Art.38a -- calcolo teorico delle orbite stabili quantizzate del Sistema Solare, caratteristiche delle orbite di Plutone e i suoi satelliti, analisi del sistema doppio Plutone-Caronte -- Antonio Dirita

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Nell' Art.34  abbiamo descritto una possibile evoluzione dell'esplosione della stella D , che ha portato alla distribuzione attuale di
asteroidi e comete.
Nello stesso scenario vogliamo ora inserire la formazione dei pianeti con il complesso di satelliti ad essi associati.
Trattando la teoria generale, abbiamo visto che lo schema orbitale completo è descritto dalla relazione :      
Indicando con   nmax  il numero quantico massimo, associato alla prima orbita (quella di raggio minimo) , che indichiamo con R ,
si ha anche :                 
ponendo :             nmax/n = p       si hanno le due relazioni :

                                   Rn = RNPS/n²         ;          Rn = R₁⋅ p²

Normalmente la seconda viene utilizzata in fisica atomica e nucleare, in quanto non è noto il punto neutro . Nella teoria degli spazi rotanti
essa viene applicata anche agli aggregati astronomici .
Se nello spazio rotante considerato si hanno orbite occupate, individuando la differenza di numero quantico associato a due orbite, è
possibile calcolare con una buona approssimazione  RNPS  e R .

Per tracciare lo schema orbitale generale con una delle due espressioni si deve ricordare che trattando la teoria generale abbiamo visto
che si possono avere orbite stabili in corrispondenza degli angoli in cui la tangente all'orbita si annulla e quindi si avrà lo schema :

           (n)⋅2π  ;  (n + 1/4)⋅2π ; (n + 1/2)⋅2π ; (n + 3/4)⋅2π 

con                                        n = 0 ; 1 ; 2 ; 3 : ..............

Si tenga però presente che le orbite associate agli angoli  (n + 1/4)⋅2π  e   (n + 3/4)⋅2π sono meno stabili, in
quanto in corrispondenza di questi punti la tangente alla curva spirale inverte il segno, ma non passa per lo zero.

Nel caso del Sistema Solare, considerando due pianeti confinanti come, per esempio  " Terra  e  Venere ", che, presumibilmente,
si trovano in prossimità di due orbite circolari stabili vicine, se indichiamo con  n  il numero quantico associato all'orbita terrestre e con
RNSSL il punto neutro del Sole rispetto al 
sistema stellare locale, all'orbita di Venere sarà associato il numero  nV = (n + 1) , si
potrà  perciò scrivere:

1
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da cui deriva :                                                    (n₀ +1)²/n₀² = 1,1758

Si ricava quindi  n = 5,68664 .  Il numero intero più prossimo è  n = 6 .

Per poter fare la scelta definitiva, dobbiamo ancora verificare l'ipotesi che i due pianeti si trovino realmente su due orbite contigue.
Anche se la relazione   Rn = R₁ /n²  non è una funzione continua, in prima approssimazione, differenziando, si può scrivere :
   
Essendo note le distanze dei pianeti dal Sole, questa relazione ci consente di ricavare il numero  n  associato all'orbita.
Il valore medio del raggio vale :
Terra -- Venere :                      R = (RT + RV)/2 = 128,9⋅10⁶ Km        
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                             ΔR = RT – RV = 41,4⋅10⁶ Km      con    Δn = 1   si ricava :

    compatibile con   n₀ = 6     che fornisce :        n = (n₀ + nV)/2 = (6+7)/2 = 6,5

Venere -- Mercurio :           R = (RV + RM)/2 = 83,01⋅10⁶ Km

                                              ΔR = 50,38⋅10⁶ Km
si ricava :             
Dovendo essere  n > 7 ,   risulta :                Δn > 7/3,2954 = 2,124

L'unico valore compatibile con   n = 6  è  Δn = 3  , che, se si sostituisce, fornisce :     nM > n+ 2,124

Se dunque all'orbita del pianeta Venere si associa  n = 7, per Mercurio si avrà  n = 10.
Se assumiamo definitivamente per l'orbita terrestre   n = 6,   possiamo calcolare il valore approssimato del raggio della
prima orbita circolare stabile
  RNSSL del Sistema Solare, imponendo che si abbia :

