Art.29 -- Origine e calcolo teorico dello schiacciamento polare/rigonfiamento equatoriale dei pianeti e delle forze di marea -- Antonio Dirita

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Consideriamo una sfera materiale di raggio  rs  e massa  mp  in moto equilibrato sull'orbita stabile di raggio  R₀ dello spazio rotante
Ks² generato da una massa solare centrale di valore  m.
Se  Kp²  è lo spazio rotante generato dalla massa in orbita, sui punti dello spazio circostante agiranno due accelerazioni:

             arp = Kp²/      diretta verso il centro del pianeta

             ars = Ks²/     diretta verso il centro della massa solare

L'accelerazione solare   ars  assume il valore massimo lungo la retta che unisce i centri delle due sfere, mentre   arp  assume il valore
minimo in corrispondenza della superficie del pianeta.
La massa del pianeta risulta stabile quando tutti i suoi punti vengono sollecitati da una forza risultante diretta verso l'interno.
Dato che i punti maggiormente sollecitati ad abbandonare il pianeta sono quelli periferici, calcoliamo le azioni che si manifestano sulla
superficie del pianeta.
figura aggregazione
Con riferimento alla figura, il punto maggiormente sollecitato è  P₁ , che si trova sulla congiungente i centri delle sfere.
Le accelerazioni risultano :
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La forza agente sul punto  P₁ è nulla quando   arp = ars .
Il valore del raggio   rs   in corrispondenza del quale si verifica questa condizione lo indichiamo con   RNP   e lo definiamo
" punto neutro " della sfera satellite.
Si ha quindi :           
Se la massa solare e quella satellite sono formate da materia dello stesso tipo (particelle elementari o materia ordinaria) , si ha :

e quindi si può scrivere : 
Nei sistemi reali generalmente si ha ms >> mp e quindi per il punto neutro si può scrivere :

Per esempio, il punto neutro della Terra rispetto al Sole vale:
 
Incidentalmente notiamo che la Luna orbita ad una distanza dalla Terra uguale a  384000 Km > 259226 Km  
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e quindi si sta allontanando gradualmente dalla Terra per finire sotto l'influenza diretta
del Sole.
La sfera satellite rappresentata in figura si muove con la velocità orbitale :               
Le velocità di equilibrio dei punti periferici  P₁  e  P₂  risultano invece :
   
Il punto P₁ , solidale con la sfera planetaria, si muove dunque con una velocità minore di quella di equilibrio e quindi è soggetto ad una
accelerazione radiale che tende ad avvicinarlo al centro dello spazio rotante centrale  Ks² .
Esattamente il contrario accade al punto P₂ , che tende invece ad allontanarsi dal centro.

In definitiva, l'azione dello spazio rotante centrale sulla superficie della sfera è tendente a disgregarla,
in contrasto con l'accelerazione gravitazionale propria della sfera, che invece ha tendenza ad aggregare.

Se consideriamo aggregati liberi di piccole dimensioni in orbita nella fascia occupata dalla sfera planetaria  , la loro
reale velocità orbitale di equilibrio è data in ogni punto dalla relazione :   .
L'aggregato   A  si muove con una velocità maggiore di quella di rivoluzione della sfera e quindi raggiunge la sua superficie
depositandosi e trasferendo alla sfera un impulso che tende ad imprimere una rotazione nel verso antiorario (
in figura ) .
L'aggregato  B  si muove invece più lentamente della sfera e quindi, in questo caso, è quest'ultima che raggiunge    e lo
acquisisce sulla superficie .
L'impulso che la sfera cede all'aggregato tende ancora ad imprimere una rotazione nel verso antiorario.
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L'acquisizione di aggregati in superficie con questo meccanismo, crea quindi complessivamente un momento che imprime alla sfera
satellite una rotazione
su se stessa nel verso opposto a quello di rivoluzione .

