Art.48-- Evoluzione del moto orbitale e calcolo del decadimento esponenziale delle orbite dei satelliti -- Antonio Dirita

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Trattando la teoria generale degli spazi rotanti, abbiamo visto che, quando le masse planetarie sono trascurabili rispetto a quella centrale,
che genera lo spazio rotante, la geometria delle orbite risulta praticamente indipendente dal valore delle masse orbitanti (  Art.5  ).
Se dunque si considerano in orbita masse di valore  → 0 ,  la condizione di equilibrio si applica direttamente ai punti dello
spazio
e quindi si può dire che :
i punti " dello spazio fisico " circostante un aggregato materiale rotante su se stesso raggiungono la condizione di equilibrio con
un moto su 
particolari orbite, circolari e discrete, che vengono caratterizzate dai valori (  Art.12   ) :

        Rn = R1s/n2    ;    Veq2 = Ks2/Rn    oppure     Rp = R1 · p2    ;    Veqp = V1/p

Tra due orbite consecutive  R ed  Rn+1  non è possibile trovare alcuna orbita circolare di equilibrio stabile.

Tutte le orbite che troviamo tra  Rn  ed  Rn+1  non sono stabili, ma orbite ellittiche in evoluzione verso quella circolare stabile,
circostanza che abbiamo verificato su tutte le famiglie di asteroidi presenti nel sistema Solare (  Art.0.0   ).
Se dunque, sull'orbita dello spazio rotante avente raggio  R, mettiamo una particella materiale avente velocità  V² rispetto al centro
dello spazio rotante, e risulta    V² = Veq² , essa risulta in equilibrio e si mantiene ad una distanza dal centro  Rn = costante.
Tutte queste circostanze possono essere verificare facilmente considerando il problema sotto l'aspetto energetico.

Il lavoro che lo spazio rotante compie per spostare la massa    da  R = ∞  alla distanza  R dal centro vale  (  Art.12   ):
          
Se si considera il sistema conservativo, la massa m acquista una energia potenziale:
1
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Se indichiamo con Ec il valore dell'energia cinetica posseduta dalla massa in moto, la sua energia totale, nel caso più generale risulta :
                                                E = Ec + Ep
e quindi :              
Se si considera il sistema conservativo, la massa  m  acquista una energia potenziale:        Ep = – L = – m ⋅ (K²/R)

Assumendo uguale a zero l'energia totale associata ad una massa ferma alla distanza R = ∞ dal centro dello spazio rotante, tale valore
si deve avere in qualsiasi punto durante il moto ( per il principio di conservazione dell'energia ) e quindi si ottiene :

1
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sostituendo l'espressione della velocità in coordinate polari, si ottiene :

dalla quale si ricava :         
Il momento angolare per unità di massa associato alla massa in orbita vale :

che, sostituita nell'espressione di   (dR/dt)fornisce :


2
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Se il momento delle forze esterne, rispetto al centro di rotazione, vale zero, deve essere verificata la conservazione del momento angolare
e quindi si ha    C = costante .
Se viene verificato anche il principio di conservazione dell' energia, si ha anche  E = costante e quindi si può porre:

possiamo così definire la nuova variabile :   
da cui, differenziando, si ricava :      
sostituendo, si ottiene l'equazione differenziale :

Questa relazione ha un campo di esistenza, dunque è fisicamente realizzabile, solo per

                                         α² ≥ u²

che si può anche scrivere :

ovvero :    
Sinteticamente possiamo dire che questa relazione esprime la condizione di esistenza di
tutti i punti dell'universo
, che si può anche  scrivere :
                            

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Ricordando che :

si ha :         
In definitiva quindi, per poter avere soluzioni reali, dovrà essere verificata la condizione
fondamentale :

         

Il valore della costante  si ricava considerando la sua relazione con la velocità areolare del punto sull'orbita :

e quindi :                                                                                   C = 2·Va 
su ogni orbita di raggio  R si avrà quindi :

In uno studio grafico di tutto lo spazio rotante si avrà dunque la serie di curve descritte dalla relazione : 
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Per una più facile lettura dei risultati grafici, risolviamo anche analiticamente il sistema :

equivalente a :               
da cui deriva l'equazione :        
essendo :           
sostituendo si ottiene :    
Integrando, si ricava l'equazione della traiettoria :
5
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Per tutto lo spazio rotante, con semplici sostituzioni si ricava :

Tutte le traiettorie stabili possibili, in uno spazio rotante caratterizzato dal valore K², saranno dunque descritte dalle relazioni :

E' quindi possibile avere soluzioni reali, e quindi orbite stabili, solo per        V² ⋅ Rn > K² che equivale a      α² > u².
Per chiarire quanto è stato esposto può essere utile uno studio grafico.

