Art.30-- Espressione teorica delle forze intermolecolari di Van der Waals -- Antonio Dirita

Art.30-- Espressione teorica delle forze intermolecolari di Van der Waals -- Antonio Dirita

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Consideriamo la massa unitaria in equilibrio su un'orbita circolare di raggio  Req  , che si muove con la velocità   Veq  in uno spazio
rotante di valore  Ks² .  L'accelerazione che agisce sulla massa in queste condizioni vale :

Se si verifica uno spostamento dalla posizione di equilibrio, l'accelerazione radiale diventa :

che si può anche scrivere :
 
ricordando la legge fondamentale degli spazi rotanti (  Art.5  ) :          Ks² = Veq²⋅ Req

sostituendo si ottiene :             
ponendo :                                                       R/Req = r    ;    V/Veq = μ
si può scrivere :         
1
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Se lo spostamento dalla posizione di equilibrio si verifica senza dover applicare un momento esterno (spostamento in
direzione radiale ), 
il momento angolare della massa in moto rotorivoluente si mantiene costante su tutta l'orbita e quindi è
verificata la relazione :
                                                V ⋅ R = Veq⋅ Req

da cui si ricava :                   V/Veq = Req/R                   ossia :                μ = 1/r

in definitiva, l'accelerazione che lo spazio rotante esercita sulla massa che si muove sull'orbita risulta espressa dalla relazione :
 
derivando rispetto al raggio, si ottiene :

Ponendo    da/dR = 0 si otiene il punto in cui l'accelerazione raggiunge il valore minimo :

                                           Rmin = (3/2) ⋅ Req

L'accelerazione in funzione del raggio R ha dunque l'andamento indicato in figura

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Per piccoli spostamenti intorno alla posizione di equilibrio, confondendo gli incrementi finiti con i differenziali, si può anche scrivere :
         
Per esempio, per produrre una riduzione del raggio      ΔR / Req = 106     nell'atomo di idrogeno in equilibrio, è necessario

applicare all'elettrone una forza che produca un'accelerazione  a = Δa e quindi :
   
La pressione che si deve esercitare sulla sfera planetaria dell'elettrone dovrà essere :

                    P = F/(π⋅RP0e²) = 3,1574⋅10¹³ Nw/m² ≃ 315,74 ⋅10⁶ atm

uguale a circa 1/1000 volte la pressione presente nel Sole.

Questo risultato, incidentalmente, ci dice che  " l'ipotesi della presenza nel Sole di un nucleo di elevata
densità non può essere corretta, in quanto la densità dell'idrogeno metallico è
praticamente indipendente dalla pressione 
applicata ".

Per spostare, per esempio, la Terra in direzione radiale di 149,6 Km , si dovrà applicare una forza :
               
Questi esempi mettono in evidenza " una grande stabilità delle orbite " degli spazi rotanti, per piccoli spostamenti della
massa satellite.

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Moltiplicando l'accelerazione       a = (KS²/R³) ⋅ (Req – R)      per la massa in orbita si ha l'espressione della forza



Dal diagramma risulta infatti che una qualsiasi variazione del raggio genera sempre una forza tale da riportarlo al valore di equilibrio Req.
In particolare, la curva mette in evidenza che, se la sfera satellite in equilibrio sulla orbita viene forzata ad allontanarsi dal
centro, contrariamente alle aspettative, aumenta la forza diretta verso il centro, pur aumentando il raggio.
Se nell'espressione dell'accelerazione si sostituisce a  Req  il valore del raggio esterno di un atomo, il diagramma
coincide esattamente con quello che si rileva sperimentalmente per
le forze di Van der Waals di cui non si 
conosce l'espressione teorica.

Il calcolo dimostra però che esse possono essere descritte come particolare applicazione della teoria degli spazi rotanti, che ha validità

assolutamente generale ed è applicabile in tutto l'intervallo     0 < (R ; m) < .
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Sostituendo :     Rp = R₁⋅ p²  si ricava l'accelerazione  an in prossimità delle orbite stabili quantizzate in tutto il raggio d'azione
dello spazio rotante  Ks² .
Se la massa si trova tra due livelli stabili vicini   p   e  (p + 1) , ossia se si ha    RP  ≤ R ≤ RP+1 ,  l'accelerazione che sollecita
la massa verso la condizione di equilibrio sarà data dalla somma delle accelerazioni :
       
e cambia segno quando si verifica     
ossia :                       
L'accelerazione cambia dunque segno quando la massa satellite passa per il punto equidistante da due orbite circolari di equilibrio stabile
contigue.
Moltiplicando l'accelerazione per la massa planetaria considerata, si ottiene l'espressione della forza, con l'andamento indicato in figura.
forza di equilibrio
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Descritta dall'espressione : 
Questa relazione esprime dunque la forza che spinge la massa  m verso una condizione
di
equilibrio stabile e si annulla in corrispondenza dei punti in cui
essa viene raggiunta,
ossia :
Art.30-- 6 -- 2
La forza si annulla anche nei punti di massimo e minimo intermedi. Si tratta però di punti in cui l'equilibrio è
instabile, per cui risultano tutte zone vuote.

Dato che l'espressione indica anche la forza che richiama la massa   nella condizione di equilibrio quando essa ne viene allontanata,
possiamo anche dire che indica la forza di legame .
L'andamento della forza, e dunque l'espressione che la descrive, sono state ricavate senza alcuna ipotesi restrittiva e quindi :
hanno validità assolutamente generale e si applicano agli ammassi galattici come al nucleo atomico.

Esse mettono in evidenza il fatto, di estrema importanza per tutta la fisica, che le forze che la materia esercita su una
massa sottoposta alla sua azione non hanno sempre lo stesso segno, ma tendono in ogni
caso a portare il sistema in equilibrio, "con forze attrattive oppure repulsive"

Esse saranno dunque positive o negative, in rapporto alle condizioni di moto.

Questo vuol dire che un protone ed un elettrone non si attraggono sempre, ma esercitano sempre una forza d'interazione tale da
portare alla formazione di un 
sistema equilibrato.
Quando dunque l'elettrone si trova fra l'orbita  p e l'orbita (p + 1), se è più vicino all'orbita p la forza è attrattiva.
Se invece è più prossimo alla  (p + 1), la forza manifestata è repulsiva, in quanto l'orbita di equilibrio più prossima è la  (p +1).
Analogo discorso vale per due protoni o due elettroni.
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Si dice che in questo caso la forza d'interazione è sempre repulsiva e questo nelle teorie correnti viene giustificato con il segno (?)
della carica (?) elettrica.