     RNSSL/7² = RV =108,2⋅10⁶ Km      oppure       RNSSL/10² = R= 57,91⋅10⁶ Km

Dato che i pianeti, in realtà, non si muovono sulle orbite circolari minime di raggio Rn , assumiamo per  R1S  il valore indicativo medio
che si ricava dalle 
due relazioni e risulta :

                                                                                       R1Sm ≃ 5546,4⋅10⁶ Km.
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In ottimo accordo con il valore osservato, uguale a    RnPl = 5546,05⋅10⁶ Km    ricavato con la relazione :
       
potremo certamente assumere per  RNSSL il valore dell'orbita stabile, circolare, di raggio minimo, associata alla  falda di
spazio nella quale si muove Plutone .
A tale orbita si associa dunque il numero quantico n = 1 .
Per utilizzare la seconda espressione, si procede in modo analogo  .

da cui si ha :                                            
risolvendo, si ottiene :                                                p₀ = 1,17585/0,17585 = 6,69

Assumiamo il numero quantico più prossimo                      p₀ = ( 6 + 3/4)

Il raggio  R1S  risulta :
                                    R1S = RV/5,75² = 3,2726 ⋅10⁶ Km

                                     R1S= RT/6,75² = 3,283 ⋅10⁶ Km

4
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assumiamo definitivamente il valore :                    R1S = 3,283 ⋅ 10⁶ Km

Deve essere anche                                                    R1S = (RNSSL/nmax²
da cui :                 

Per le caratteristiche della prima orbita ( orbita fondamentale ) del sistema Solare possiamo assumere :

nmax = 41      ;       R1S = 3,283 ⋅10⁶ Km

la velocità di equilibrio :                        V1S = (KS²/R1S)1/2 = 201,07 Km/sec

il periodo associato :                              T1S = (2⋅π⋅R1S)/V1S = 1,1906 g

energia di legame specifica :                 E1S = (1/2) ⋅ V1S² = 2,021457 ⋅ 10¹⁰ J/Kg

momento angolare specifico :             C1S = R1S ⋅ V1S = 660,1128 ⋅ 10⁶ Km²/sec

Le caratteristiche orbitali di un oggetto in moto sull'orbita associata al numero quantico  p  saranno espresse dalle relazioni:

                       Rnp = R1S ⋅ p²   ;   Vnp = V1S/p   ;   Tnp = T1S ⋅ p³

                       Enp = E1S/p²   ;   C= C1S ⋅ p

con      p = (1)  ;  (1 + 1/4)  ;  (1 + 2/4)  ;  (1 + 3/4)  ;  (2 ) ; (2 + 1/4)  ;  (2 + 2/4)......

Le orbite stabili del Sistema Solare espresse in 10⁶ Km risultano quindi :
5
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                   orbite quantizzate stabili del Sistema Solare (10⁶ Km)

