Art.46 -- Origine del campo magnetico terrestre e calcolo teorico del campo magnetico dei pianeti del sistema solare -- Antonio Dirita

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Abbiamo finora preso in considerazione le condizioni di equilibrio dei sistemi legati, imponendo nello spazio fisico i principi di
conservazione dell'energia e del momento della quantità di moto solo sul piano orbitale.

Nella realtà abbiamo però quasi sempre aggregati rotorivoluenti variamente orientati nello spazio, i quali producono importanti e vistosi
effetti giroscopici che si manifestano in tutte le direzioni.
Per un'analisi più completa dell'equilibrio dei sistemi reali non si può dunque non tenerne conto.
Noi non tratteremo la teoria generale del giroscopio, che abbiamo già trattato nell'  Art.19  , ma ci limiteremo a fare solo i richiami
necessari e sufficienti per la comprensione dei processi che andremo a descrivere.


Con riferimento alla figura, consideriamo il moto di un punto matriale intorno al centro , assunto come origine di una terna di assi
cartesiani  X-- Y-- Z  fissi nello spazio.
Consideriamo ancora un'altra terna di assi  ξ--η--ζ  con la stessa origine O, solidali con il punto P e dunque in moto con esso attorno
all'origine O.
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Sappiamo che, in generale, il momento angolare associato alla rotazione di un corpo di forma qualsiasi, calcolato come somma vettoriale
dei momenti di tutti i suoi punti, non risulta parallelo all'asse di rotazione.
Qualunque sia la forma considerata, esistono tuttavia sempre tre assi tra loro perpendicolari tali che, se il corpo ruota attorno
ad uno di essi, il momento 
angolare totale risulta parallelo all'asse di rotazione.
Questi assi vengono chiamati " assi principali di inerzia " ed i corrispondenti momenti di inerzia sono indicati come " momenti
principali di inerzia ".

I tre assi principali d'inerzia formano un sistema di riferimento solidale con il corpo preso in considerazione e ruota con esso.
Dato che gli assi principali d'inerzia coincidono con gli assi di simmetria dei corpi materiali e visto che nei casi reali, quasi sempre, la
rotazione avviene attorno ad un asse di simmetria, esamineremo questo caso particolare.
Per poter definire l'orientamento nello spazio del punto materiale considerato, avente gli assi d'inerzia coincidenti con quelli mobili, sarà
necessario riferire questi ultimi agli assi fissi.

Se consideriamo " la linea dei nodi " di versore  N , perpendicolare a entrambigli assi  OZ Oζ e orientata nel verso del prodotto
esterno k Λ ν , sarà possibile utilizzare gli angoli di Eulero, definiti come segue.

angolo di precessione ψ :
ψ = XON  è l'angolo di cui deve ruotare l'asse OX  per poter coincidere con la linea dei nodi  ON , attraverso una rotazione
antioraria rispetto ad un osservatore parallelo e concorde con l'asse   OZ . Tale angolo può assumere qualunque valore positivo o
negativo.

angolo di nutazione ϑ :
ϑ = ZOζ è l'angolo formato dagli assi  OZ  e  Oζ  , che, per definizione, è compreso tra 0 e π.

angolo di rotazione propria ϕ :
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ϕ = NOζ   è l'angolo di cui deve ruotare la linea dei nodi, di versore N , per portarsi a coincidere con l'asse  Oζ  , attraverso una
rotazione antioraria rispetto ad un osservatore parallelo e concorde con l'asse Oζ .
Anche questo angolo può assumere qualunque valore positivo o negativo.
In base a queste definizioni, risulta :

Possiamo, a questo punto, esprimere la rotazione istantanea ω in funzione degli angoli di Eulero, osservando che la posizione generica
assunta dalla terna di assi mobili  O ξ η ζ  , caratterizzata da tre valori arbitrari degli angoli di Eulero   ψ, ϑ, ϕ,  può essere
pensata ottenuta a partire dalla terna fissa  O x y z , mediante tre successive rotazioni attorno ad assi concorrenti nello stesso punto
fisso  O , in ciascuna delle quali varia uno solo dei suddetti angoli di Eulero.
Si avrà dunque :
Una prima rotazione           attorno all'asse  OZ

Questa operazione lascia l'asse    coincidente con l'asse Oz  mentre porta   a coincidere con la linea dei nodi.
L'asse     verrà ad assumere di conseguenza una ben precisa posizione sul piano fisso  O x y , ruotata dello stesso angolo   ψ 
rispetto all'asse  Oy. 