In realtà questo si verifica perchè, come vedremo meglio in seguito, per due masse uguali o comunque simili, dotate di una rotazione
propria, 
come per esempio due protoni o due elettroni, l'unica condizione per formare un sistema stabile
equilibrato si ha con le particelle a distanza 
infinita  (Req).

Del resto, se la forza d'interazione fra protone ed elettrone fosse sempre dello stesso segno non potremmo avere più orbite stabili
quantizzate, ma solo masse in moto da o verso il centro.

Lo stesso discorso si applica identicamente alle masse ordinarie .
Per esempio, essendo il Sole e la Terra due masse dotate di rotazione propria, la condizione di equilibrio si ha con
orbite quantizzate e quindi la forza d'interazione non ha sempre lo stesso verso, ma diventa attrattiva o 
repulsiva in rapporto
all'orbita stabile più vicina al punto occupato dal 
pianeta.

Esprimiamo ora la forza  F in funzione dell'energia che lega la massa   allo spazio rotante centrale, ricordando che essa è uguale a
metà dell'energia potenziale, ossia :
                       
Sostituendo nell'espressione della forza, abbiamo :
              
Avendo ricavato la relazione senza alcuna ipotesi restrittiva, essa sarà applicabile a tutti gli spazi rotanti, indipendentemente
dalle dimensioni.

" Lo stesso diagramma " rappresenta quindi sia le forze che si manifestano
nell'atomo oppure nel nucleo atomico 
che quelle che vengono imposte dallo spazio
rotante solare ai pianeti 
che si muovono in equilibrio sulle sue orbite stabili.

Se consideriamo lo spazio rotante atomico agente su un elettrone già legato sul livello di confine di un altro atomo, è chiaro che, essendo
l'elettrone legato con il nucleo, l'azione che si esercita su di esso si trasferisce integralmente a tutto l'atomo.

In questo caso l'espressione teorica che abbiamo ricavato descrive la forza d'interazione tra i due atomi al variare della loro distanza ,
nota come forza di Van der Waals, di cui le teorie correnti non forniscono alcuna espressione teorica, ma conoscono il
suo comportamento attraverso i rilievi sperimentali, che portano praticamente a risultati coincidenti con quelli che abbiamo ricavato
teoricamente.

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Art.29 -- Origine e calcolo teorico delle forze di marea e dello schiacciamento polare-rigonfiamento equatoriale dei pianeti -- Antonio Dirita

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Consideriamo una sfera materiale di raggio  rs  e massa  mp  in moto equilibrato sull'orbita stabile di raggio  R₀ dello spazio rotante
Ks² generato da una massa solare centrale di valore  m.
Se  Kp²  è lo spazio rotante generato dalla massa in orbita, sui punti dello spazio circostante agiranno due accelerazioni:

             arp = Kp²/      diretta verso il centro del pianeta

             ars = Ks²/     diretta verso il centro della massa solare

L'accelerazione solare   ars  assume il valore massimo lungo la retta che unisce i centri delle due sfere, mentre   arp  assume il valore
minimo in corrispondenza della superficie del pianeta.
La massa del pianeta risulta stabile quando tutti i suoi punti vengono sollecitati da una forza risultante diretta verso l'interno.
Dato che i punti maggiormente sollecitati ad abbandonare il pianeta sono quelli periferici, calcoliamo le azioni che si manifestano sulla
superficie del pianeta.
figura aggregazione
Con riferimento alla figura, il punto maggiormente sollecitato è  P₁ , che si trova sulla congiungente i centri delle sfere.
Le accelerazioni risultano :
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La forza agente sul punto  P₁ è nulla quando   arp = ars .
Il valore del raggio   rs   in corrispondenza del quale si verifica questa condizione lo indichiamo con   RNP   e lo definiamo
" punto neutro " della sfera satellite.
Si ha quindi :           
Se la massa solare e quella satellite sono formate da materia dello stesso tipo (particelle elementari o materia ordinaria) , si ha :

e quindi si può scrivere : 
Nei sistemi reali generalmente si ha ms >> mp e quindi per il punto neutro si può scrivere :

Per esempio, il punto neutro della Terra rispetto al Sole vale:
 
Incidentalmente notiamo che la Luna orbita ad una distanza dalla Terra uguale a  384000 Km > 259226 Km  
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e quindi si sta allontanando gradualmente dalla Terra per finire sotto l'influenza diretta
del Sole.
La sfera satellite rappresentata in figura si muove con la velocità orbitale :               
Le velocità di equilibrio dei punti periferici  P₁  e  P₂  risultano invece :
   
Il punto P₁ , solidale con la sfera planetaria, si muove dunque con una velocità minore di quella di equilibrio e quindi è soggetto ad una
accelerazione radiale che tende ad avvicinarlo al centro dello spazio rotante centrale  Ks² .
Esattamente il contrario accade al punto P₂ , che tende invece ad allontanarsi dal centro.

In definitiva, l'azione dello spazio rotante centrale sulla superficie della sfera è tendente a disgregarla,
in contrasto con l'accelerazione gravitazionale propria della sfera, che invece ha tendenza ad aggregare.

Se consideriamo aggregati liberi di piccole dimensioni in orbita nella fascia occupata dalla sfera planetaria  , la loro
reale velocità orbitale di equilibrio è data in ogni punto dalla relazione :   .
L'aggregato   A  si muove con una velocità maggiore di quella di rivoluzione della sfera e quindi raggiunge la sua superficie
depositandosi e trasferendo alla sfera un impulso che tende ad imprimere una rotazione nel verso antiorario (
in figura ) .
L'aggregato  B  si muove invece più lentamente della sfera e quindi, in questo caso, è quest'ultima che raggiunge    e lo
acquisisce sulla superficie .
L'impulso che la sfera cede all'aggregato tende ancora ad imprimere una rotazione nel verso antiorario.
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L'acquisizione di aggregati in superficie con questo meccanismo, crea quindi complessivamente un momento che imprime alla sfera
satellite una rotazione
su se stessa nel verso opposto a quello di rivoluzione .