La condizione di equilibrio verrà raggiunta quando il momento trasferito dalle masse acquisite si annulla, ossia quando la velocità
periferica di rotazione della sfera planetaria su se stessa coincide con la velocità di scorrimento imposta a P₁ e P₂ dallo spazio
rotante centrale Ks² .
Indicando con vs la velocità di rotazione, sarà dunque :         2 ⋅ vs = V₁ – V
Consideriamo quindi l'analisi quantitativa e gli effetti che si producono in uno spazio rotante quando si ha in orbita un aggregato materiale
di dimensioni non trascurabili.
figura 18
Supponiamo di avere il punto    in moto sull'orbita stabile di raggio  RP   dello spazio rotante generato dalla sfera solare  .
Consideriamo ancora i quattro punti,  A, B, C, D, anch'essi in orbita nello stesso spazio rotante ad una distanza  dal punto  P.
Le velocità orbitali di equilibrio di ciascun punto valgono :

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La velocità di scorrimento relativo tra i punti A, C, e P è nulla, per cui il punto P imprime ad essi un'accelerazione gravitazionale :

                                            aPA = aPC = – KP²/

Se si deriva la relazione che viene verificata nelle condizioni di equilibrio  (   Art.5   ) :                    V²⋅ R = K²
si ottiene :
 
Se dunque si assume   r << R , possiamo sostituire gli incrementi finiti ai differenziali e si ottiene :
       
Con   ΔR = r  si ricavano le velocità di scorrimento relative :
   
Ai punti  B e  D vengono dunque impresse dal punto  P le accelerazioni reali :

Sui punti  A – C  e  B – D  la massa planetaria   manifesta una diversa azione gravitazionale, per la sola presenza dello 
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spazio rotante Ks2 ; la rotazione della sfera è del tutto ininfluente.
La differenza di accelerazione risulta :   
Se il moto rotorivoluente della sfera planetaria è sincrono, ovvero con periodo di rotazione Tp uguale a quello
di rivoluzione  Tn (come accade praticamente in quasi tutti i satelliti del sistema Solare)  , i punti che si trovano lungo la congiungente
sono sempre gli stessi, per cui l'effetto prodotto da queste differenti pressioni diventa una deformazione del sistema come è stato
indicato in figura 18.
figura 18b
Più in generale, se sulla superficie della sfera planetaria ci spostiamo entro l'angolo solido  α  , la componente radiale dell'accelerazione
centrifuga dovuta allo spazio rotante centrale
risulta :
   
sostituendo    cos²α = (1/2)⋅(1 + cos2α)    si ottiene :
       
L'accelerazione gravitazionale complessiva, che tende a schiacciare la sfera verso il centro, sarà :
   
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e con semplici passaggi:
   
Essendo la componente gravitazionale propria della massa  mcon lo stesso valore su tutta la superficie, la sola componente
dell'accelerazione che provoca schiacciamento polare è   
a₂  , che ha un valore relativo
   
La componente dovuta allo spazio rotante centrale   KS² diventa massima per    α = 0   e si annulla per  α = π/2.
L'azione massima risulta quindi:   
L'azione che tende a sgretolare la superficie del pianeta raggiunge dunque il valore massimo lungo la congiungente e si annulla sul piano
perpendicolare a quello di rivoluzione.
La componente tangenziale a₁ che  produce invece uno scorrimento superficiale verso il punto P₁
vale : 
e quindi, sostituendo                           cosα⋅ senα = (1/2)⋅ sen2α ,

si ottiene :                       

l'azione di scorrimento raggiunge il valore massimo per annullarsi in corrispondenza di  α = π /2 , dove l'azione gravitazionale è solo
di schiacciamento .
E' chiaro che sia lo schiacciamento che lo scorrimento saranno più o meno vistosi in rapporto alla fluidità della sfera.
In ogni caso, se il moto rotorivoluente è sincrono, la sfera iniziale tenderà ad assumere la forma di un' ellissoide
con il semiasse maggiore disposto lungo la congiungente e il processo di allungamento avrà termine quando si verificherà ar = 0.
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Nel caso di moto sincrono, il valore della velocità di scorrimento tra un punto della superficie ed il centro della sfera
planetaria risulta dalla relazione :     
da cui, ricordando la legge fondamentale (  Art.5  )        Vn² ⋅ Rp = KS²  ,         si ottiene :
               
di valore esattamente doppio della velocità di scorrimento vs    imposta dallo spazio rotante centrale
                    