Rn 3. 283 0 5. 129 7 7. 386 8 10. 054 13. 132 16. 620 20. 519 24. 828
p 1             1,25           1,5            1,75          2              2,25          2,5           2,75         
Rn 29. 547 34. 677 40. 217 46. 167 52. 528 59. 299 66. 481 74. 073
p 3             3,25          3,5            3,75          4              4,25          4,5           4,75         
Rn 82. 075 90. 488 99. 311 108. 54 118. 19 128. 24 138. 71 149. 58
p 5             5,25          5,5            5,75          6              6,25          6,5           6,75         
Rn 160. 87 172. 56 184. 67 197. 19 210. 11 223. 45 237. 20 251. 35
p 7             7,25          7,5            7,75          8              8,25          8,5           8,75         
Rn 265. 92 280. 90 296. 29 312. 09 328. 30 344. 92 361. 95 379. 39
p 9             9,25          9,5            9,75          10             10,25         10,5          10,75        
Rn 397. 24 415. 50 434. 18 453. 26 472. 75 492. 66 512. 97 533. 69
p 11            11,25         11,5           11,75         12             12,25         12,5          12,75        
Rn 554. 83 576. 37 598. 33 620. 69 643. 47 666. 65 690. 25 714. 26
p   13            13,25         13,5           13,75         14             14,25         14,5          14,75        
Rn 738. 68 763. 50 788. 74 814. 39 840. 45 866. 92 893. 80 921. 09
p 15            15,25         15,5           15,75         16             16,25         16,5          16,75        
Rn 948. 79 976. 90 1005. 4 1034. 4 1063. 7 1093. 4 1123. 6 1154. 2
p 17            17,25         17,5           17,75         18             18,25         18,5          18,75        
Rn 1185. 2 1216. 6 1248. 4 1280. 6 1313. 2 1346. 2 1379. 7 1413. 5
p 19            19,25         19,5           19,75         20             20,25         20,5          20,75        
Rn 1447. 8 1482. 5 1517. 6 1553. 1 1589. 0 1625. 3 1662.0 1699. 2
p 21            21,25         21,5           21,75         22             22,25         22,5          22,75        
Rn 1736. 7 1774. 7 1813.0 1851. 8 1891.0 1930. 6 1970. 6 2011.0
p 23            23,25         23,5           23,75         24             24,25         24,5          24,75        
Rn 2051. 9 2093. 1 2134. 8 2176. 8 2219. 3 2262. 2 2305. 5 2349. 2
p 25            25,25         25,5           25,75         26             26,25         26,5          26,75        
Rn 2393. 3 2437. 8 2482. 8 2528. 1 2573. 9 2620.0 2666. 6 2713. 6
p 27            27,25         27,5           27,75         28             28,25         28,5          28,75        
Rn 2761.0 2808. 8 2857.0 2905. 7 2954. 7 3004. 2 3054.0 3104. 3
p 29            29,25         29,5           29,75         30             30,25         30,5          30,75        
Rn 3155. 0 3206. 1 3257. 6 3309. 5 3361. 8 3414. 5 3467. 7 3521. 2
p 31            31,25         31,5           31,75         32             32,25         32,5          32,75        
Rn 3575. 2 3629. 6 3684. 3 3739. 5 3795. 1 3851. 2 3907. 6 3964. 4
p 33            33,25         33,5          33,75         34             34,25         34,5          34,75        
Rn 4021. 7 4079. 3 4137. 4 4195. 9 4254. 8 4314. 1 4373. 8 4433. 9
p 35            35,25         35,5          35,75         36             36,25         36,5          36,75        
Rn 4494. 4 4555. 4 4616. 7 4678. 5 4740. 7 4803. 2 4866. 2 4929. 6
p 37            37,25         37,5          37,75         38             38,25         38,5          38,75        
Rn 4993. 4 5057. 7 5122. 3 5187. 3 5252. 8 5318. 7 5384. 9 5451. 6
p 39            39,25         39,5          39,75         40             40,25         40,5          40,75        
Rn 5518. 7 5586. 2 5654. 1 5722. 5 5791. 2 5860. 4 5929. 9 5999. 9
p 41            41,25         41,5          41,75         42             42,25         42,5          42,75        
Rn 6070. 3 6141. 1 6212. 3 6283. 9 6355. 9 6428. 3 6501. 2 6574. 4
p 43            43,25         43,5          43,75         44             44,25         44,5          44,75        
Rn 6648. 1 6722. 1 6796. 6 6871. 5 6946. 8 7022. 5 7098. 7 7175. 2
p 45            45,25         45,5          45,75         46             46,25         46,5          46,75        
Rn 7252. 1 7329. 5 7407. 3 7485. 4 7564.0 7643.0 7722. 4 7802. 3
p 47            47,25         47,5          47,75         48             48,25         48,5          48,75        
Rn 7882. 5 7963. 1 8044. 2 8125. 6 8207. 5 8289. 8 8372. 5 8455. 6
p 49            49,25         49,5          49,75         50             50,25         50,5          50,75        
Rn 8539. 1 8623.0 8707. 3 8792. 1 8877. 2 8962. 8 9048. 8 9135. 2
p 51            51,25         51,5           51,75         52             52,25         52,5          52,75        
Rn 9221. 9 9309.2 9396.8 9484.8 9573.2 9662.1 9751.3 9841
p 53            53,25         53,5           53,75         54             54,25         54,5          54,75        
Rn 9931.1 10021 11428 12017 13134 13658 20231 21011
p 55            55,25         59            60,5           63,25         64,5          78,5          80           

Dato che la tangente associata ai valori dell'angolo    ϑ = n + 1/4   e   ϑ = n + 3/4     presenta una singolarità e dunque
cambia segno senza passare per lo zero, le 
orbite associate a tali numeri quantici godono di una minore stabilità rispetto a quelle che si
associano a numeri interi o semi-interi.

