Art.31-- Origine del sistema Solare, quantizzazione e stabilità delle orbite dei pianeti -- Antonio Dirita

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Trattando la teoria generale (  Art.10  ) abbiamo visto che,se una massa occupa un punto dello spazio fisico, per il solo fatto che in esso
vengono verificati i principi di conservazione dell'energia e del momento angolare
, essa genera nello spazio circostante un equilibrio
dinamico, obbligando (dunque trasferendo loro energia) i suoi punti a muoversi su particolari orbite, circolari e discrete, che vengono
caratterizzate dai valori :
           
Tra due orbite consecutive  Rn  ed  Rn+1 non è possibile trovare alcuna orbita circolare di equilibrio
stabile.

Dato che le due relazioni sono indipendenti dalla massa, esse si applicano a qualsiasi
punto e quindi sia allo spazio fisico 
puro (quello che normalmente viene indicato come
spazio vuoto) che a qualsiasi massa orbitante in esso presente.

Se in uno spazio così organizzato mettiamo una massa  m , essa scambierà con lo spazio fisico ( ricordiamo che lo spazio fisico, a
differenza di quello geometrico, per definizione è capace di scambiare energia )
un'energia di valore proporzionale alla sua velocità
relativa rispetto allo spazio in cui si muove.
Ne deriva che le uniche posizioni stabili nel tempo che possiamo avere sono quelle coincidenti con i raggi  R , in quanto in
corrispondenza di questi punti si ha una velocità relativa uguale a zero con scambio di energia nullo
e conseguente costanza della
velocità della massa in equilibrio sull'orbita. Questo si verifica in tutti gli spazi rotanti sia atomici e nucleari che
galattici. 
Applichiamo dunque queste considerazioni al sistema Solare.

Se, su un'orbita, prendiamo in considerazione un intero periodo di rivoluzione  T , possiamo assumere una velocità
longitudinale media V sul percorso di raggio medio  R  e si può scrivere :             
Imponendo l'equilibrio in direzione radiale, si ricava :
   
ossia : 
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da cui derivano le equazioni fondamentali degli spazi rotanti :
     
che permettono di esprimere i valori dei parametri orbitali in condizioni di equilibrio :
   
La seconda espressione, che mette in relazione il valore del periodo orbitale con il raggio dell'orbita, è detta terza legge di
Keplero.

A questo punto osserviamo che tutte le masse presenti nel sistema Solare si trovano su orbite distribuite non a caso e dunque possiamo
ipotizzare che si possa verificare la quantizzazione teorica che è stata ricavato con la teoria generale  (  Art.10    ) .

Per poter determinare il raggio dell'orbita di confine  R₁ del sistema Solare, consideriamo due pianeti come, per esempio Terra e
Venere,
che possiamo pensare in moto su due orbite circolari stabili consecutive, ed applichiamo la legge di quantizzazione che
abbiamo ricordato :
                                                      Rn = R₁ / n²
Dall'osservazione astronomica sono noti i dati :

Terra :                                    perielio --   RPT = 147,098074 ⋅ 10⁶ Km

                                                    afelio --   RAT = 152,097701 ⋅ 10⁶ Km

                        semiasse maggiore --        RT = 149,5978875 ⋅ 10⁶ Km

                                       eccentricità --       eT = 0,016 710 219
Ricordando la relazione :         
si ricava il raggio dell'orbita circolare minima :  RnT = R⋅ (1 – eT²= 149,5561151 ⋅ 10⁶ Km
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I dati noti di Venere sono :

Venere :                                    perielio -- RPV = 107,476002 ⋅ 10⁶ Km

                                                       afelio -- RAV = 108,941849 ⋅ 10⁶ Km

                                semiasse maggiore -- RV = 108,208926 ⋅ 10⁶  Km

                                              eccentricità -- eV = 0,00677323

si ricava quindi :                          RnV = R⋅ (1 – eV²) = 108,2039617 ⋅ 10⁶ Km

Con le ipotesi fatte possiamo dunque scrivere :

da cui deriva :                  
Si ricava quindi nT = 5,693 . Il numero intero più prossimo è nT = 6.
L'ultima orbita planetaria circolare stabile del sistema Solare dovrà quindi essere :

              R = RnT⋅ nT² = 149,5561151⋅106Km ⋅ 6² = 5340.528 ⋅10Km

valore compatibile con il raggio dell'orbita circolare minima di Plutone ( Art.13   ) .