Una seconda rotazione              attorno alla linea dei nodi N

Questa rotazione lascia l'asse    coincidente con la linea dei nodi e porta l'asse    nella sua posizione finale.
L'asse    verrà ad assumere di conseguenza una ben precisa posizione nel piano delle rette Oz e , che in figura
abbiamo caratterizzato con il versore  N*.

Una terza rotazione          attorno all'asse Oζ

Questa operazione porta gli assi  Oξ  e d    ad assumere le loro rispettive posizioni finali, caratterizzate dai due versori   λ  e  μ
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contenuti nel piano passante per l'origine O e parallelo ai due versori NN*e ruotati, rispetto a questi ultimi, dello stesso angolo ϕ .
Le tre rotazioni, concorrenti in O che abbiamo indicato si compongono così nell'unica rotazione :
    
Le componenti della rotazione istantanea  ω  secondo gli assi mobili solidali con il corpo considerato Oξηζ è dato dai prodotti scalari :

Per raggiungere il nostro scopo, calcoliamo, a questo punto, separatamente il contributo che viene fornito a p, q, s dalle tre rotazioni
ω , ω , ω .
Per quanto riguarda  ω , conviene realizzare una scomposizione preliminare secondo le direzioni dei versori N* e ν , complanari
con essa : 
                               

con riferimento alla figura, scomponiamo ora il primo termine    senθ·N*↑  secondo le direzioni  λ  e  μ  , che sono complanari con
esso :

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in definitiva si ha quindi :   
Riguardo alla rotazione ωconviene scomporla secondo le direzioni dei due versori λ μ che risultano complanari con essa :

      

La terza rotazione  ω non necessita di alcuna scomposizione e risulta :   si hanno dunque le componenti :

In alcuni problemi può risultare comodo calcolare le componenti di  ω  rispetto alla terna di versori   N , N*, νanche se essa
non è solidale con il sistema rigido in esame.
Indicando queste componenti con p, q, s, si avrà :

Sostituendo le relazioni che sono state ricavate, si ottiene :
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La rotazione istantanea  si potrà dunque scrivere :  
Il momento risultante delle quantità di moto K rispetto al punto fisso O vale :

in cui I , I , I₃   rappresentano i momenti principali d'inerzia con i rispettivi versori   λ , μ , ν .
Particolarmente diffuso è il caso in cui il corpo considerato ruota attorno a un asse di simmetria I, mentre per gli altri due risulta
I = I = J.
Si ha così, per il momento risultante delle quantità di moto K , l'espressione :

Per ricavare la condizione di equilibrio del solido considerato, applichiamo, a questo punto, il teorema del momento risultante della
quantità di moto rispetto 
al punto fisso O.
E' però da tener conto che la terna stereonodale non è animata dalla velocità di rotazione  ,  ma dalla :

risulta dunque :

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Il momento risultante delle forze esterne  rispetto al punto  O si potrà scrivere :

dovendo, per avere equilibrio dinamico, soddisfare la relazione :  
si ricava il sistema di tre equazioni che esprime la condizione di equilibrio su ciascuno dei tre assi :
    
oppure, sostituendo a   p*, q*, s  le loro espressioni  :
  
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Il caso più frequente in astronomia e in fisica atomica è quello in cui si potrà assumere :

si ottiene così :   
e quindi :     
ricordando infine la relazione :             ,  si ottiene :
        
e quindi, in definitiva :