La condizione di equilibrio verrà raggiunta quando il momento trasferito dalle masse acquisite si annulla, ossia quando la velocità
periferica di rotazione della sfera planetaria su se stessa coincide con la velocità di scorrimento imposta a P₁ e P₂ dallo spazio
rotante centrale Ks² .
Indicando con vs la velocità di rotazione, sarà dunque :         2 ⋅ vs = V₁ – V
Consideriamo quindi l'analisi quantitativa e gli effetti che si producono in uno spazio rotante quando si ha in orbita un aggregato materiale
di dimensioni non trascurabili.
figura 18
Supponiamo di avere il punto    in moto sull'orbita stabile di raggio  RP   dello spazio rotante generato dalla sfera solare  .
Consideriamo ancora i quattro punti,  A, B, C, D, anch'essi in orbita nello stesso spazio rotante ad una distanza  dal punto  P.
Le velocità orbitali di equilibrio di ciascun punto valgono :

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La velocità di scorrimento relativo tra i punti A, C, e P è nulla, per cui il punto P imprime ad essi un'accelerazione gravitazionale :

                                            aPA = aPC = – KP²/

Se si deriva la relazione che viene verificata nelle condizioni di equilibrio  (   Art.5   ) :                    V²⋅ R = K²
si ottiene :
 
Se dunque si assume   r << R , possiamo sostituire gli incrementi finiti ai differenziali e si ottiene :
       
Con   ΔR = r  si ricavano le velocità di scorrimento relative :
   
Ai punti  B e  D vengono dunque impresse dal punto  P le accelerazioni reali :

Sui punti  A – C  e  B – D  la massa planetaria   manifesta una diversa azione gravitazionale, per la sola presenza dello 
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spazio rotante Ks2 ; la rotazione della sfera è del tutto ininfluente.
La differenza di accelerazione risulta :   
Se il moto rotorivoluente della sfera planetaria è sincrono, ovvero con periodo di rotazione Tp uguale a quello
di rivoluzione  Tn (come accade praticamente in quasi tutti i satelliti del sistema Solare)  , i punti che si trovano lungo la congiungente
sono sempre gli stessi, per cui l'effetto prodotto da queste differenti pressioni diventa una deformazione del sistema come è stato
indicato in figura 18.
figura 18b
Più in generale, se sulla superficie della sfera planetaria ci spostiamo entro l'angolo solido  α  , la componente radiale dell'accelerazione
centrifuga dovuta allo spazio rotante centrale
risulta :
   
sostituendo    cos²α = (1/2)⋅(1 + cos2α)    si ottiene :
       
L'accelerazione gravitazionale complessiva, che tende a schiacciare la sfera verso il centro, sarà :
   
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e con semplici passaggi:
   
Essendo la componente gravitazionale propria della massa  mcon lo stesso valore su tutta la superficie, la sola componente
dell'accelerazione che provoca schiacciamento polare è   
a₂  , che ha un valore relativo
   
La componente dovuta allo spazio rotante centrale   KS² diventa massima per    α = 0   e si annulla per  α = π/2.
L'azione massima risulta quindi:   
L'azione che tende a sgretolare la superficie del pianeta raggiunge dunque il valore massimo lungo la congiungente e si annulla sul piano
perpendicolare a quello di rivoluzione.
La componente tangenziale a₁ che  produce invece uno scorrimento superficiale verso il punto P₁
vale : 
e quindi, sostituendo                           cosα⋅ senα = (1/2)⋅ sen2α ,

si ottiene :                       

l'azione di scorrimento raggiunge il valore massimo per annullarsi in corrispondenza di  α = π /2 , dove l'azione gravitazionale è solo
di schiacciamento .
E' chiaro che sia lo schiacciamento che lo scorrimento saranno più o meno vistosi in rapporto alla fluidità della sfera.
In ogni caso, se il moto rotorivoluente è sincrono, la sfera iniziale tenderà ad assumere la forma di un' ellissoide
con il semiasse maggiore disposto lungo la congiungente e il processo di allungamento avrà termine quando si verificherà ar = 0.
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Nel caso di moto sincrono, il valore della velocità di scorrimento tra un punto della superficie ed il centro della sfera
planetaria risulta dalla relazione :     
da cui, ricordando la legge fondamentale (  Art.5  )        Vn² ⋅ Rp = KS²  ,         si ottiene :
               
di valore esattamente doppio della velocità di scorrimento vs    imposta dallo spazio rotante centrale
                    
Ponendo  aPD = 0  , si ottiene la condizione di equilibrio :  
da cui :     
Si deve tener presente che  rmax  si applica ai punti superficiali solidali con la sfera planetaria.
I punti che si muovono in equilibrio su orbite indipendenti dello spazio rotante centrale  Ks² ,  alla distanza   rmax  dal centro della
sfera planetaria, presentano una velocità di scorrimento, rispetto al centro del pianeta, doppia di vs , per cui si allontanano seguendo la
loro orbita con una piccola perturbazione.
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rmax  rappresenta dunque il raggio della sfera di spazio fisico, solidale con il pianeta, entro il quale viene evidenziata l'azione
gravitazionale della massa in moto sull'orbita di raggio
Rp.
Vedremo che in realtà questa sfera evolve lentamente verso una condizione di maggiore stabilità, riducendo il valore del raggio.
Questa sfera viene indicata come " sfera planetaria associata al pianeta " e può essere assunto come raggio
d'azione .

Per esempio, la sfera planetaria solidale con la Terra in orbita nel sistema Solare ha un raggio uguale a :

Quando la sfera planetaria   ruota su se stessa come, per esempio, accade al nostro pianeta, anche se la velocità di rotazione è molto
bassa e tale da poter trascurare l'accelerazione centrifuga, durante la rotazione il punto  P₁ viene sostituito dall'equatore e "tutta
la zona equatoriale viene così interessata da una minore azione
gravitazionale, che
risulta invece massima verso i poli".

Questa situazione, protratta nel tempo, " produce uno schiacciamento permanente in
corrispondenza dei poli ed aumento
del raggio equatoriale ".
Per quanto riguarda invece l'azione di scorrimento superficiale, i risultati che abbiamo ottenuto ci dicono che essa sarà
nulla in corrispondenza dei poli e lungo tutto l'equatore, mentre risulterà massima in
prossimità dell'angolo 
 
α= π/4 .
Questo vuol dire che, se sulla superficie della sfera abbiamo uno strato fluido avente bassa densità, esso avrà tendenza ad
accumularsi
soprattutto ai poli e in prossimità dell'equatore nella direzione della sfera solare  S , che genera lo spazio rotante
centrale  Ks² .

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Per il nostro pianeta si ha, per esempio, una grande massa d'acqua ferma in prossimità dei due poli ed un'altra
che si accumula e si sposta continuamente in prossimità della zona equatoriale, seguendo la direzione del Sole e della Luna.

Lo scorrimento superficiale di queste grandi masse d'acqua, viene
indicato normalmente come maree .

Si deve notare che nel fenomeno delle maree, contrariamente a quanto viene normalmente affermato, le forze centrifughe hanno
un ruolo molto limitato,
in quanto si tratta di forze fittizie, quindi assolutamente incapaci di produrre spostamenti di masse con
produzione di lavoro.