Per poter fare la scelta definitiva, dobbiamo ancora verificare l'ipotesi che i due pianeti si trovino realmente su due orbite contigue.
Anche se la relazione       Rn = R₁ / n²   non è una funzione continua derivabile, in prima approssimazione, differenziando, si
può scrivere :         
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dalla quale si ottiene :               
Essendo note le distanze dei pianeti dal Sole, questa relazione ci consente di ricavare il valore medio del numero  n  associato alle due
orbite. Si ha infatti :
Terra -- Venere :
             R = (RT + RV)/2 = 128,9⋅10⁶ Km    ;   ΔR = RT – RV = 41,4⋅10⁶ Km

con                Δn = 1       si ricava il valore medio :         n = 2⋅128,9/41,4 = 6,227

compatibile con   nT = 6   che fornisce il valore medio :     n = (n+ nV)/2 = (6+7)/2 = 6,5

Per un'ulteriore conferma, consideriamo anche la coppia Venere -- Mercurio :

            R = (RV + RM)/2 = 83,01⋅10⁶ Km    ;    ΔR = 50,38⋅10⁶ Km
si ricava :     
Considerando il risultato precedente, dovrà essere n > 7   e quindi :       Δn > 7/3,2954 = 2,124

L'unico valore compatibile con nT = 6  è   Δn = 3 , che, se si sostituisce, fornisce :   nM > n2,124
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Se dunque all'orbita del pianeta Venere si associa   n = 7,  per Mercurio si dovrà avere   n = 10.
Dall'osservazione astronomica abbiamo :

Mercurio :                                        perielio -- RPM = 46,001272 ⋅ 10⁶  Km

                                                               afelio -- RAM = 69,817079 ⋅ 10⁶ Km

                                        semiasse maggiore -- RM = 57,909176 ⋅ 10⁶ Km

                                                      eccentricità -- eM = 0,20563069

l'orbita circolare minima risulta :      RnM = RM⋅ (1 – eM²) = 55,46054 ⋅ 10⁶ Km

Assumendo definitivamente per l'orbita di Mercurio   nM = 10  , si può calcolare il valore approssimato del raggio dell'ultima orbita
circolare 
stabile R del Sistema Solare, imponendo che si abbia :

                           R₁/n² = R₁/10² = RnM = 55,46054 ⋅ 10⁶ Km
da cui risulta :
                                                  R₁ = RnM ⋅ 10² ≃ 5546⋅10⁶ Km

Per il pianeta Plutone l'osservazione astronomica fornisce i seguenti dati:

Plutone :                                        perielio -- RPPl = 4436,756954 ⋅ 10⁶ Km

                                                             afelio -- RAPl = 7376,124302 ⋅ 10⁶ Km

                                      semiasse maggiore -- RPl = 5906,38000 ⋅ 10⁶ Km

                                            periodo orbitale -- TPl = 248 anni

                                                    eccentricità -- ePl = 0,2488273

 risulta :                   RnPl = RPl(1 – ePl²)= 5540,686 ⋅ 10⁶ Km

La coincidenza di questo valore con R = RnM ⋅ 10² ≃ 5546⋅10⁶ Km , ci dice che il pianeta Plutone si muove
sull'orbita stabile di confine del sistema Solare.

Possiamo quindi assumere definitivamente per il " punto neutro del sistema Solare " il valore :

                              RNS = RnPl 5540,686 ⋅ 10⁶ Km
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Secondo questo risultato, Plutone, è da ritenere un pianeta a tutti gli effetti, in quanto
esso occupa un'orbita molto importante nel sistema Solare, ossia l'orbita di sponda dello spazio rotante solare, che serve
per il calcolo delle caratteristiche orbitali di tutti gli altri pianeti.

Nell' Art.6  , trattando il calcolo della traiettoria a spirale dei corpi in moto in uno spazio rotante, abbiamo visto che nello spazio fisico, la
conservazione del momento angolare, espressa dalla relazione      V⋅R = C = costante       
e la presenza di un'accelerazione
radiale     ar = – K²/R² ,    impongono ai punti dello spazio fisico "una traiettoria spiraliforme" che è descritta dalla relazione :                     
per la quale la soluzione analitica prevede che si abbiano traiettorie reali sia centripete che centrifughe, secondo l'orientamento
della velocità radiale :         .
L'inversione della velocità radiale, dunque della tangente alla traiettoria, in due punti genera un'orbita chiusa.
Abbiamo anche visto che, per avere punti in equilibrio stazionario, in tutto lo spazio rotante, deve essere verificata la legge fondamentale
Art.5   ) :
V² ⋅ R = K² .
In definitiva quindi " la gravità e la conservazione del momento angolare, se agiscono contemporaneamente, riescono ad imporre
l'equilibrio solo nei punti che soddisfano entrambe le relazioni " :
                    
