o grandezze che
sono state definite in tutt'altro campo, cioè nella teoria cinetica dei gas, che riguarda l'equilibrio di particelle materiali.
Il problema viene dunque affrontato considerando l'equilibrio degli oscillatori come l'equilibrio statistico delle molecole in seno ad un gas.

L'intensità della radiazione emessa divisa per la relativa lunghezza d'onda  λ  presentava un andamento caratteristico, con un massimo
in corrispondenza di una determinata frequenza, come è indicato in figura

La formula di Rayleigh - Jeans presenta invece un andamento che si avvicina a quello sperimentale solo per frequenze molto basse,
mentre se ne discosta decisamente verso le alte frequenze.

 

A questo punto Wien, osservò che la famiglia delle curve sperimentali della emissività in funzione della lunghezza d'onda, con
parametro la temperatura,
curve di cui si cercava l'espressione teorica, presentava una analogia più che significativa
con la nota
distribuzione di Maxwell della concentrazione di molecole in funzione della loro velocità, e dunque anche
dell'energia, descritta dalla relazione :
                     
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il valore della velocità   V(max)  in corrispondenza del quale il numero di particelle  Nm%  raggiunge il valore massimo  risulta :
           
Wien, con ulteriori elaborazioni della sua legge, giunse alla relazione : 
che si adattava all'esperimento meglio alle alte frequenze e meno alle basse, come è mostrato in figura.

Anche questa relazione, che prevedeva comunque le costanti sperimentali   e , derivava direttamente
dalla statistica di Maxwell-Boltzmann e quindi 
si basava su una discutibile analogia di comportamento
fra radiazione 
e gas perfetto.
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Si tratta comunque sempre di "tentativi" che non hanno solide basi teoriche, che puntano solo a conseguire un risultato con qualsiasi artificio.
Dato che Wien non forniva i valori delle costanti fisiche, per applicare la legge, Planck iniziò il suo lavoro nell'intendo di ricavare questa
legge semi-empirica attraverso un ragionamento teorico rigoroso, al fine di ottenere i valori delle costanti, 
che egli vedeva come
"costanti universali",
in quanto facevano parte di una legge universale.
Essendo, nell'espressione di Maxwell l'energia della particella               
il fattore esponenziale                si può scrivere :   
Il fattore esponenziale della legge di Wien vale :  
Il confronto suggerisce a Planck, come prima ipotesi di lavoro, di porre l'energia emessa da un oscillatore proporzionale alla frequenza di
oscillazione secondo una relazione del tipo :
                                       E = h ⋅ ν

dove h rappresenta solo la costante di proporzionalità tra la frequenza della radiazione
emessa e il valore dell'energia emessa.

Dato che il numero di oscillatori che, in un certo istante, emettono energia, è praticamente infinito, per avere un valore finito dell'energia
E emessa, ogni oscillatore dovrà dare un contributo infinitesimo e quindi alla fine del discorso si dovrà porre il fattore
hi → 0
  e questo riporterà anche a una distribuzione continua dell'energia emessa dagli oscillatori, in accordo con quanto è previsto
dalla teoria elettromagnetica.

Se viene fissata la temperatura degli oscillatori e la frequenza della radiazione che si considera, il numero di oscillatori che emettono
su quella frequenza, ciascuno con la propria energia,
sarà :

                      n  oscillatori che emettono energia uguale a   E = 0 ⋅ ν ,

                      n che forniscono l'energia                                   E = h ⋅ ν

                      n che forniscono l'energia                                  E₂ = h ⋅ ν

                      n che forniscono l'energia                                  E = h ⋅ ν ,   e così via

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Il numero degli oscillatori che emettono la stessa energia è dato dalla curva di distribuzione di Maxwell, che possiamo scrivere in forma
sintetica :          
Il numero totale degli oscillatori che emettono energia sulla frequenza  ν sarà :
  
che si può scrivere sinteticamente :   con    h0 = 0
A questo punto l'unica maniera per poter calcolare la sommatoria è quella di farla diventare una serie,
(s'introduce quindi un artificio matematico senza alcun significato fisico, al solo scopo di
semplificare il calcolo)
assegnando all'esponente  hi  una forma del tipo :

                         hi = ƒ(m)⋅h        con   m = 0, 1, 2, 3, ..........