Ricaviamo innanzitutto gli estremi del campo di esistenza delle orbite stabili su ciascuna falda dello spazio rotante.
Riprendendo la condizione :

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e risolvendo, si ricavano gli estremi :

Dovendo essere, per la realtà fisica, necessariamente  R ≥ 0 , le soluzioni accettabili risultano le seguenti :

1 --  con    (V²– 2⋅Veq²) > 0       equivalente a      V² > 2·K²/R oppure , indicando con  V la velocità di fuga dall'orbita,

equivalente a              
si ottiene :      
In questo caso, si ha un solo punto di inversione della velocità radiale e ne risulta così una traiettoria
aperta.

Se indichiamo con  r₀  l'unico punto in cui la traiettoria risulta perpendicolare al raggio vettore ( perielio ) , si avrà :

                                R = 0  ;  V = v₀  ;  C = r ⋅ v  ;  Veq² = K²/r

e quindi, sostituendo, si ottiene :                

da cui si ricava :          
dove  rA  indica il valore dell'afelio.
In definitiva, con    e > 1   risulta :     
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L'espressione analitica della traiettoria è una iperbole espressa da :

2 --  Nel caso limite   (V²– 2·Veq²) = 0   si ha   e = 1  e la traiettoria risulta una parabola espressa dalla relazione :

3 --  Per equivalente a   Veq² < V²< 2·Veq² oppure a    Veq < V < Vf ,
si ottiene :                      
sarà quindi :                                       
e la curva che descrive l' orbita risulta l'ellisse espressa dalla relazione :

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4 --  Nel caso limite in cui sa ha    V ² = Veq²
risulta :      
In questo caso, la traiettoria, è diventata coincidente con la più piccola orbita circolare stabile realizzabile fisicamente nello
spazio
rotante considerato ed è associata all'unico punto reale, appartenente  al campo di esistenza, in corrispondenza del
quale diventano tangenti

la curva                           γ = C ²/ R      con la retta                  γ′ = (V ²–2⋅Veq²)⋅R + 2·K ²

 

5 --  Per   V ²< Veq²    si ha        α² < u²       e non risultano soluzioni reali.

Se siamo sull'orbita circolare stabile  n - esima ,  non essendo possibile una soluzione reale dell'equazione del moto per l'orbita
di raggio   R = Rn – dR ,  anche una riduzione minima di energia provoca il passaggio "istantaneo", (nel senso che non sono
individuabili posizioni intermedie) sull'orbita associata a  Rn+1 , con l'emissione della differenza di energia sotto forma di perturbazione
dello spazio rotante.
Tutte le situazioni che sono state descritte vengono chiarite nella figura 20 .

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Se l'analisi non è limitata alla falda   n -- esima,  ma si estende a tutto il raggio d'azione dello spazio rotante   K² ,  dovendo essere
Veqn² = K ²/Rn  , per qualsiasi valore assegnato della velocità  V ², esisterà sempre, nello spazio rotante che viene considerato,
un valore  al quale è associato un valore del raggio Rtale che sia  V² ≥ Veqn²(precisamente   Rn = K² / V²  in modo
da poter far rientrare il problema nei casi già esaminati.
In definitiva, note le orbite circolari minime stabili possibili :

con    n = 1  ;  (1+1/4)  ;  (1+2/4)  ;  (1+3/4)  ;  2  ;  (2+1/4)  ;  (2+2/4)  ;  ..........

una massa   qualsiasi (anche m → 0), che entri nello spazio rotante preso in considerazione, andrà a collocarsi sulla prima orbita
che incontra capace di soddisfare la relazione       Rn ≤ K ²/ V ² .