Questa relazione è fondamentale per lo studio dei corpi rigidi rotorivoluenti, in quanto descrive tutte le condizioni che consentono
l'equilibrio.
Per chiarire quanto abbiamo finora visto, consideriamo una sfera  di raggio  rp rotante su se stessa con velocità periferica  vp  e
rivoluente con velocità  Vn  alla distanza Rn  da un punto fisso O.
Per il momento d'inerzia si ha :
                                                 I = J = (2/5) ⋅ mp⋅ rp² .
Se indichiamo con      la forza che agisce sulla sfera il suo momento rispetto al punto fisso O sarà :

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La relazione diventa quindi :

                      F ⋅ R ⋅ senϑ = (2/5) ⋅ mp ⋅ rp² ⋅ ωn ⋅ [ωp – ωncosϑ]

Se l'asse di rotazione e quello di rivoluzione sono tra loro perpendicolari, si ha ϑ = π/2 ed il momento assume il valore massimo :

                                     F ⋅ R = (2/5) ⋅ mp ⋅ rp² ⋅ ωn⋅ωp
 

Sostituendo i valori numerici, per la Terra si ottiene :    F = 9,44⋅10¹⁵NW  valore assolutamente trascurabile rispetto a quello della

forza gravitazionale che viene esercitata dal Sole           FST = 3,54⋅10¹⁹NW .

Sebbene il valore di questa forza non sia elevato, il momento associato è tale da produrre una rotazione tendente a rendere paralleli
l'asse di rotazione con 
quello di rivoluzione.
Man mano che lo sfasamento tra i due assi si riduce, il modulo del momento, al primo membro, si riduce e tende ad annullarsi
per ϑ = 0.

L'azione della forza F è dunque tale da spingere gli assi al parallelismo e si orienta verso il punto fisso O quando esso viene raggiunto,
con ϑ = 0.
In queste condizioni il secondo membro si annulla solo se si annulla il moto di rivoluzione, con    ωn = 0  , oppure se il moto
rotorivoluente diventa sincrono, con  ωn = ωp ,  risultato che, del resto, è stato già ottenuto per altra via.

Facciamo notare che la condizione di equilibrio è stata ricavata prendendo in considerazione solo il corpo rigido in moto nello spazio fisico
senza alcuna interazione con altri corpi materiali.
La condizione di equilibrio ottenuta (  Art.19   ) è dunque da intendere imposta al corpo dallo spazio fisico per poter
verificare i principi di conservazione, che in esso 
vengono imposti per definizione di spazio fisico.
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Va infatti osservato che nella interazione tra due corpi materiali, presenti nello spazio fisico ed inizialmente indipendenti, un loro
accostamento porta a una condizione di equilibrio che, per verificare i principi di conservazione, richiede orbite piane ben precise,
percorse a velocità ben definite sotto l'azione di una forza centrale, che abbiamo indicato come " forza gravitazionale ".

Il momento angolare è però una grandezza con caratteristiche vettoriali, per cui, se anche il modulo rimane invariato, durante il moto di
rivoluzione, non si conserva la direzione, in quanto abbiamo comunque un vettore rotante con la velocità angolare ωn .
La tendenza dello spazio fisico ad opporsi alla variazione della direzione del momento angolare dei corpi che si muovono in esso viene
manifestata applicando al corpo un momento capace di farlo ruotare in modo da portare l'asse di rotazione parallelo a quello di
rivoluzione.
Quando questa condizione viene raggiunta, il momento si annulla e la forza si orienta verso il centro del moto di rivoluzione.
Del resto, se un sistema formato da due corpi materiali deve mantenere costante il suo momento angolare, man mano che diminuisce il
momento acquisito da uno, deve aumentare della stessa quantità quello dell'altro, mantenendo i due assi paralleli.
Se abbiamo quindi una sfera solare che acquisisce nel suo spazio rotante un corpo inizialmente indipendente, dunque con momento
angolare nullo, dato che sull'orbita la sfera planetaria in equilibrio acquista un momento angolare, per soddisfare il principio di
conservazione, indurrà la sfera solare a ruotare su se stessa in modo da acquistare un momento angolare avente lo stesso valore
e verso contrario.