A titolo puramente esplicativo, calcoliamo teoricamente la componente della forza di marea prodotta, sulla
Terra, dal Sole e dalla Luna 
separatamente.
  
La Luna esercita dunque sulla Terra un'azione circa doppia di quella solare.
Per quanto riguarda l'azione di schiacciamento, abbiamo :

In questo caso l'azione della Luna risulta addirittura circa 10 volte maggiore di quella solare.
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Se la velocità angolare  di rotazione   ωp   della sfera planetaria su se stessa risulta tale da produrre un'accelerazione centrifuga non
trascurabile rispetto al valore di quella gravitazionale, bisognerà tenerne conto ed abbiamo : 
la componente radiale, che si oppone all'azione gravitazionale, vale :  af2 = af ⋅ cosα = (vp²/r) ⋅ cos²α

L'azione che produce schiacciamento risulta dunque :   
ovvero :   
e quindi il valore relativo:      

Il rigonfiamento polare, definito dal rapporto : 
con α = 0 risulta proporzionale al rapporto :     
Per i pianeti del Sistema Solare si ricava IL VALORE TEORICO dello schiacciamento che viene riportato nella tabella seguente.

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        valore teorico dello schiacciamento polare/rigonfiamento equatoriale dei pianeti

pianeta       vp (Km/sec)    Veqp (Km/sec)           vp2/V2eqp        rp/re
Mercurio 0,003026 3,00525                                     10⁻⁶ 0
Venere 0,00181 7,32698                                     10⁻⁹ 0
Terra  0,46511 7,90697 0,00346 0,00335
Marte 0,24117 3,5513 0,00461 0,00677
Giove 12,58 42,0977 0,089298 0,07072
Saturno 9,87 25,0882 0,154773 0,09796
Urano 2,59 15,0569 0,029589 0,02326
Nettuno 2,68 16,6147 0,026018 0,01708
Plutone 0,013207 0,88772 0,000221 0
Sole 1,9927 436,688 0,00021 0,001

Considerando l'approssimazione dei calcoli e che non sono state apportate correzioni alle velocità di rotazione che tenessero conto
del fatto che i pianeti gassosi non ruotano come sfere rigide e dunque la velocità media risulta più piccola, mentre il Sole ha un nucleo di
grandi dimensioni (circa 136000 Km) che ruota ad elevata velocità e quindi ne risulta una velocità media più alta, l'accordo
dei  valori teorici dati
 dal rapporto         vp2/V2eqp    con quelli calcolati con i dati forniti dall'osservazione
 rp/re      
risulta più che buono .

La componente a1f , che produce uno scorrimento verso l'equatore, vale :
   
Il suo valore risulta nullo all'equatore e ai poli e raggiunge il massimo per  α = π/4 .
Sui pianeti che presentano uno strato superficiale fluido, come per esempio sulla Terra, esso verrà rimosso dalla zona corrispondente al
massimo e verrà accumulato dove questa azione si annulla.
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La rimozione di questi strati dà origine alla nota forma a pera della Terra.
Per i punti che si trovano alla distanza   rPmax  dal centro della sfera planetaria, la velocità di rivoluzione attorno al centro  P  viene
annullata dalla velocità di scorrimento imposta dallo spazio rotante centrale 
  Ks²   e dunque conservano, nel tempo, un
orientamento costante rispetto al punto
P.
Partendo da questa condizione, con i punti  B e , "fermi sulla congiungente"  SP, un loro accostamento al centro  comporta una
variazione della velocità relativa di scorrimento rispetto a P, secondo la relazione :

che produce nei punti che si trovano sull'orbita una rotazione nel verso orario, concorde con quello imposto dallo spazio rotante   KP² .
Anche la velocità di rotazione imposta da  KP² varia secondo la nota relazione            V² = KP²/r ,      che, differenziata fornisce :
     
Dovendo  Δr verificate entrambe le relazioni, l'equilibrio sarà stabile solo nei punti in corrispondenza dei quali si verifica la
condizione     ΔVS = ΔV.

Si ricava così il valore del raggio    r  della sfera planetaria che consente allo spazio rotante    Kp²  di muoversi in equilibrio
all'interno dello spazio rotante centrale  KS² 
Poniamo dunque :   
da cui si ottiene l'espressione del raggio  r della sfera planetaria : 
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Dunque, la sfera di raggio  rPmax  , con orientamento fisso nello spazio, non è stabile e si riduce a quella di raggio ralla quale viene
impresso da  Kp² un moto di rotazione su se stessa con periodo :
  
La condizione di equilibrio prevede dunque che lo spazio rotante  Kp² abbia, attraverso
la sfera planetaria rp , una 
" rotazione sincrona " con un periodo di rotazione  Tp uguale
a quello di rivoluzione Tn.
Questa situazione tendenziale si verifica realmente su quasi tutti i satelliti del sistema
Solare.

Esprimendo le masse in funzione della densità, sinteticamente diciamo :
Una massa di raggio  e densità  δ , in equilibrio sull'orbita di raggio   Rn  dello spazio rotante   Ks² generato da una massa di
raggio  rs e densità  δs , si circonda di una sfera planetaria di raggio Rp  dato da :
   
per esempio, il pianeta Giove ha una sfera planetaria di raggio :
                                 
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Art.28 -- Teoria della relatività speciale e calcolo teorico dell'apparente dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze -- Antonio Dirita

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I risultati che abbiamo ottenuto negli  Art.26   e   Art.27    mettono in evidenza che, se si considera solo il moto relativo tra i due sistemi
di riferimento, trascurando l'esistenza del mezzo, il sistema fisso vede ciò che accade su quello mobile esattamente come il riferimento
mobile vede ciò che accade su quello fisso.
Il risultato è assolutamente ovvio, in quanto, eliminando il sistema di riferimento solidale con lo spazio, i termini fisso e
mobile non hanno significato assoluto, ma relativo e noi 
di fatto non siamo in grado di precisare quale dei due sia
l'osservatore in moto.
Questa indeterminazione viene superata se le velocità vengono riferite al mezzo in cui si
propagano i segnali.

Il problema è di importanza fondamentale per tutta la fisica e in particolare per la teoria della relatività di Einstein, per cui è necessario
riformularlo tenendo conto che gli attori non sono solo gli osservatori, ma soprattutto il mezzo.
Il processo reale è quello che abbiamo analizzato finora, ossia abbiamo uno spazio fisico nel quale una sorgente con esso solidale emette
due segnali che vengono utilizzati per la localizzazione degli oggetti nello spazio e nel tempo.