Non avendo nessun elemento teorico per la scelta della funzione ƒ(m), viene  arbitrariamente scelta la più semplice ponendo
ƒ(m) = mSi ottiene così la serie geometrica :      
essendo                    il risultato della somma vale :
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e quindi il numero totale degli oscillatori risulta :    
Se ora vogliamo conoscere l'energia totale  Eν  emessa da tutti gli oscillatori, sarà sufficiente sommare i prodotti dei valori delle energie
E, E , E , ecc. per il numero degli oscillatori n , n , n , ecc. che le emettono.
Si avrà quindi :
                                       Eν = n⋅ E + n⋅ E + n⋅ E + - - - - - 
ossia :         
la parentesi è una serie aritmetica che vale :         
si ha quindi :        
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ricordando che il numero totale di oscillatori che emettono alla frequenza  ν vale :       
sostituendo, si ottiene :             
Dividendo l'energia emessa per il numero degli oscillatori che la emettono, si ottiene il valore medio dell'energia emessa da
ogni oscillatore :         
   
Riprendendo ora la formula di Rayleigh - Jeans e tenendo conto che in questo caso i gradi di libertà degli oscillatori sono n = 2 , Planck
pone, con la legge di Boltzmann :
che, sostituita nella formula di Rayleigh - Jeans, fornisce :
         
sostituendo, si ottiene l'espressione dell'energia specifica ( (J/(m³⋅ sec) ) irradiata dal corpo nero :

         
Questa espressione, detta legge di Planck, fornisce finalmente una densità dell'energia irradiata
dal corpo coincidente con la curva sperimentale.

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A questo punto notiamo che, le curve sperimentali per le alte frequenze sono praticamente coincidenti con quelle fornite dalla formula
di Wien :     
per   ν→∞  nella relazione di Planck, il denominatore si riduce a         e quindi, confrontando le due espressioni
possiamo ricavare le due costanti  a  e   che compaiono nella formula di Wien ( inizialmente era questo lo scopo
di Planck )
e risulta :          
A questo punto ricordiamo però che la costante di proporzionalità  h è stata introdotta da Planck solo per poter sviluppare il
calcolo in maniera semplice, 
assegnando provvisoriamente ad ogni oscillatore il suo valore di energia

                                   E = (m⋅h)⋅ν con m = 1, 2, 3, ecc..

Facendo questa ipotesi è chiaro che venivano esclusi dal conteggio tutti gli oscillatori compresi tra   e  (m + 1) e questo, oltre
ad essere in disaccordo con la teoria elettromagnetica, che prevedeva una variazione continua dell'energia emessa, falsificava anche il
valore dell'energia calcolato.
Anche se questi due inconvenienti erano noti fin dall'inizio, Planck utilizzò lo stesso il
calcolo prevedendo di eliminarli alla
fine ponendo   h → 0 .
Per eseguire questo limite, sostituiamo lo sviluppo in serie :

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Sostituendo e semplificando, la legge di Planck si può dunque scrivere nella forma :
    
Se a questo punto, secondo quanto era previsto inizialmente, si pone h → 0 , la formula si riduce a
quella di Rayleigh - Jeans,
ripresentando il problema che è stato appena risolto e questo diventava un comportamento strano da
interpretare.
Innanzitutto si osservò che la formula di Planck descriveva bene le curve che si ricavavano sperimentalmente solo ponendo
h = 1.054572669⋅10⁻³⁴
j⋅sec.  e questo era contrario alle previsioni .

Questo risultato restò per un periodo di tempo molto lungo senza una valida interpretazione, anche perchè la formula era
stata ricavata
senza un grosso supporto teorico, facendo ricorso ad analogie molto discutibili, seguite da molti artifici matematici e ipotesi azzardate, tutto al solo scopo di ottenere un risultato che fosse capace di giustificare i dati sperimentali :
            
In definitiva, il problema era di tale importanza da far rinunciare, inizialmente, alla coerenza dell'analisi teorica.
Per cercare di interpretare, a posteriori, il risultato, ripercorriamo la strada che è stata fatta per ottenerlo.
Tralasciando per ora le analogie che sono state prese in considerazione inizialmente per inquadrare il problema nell'ambito della teoria
termodinamica, il primo passo azzardato è stata certamente l'ipotesi che, per una data frequenza  ν , ogni oscillatore emettesse
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 una energia ad essa proporzionale, ciascuno con una sua costante di proporzionalità  hi .
Questa ipotesi non aveva nessuna giustificazione teorica ed è stata resa possibile solo dalla previsione di porre alla fine hi 0 ,
cosa che ora
non è possibile fare.