E' chiaro che, se si ripete il discorso per tutte le sfere planetarie acquisite, si conclude che alla sfera solare centrale sarà associato un
momento angolare pari alla somma dei momenti associati ai diversi pianeti.
In definitiva, se analizziamo l'interazione di uno spazio rotante  Ks² con il punto materiale posto a una distanza  R dal centro, non solo
sul piano, ma nelle tre dimensioni, vediamo che essa presenta due componenti :
-- una componente gravitazionale, che abbiamo già studiato (  Art.18  ) , la quale è legata unicamente alla presenza del punto
materiale 
nel raggio d'azione dello spazio rotante centrale e si manifesta con una forza  F diretta verso il centro.
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-- una componente giroscopica (  Art.19  ), che è invece dipendente dalle condizioni dinamiche del punto considerato.
Se abbiamo la massa  mp in rotazione su se stessa con velocità angolare  ωp  il momento angolare associato sarà :


con la costante  α  dipendente dalla forma.
Dato che la rotazione di una massa nello spazio rotante in cui si muove crea una perturbazione che si estende a tutto il volume di spazio
compreso nel suo raggio d'azione, possiamo dire che gli effetti prodotti dal momento angolare  Lp  vengono rilevati entro tutto il
raggio d'azione della sfera planetaria con una intensità dipendente dalla distanza dal centro della sfera  m.
Per ricavare la relazione che descrive questa dipendenza, ricordiamo che è stata ricavata, nella teoria degli spazi rotanti, la relazione che
lega la carica elettrica alla massa (  Art.17  ) :

che per la materia ordinaria e le particelle elementari diventa :

                          q = 8,616413197⋅10⁻¹¹ m1/2 ⋅ m              materia ordinaria

                          qe = 4,104562723⋅10 m1/2 ⋅ m                   particelle elementari

                             
con un rapporto :
                                          qe/q = 4,76365586⋅10¹⁹

Questa proporzionalità ci consente di utilizzare per il momento della quantità di moto il teorema della circuitazione di Ampère che si
applica al momento magnetico.
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Se indichiamo con   la grandezza con la quale vogliamo rappresentare gli effetti prodotti alla distanza r dal centro della sfera  m,
introducendo una costante di proporzionalità β da definire, si ottiene :
p = β ⋅ ( L/r )
Essendo note tutte le caratteristiche di moto dei pianeti e satelliti presenti nel Sistema Solare, sarà possibile calcolare il momento angolare
e magnetico di ciascuno di essi, in corrispondenza della superficie, con la relazione :

                                                Mp = ∑ m⋅ V⋅ Ri

considerando solo i satelliti di dimensioni maggiori, si ottengono i risultati che che sono riportati in tabella.

pianeta Mp  (Kg⋅m)  Mp / rp          (Kg) campo
magnetico (T)
       β (Mp/rp)/
(MT/rT)
Mercurio --   --   0,0035        3,5 0,01
Venere --   --   0        3,5 0
Terra 2,882⋅10³⁴   4,519⋅10²⁷   0,2÷0,5        3,5 1
Marte 2,103⋅10³²   6,192⋅10²⁵   (0.0049)        3,5 0,014
Giove 44,846⋅10³⁵   6,273⋅10²⁸   4,1        3,5 13,881
Saturno 9,534⋅10³⁵   1,582⋅10²⁸   0,4        3,5 3,501
Urano 14,074⋅10³³   5,506⋅10²⁶   0,25÷0,65        3,5  1,218
Nettuno 33,974⋅10³³   13,719⋅10²⁶   0,14        3,5 0,306
Plutone 7,1075⋅10³⁰   5,9477⋅10²⁴   (0.000462)        3,5 0,00132
Sole 3135,5⋅10⁴⁰   4,505⋅10³⁴   (3.5⋅10⁶)        3,5                 10⁷

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Dalla tabella si rileva un ottimo accordo tra i valori osservati dei rapporti tra i campi
magnetici sulla superficie dei pianeti 
e gli analoghi rapporti teorici tra i momenti
angolari,
con la costante di proporzionalità   β   data dal rapporto medio sulla Terra  (  Art.43  )uguale a 
β = 10·((0.2+0.5) / 2)/1) = 3,5.
Questo ci porta a identificare l'azione del campo magnetico con quella del giroscopio
che abbiamo analizzato ( Art.19  ) .