Un segnale viene intercettato da un "osservatore O immobile rispetto alla sorgente" e quindi solidale con lo spazio fisico
che la circonda. Le coordinate da esso rilevate sono state indicate con x e t.
L'altro segnale viene rilevato da un " osservatore O' in moto rispetto alla sorgente con una velocità V "e quindi in
moto anche rispetto allo spazio fisico. Le coordinate da esso rilevate sono state indicate con x' e t'.

galileo 2
Con riferimento alla figura, essendo la velocità dei segnali  S₁  e  S₂ attraverso il mezzo indipendente dalla velocità della sorgente rispetto
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al mezzo, la localizzazione della sorgente   S  attraverso i due segnali  S₁  e  S₂ ,  emessi contemporaneamente, non può dipendere
dalla velocità della sorgente rispetto al mezzo e nemmeno dalla velocità degli osservatori rispetto alla sorgente.

La distanza  x ,  rilevata dall'osservatore può dipendere solo dalla sua velocità rispetto al mezzo in cui si muovono i segnali.
In ogni caso, la distanza rilevata dall'osservatore dipende unicamente dal tempo di volo del segnale.

Il rilievo della distanza del punto  P  dall'osservatore  O  si realizza con modalità diverse a seconda che il punto  P  sia la sorgente del
segnale oppure un corpo riflettente.
Nel primo caso l'osservatore è anche sorgente del segnale (impulsivo), che viene rilevato dopo la riflessione da parte dello schermo P.
Nel secondo caso il punto P genera direttamente l'impulso che viene inviato all'osservatore.
Con riferimento alla schematizzazione delle diverse fasi rappresentata nella figura seguente, consideriamo il caso generale in
cui l'osservatore e lo schermo sono entrambi in moto con le rispettive velocità
VO e VP .

galileo 0
Il percorso del segnale diretto, emesso dall'osservatore O , si ricava considerando che il segnale, in moto con velocità Vm , intrcetta
il punto P, che si sposta con la velocità Vdopo un tempo di volo uguale a quello impiegato dal punto P a percorrere il tratto ΔXd e
quindi uguagliando i tempi       e risulta : 
Per il percorso del segnale riflesso abbiamo:                       Xr = Xd – ΔXr
2
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da cui si ricava :    
Si ricava quindi il percorso del segnale riflesso :   
Il percorso totale risulta 
il tempo impiegato: 
Se  VO = VP = 0     il tempo misurato risulta                        t = 2⋅X/Vm 

si ricava quindi il percorso      X = 2⋅X         e la distanza       X = X .

La misura coincide con quella rilevata con sorgente e schermo entrambi fermi nello spazio, dunque anche uno rispetto all'altro.
Se invece VO = VP = V ≠ 0   si ottiene :     
3
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Nota la velocità del segnale  Vm , si ricava la distanza apparente tra lo schermo e l'osservatore : 
Se il punto  P è la sorgente dei segnali ed   l'osservatore, nelle relazioni che abbiamo scritto manca il percorso del segnale diretto e si
ricava la distanza apparente : 
indipendente dalla velocità VP della sorgente.
E' da notare che fisicamente la distanza della sorgente ha significato solo per  X0 ,  per cui la sorgente verrà rilevata ad una distanza
reale, e dunque sarà visibile solo nell'intervallo :
– Vm < VO < ∞.

Le relazioni che abbiamo ottenuto indicano chiaramente che, se abbiamo due sorgenti/osservatori in moto rispetto al mezzo
con velocità
V₁ e V₂ , che si scambiano i ruoli emettendo segnali e osservandosi a vicenda, considerare solo la loro
velocità relativa trascurando la presenza del mezzo che trasferisce i segnali genera una
simmetria che di fatto non
esiste e si ottengono risultati teorici in disaccordo con i rilievi sperimentali.

Lo scambio di   (V₁–V₂)  con   – (V₁– V₂) non è dunque corretto.

Osserviamo che un punto materiale sorgente/osservatore esiste in quanto occupa un punto dello spazio fisico.
Esso è quindi da pensare solidale con un suo spazio. Se dunque abbiamo due punti separati da un mezzo, diciamo che esso può essere
solidale con uno o l'altro, oppure non esistere, nel qual caso è considerato "spazio vuoto" che non ha caratteristiche fisiche definite ed il
problema diviene astratto, di nessuna utilità pratica. Analizziamo dunque separatamente le diverse situazioni.
O solidale con spazio e sorgente, O' mobile rispetto alla sorgente e allo spazio.
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1 -- se assumiamo O immobile, il sistema si presenta come in figura.
galileo 2
Abbiamo una sorgente di segnali immobile nel punto  P dello spazio fisico e vogliamo localizzarla assumendo due osservatori :
O immobile nello spazio, rispetto alla sorgente,  O' in moto con velocità  V, sempre rispetto alla sorgente.
L'osservatore  , dispone di regoli ed oscillatori periodici indipendenti come abbiamo visto introducendo la teoria. Utilizzando questi
strumenti, definisce la velocità del segnale inviato dalla sorgente  S  come il rapporto :       Vm = x/t .
Sperimentando con diverse sorgenti scopre che Vm risulta indipendente dal moto della sorgente.
L'osservatore  O' si muove con velocità  , valutata dall'osservatore immobile, e possiede gli stessi strumenti di cui è dotato  , con
gli orologi sincronizzati nel momento in cui  O ed  O' risultano coincidenti.
Se la sorgente emette due segnali identici,  s₁  ed  s₂ , essi si muoveranno con con la stessa velocità  Vm verso i due osservatori, i quali
iniziano a muoversi quando la sorgente emette i segnali.
Quello immobile, rispetto al mezzo, viene raggiunto da  s₁ dopo aver percorso la distanza x , quindi dopo un tempo  t = x / Vm  .
Quello mobile viene raggiunto dal segnale  s₂ nel punto   , dopo un percorso pari a    x' = ( x – xA  , dove  xA  rappresenta
il tratto che, nel verso opposto, ha percorso l'osservatore O'con la velocità  V , impiegando quindi un tempo  t', misurato da entrambi
gli osservatori ( essendo gli orologi sincronizzati ), uguale a quello impiegato dal segnale a percorrere il tratto  x' con la velocità  V ,

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e quindi dato da :        sostituendo       xA = V⋅t'
si ottiene : 
che può essere scritta indifferentemente come espressione spaziale, se si sostituisce il tempo, oppure in forma temporale, se invece
vengono sostituite le coordinate spaziali ; si sostituiscono comunque sempre le relazioni :
 
si ricavano così le relazioni equivalenti tra loro :
 
E' da notare che, talvolta si scrive   x' = ( x – V⋅t )    dove  x' viene intesa come coordinata spaziale misurata dal riferimento
mobile O'. Questa interpretazione non è corretta, in quanto  x'così espresso rappresenta la coordinata spaziale  x'che viene misurata
dal riferimento immobile e non da  O'.
Per   Vm →∞    dalla seconda relazione si ottiene    t' = t   , che, sostituita nella prima dà la trasformazione di Galileo :

                                                                    x' = ( x – V⋅t ) .