 7
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Se assumiamo come orbite stabili solo quelle associate a numeri quantici interi e semi-interi, dovrà essere :

                                  R1S ⋅ p₀² = RT = 149.597871⋅10⁶ Km
e quindi si ha :          
              Le orbite quantizzate stabili del Sistema Solare  (10⁶ Km)  risultano le seguenti .

Rn 3,541 7. 967 3 14. 164 22. 131 31. 869 43. 377 56. 656 71. 705
p 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Rn 88. 525 107. 12 127. 48 149. 61 173. 51 199. 18 226. 62 255. 84
p 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5
Rn 286. 82 319. 58 354. 10 390. 40 428. 46 468. 30 509. 90 553. 28
p 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 12,5
Rn 598. 43 645. 35 694. 04 744. 50 796. 73 850. 73 906. 50 964. 04
p 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5
p 1023. 3 1084. 4 1147. 3 1211. 9 1278. 3 1346. 5 1416. 4 1488. 1
Rn 17 17,5 18 18,5 19 19,5 20 20,5
p 1561. 6 1636. 8 1713. 8 1792. 6 1873. 2 1955. 5 2039. 6 2125. 5
Rn 21 21,5 22 22,5 23 23,5 24 24,5
p 2213. 1 2302. 5 2393. 7 2486. 7 2581. 4 2677. 9 2776. 1 2876. 2
Rn 25 25,5 26 26,5 27 27,5 28 28,5
p 2978. 0 3081. 6 3186. 9 3294.0 3402. 9 3513. 6 3626. 0 3740. 2
Rn 29 29,5 30 30,5 31 31,5 32 32,5
p 3856. 1 3973. 9 4093. 4 4214. 7 4337. 7 4462. 5 4589. 1 4717. 5
Rn 33 33,5 34 34,5 35 35,5 36 36,5
p 4847. 6 4979. 5 5113. 2 5248. 6 5385. 9 5524. 8 5665. 6 5808. 1
Rn 37 37,5 38 38,5 39 39,5 40 40,5
Rn 5952. 4 6098. 5 6246. 3 6395. 9 6547. 3 6700. 5 6855. 4 7012. 1
p 41 41,5 42 42,5 43 43,5 44 44,5
Rn 7170. 5 7330. 8 7492. 8 7656. 5 7822. 1 7989. 4 8158. 5 8329. 3
p 45 45,5 46 46,5 47 47,5 48 48,5
Rn 8501. 9 8676. 3 8852. 5 9030. 4 9210. 1 9391. 6 9574. 9 9759. 9
p 49 49,5 50 50,5 51 51,5 52 52,5
Rn 9946. 7 10135 10326 10518 11912 13612 20185 20995
p 53 53,5 54 54,5 58 62 75,5 77

Le caratteristiche dell'orbita fondamentale solare risultano in questo caso :

Dovendo essere verificata su tutta la falda la legge delle aree, dovrà essere :
              
sostituendo le relazioni :           
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si ricavano le caratteristiche dell' orbita media associata al semiasse maggiore :
       
In Tabella sono riportate le caratteristiche orbitali dei pianeti nani con relativi satelliti presenti nella fascia di Kuiper.

denom.     R
UA
e=√ΔE/Eeq   Rn
 Km/10⁶
RP /RA           Km  r
Km
 δ
g/cm³
  m Kg/10²²
136199Eris
/(2003UB313))
67.6445707 0.44222189 8140. 5 ((37.7306605)
/(97.5584810))
1163 2.52          1.66
Disnomia 37350Km 13   400
Plutone
/(134340))
39.4450697 0.2488273 5535.6 ((29.6300595)
/(49.2600799))
1185 1.77 1.471
Caronte 19571Km 0.00000   sincrono 600 1.65 1.52
Stige 45000Km   5
Notte 48675Km   40
Cerbero 59000Km   12
Idra 64780Km 64778 68
Haumea 43335 0.18874 6251. 9 ((51,526)
/(35,164))
750 2.95                 0.42
Hi′iaka 49500Km 0.05   40
Namaka 39300Km   80
Makemake
/(2005FY9))
45.7478250 0.15410985 6681. 2 ((38.6976342)
/(52.7980158))
750 1.7                0.3
S2015-1 21000Km 75