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Risolvendo il sistema, si ricava :                               V = K²/C = costante

Secondo tale relazione, dovendo avere V = costante , l'orbita stabile potrà essere solo quella
circolare. 
il valore del raggio dell'orbita circolare stabile risulta dunque

                                       Rn = Cn²/K² = costante

dove il valore della costante C è uguale al momento angolare specifico ( per unità di massa ) del punto in moto,
che risulta uguale al doppio della velocità areolare del punto, secondo la relazione :

  
si ha dunque, in definitiva :                                  C = 2 ⋅ Va
Indicando con  a  e   i semiassi dell'ellisse, la velocità areolare vale :   
Sostituendo                               
si ottiene :       
Per il principio di conservazione del momento angolare, la velocità areolare si calcola anche con la relazione : 
In definitiva, dovendo essere verificata su tutta la falda la legge delle aree, dovrà essere :
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sostituendo le relazioni : 
si ricavano le caratteristiche dell' orbita media :
 
Su ogni orbita circolare di raggio Rn si avrà quindi :
     
Negli spazi rotanti gli unici punti che riescono a soddisfare tutte le condizioni richieste per l'equilibrio sono dunque solo quelli
che
percorrono le orbite circolari aventi le caratteristiche ricavate.
L'equazione delle linee di forza generate dallo spazio rotante, che è stata ricavata nell'  Art. 6    , mette anche in evidenza che i punti in cui
si verifica l'inversione della velocità radiale, necessaria per avere la traiettoria chiusa, sono tutti quelli in corrispondenza dei quali si annulla
la tangente della traiettoria e quindi corrispondono ai valori dati dalla relazione:

                  ϑ = n ⋅ 2π               con  n  tale che sia      tgϑ = 0  e quindi :

 n = 1  ;  (1+1/4)   ;   (1+2/4)   ;   (1+3/4)   ;   2   ;   (2+1/4)   ;  (2+2/4)   ;   (2+3/4)   ;   3   ; ⋅⋅⋅⋅ ns ⋅⋅⋅⋅ 
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Analogamente a quanto si verifica nella struttura atomica, " tutto lo spazio fisico viene quindi
suddiviso in falde quantizzate "
a ciascuna delle quali corrisponde un valore di   n ,  che individua una
falda, la quale, a sua volta si divide in quattro sotto falde. A ciascuna falda è associata un'orbita circolare stabile di raggio :

                             Rn = Cn²/K²    con     Cn = C₁/n .

dove  C₁ coincide con il momento angolare specifico che si associa alla falda individuata da  n = 1.
Calcoliamo dunque le caratteristiche orbitali quantizzate di Plutone, che associamo a  n = 1.
Per il calcolo dello spazio rotante  Ksgenerato dal Sole possiamo calcolare la sua massa considerandolo una sfera omogenea di
idrogeno metallico.
Siano m ; r ; δ massa, raggio e densità dell'atomo di idrogeno.
Se indichiamo con  As  il numero di atomi di idrogeno presenti nella sfera del Sole, attribuendo alla sua massa  mlo stesso significato
che viene dato a quella dell'idrogeno, qualunque esso sia, si potrà scrivere :
       
ma è anche :                                                     ms = δs⋅ (4/3)⋅π⋅rs³
uguagliando le due espressioni si ha :  
essendo, per ipotesi, le sfere a contatto tra loro, sarà :    
sostituendo, si ottiene il valore di  As e quindi, si ricava la massa solare :
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Questa relazione è applicabile a qualsiasi sfera formata da molte altre sfere di piccole dimensioni. Nel caso della sfera solare, con i valori
numerici noti, si ottiene :
   
KS² = G ⋅ mS = (6,67259⋅10⁻¹¹ m³/sec²Kg) ·1.99⋅10³⁰ Kg = 132,763⋅10⁹ Km³/sec²

utilizzando le caratteristiche orbitali dei pianeti, si ricava il valore medio :

                                  KS² = Vn² ⋅ Rn = 132,725 ⋅ 10⁹ Km³/sec²

E' da notare che la coincidenza dei valori dello spazio rotante solare calcolato attraverso le due vie indipendenti conferma l'ipotesi del
Sole come sfera di idrogeno metallico con densità praticamente costante;  risulta quindi errata l'ipotesi
dell'esistenza all'interno del Sole di un nucleo ad alta densità "  
( le teorie
correnti indicano un valore di circa 150 Kg/dm3 per 1/4 della massa solare).