Con   V = Vm   si ottiene, naturalmente :                      t = 2 ⋅ t'    ;    x = 2 ⋅ x'.

Operando solo algebricamente sulla relazione         x' = ( x – V⋅t' )  si ottiene :   x = ( x' + V⋅t' )
valida quanto l'espressione diretta.
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Se, a questo punto, scambiamo i riferimenti, assumendo O' come riferimento immobile ed O in moto rispetto a O', se si trascura
la presenza del mezzo,
per la relatività del moto, la trasformazione equivalente si ottiene solo con la sostituzione :

                                   x → x'      ;      t → t'      ;      V → – V

 

Si hanno così le trasformazioni :     x = ( x' + V⋅t' ) →   x' = ( x – V⋅t )  ≠  x' = ( x – V⋅t' )

E' importante ricordare che  V  rappresenta la velocità dell'osservatore  O' rispetto al punto da osservare e non rispetto a  , per cui
non possiamo sostituire    V → – V,  cambiando così il suo significato in modo del tutto arbitrario.
Comunque, se entrambe le espressioni fossero accettabili, dovrebbe esserlo qualsiasi loro combinazione.
Moltiplicando membro a membro e dividendo per  (x⋅x') , si ottiene :
 
ricordando che :        x'/t' = x/t = Vm       sostituendo, si ha :            V²/Vm² = 0

La trasformazione indicata con lo scambio dei riferimenti è dunque valida solo se V = 0
oppure  
Vm →∞ .

Se si moltiplicano le due relazioni per un fattore  γ , la condizione per ottenere l'invarianza della trasformazione rispetto
all'osservatore diventa (   Art.27   ) :
 
che porta alla trasformazione di Lorentz.
Vogliamo, a questo punto, capire la ragione per la quale le due relazioni sono incompatibili.
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2 -- Riprendiamo dunque il calcolo assumendo come riferimento mobile   O  e come immobile   O', senza però cambiare il sistema
in esame. 
Così facendo, l'osservatore  O sarà ancora solidale con lo spazio fisico e con la sorgente.
Il sistema, con i nuovi riferimenti, si presenta quindi come è stato rappresentato in figura.
galileo 3
Se fermiamo il riferimento  O', ossia se osserviamo il sistema " cavalcando "  O', lasciando tutto il resto invariato, vediamo " tutto lo
spazio circostante e i corpi in esso presenti "
muoversi nella direzione opposta con velocità  –V.
In particolare, vediamo l'origine  O  con la sorgente   muoversi, con la stessa velocità, come in figura e quindi mentre O si sposta nel
punto   , la sorgente si sposta dal punto  P a  P .  Essendo noi solidali con   O', vediamo la sorgente muoversi verso di noi con la
velocità  V.
A questo punto, per impostare lo studio, si deve precisare che cosa si vuole osservare.

Se la sorgente emette due impulsi singoli, sarà possibile osservare solo il moto dei due segnali, " che è indipendente
dal moto della sorgente "
e quindi la coordinata spaziale che viene rilevata sarà quella del segnale nel momento in cui viene
emesso, dunque quella della sorgente nella posizione iniziale.
Il sistema si comporta come se la sorgente fosse indipendente da  O e  O' e verrà analizzato in seguito.
Se si rileva il moto della sorgente, si ha invece :
Il tempo impiegato dal segnale  s₁ per raggiungere O risulta :                    t = x / Vm

Per il segnale  s₂  si avrà :   
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da cui si ricava :                                                                   x' = (x – V⋅t')
   
e quindi :    

con lo scambio dei riferimenti si ottiene dunque la trasformazione :

Le relazioni                                              x' = ( x – V⋅t' ) → x = ( x' + V⋅t )  ,

ottenute sostituendo                 x → x'   ;    t → t'   ;    V → -- V

sono quindi incompatibili solo perchè la sorgente da rilevare non si trova in una condizione simmetrica
rispetto ai
due osservatori.

Si tratta di due trasformazioni completamente diverse, che coincidono solo se  Vm → ∞.
Se si cambia riferimento, non è sufficiente considerare la velocità relativa tra i due osservatori, ma si
deve considerare anche
quella della sorgente.

Qualunque artificio matematico messo in atto per rendere compatibili le due
relazioni
è fisicamente inaccettabile.

Questo vuol dire che la condizione " artificiosa ", espressa dal fattore γ di Lorentz, se rende compatibili
due relazioni che fisicamente non lo sono, 
essa stessa deve
essere fisicamente irrealizzabile " .

Se la sorgente emette impulsi con continuità, si può osservare in ogni momento la posizione della sorgente (con la posizione iniziale rientra
quindi anche il caso che abbiamo esaminato).
In questo caso abbiamo il punto   O  che si muove solidale con la sorgente e il segnale percorre quindi sempre la stessa distanza per
raggiungere il punto  , indipendentemente dall'istante in cui viene emesso.
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Il tempo impiegato risulta quindi sempre :                                t = x / Vm

La distanza che deve percorrere il segnale  s₂ , per raggiungere O', dipende invece dall'istante in cui viene emesso, essendo essa ridotta
dello spazio che ha percorso la sorgente nel tempo t'. Si ha quindi :

Questa trasformazione coincide perfettamente con quella che abbiamo ricavato con i
riferimenti scambiati.

Questo vuol dire che questa trasformazione non è invariante rispetto alla sostituzione :

                                         x → x'    ;    t →t'    ;    V → – V
Possiamo dunque affermare definitivamente :

Dato un sistema di riferimento in moto relativo con velocità   , rispetto al mezzo in cui si propagano i segnali,  se  (x e  (t)
rappresentano le 
coordinate spaziale e temporale di un evento rilevato in un riferimento solidale con il mezzo, dunque immobile
rispetto ad esso, le coordinate 
dello stesso evento rilevate dal riferimento mobile sono date dalle relazioni :

Sia per O immobile e  O' in moto che per  O' immobile e  O in moto.