Essendo, generalmente,  Rn ≠ K ²/ V ² , la traiettoria iniziale sarà una ellisse con l'afelio situato nel punto in cui s'inserisce
la massa    con 
velocità iniziale      V ² < VeqA = K ²/ RA

In queste condizioni, la forza d'interazione tra la massa   m  e lo spazio rotante è orientata verso il punto P ( perielio ) e dà origine ad
un'accelerazione tale da soddisfare in ogni momento la legge delle aree .
Nel punto  si avrà  V ² > VeqP2 e la forza che agisce sulla massa  m  diventa centrifuga, per cui essa si allontana dal centro
decelerando, sempre secondo la legge delle aree, fino al punto  A ( afelio ) , dove inizia un nuovo ciclo.
Questo meccanismo può essere messo in evidenza anche utilizzando il principio di conservazione dell'energia.
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Si deve innanzitutto considerare che :
Una massa in perfetto equilibrio, su un' ORBITA CIRCOLARE , in uno spazio rotante non perturbato, avendo una velocità orbitale
perfettamente
coincidente, in ogni momento, con la velocità di rotazione della falda di spazio in cui si muove, presenta velocità
di scorrimento relativo nulla 
rispetto allo spazio fisico circostante e dunque  tra essi NON SI PUO' TEORICAMENTE
realizzare alcuno scambio di energia.

Questa è la condizione che "si realizza perfettamente ", o quasi, negli atomi non eccitati
e nei nuclei atomici i quali, 
per questa ragione, risultano praticamente stabili, con dei
tempi di decadimento infinitamente lunghi (vedremo la ragione in un articolo futuro).

Se assumiamo questa come situazione di riferimento, è chiaro che l'energia effettivamente disponibile per lo scambio sarà quella che
eccede il valore che la massa   possiede quando si trova in equilibrio sull'orbita circolare di raggio minimo.
In generale, abbiamo visto (   Art.12   ) che l'energia totale, in ogni punto, è espressa da :

ma per un'orbita circolare è anche :                                  V2 = K2/R
e quindi si ottiene :        
da cui si ricava :                                                  dE/dR = (1/2) · m · K2/R2

Se ipotizziamo uno scambio di energia direttamente proporzionale al valore della velocità di scorrimento relativo tra la massa in 
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movimento e lo spazio fisico circostante, possiamo scrivere la variazione dell'energia associata alla massa sulla traiettoria come azione di
una forza frenante del tipo :          F = α ⋅ V

sarà quindi :                                                                     dE = – F ⋅ dl

ma è anche        
dalla quale si ricava :  
Integrando, si ottiene il raggio dell'orbita :                      R(t) = R0 · e–(2⋅α)⋅t

 

Se la massa considerata non è in equilibrio su un'orbita circolare, si avrà :

la quale, con   V = ω ⋅ R   diventa :
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La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo:                R = R⋅ eβ⋅t

Sostituendo nell'equazione iniziale, derivando e mettendo in evidenza   eβ⋅t , si ottiene l'equazione :

                              eβ⋅t(β²+ ω⋅β + (α⋅ω/m)) = 0

Poiché l'esponenziale non si annulla mai, dovrà essere :

                            (β²+ ω⋅β + (α⋅ω/m)) = 0
Le cui radici sono:
    
La soluzione generale dell'equazione differenziale risulta una combinazione lineare delle due soluzioni, ossia del tipo :

                                 R(t) = Reβ₁⋅t + Reβ₂⋅t

per  α = 0  si ottiene :     β = 0   e   β = – ω

dato che in questo caso deve essere   R(t) = R = costante ,   dovrà essere  R = 0  e quindi si ottiene :

         R(t) = Reβ₁⋅t      con       
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Aumentando  α  diminuisce il valore di β₁ ed aumenta la velocità con la quale diminuisce il raggio dell'orbita, che assume il valore

massimo con il radicale uguale a zero, ossia in corrispondenza del valore critico :
  
Quando il coefficiente  α  supera il valore critico, il radicale diventa negativo e l'esponente  β₁  un numero complesso.
In questo caso, la parte reale dell'esponente  β  continuerà a produrre una riduzione del raggio nel tempo con andamento
esponenziale,
mentre la parte immaginaria darà origine ad una oscillazione di tipo sinusoidale.
L'espressione che descrive questa condizione risulta :

        

Nella quasi totalità dei casi il coefficiente  α  è molto piccolo e quindi questa ultima situazione non si presenta praticamente mai.
In pratica, nei sistemi astronomici si presenta una riduzione del raggio delle orbite molto lenta, ma comunque apprezzabile.

Negli spazi rotanti atomici e nucleari, nei quali non è presente nessun aggregato materiale vagante, risulta α→ 0  e quindi la
riduzione del 
raggio delle orbite diventa tanto lenta da risultare non rilevabile.