Il raggio dell'orbita circolare minima , associata a  n = 1, in prima approssimazione, è già stato valutato pari a 5546 ⋅10⁶ Km.
Sono comunque note dall'osservazione astronomica le caratteristiche del pianeta più lontano, che richiamiamo :

Plutone :
                                                            perielio -- RPPl = 4436,756954 ⋅ 10⁶ Km

                                                                afelio -- RAPl = 7376,124302 ⋅ 10⁶ Km

                                         semiasse maggiore -- RPl = 5906,38000 ⋅ 10⁶ Km

                                               periodo orbitale -- TPl = 248 anni

                                                       eccentricità -- ePl = 0,2488273

                                   RnPl = RPl(1 – ePl²)= 5540,686 ⋅ 10⁶ Km
velocità areolare :                   
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si ha dunque :                                          CPl = 2 ⋅ Va = 2,711804 ⋅ 10¹⁰ Km²/sec

Associando all'orbita di Plutone il numero quantico n = 1, le caratteristiche fisiche della prima orbita circolare minima del sistema
Solare risultano :

Per lo spazio rotante solare assumiamo il valore medio fornito da tutti i pianeti

                                   KS² = Vn² ⋅ Rn = 132,725 ⋅ 10⁹ Km³/sec²
Utilizzando le relazioni :
            Rn = R₁/n²   ;   Cn = C₁/n   ;   Vn = V₁ ⋅ n   ;   Tn = T₁/n³
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con     n = 1  ;  (1+1/4)   ;  (1+2/4)   ;  (1+3/4)   ;   2   ;  (2+1/4)   ;  (2+2/4)   ;  (2+3/4)   ;   3   ; ⋅⋅⋅⋅ ns ⋅⋅⋅⋅ 

si ricavano tutte le orbite circolari stabili del sistema Solare.
Per capire quali delle orbite calcolate sono vuote, calcoliamo anche la sfera d'azione e il punto neutro di ciascun pianeta
con le note relazioni :

Sostituendo i valori numerici, si ottengono i risultati riportati in tabella
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     caratteristiche orbitali quantizzate del sistema Solare

n Cn/10¹⁰ Rn/10 R/10 e Rns/10 Tns g Tn1/n³ V⋅n Vns Rp/10
1 2.7118 5537.5 5906,4 0.249890 5537. 6 82233 82233 4669 4669 Plutone
/14,1
1,25 2. 169 4 3544.0 4498,2 0.008586 4497. 9 60184 42103 5836 5. 478 Nettuno
/167,5
1,5 1. 807 9 2461. 1 2870,9 0.047168 2864. 5 30585 24365 7. 003 6. 844 Urano
/106
1,75 1. 5496 1808. 2 2045,1 0.382 1746. 7 14911 15344 8. 171 8. 386 Chirone
2 1. 355 9 1384. 4 1426,7 0.054151 1422. 5 10709 10279 9. 338 9. 686 Saturno
/100
2,25 1. 2052 1093. 8 7219.4 10. 50 vuota
2,5 1. 0847 886.0 5262.9 11. 67 vuota
2,75 0.986 1 732. 23 778,41 0.048393 776. 59 4317. 7 3954.1 12. 84 13. 08 Giove
/80,1
3 0.9039 615. 28 3045.7 14. 01 vuota
3,25 0.8344 524. 26 590,42 0.330998 525. 73 2406. 3 2395.5 15. 17 15. 88 Ingola
3,5 0.7748 452. 04 473,74 0.18532 457. 47 1953. 2 1918.0 16. 34 16. 88 Davida
3,75 0.72315 393. 78 413,71 0.080 411. 07 1663. 6 1559.4 17. 51 17. 96 cerere
4 0.67795 346. 09 353,27 0.089025 350. 47 1310. 1 1284.9 18. 68 19. 46 Vesta
4,25 0.63807 306. 57        330,61 0.177331 320. 21 1143. 5 1071.2 19. 84 20. 20 Gaspra
4,5 0.60262 273. 46 328,37 0.45725 259. 72 836. 64 902.42 21. 01 22. 60 Betulia
4,75 0.57091 245. 43 767.30 22. 18 vuota
5 0.542 36 221. 5 227,94 0.093412 223.79 678. 02 657. 86 23. 34 24. 23 Marte
/3,35
6 0.451 97 153. 82 149,6 0.016711 149.56 365. 25 380.71 28. 01 29. 79 Terra
/2,2
7 0.387 4 113. 01 108,2 0.006773 108.2 224. 69 239.75 32. 68 35. 02 Venere
/1,45
8 0.33898 86. 523 160. 61 37. 35 vuota
9 0.30131 68. 364 68,102 112.80 42. 02 JG6
10 0.271 18 55. 375 57,81 0.205631 55. 37 82. 450 82233 46. 69 48. 39 Mercurio
/0,335
11 0.24653 45. 764 161,57 0.8465 61. 684 61. 783 51. 36 53. 83 Icaro
30 0.09039 6.1528 1.0  6,46 C/1997V7