Con questa identificazione ( valida a meno di una costante, dal punto di vista quantitativo ), si giustificano perfettamente anche le diverse
situazioni che si presentano per ciascun pianeta.
Per interpretarle, riprendiamo l'espressione del momento della forza indotta dalla conservazione del momento angolare per ϑ→0 :

                                  F ⋅ R = (2/5) ⋅ mp ⋅ rp² ⋅ ωn ⋅ [ωp – ωn]

- Nel caso di Mercurio (  Art.45   ) , l'elevata eccentricità dell'orbita porta ad una rotazione non sincrona, con   ωp > ωn  e quindi il
secondo membro assume un valore diverso da zero.

Si presenta così un piccolo momento magnetico anche se non sono presenti satelliti (si tenga presente che ωp supera di poco ωn ).

- Per il pianeta Venere  ( Art.44   ) , non avendo satelliti ed essendo l'orbita praticamente circolare, la rotazione è quasi sincrona, con
ωp ωe quindi il secondo membro assume un valore trascurabile.

- Nei pianeti Urano, Nettuno e Plutone (  Art.39  ,   Art.38b  ,   Art.38a   )   abbiamo un campo magnetico con una grande inclinazione
rispetto all'asse di rotazione perchè viene indotto quasi interamente dal satellite di maggiori dimensioni, che è stato acquisito su un'orbita
iniziale molto inclinata rispetto al piano di rivoluzione.
Questa inclinazione viene gradualmente ridotta dal momento giroscopico che tende a portare i due assi paralleli.
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Una sfera solare rotante su se stessa, dotata quindi di un momento angolare proprio, conferisce allo spazio fisico circostante la
capacità di esercitare su 
una massa mp , posta alla distanza R , una doppia azione composta da una forza diretta verso il
centro, espressa dalla :     
che abbiamo indicato e studiato come forza gravitazionale, e da un momento dato dalla espressione :

che, se  ωp >> ωn  diventa :
          
sostituendo ancora la relazione :    ωn = (Vn/R)  si ha :     
La forza d'interazione tra massa solare e sfera planetaria posta alla distanza  R dal centro si scriverà quindi :

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I calcoli che abbiamo eseguito, secondo la nostra interpretazione, ci dicono che ciascun satellite " trasferisce alla sfera solare " il suo
momento angolare 
e quest'ultima manifesta infine, nello spazio circostante, una caratteristica, non ben definita, che viene indicata come
"campo magnetico"
che si presenta direttamente proporzionale al momento angolare complessivamente ricevuto da tutti i satelliti.

Dato che il momento giroscopico si manifesta comunque anche senza la presenza della sfera solare e
che la caratteristica campo magnetico 
si manifesta nello spazio fisico esterno, che circonda la sfera
solare,
 
dobbiamo pensare che ciascun satellite trasferisca il suo momento angolare direttamente allo spazio, che manifesta
questa nuova caratteristica in una maniera più o meno evidente in rapporto alla "densità" della materia in esso presente.

Quello della sfera solare è dunque un ruolo passivo, analogo a quello di un blocco di ferro posto in prossimità
di un campo magnetico preesistente di cui intensifica l'azione per il semplice fatto che, in quel punto, viene sostituito uno spazio vuoto,
a bassissima densità di " elementi spaziali ", con uno spazio materiale, organizzato, avente elevata densità.
In definitiva, la forza FSP che noi abbiamo finora immaginato e descritto come forza d'interazione tra sfera solare e sfera planetaria, è in
realtà una maniera per descrivere " l'inerzia dello spazio fisico ", ossia la sua naturale tendenza a raggiungere e mantenere una
condizione di equilibrio, generando sempre un'azione contraria a quella che provoca una perturbazione.
Possiamo dunque riassumere il meccanismo d'azione come segue.
Se abbiamo uno spazio rotante Ks²e poniamo in un punto alla distanza dal centro una massa mp, essa interagisce con lo spazio
rotante, stabilendo l'equilibrio attraverso un moto di rivoluzione con opportuna velocità Vn .
In queste condizioni, lo spazio esercita sulla massa  mp la forza  Fg capace di contrastare esattamente l'inerzia della  m, che si 
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manifesta attraverso la forza centrifuga.
Al moto di rivoluzione è associato un momento della quantità di moto rispetto al punto fisso distante R dato da :