Ponendo  aPD = 0  , si ottiene la condizione di equilibrio :  
da cui :     
Si deve tener presente che  rmax  si applica ai punti superficiali solidali con la sfera planetaria.
I punti che si muovono in equilibrio su orbite indipendenti dello spazio rotante centrale  Ks² ,  alla distanza   rmax  dal centro della
sfera planetaria, presentano una velocità di scorrimento, rispetto al centro del pianeta, doppia di vs , per cui si allontanano seguendo la
loro orbita con una piccola perturbazione.
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rmax  rappresenta dunque il raggio della sfera di spazio fisico, solidale con il pianeta, entro il quale viene evidenziata l'azione
gravitazionale della massa in moto sull'orbita di raggio
Rp.
Vedremo che in realtà questa sfera evolve lentamente verso una condizione di maggiore stabilità, riducendo il valore del raggio.
Questa sfera viene indicata come " sfera planetaria associata al pianeta " e può essere assunto come raggio
d'azione .

Per esempio, la sfera planetaria solidale con la Terra in orbita nel sistema Solare ha un raggio uguale a :

Quando la sfera planetaria   ruota su se stessa come, per esempio, accade al nostro pianeta, anche se la velocità di rotazione è molto
bassa e tale da poter trascurare l'accelerazione centrifuga, durante la rotazione il punto  P₁ viene sostituito dall'equatore e "tutta
la zona equatoriale viene così interessata da una minore azione
gravitazionale, che
risulta invece massima verso i poli".

Questa situazione, protratta nel tempo, " produce uno schiacciamento permanente in
corrispondenza dei poli ed aumento
del raggio equatoriale ".
Per quanto riguarda invece l'azione di scorrimento superficiale, i risultati che abbiamo ottenuto ci dicono che essa sarà
nulla in corrispondenza dei poli e lungo tutto l'equatore, mentre risulterà massima in
prossimità dell'angolo 
 
α= π/4 .
Questo vuol dire che, se sulla superficie della sfera abbiamo uno strato fluido avente bassa densità, esso avrà tendenza ad
accumularsi
soprattutto ai poli e in prossimità dell'equatore nella direzione della sfera solare  S , che genera lo spazio rotante
centrale  Ks² .

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Per il nostro pianeta si ha, per esempio, una grande massa d'acqua ferma in prossimità dei due poli ed un'altra
che si accumula e si sposta continuamente in prossimità della zona equatoriale, seguendo la direzione del Sole e della Luna.

Lo scorrimento superficiale di queste grandi masse d'acqua, viene
indicato normalmente come maree .

Si deve notare che nel fenomeno delle maree, contrariamente a quanto viene normalmente affermato, le forze centrifughe hanno
un ruolo molto limitato,
in quanto si tratta di forze fittizie, quindi assolutamente incapaci di produrre spostamenti di masse con
produzione di lavoro.

A titolo puramente esplicativo, calcoliamo teoricamente la componente della forza di marea prodotta, sulla
Terra, dal Sole e dalla Luna 
separatamente.
  
La Luna esercita dunque sulla Terra un'azione circa doppia di quella solare.
Per quanto riguarda l'azione di schiacciamento, abbiamo :

In questo caso l'azione della Luna risulta addirittura circa 10 volte maggiore di quella solare.
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Se la velocità angolare  di rotazione   ωp   della sfera planetaria su se stessa risulta tale da produrre un'accelerazione centrifuga non
trascurabile rispetto al valore di quella gravitazionale, bisognerà tenerne conto ed abbiamo : 
la componente radiale, che si oppone all'azione gravitazionale, vale :  af2 = af ⋅ cosα = (vp²/r) ⋅ cos²α

L'azione che produce schiacciamento risulta dunque :   
ovvero :   
e quindi il valore relativo:      

Il rigonfiamento polare, definito dal rapporto : 
con α = 0 risulta proporzionale al rapporto :     
Per i pianeti del Sistema Solare si ricava IL VALORE TEORICO dello schiacciamento che viene riportato nella tabella seguente.