Noi analizzeremo in dettaglio solo il sistema planetario di Plutone, che riteniamo parte fondamentale
del Sistema Solare, 
in quanto si trova sul punto neutro del Sole rispetto al sistema stellare locale.
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1 - Coppia  Plutone - Caronte :
Il numero quantico associato all'orbita vale p = 41.  Le caratteristiche orbitali teoriche risultano :

Della coppia Plutone - Caronte sono noti i raggi e la loro distanza

                    d = 19571 Km     ;     rPl = 1185 Km      ;      rc = 600 Km

Essendo i due corpi molto vicini e di dimensioni simili, si può pensare che formino un sistema doppio. Per verificarlo utilizziamo
un calcolo di prima approssimazione.
In base a quanto abbiamo visto parlando dell'aggregazione di masse simili, per semplicità, possiamo ipotizzare che i due corpi siano stati
emessi dallo stesso strato e che abbiano quindi, approssimativamente la stessa densità.
Come abbiamo visto nell'  Art. 34   , per avere un sistema doppio, dovrà essere verificata la relazione :   
ma è anche :                 
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e quindi risulta :    
da cui si ricava :                                       n/ nC = (2,776)1/2 = 1,666

I numeri interi che meglio approssimano tale rapporto sono  5 / 3 .
Per quanto riguarda il punto neutro dei due corpi rispetto al Sole dovrà dunque essere :

                             RNPS = d ⋅ nP² = 19571 Km ⋅5² = 489275 Km

                             RNCS = d ⋅ nc² = 19571 Km ⋅3² = 176139 Km
Le due masse dovranno soddisfare la relazione :       
con i valori numerici, si ricava così il valore teorico della massa di Plutone :

              
che risulta in buon accordo con il valore fornito dall'osservazione.
Il punto neutro di Plutone calcolato con i dati forniti dall'osservazione astronomica risulta :
            
anch'esso in ottimo accordo con il valore teorico.
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Oltre a fornire una prova a favore della teoria, questo accordo conferma il fatto che la coppia Plutone – Caronte
forma realmente di un sistema doppio.

Il periodo di rivoluzione di Caronte osservato vale       TC = 6,3872 g

si ricava così la velocità orbitale                                       VC = 0,222826 Km/sec

si ha quindi lo spazio rotante di Plutone :
               
Utilizzando la massa teorica si ottiene            KPl² = 1032,6 K³m/sec²

e il periodo di rivoluzione teorico di Caronte risulta     TC = 6,2131 g
in buon accordo con il valore osservato.
Dopo che il sistema doppio si è formato, la sua stabilità non è garantita in tutti i punti dello spazio rotante, ma solo in quelli che
soddisfano la condizione :
                                                       d < RN1S ; RN2S

che, nel nostro caso, è verificata fino a quando il punto neutro di Caronte sarà diminuito fino al valore      RNCS < d   ossia,
finchè è verificata la condizione :
        
Superato questo limite, Caronte non è più in grado di trattenere Plutone in orbita come satellite alla distanza
d = 19571
Km e dunque esso diventa un satellite di Plutone.
Plutone riesce ancora a trattenere Caronte come satellite, in quanto, in questa posizione, presenta ancora un punto neutro :
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mentre il punto neutro di Caronte si è ridotto al valore    RNCS = 19571 Km
Quando anche il punto neutro del pianeta Plutone sarà diminuito fino al valore 
             
il sistema Plutone -- Caronte, seguendo la naturale evoluzione, "durante la sua caduta verso il Sole", giungerà in corrispondenza
dell'orbita di Marte
e nemmeno Plutone riuscirà più a trattenere il satellite Caronte all'interno del suo attuale punto neutro.
Da questo momento il satellite, poco legato, gradualmente si allontanerà passando sotto l'azione diretta dello spazio rotante
solare.

Secondo queste relazioni, in uno spazio rotante, " avvicinandosi alla sfera solare ", tutti i sistemi
satellitari si scindono formando
pianeti senza satelliti.
Questa potrebbe essere la sorte toccata a Venere e a Mercurio e, con ogni probabilità, toccherà alla Terra con la Luna
che gradualmente si allontana al ritmo di 3,8 cm all'anno.