dove k è il versore perpendicolare al piano dell'orbita percorsa.
Gli elementi spaziali che circondano l'orbita vengono indotti a orientare il loro momento angolare (indicato normalmente come spin) in
modo che la somma vettoriale dei momenti degli elementi spaziali disposti lungo una linea chiusa che circonda l'orbita sia uguale
al momento angolare della massa in orbita,
che rappresenta una costante del sistema ( teorema della circuitazione ).

Lo spazio fisico che circonda l'orbita riproduce dunque l'equilibrio rispetto al momento
angolare Ln , polarizzando i suoi elementi.

Se abbiamo, sulla stessa orbita ( ma il discorso vale per un'orbita qualsiasi ), altre masse in moto, il discorso si ripete identicamente e
gli effetti descritti si sovrappongono.
In particolare, all'interno dell'orbita si sommano su un'area molto più piccola di quella trasversale esterna, per cui all'interno dell'orbita
si avrà una densità di polarizzazione maggiore di quella che si verifica nello spazio esterno.

Se indichiamo con D il valore di questa densità, la quantità  D ⋅ (π⋅R²)  rappresenterà una costante del sistema proporzionale al
momento angolare totale delle masse in orbita, che viene normalmente detta " flusso indotto " attraverso la superficie
considerata :

Se al centro dell'orbita allo spazio vuoto si sostituisce la materia organizzata di una sfera solare, attraverso meccanismi interni che
vedremo in seguito, si genera una notevole amplificazione del valore della polarizzazione   D  senza alcuna variazione del momento 
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angolare delle masse in orbita.

Per tener conto di questa capacità della materia, si sostituisce la grandezza   alla D  con la :      E = γ ⋅ D
con  γ  costante caratteristica del materiale .
Il valore della grandezza E  che " attraversa " l'interno dell'orbita vale quindi :      
Secondo questa interpretazione, il campo magnetico planetario che si misura in prossimità della superficie di ciascun pianeta non è una
sua caratteristica propria, ma indotta dai satelliti presenti sulle orbite.
Anche se attenuato secondo quanto è indicato dal teorema della circuitazione, il vettore  E  sarà presente, come momento angolare
specifico, in tutti i punti dello spazio rotante considerato e, attraverso l'elemento di superficie  dS ,
produrrà un flusso indotto :                           
La massa  m nelle condizioni descritte è in perfetto equilibrio con lo spazio e soggetta solo alla forza Fg diretta verso il centro dello
spazio rotante.
Se, a questo punto, la massa  m viene indotta a ruotare su se stessa con la velocità angolare  ω , il sistema, che inizialmente era
in equilibrio, viene perturbato dal momento angolare rotazionale :
      
dove ν rappresenta il versore perpendicolare al piano di rotazione.
Nasce cosi il momento giroscopico che abbiamo calcolato e l'equilibrio viene nuovamente raggiunto con gli assi dei momenti
angolari paralleli.

La forza che agisce sulla massa in orbita diventa così :
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Notiamo che, per una massa che rotorivoluisca sull'orbita senza scorrimento, con    Vn = vp    , per la componente giroscopica,
si ottiene :
          α · ωp · Vn = rp2 · ωp · V=  rp2 · (vp / rp) · V=  rp · vp2 = Kp
e quindi :    
Questa espressione rappresenta una ulteriore generalizzazione della forza universale di interazione della materia, in quanto è comprensiva
della componente rotazionale.
Nei sistemi astronomici si verifica sempre    Ks² >> Kp²   e quindi, dal punto di vista numerico la relazione fornisce un valore
praticamente coincidente con quello associato a  Ks² ( componente gravitazionale ) .
Per esempio, nell'accoppiamento Terra -- Luna, in cui il satellite la rotazione del satellite è sincrona, l'accoppiamento magnetico genera
un aumento della forza pari al :
                                             (KL²/KT²) ⋅100 = 1,23 %

Si tratta comunque di un caso molto particolare, in quanto il rapporto tra i due spazi rotanti generalmente è molto più piccolo.
L'espressione della forza è stata ricavata senza fare alcuna ipotesi restrittiva e, se si pone mp = 1 , e possibile parlare di accelerazioni
con riferimento al punto dello spazio di massa unitaria.
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E' dunque possibile applicare la relazione a qualsiasi livello di aggregazione,
anche atomico o subatomico.