In queste condizioni le masse riescono a scambiare energia con lo spazio rotante circostante solo se vengono eccitate ed allontanate dalla
condizione di equilibrio.
Se consideriamo uno spazio rotante con tutte le sue orbite stabili, possiamo riportare su un diagramma le curve sulle quali le masse
possono muoversi nel rispetto dei principi di conservazione ed otteniamo la figura 21.

Quando la massa  m  entra nello spazio con una certa energia e occupa la falda di raggio  Rn , inizialmente si ha una orbita ellittica e
molto eccentrica, che si riduce sempre più fino a diventare circolare quando viene raggiunto il raggio minimo nel punto  M.
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In questo modo è reso possibile il moto su un'orbita reale (capace dunque di soddisfare i principi di conservazione ), non stabile, avente
una eccentricità : 
Il punto M viene quindi " istantaneamente " interpretato come afelio An dell'orbita eccentrica indicata in figura 22 .
figura 22
In definitiva, quando la massa m giunge nel punto M , non si verifica nessun effetto particolarmente rilevante o improvviso.
Si ha semplicemente il passaggio da un'orbita circolare con uno scambio di energia con lo spazio rotante molto basso ( tendente
a zero
) a un'orbita molto eccentrica, con uno scambio di energia inizialmente elevato, che si riduce gradualmete con
l'eccentricità, fino a zero, in corrispondenza del punto  Mn
al quale corrisponde l'orbita circolare minima con  ΔEn = 0.
Inizia a questo punto un nuovo ciclo con il nuovo eccesso di energia  ΔEn+1 .
Si ha così il passaggio " istantaneo " all'afelio dell'orbita ellittica successiva associata alla falda di raggio minimo Rn+1 ed inizia un
nuovo ciclo con orbita iniziale molto eccentrica, tra i punti  An+1 = Rn+1  ed il perielio Pn+1.
Si continua così fino a quando la massa orbitante " precipita " nel centro che genera lo spazio rotante  K².

Il valore minimo  Rn  rappresenta dunque il raggio della sfera di confine che separa due falde spaziali consecutive e l' eccentricità della
orbita si presenta come il mezzo attraverso il quale si riesce a realizzare comunque l'equilibrio della massa   in moto su un'orbita il
cui raggio oscilla attorno al valore  Rn  anche se la sua velocità non è esattamente uguale a  Veqn .
Tutte le relazioni sono state ricavate senza alcuna ipotesi restrittiva, per cui la evoluzione che abbiamo
descritto si applica a qualsiasi spazio rotante,
sia astronomico che atomico o nucleare.

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A questo punto osserviamo che, quando si parla di meccanica quantistica, senza esplicitarlo, ci si riferisce a sistemi atomici e
subatomici e questo accade solo perchè la teoria è nata con questi sistemi e non abbiamo gli strumenti per applicarla alla
materia ordinaria.

I risultati che abbiamo ottenuto con la teoria degli spazi rotanti, ci dicono però che è possibile possibile elaborare una meccanica
quantistica avente validità universale, applicabile a tutta la materia, indipendentemente 
dal suo livello di aggregazione.

Per "meccanica quantistica" si deve intendere la descrizione del moto di una massa attraverso una variazione per quanti,
ovvero per salti discreti, delle grandezze che lo caratterizzano : massa, energia, quantità di moto, velocità, ecc..

La variazione per salti delle grandezze che caratterizzano il moto può essere di natura fisica oppure di natura teorica.
Nel primo caso essa rappresenta una caratteristica del processo in esame e quindi "non è possibile eliminarla" dalle relazioni
che lo descrivono.

Nel secondo caso è invece un'esigenza teorica che deriva dall'incapacità di studiare il processo con altri strumenti e quindi è
possibile, 
prevedere la possibilità di sostituirla con teorie alternative.

La meccanica quantistica alla quale normalmente ci si riferisce è quella che nasce con Planck, come artificio matematico (   Art.50   ) ,
per poter giungere ad una formula che fosse in accordo con i risultati sperimentali.
Il problema della "catastrofe dell'ultravioletto", al quale Planck si stava dedicando, era di una tale importanza da spingerlo a
trascurare, per il momento, il fatto che un artificio matematico può non avere significato fisico.
In quel momento era importante ottenere il risultato sperato.
Com'è noto, il problema riguardava lo studio dell'energia raggiante, che allora veniva affrontato con la teoria ondulatoria di Maxwell.
Noi sappiamo che il calore viene trasmesso da un corpo caldo sotto forma di radiazione elettromagnetica. Il problema posto era quello
di studiare come si distribuisce l'energia emessa da un corpo ad una certa temperatura.