I risultati riportati in tabella mettono in evidenza un buon accordo tra i risultati teorici associati al numero quantico
n,  indicati con  Cn ; Rn ; Tn ; Vn,  ottenuti con le relazioni :

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con quelli forniti dall'osservazione astronomica, ricavati utilizzando le relazioni :

I numeri quantici considerati comprendono anche quelli associati ai punti in cui la tangente alla traiettoria a spirale (  Art.6  ) cambia segno
senza passare per lo zero, precisamente in corrispondenza di  tgϑ = 0 → ϑ = n ⋅ (2π) fornendo così orbite meno stabili.

Nell'ultima colonna è riportata la sfera d'azione   R dei pianeti che, al perielio e all'afelio, occupa le falde spaziali vicine svuotandole
gradualmente dei corpi in esse contenuti, per cui alcune di esse oggi appaiono vuote.
E 'importante osservare la presenza delle " lacune di Kirkwood " fra le orbite circolari stabili comprese nella fascia dei pianetini,
ciascuna delle quali in tabella è stata associata ad un solo asteroide rappresentativo. rinviando a un articolo futuro l'analisi completa di un
numero significativo ( circa 22000 ) di asteroidi. Altra osservazione significativa è l'elevata eccentricità di alcune orbite.
Secondo la teoria degli spazi rotanti,l'eccentricità dell'orbita molto elevata, talvolta indica  che la massa si è staccata " da poco tempo "
dall'orbita circolare stabile associata all'afelio ( Art.13   ), e dunque non ha avuto il tempo per ridursi sensibilmente.
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Mercurio arriva dall'orbita associata a n = 9, mentre il pianeta Plutone si è staccato " in tempi recenti "  dalla parte bassa della
fascia di Kuiper,
la cui origine verrà analizzata in seguito.
Se, per calcolare le orbite stabili del sistema Solare, vogliamo utilizzare l'espressione alternativa utilizzata normalmente per la struttura
atomica :
                                        RP = R⋅ p²   con    p = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ..................

Utilizzando i pianeti Marte e Venere, dovrà essere :

da cui si ottiene   pM =  6,49  assumiamo il valore intero   pM = 6 che fornisce un'orbita fondamentale del sistema Solare :

                                              R1S = RnM /pM² = 6,276 ⋅10Km

praticamente coincidente con il valore già ottenuto con la relazione :

                              R1S = R₁/n² = 5537.5 ⋅10Km /30²= 6,153 ⋅10Km

I valori dei raggi orbitali che si ottengono vengono riportati in tabella
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Si noti che le orbite quantizzate sono solo quelle circolari minime associate alla condizione di equilibrio.
Se il corpo celeste considerato ha un'energia maggiore di quella associata al moto equilibrato sull'orbita circolare, il moto si sviluppa su
un'orbita eccentrica dipendente dall'eccesso di energia, che si riduce gradualmente ( Art.13    ). per giungere nel punto   N  indicato in
figura,  al quale corrisponde l'orbita circolare.
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figura 20a
La massa   giunge nel punto  A₀  (afelio iniziale) con una certa energia iniziale e, percorre una semi ellisse centripeta fino al punto
P₀  (perielio iniziale) .
A questo punto risale, attraverso la semi ellisse centrifuga, verso il nuovo afelio, che non sarà più  A₀  , ma   A₁  , ad una distanza
minore. Il ciclo si ripete così con una riduzione graduale della distanza tra afelio e perielio, fino al punto , in corrispondenza del quale
essi coincidono in una traiettoria circolare.
Il destino di tutti i corpi in moto in uno spazio rotante è dunque quello di ridurre gradualmente l'eccentricità della loro orbita per finire su
quella circolare minima alla quale essi sono intimamente legati fin dal loro ingresso nello spazio.

Il disordine e la casualità delle orbite percorse, attribuite spesso a urti casuali, non esiste, è solo apparente. L'organizzazione
dello spazio rotante è sempre estremamente precisa e retta dalla quantizzazione dei raggi orbitali.
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 Art.31-- Origine del sistema Solare, quantizzazione e stabilità delle orbite dei pianeti -- Antonio Dirita

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