Il passo successivo è stato quello di porre   hi = m⋅h    con    m = 1, 2, 3, ecc..  al solo scopo di creare una serie
geometrica con l'esponente della funzione 
esponenziale dato da  (m⋅h)⋅ν .
Questo passaggio consentiva il calcolo del numero totale nν  degli oscillatori che emettevano radiazione alla frequenza ν  considerata,
che davano quindi un contributo all'energia totale emessa dal corpo nero alla frequenza ν .
Si tratta dunque di un passo essenziale, irrinunciabile per poter considerare tutto lo spettro di energie.
Avendo posto, per variare l'energia,  E = h⋅ν ,  se il fattore   deve essere costante, per prendere in considerazione tutti i valori di
energia, dobbiamo considerare variabile la frequenza ν.
Osserviamo però che il prodotto non cambia se si sostituisce :                     (m⋅h)⋅ν→ h ⋅ (m⋅ν)

Dal punto di vista analitico, il risultato non cambia, " ma cambia certamente
l'interpretazione fisica ".
Se questa seconda forma è l'unica che porta a risultati in accordo con quelli sperimentali, vuol dire che essa è l'unica fisicamente
realizzabile,
ossia non possono esistere oscillatori, del tipo considerato, che emettono energia diversa con la stessa frequenza.
In altre parole :
Un oscillatore può variare il valore dell'energia emessa solo variando
la frequenza di emissione.
Il valore della frequenza definisce anche quello dell'enegia.
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" per il tipo di oscillatore considerato " esiste quindi tra energia e frequenza una relazione del tipo :

                      E = h⋅ν    con  h = costante   (per gli oscillatori considerati)

Non esistono dunque oscillatori che emettono energia diversa con la stessa frequenza.
Questa è però da considerare una realtà fisica e non un risultato  legato al metodo di calcolo.
L'impossibilità di portare a termine il calcolo previsto da Planck (hi → 0) " ha consentito di scoprire questa realtà ".

Un altro risultato molto importante, non previsto, che il calcolo mette in evidenza, è il fatto che, per conservare il risultato finale
concorde con l'esperienza, è necessario considerare nel calcolo le frequenze emesse  (m⋅ν),  che, con  
m = 1, 2, 3, ecc.. , non forniscono uno spettro continuo.
Il risultato corretto si ottiene dunque solo escludendo dal conteggio
le frequenze comprese tra m ed (m +
1).

L'unica interpretazione che si può dare di questa esigenza è che nella realtà " gli oscillatori che sono stati considerati " non hanno la
possibilità di oscillare su queste frequenze.
In altre parole, scrivendo l'energia emessa nella forma :                          E = (h⋅ν)⋅ m

possiamo dire che gli oscillatori possono emettere solo energie multiple della quantità :

     E0 = (h⋅ν0)  con    h = 1.054572669⋅10⁻³⁴ j ⋅ sec         indicata come costante di Planck.

Il più piccolo valore di energia  E0 , associato a  m = 1, che un oscillatore può emettere viene normalmente indicato come
" pacchetto o quanto " di energia e possiamo dire che questo rappresenta l'origine teorica ufficiale della meccanica quantistica ".

La ricostruzione che abbiamo fatto mette in evidenza come la scoperta della costante h da parte di Planck non sia il risultato atteso
dopo una intuizione particolarmente acuta, seguita da un'accurata impostazione dell' analisi teorica di tutto il processo di emissione della
radiazione, ma piuttosto il fortunato risultato di un errore
 nello studio finalizzato a conciliare i risultati teorici
con quelli sperimentali,
che 
Planck aveva condotto con l'idea che l'energia raggiante venisse assorbita e emessa in modo
continuo.
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Nessuno infatti comprese il significato fisico fino a quando Einstein non lo utilizzò per spiegare l'effetto fotoelettrico, riconoscendo per
primo che la quantizzazione dell'energia raggiante, ottenuta da Planck non era un semplice 
artificio matematico, ma " una
proprietà generale della radiazione allora
conosciuta ".

Bisogna ricordare che tutta la radiazione nota era allora di natura atomica e quindi il risultato ottenuto assumeva il carattere di
quantizzazione universale dell'energia e questo circondava  h  di un particolare alone di mistero, che gli assegnava un significato
decisamente diverso da quello di semplice costante di proporzionalità.

Notiamo infine che la meccanica quantistica, dal punto di vista teorico, nasce come quantizzazione
dell'energia semplicemente perchè lo studio 
degli oscillatori è stato affrontato dal punto di vista
energetico, senza alcuna 
indagine sul processo intimo di emissione  ( allora non possibile ) e
quindi sulla 
sua origine fisica.

Per questa ragione, anche negli studi successivi sull'atomo, condotti da Bohr e altri ci si vide costretti a fare ipotesi che prevedevano la
quantizzazione dell'energia come punto di partenza e non di arrivo. La natura ed il significato fisico della costante di Planck verranno
trattati dettagliatamente in un articolo futuro.
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 Art.50-- Origine teorica e calcolo elementare della costante di Planck, problema del corpo nero e catastrofe ultravioletta, la crisi della fisica classica -- Antonio Dirita

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