E' noto anche che per qualsiasi corpo la capacità di emettere luce è tanto più elevata quanto maggiore è la sua capacità di assorbirla.
Queste due caratteristiche, riferite alla superficie unitaria, vengono indicate come potere emissivo e assorbente.
Si definisce corpo nero " qualsiasi oggetto capace di assorbire tutta la radiazione che riceve. Esso ha dunque potere
assorbente
  α = 1.
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Se  α = 1 , dalla legge di Kirchhoff   ε /α = Wλ ,  si ottiene  ε = Wλ , ossia che il potere emissivo è uguale alla densità di
radiazione esistente all'interno della cavità del corpo nero.
Dato che la densità di radiazione emessa è proprio la grandezza che si vuole studiare, ma che non è possibile misurare direttamente, se
si utilizza il corpo nero, con la legge di Kirchhoff, è possibile giungere ugualmente al risultato attraverso la misura del potere emissivo  ε ,
ossia l'energia che viene emessa attraverso un piccolo foro calibrato.
Se la temperatura T del corpo varia, l'energia emessa globalmente, su tutte le lunghezze d'onda, varia secondo la legge di Stefan -
Boltzmann :

                                       W = σ ⋅ T   con    σ = 5.67051×10⁻⁸ W/(m² K⁴)

con la quale, nota   si può ricavare la temperatura.
Per esempio, l'energia specifica irradiata dal Sole vale           W = 64 ⋅10⁶ w/m²

e quindi la sua temperatura superficiale vale :                  T = (W/σ)1/4 = 5796 °K

Se, come spesso accade, fissato valore di temperatura, è necessario conoscere come si distribuisce questa energia fra le varie lunghezze
d'onda, si ricorre alla legge di Wien :

                                           T ⋅ λmax = 2.897756×10⁻³m⋅K

dove T indica la temperatura assoluta del corpo nero e λmax  è la lunghezza d'onda per la quale è massima la radiazione emessa
dal corpo
(non è quindi da confondere con la massima lunghezza d'onda da esso irradiata).
Questa relazione indica che la lunghezza d'onda corrispondente al massimo di energia emessa diminuisce all'aumentare della temperatura.
Questo è un fatto ben conosciuto dagli addetti ai forni ad alta temperatura.
Del resto, è noto a tutti che un corpo, riscaldandosi passa dal colore rosso al giallo e infine al bianco e questo è dovuto al fatto che
con l'aumentare della temperatura la radiazione emessa ha tendenza a spostarsi verso le piccole lunghezze d'onda, come è
mostrato nel diagramma seguente.
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La legge di Wien praticamente afferma che il rapporto tra la temperatura di un corpo e la lunghezza d'onda in corrispondenza
della quale esso presenta 
la massima emissività ha un valore costante ed indipendente dal corpo.
Questa affermazione fornisce una relazione tra i punti di una famiglia di curve, in forma di legge universale, ma non dà alcuna espressione
teorica tra la temperatura, l'energia e la lunghezza d'onda.
Si trattava quindi di trovare un ragionamento teorico per poter formulare una relazione capace di
riprodurre le curve
sperimentali riportate nel diagramma.

In altre parole, bisognava capire attraverso quale meccanismo si realizza il passaggio dell'energia raggiante fra la materia che la produce
( per effetto della temperatura ) e lo spazio circostante che la propaga.
Naturalmente gli strumenti disponibili allora erano le leggi classiche applicate alla radiazione elettromagnetica così come era stata definita
da Maxwell.
Questo il problema che, per un fatto puramente casuale, portò alla meccanica quantistica.

Dal punto di vista fisico, la meccanica quantistica " nasce unicamente come quantizzazione del raggio
delle orbite circolari stabili di uno spazio rotante, per poter 
verificare i principi di conservazione,
universalmente validi.

Dal punto di vista teorico la meccanica quantistica è supportata solo dal fatto che si presenta come unica soluzione per giustificare una
curva ottenuta per via sperimentale.
La sua validità sta solo nel risultato che produce e non nelle logica applicata per ricavarla, che, come vedremo tra breve, è addirittura
fuorviante.
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 Art.48-- Evoluzione del moto orbitale e calcolo del decadimento esponenziale delle orbite dei satelliti -- Antonio Dirita

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