Considerando che l'orbita fondamentale di Plutone deve essere esterna, dunque di raggio maggiore di   rPl = 1185 Km , noto il
punto neutro, dovrà essere :       
assumendo  nmax = 20le caratteristiche associate alla prima orbita risultano:    

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                  KPl² = 1036,8  K³m/sec²

Le caratteristiche orbitali di tutto il sistema si ricavano con le relazioni :

Per l'energia specifica associata alla condizione di equilibrio sull'orbita si ha :

                                   Enp = Vnp²/2 = E₁/p²

Anche l'energia specifica associata all'orbita risulta quantizzata.

Lo schema orbitale generale del sistema plutoniano risulta :

        Rn --  1223,2 -- 19571 -- 30580 -- 44035 -- 47781 -- 59937 -- 64294 ....

           p =         1              4              5             6           6,25          7           7,25
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Per esempio, le caratteristiche orbitali del satellite Idra saranno espresse dalle relazioni :

          Rn(7,25) = R⋅ 7,25² = 64294,5 Km Tn(7,25) = T⋅ 7,25³ = 36,819 g

Ricordiamo che, come abbiamo visto nell' Art.34   , l'occupazione delle orbite dipende dalla velocità di espulsione iniziale dei detriti
e
quindi è casuale, per cui non necessariamente saranno tutte occupate e si presenteranno perciò dei vuoti.
Utilizzando l'espressione ricavata nell' Art. 34   , calcoliamo il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione di Plutone :

essendo   rP0 < rPl ,  il pianeta presenterebbe un nucleo interno rotante alla velocità :

In realtà, il centro di massa del sistema è spostato, rispetto al centro del pianeta di :   
Essendo  (CPlC – rP0) > rPl , il nucleo rotante risulta tutto esterno al pianeta e quindi non si ha alcuna produzione di energia
termica.
Osserviamo infine che il sistema orbitale di Plutone risulta quasi vuoto con poche eccezioni verso le orbite interne .
Trattando la teoria generale abbiamo visto che in un sistema di forze centrali, quando il momento angolare associato al moto orbitale dei
corpi in moto sulle orbite risulta uguale a quello associato al moto rotazionale della sfera centrale, quest'ultima non è in grado di sostenere
in orbita altri corpi satelliti e si dice che il sistema è equilibrato (neutro).
Le orbite occupate " non sono dunque casuali ", ma tali da soddisfare il bilancio del momento angolare.
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Nel caso di Plutone, in prima approssimazione, abbiamo il momento angolare rotazionale

             CPL ≃ (2/5)⋅ mPlrPl² ⋅ (2 ⋅ π /Tc) ≃ 0,5338 ⋅ 10²⁹ (Kg ⋅ Km²/sec)

Per il satellite Caronte, tenendo conto che la sua orbita è inclinata di 119,59°, il momento angolare associato al moto di rivoluzione risulta :
      CC ≃ mc ⋅ d ⋅ Vc ⋅ cos(π – 119,59°) ≃ 0,5188 ⋅ 10²⁹  (Kg ⋅ Km²/sec)

Se si considerano ancora i satelliti minori, si può dire che il sistema plutoniano sia perfettamente neutro e dunque non in grado di
acquisire in orbita altri oggetti.

Questo risultato ci dice anche che, se Plutone si fosse mosso da solo in uno spazio pieno di piccoli detriti, avrebbe acquisito sulle orbite
molti piccoli satelliti fino a pareggiare il bilancio del momento angolare rotazionale.
Se questo non è potuto accadere, vuol dire che subito appena formato, prima che iniziasse a muoversi, Plutone ha acquisito
in orbita il 
suo compagno Caronte, che ha bilanciato il momento angolare e impedito altre acquisizioni.
In altre parole, questo vuol dire che la coppia Plutone -- Caronte si è realmente formata subito dopo l'esplosione, come sistema
doppio.

Del resto, la cattura casuale di corpi fuori dalla fascia di Kuiper, è estremamente improbabile sia per la mancanza di materiale che
per le difficoltà che si incontrano nella realizzazione delle condizioni di moto richieste per l'accoppiamento stabile.
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 Art.38a -- calcolo teorico delle orbite stabili quantizzate del Sistema Solare, caratteristiche delle orbite di Plutone e i suoi satelliti, analisi del sistema doppio Plutone-Caronte -- Antonio Dirita

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