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        valore teorico dello schiacciamento polare/rigonfiamento equatoriale dei pianeti

pianeta       vp (Km/sec)    Veqp (Km/sec)           vp2/V2eqp        rp/re
Mercurio 0,003026 3,00525                                     10⁻⁶ 0
Venere 0,00181 7,32698                                     10⁻⁹ 0
Terra  0,46511 7,90697 0,00346 0,00335
Marte 0,24117 3,5513 0,00461 0,00677
Giove 12,58 42,0977 0,089298 0,07072
Saturno 9,87 25,0882 0,154773 0,09796
Urano 2,59 15,0569 0,029589 0,02326
Nettuno 2,68 16,6147 0,026018 0,01708
Plutone 0,013207 0,88772 0,000221 0
Sole 1,9927 436,688 0,00021 0,001

Considerando l'approssimazione dei calcoli e che non sono state apportate correzioni alle velocità di rotazione che tenessero conto
del fatto che i pianeti gassosi non ruotano come sfere rigide e dunque la velocità media risulta più piccola, mentre il Sole ha un nucleo di
grandi dimensioni (circa 136000 Km) che ruota ad elevata velocità e quindi ne risulta una velocità media più alta, l'accordo
dei  valori teorici dati
 dal rapporto         vp2/V2eqp    con quelli calcolati con i dati forniti dall'osservazione
 rp/re      
risulta più che buono .

La componente a1f , che produce uno scorrimento verso l'equatore, vale :
   
Il suo valore risulta nullo all'equatore e ai poli e raggiunge il massimo per  α = π/4 .
Sui pianeti che presentano uno strato superficiale fluido, come per esempio sulla Terra, esso verrà rimosso dalla zona corrispondente al
massimo e verrà accumulato dove questa azione si annulla.
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La rimozione di questi strati dà origine alla nota forma a pera della Terra.
Per i punti che si trovano alla distanza   rPmax  dal centro della sfera planetaria, la velocità di rivoluzione attorno al centro  P  viene
annullata dalla velocità di scorrimento imposta dallo spazio rotante centrale 
  Ks²   e dunque conservano, nel tempo, un
orientamento costante rispetto al punto
P.
Partendo da questa condizione, con i punti  B e , "fermi sulla congiungente"  SP, un loro accostamento al centro  comporta una
variazione della velocità relativa di scorrimento rispetto a P, secondo la relazione :

che produce nei punti che si trovano sull'orbita una rotazione nel verso orario, concorde con quello imposto dallo spazio rotante   KP² .
Anche la velocità di rotazione imposta da  KP² varia secondo la nota relazione            V² = KP²/r ,      che, differenziata fornisce :
     
Dovendo  Δr verificate entrambe le relazioni, l'equilibrio sarà stabile solo nei punti in corrispondenza dei quali si verifica la
condizione     ΔVS = ΔV.

Si ricava così il valore del raggio    r  della sfera planetaria che consente allo spazio rotante    Kp²  di muoversi in equilibrio
all'interno dello spazio rotante centrale  KS² 
Poniamo dunque :   
da cui si ottiene l'espressione del raggio  r della sfera planetaria : 
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Dunque, la sfera di raggio  rPmax  , con orientamento fisso nello spazio, non è stabile e si riduce a quella di raggio ralla quale viene
impresso da  Kp² un moto di rotazione su se stessa con periodo :
  
La condizione di equilibrio prevede dunque che lo spazio rotante  Kp² abbia, attraverso
la sfera planetaria rp , una 
" rotazione sincrona " con un periodo di rotazione  Tp uguale
a quello di rivoluzione Tn.
Questa situazione tendenziale si verifica realmente su quasi tutti i satelliti del sistema
Solare.

Esprimendo le masse in funzione della densità, sinteticamente diciamo :
Una massa di raggio  e densità  δ , in equilibrio sull'orbita di raggio   Rn  dello spazio rotante   Ks² generato da una massa di
raggio  rs e densità  δs , si circonda di una sfera planetaria di raggio Rp  dato da :
   
per esempio, il pianeta Giove ha una sfera planetaria di raggio :
                                 
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 Art.29 -- Origine e calcolo teorico dello schiacciamento polare/rigonfiamento equatoriale dei pianeti e delle forze di marea -- Antonio Dirita

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