Se consideriamo, per esempio, l'atomo di idrogeno in equilibrio si avrebbe :

La prima componente è quella gravitazionale, che abbiamo già ampiamente trattato.
Per il calcolo della seconda componente, dobbiamo tener conto del fatto che l'elettrone, sull'orbita fondamentale dello spazio rotante
generato dal protone, non realizza un moto sincrono con la sua sfera planetaria di raggio  rpe = 28,81989243⋅10⁻¹⁵ m .

Il momento angolare rotazionale deve dunque essere calcolato considerando la rotazione della sfera materiale avente il raggio classico :

                                             re = 2,81794092⋅10⁻¹⁵ m
Per la seconda componente si dovrà dunque utilizzare l'espressione :     
che, nel nostro caso diventa :   
e quindi in definitiva :          
Questa relazione esprime la forza che agisce sull'elettrone in orbita per l'effetto giroscopico dovuto
alla interazione tra il momento angolare 
orbitale e quello rotazionale.
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Se identifichiamo questa componente con la forza che si indica normalmente come " forza di Lorentz ", possiamo ricavare il valore
dell'induzione magnetica
  B  che agisce sull'elettrone.   Si ha quindi :
     ·
da cui si ricava :         
ricordando che per la carica elettrica dell'elettrone abbiamo ricavato la  (  Art.17  ) :     
sostituendo ancora :                       Kp2 = V11e2 · R11e            e         re = r1p = Kp2 / Cl2

possiamo esprimere l'induzione magnetica  B utilizzando solo grandezze meccaniche. Si ottiene così :

ovvero :                             
sostituendo i valori numerici, si ha la semplice relazione di proporzionalità :

                        B = 151,9266893 ⋅10⁶ (sec/(Kg1/2⋅ m3/2Fg
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Nella teoria generale degli spazi rotanti si ricava facilmente il valore della  Fagente su qualsiasi elettrone di qualsiasi atomo
e diventa dunque facilmente calcolabile anche l'induzione magnetica associata.

Calcoliamo ora l'induzione magnetica     B che agisce su un elettrone in moto sull'orbita fondamentale dell'atomo di idrogeno,
considerando il problema con la carica elettrica dell'elettrone   q in moto con la velocità  V11e  alla distanza  R11e  nel campo
elettrico generato dal protone posto al centro.
Il campo elettrico vale :                        
l'elettrone in movimento nel campo elettrico avverte, nel sistema di riferimento con esso solidale, un'induzione magnetica B
data dalla relazione :
e nel nostro caso :                               
La coincidenza di Bcon B e quanto abbiamo verificato sul magnetismo dei pianeti nel sistema solare, sono una chiara indicazione del
fatto che il campo magnetico  , sia atomico che astronomico, non è che una manifestazione degli effetti giroscopici
necessari per l'equilibrio dinamico di un punto in 
moto rotorivoluente nello spazio fisico, in cui devono verificarsi i principi di
conservazione.
Vogliamo, a questo punto, mettere in evidenza il fatto importante che le leggi di Coulomb e Lorentz sono entrambe sperimentali e
nelle teorie correnti sono state utilizzate per introdurre, senza alcuna possibilità di dare definizioni ben 
chiare ed
esplicite
, il campo magnetico e la carica elettrica.

Con la presente trattazione si dimostra che entrambe le grandezze possono essere eliminate, riconducendo lo studio a una forma di
equilibrio universale imposto dallo spazio fisico.
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 Art.46 -- Origine del campo magnetico terrestre e calcolo teorico del campo magnetico dei pianeti del sistema solare -- Antonio Dirita

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