Facciamo notare che la legge che abbiamo ricavato risulta coincidente con la trasformazione di Lorentz  senza il fattore γ, che
risulta, a questo 
punto, perfettamente inutile, visto che la trasformazione " non può
essere resa invariante rispetto agli osservatori 
inerziali con un
artificio,
 che di fatto modifica il sistema ", 
trascurando la presenza del mezzo.
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Per  Vm → ∞ si ottiene  t' = t  e diventa coincidente con la trasformazione di Galileo.
Particolarmente importante è la relazione che esprime l'interdipendenza tra il tempo e lo spazio :

                   x/t = Vmcostante    ;      oppure :       t = x/Vm

La prima relazione mette in evidenza che spazio e tempo non hanno valore assoluto, ma
dipendono dall'efficienza con la quale si riesce a comunicare.
Dalla nostra trasformazione, si ricava la dipendenza delle coordinate spaziale e temporale,    x  e    , di una sorgente di segnali, che si
propagano nello spazio con velocità V, misurati da un osservatore in moto relativo, rispetto ad essa con una velocità V. Si ha quindi :

Questa dipendenza non ha significato solo dal punto di vista scientifico, ma deve essere stata avvertita prima ancora di acquisire una
chiara percezione del tempo.
In questo senso, anche se la definizione di velocità è derivata dai concetti di tempo e spazio, ritenuti primitivi,
la percezione del concetto di velocità, certo non ancora ben definito, deve aver preceduto quello del tempo, derivato proprio dalla relazione
che lo lega allo spazio e alla velocità del segnale.
Sia il tempo percepito, che quello scientificamente definito, hanno dunque un valore diverso a seconda dei segnali scelti per
comunicare.

" In questo senso il tempo non ha valore universale, ma locale, in
quanto ciascun osservatore può scegliere 
di volta in volta il segnale

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 da utilizzare per comunicare " e non sempre è possibile e conveniente scegliere quello con velocità,
rispetto al mezzo, più elevata.

E' da notare che la trasformazione che abbiamo ricavato, dipendente dall'osservatore, coincide con quella di Galileo,
che si dovrebbe 
scrivere nella forma :
                                            x' = ( x – V⋅t' )    ;    t' = t

Nella interpretazione generalizzata, con la velocità  Vm  di valore finito, essa diventa dipendente dall'osservatore.

Ricordiamo che per ricavare la trasformazione non abbiamo imposto alcuna condizione oltre alla costanza
della velocità del segnale 
rispetto al mezzo, ampiamente provata sperimentalmente.
La velocità del segnale è indipendente dalla velocità della sorgente, ma non è affatto costante rispetto all'osservatore.

Essendo la velocità del segnale costante rispetto al mezzo, esso potrà essere assunto come "riferimento privilegiato, ritenuto immobile" e
tutte le velocità si possono riferire ad esso con il significato di valore assoluto.

La scelta è quasi sempre obbligata, in quanto in genere, " per descrivere il moto della sorgente, non è sufficiente considerare la velocità
relativa di un riferimento rispetto all'altro.
Il problema reale che generalmente si presenta è quello che abbiamo studiato finora ; si ha cioè uno spazio fisico nel quale una sorgente
emette due segnali che vengono utilizzati per la sua localizzazione nello spazio e nel tempo.
Un segnale viene intercettato da un "osservatore   immobile rispetto alla sorgente" e quindi solidale con lo spazio fisico che la
circonda.

Le coordinate da esso rilevate sono state indicate con   e  t  .
L'altro segnale viene intercettato "da un osservatore O'in moto rispetto alla sorgente" e quindi anche rispetto ad  O.
Le coordinate da esso rilevate sono state indicate con  x' t' .
L'analisi che abbiamo fatto dimostra che, per questo sistema, la legge che descrive il moto della sorgente non è  invariante rispetto
agli osservatori.

Questa caratteristica è dovuta alla configurazione del sistema e quindi non è formale, ma fisica.
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La dipendenza della trasformazione dall'osservatore non si può dunque eliminare con
alcun artificio matematico, senza dover 
ricorrere a ipotesi fisicamente inaccettabili.
Galileo 4
Vogliamo quindi capire quali sono i sistemi reali che vengono descritti da una trasformazione invariante.
Consideriamo quindi il sistema schematizzato in figura.
Abbiamo due osservatori  O e  O', dotati entrambi di orologi e regoli identici e sincronizzati.
Ciascuno di essi è anche solidale con un proprio spazio,  S  e  S'associato a un sistema di assi di riferimento.
Dato che i segnali si trasmettono attraverso lo spazio, per poter analizzare la comunicazione, dobbiamo stabilire con quale osservatore è
solidale il mezzo attraverso il quale essi si propagano. I casi possibili sono, ovviamente, due :
1 -- mezzo solidale con un osservatore, per esempio, O
2 -- mezzo indipendente dagli osservatori
Studiamo separatamente i due casi.
1 -- Il primo sistema coincide con quelli che abbiamo già visto. Le trasformazioni delle coordinate  x e t  sono quindi quelle che abbiamo
ricavato, perciò si tratta solo di applicarle.
Nel proprio riferimento, in qualsiasi momento e qualsiasi condizione di moto, ciascun osservatore realizza le misure in condizioni di quiete
e quindi ricava sempre i valori concordati in partenza  xp  e  t.
Supponiamo ora che O'si metta in moto con velocità relativa V , rispetto allo spazio solidale con O, attraverso il quale si trasferiscono
i segnali.
L'osservatore  , che è immobile rispetto al suo spazio, effettua due rilievi :
-- la misura di due diverse coordinate nello stesso istante
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-- due diversi eventi che si verificano in due diversi istanti nello stesso punto.
Esso dispone quindi dei segnali seguenti

                    ΔxPO   con  ΔtPO = 0                       e successivamente          ΔtPO   con  ΔxPO = 0

Utilizziamo la trasformazione in forma differenziale :

La distanza rilevata dall'osservatore mobile con   ΔxPO   con   ΔtPO = 0   sarà :

da cui si ottiene :    
Per la seconda misura, con     ΔtPO = 0  e  ΔxPO = 0 , si ottiene  :
  
e quindi:  
A questo punto notiamo che nella trattazione generale, con la quale abbiamo ricavato la trasformazione, avevamo una sorgente di segnali
che non veniva cambiata quando si scambiavano i riferimenti e quindi le misure rilevate dagli osservatori si riferivano sempre alla stessa
sorgente.
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Nel nostro caso invece, se riteniamo O'immobile, senza cambiare il sistema, abbiamo l'osservatore O con il suo spazio in moto con
velocità  –V
rispetto alla sorgente del segnale  So'che, questa volta, è solidale con con l'osservatore O', diventato immobile.
La misura della coordinata è quindi quella propria  x'.
Nel caso che stiamo esaminando la sorgente rimane quindi sempre solidale con il riferimento ritenuto immobile. Cambia quindi
la sorgente
e il punto che viene osservato cambia con lo scambio degli osservatori.
Se si osserva sempre la stessa sorgente, la trasformazione rimane invariata e, come abbiamo visto, risulta non invariante
rispetto alla sostituzione:

                                       x → xP'   ;   t → t'   ;   V → – V
Nel caso in esame abbiamo invece :
                                       x = xP'+ V ⋅ t ≠ x' = xP – V ⋅ t'

Con lo scambio degli osservatori si hanno quindi le trasformazioni :
Gli osservatori   e  O' rilevano la posizione della sorgente  S'o :

Gli osservatori  O e  O' rilevano la posizione della sorgente   So :

con semplici passaggi, si ottiene :


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Le trasformazioni che abbiamo ottenuto, in questo caso, risultano invarianti rispetto all'osservatore, in quanto non esiste una sorgente
da osservare solidale con uno dei due, che creerebbe una dissimmetria nel sistema, ma essi stessi sono alternativamente osservatore /
sorgente
per l'altro, per cui si trovano in una condizione di perfetta simmetria.
Ciascun osservatore è solidale con il suo spazio ed è attraverso questo spazio che si propaga il segnale emesso dall'altro osservatore,
che in quel momento rappresenta la sorgente.
Dato che ciascun osservatore effettua i rilievi, osservando lo spazio dell'altro, lo spazio attraverso il quale si propaga il segnale cambia
e risulta sempre quello solidale con l'osservatore.

La velocità di propagazione che viene osservata risulterà quindi sempre uguale a quella
caratteristica del mezzo
 Vm  qualunque sia l'osservatore. 

Non serve quindi, nessun postulato che imponga l'indipendenza della
velocità della luce.

In questo caso il sistema si comporta come se il mezzo fosse indipendente ed immobile rispetto ad entrambi gli osservatori e quindi
proprio come 
un riferimento privilegiato, in quiete assoluta, anche se così non è, in quanto
siamo noi che lo rendiamo tale "facendogli acquistare di volta in volta la velocità dell'osservatore".
In questo particolare problema è quindi possibile considerare solo la velocità relativa di un riferimento rispetto all'altro, trascurando la
presenza del mezzo.

Naturalmente, data la simmetria, ciascun osservatore osserverà nello spazio dell'altro quello che l'altro osservatore vede nel proprio.
Le osservazioni sono reciproche.
2 -- Molto particolare si presenta il sistema in cui il mezzo attraverso il quale si sposta il segnale non è solidale con nessuno dei
due osservatori.
Esso è dunque indipendente da qualsiasi osservatore inerziale.
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Se un mezzo non è solidale con nessun punto in movimento, si può ritenere in "quiete assoluta", nel senso che  arbitrariamentesi può
assumere, la sua velocità uguale a zero.
In questo modo il mezzo diventa un riferimento privilegiato rispetto al quale si possono misurare tutte le velocità. Se quindi abbiamo una
sorgente in quiete rispetto al mezzo, i due osservatori  O e  O'rileveranno le coordinate :

con O immobile :                                                        x' = x – V ⋅ t'

con O' immobile :                                                      x  = x' + V ⋅ t

Le due relazioni sono perfettamente compatibili con la sostituzione :                  O → O'    ;    V → – V
Si ha quindi la trasformazione invariante rispetto ai sistemi inerziali :

E' da notare che, indipendentemente dal problema che si sta trattando, se si hanno due osservatori  O e  O' in due punti diversi dello
spazio, la velocità che ciascuno di essi misura, per definizione, è data da :
— velocità di O' misurata da O :  
— velocità di O misurata da O' : 
Se si tratta il problema considerando solo la velocità relativa, si considera che sia :     VO'(O) = – VO(O')
e quindi :                 
Questa relazione contiene implicitamente l'ipotesi che la velocità del segnale sia indipendente dall'osservatore.
Se questa condizione non corrisponde alla realtà fisica, la sostituzione non è corretta.
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Abbiamo visto che la sostituzione indicata è lecita, e quindi la trasformazione è invariante rispetto
all'osservatore
in 
tutti i casi in cui il mezzo attraverso il quale si trasferiscono i segnali è indipendente
dagli osservatori
o si può ritenere
tale.
Riassumendo, abbiamo ottenuto i seguenti risultati :

-- Se la sorgente di segnali è in uno spazio indipendente dagli osservatori la trasformazione è invariante rispetto all'osservatore.

-- Se la sorgente è solidale con un osservatore, non si ha invarianza della trasformazione rispetto all'osservatore.

-- Se la sorgente osservata è sempre solidale con l'osservatore considerato immobile, la trasformazione è invariante rispetto
all'osservatore.

Utilizzando i risultati che sono stati acquisiti, consideriamo i due seguenti casi particolari.

-- sorgente ed osservatore solidali tra loro, in moto attraverso un mezzo che viene considerato in quiete assoluta.
Consideriamo una sorgente / osservatore che emette un segnale che viene riflesso da uno specchio posto alla distanza fissa L₀ .
Tutto il sistema si muove con una velocità  V  in direzione perpendicolare alla congiungente sorgente -- specchio, attraverso uno spazio
in quiete assoluta.
Michelson 7
Considerando il moto dello specchio, per poter essere intercettato, il segnale, che dopo l'emissione è indipendente dalla sorgente,
dovrà essere orientato verso il punto  S₁ che occuperà lo specchio dopo il tempo di transito t'.
Nel riferimento mobile il mezzo è in moto con la velocità (–V) e quindi, nota la Vm , si ricava la componente della velocità del segnale
Ve lungo l'asse .
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Dato che i percorsi   OS₀ ,  S₀S₁  e  OS₁  vengono realizzati tutti nello stesso tempo   t' , moltiplicando per  t' il triangolo delle
velocità, si ottiene quello simile dei percorsi e quindi il percorso del segnale  OS₁ realizzato con la velocità Vrisulta :
   
Essendo speculare il percorso del segnale riflesso, il percorso complessivo, per il braccio verticale sarà : L= 2⋅Ls .
Il tempo richiesto per l'intero percorso risulta : 
Se si dividono i lati del triangolo per un valore comune di velocità, per esempio   V, si ottiene il triangolo dei tempi dal quale si ha
lo stesso risultato. 
considerando che   t' = ts e  L/Vm = t ,  sostituendo, si ottiene : 
da cui :                    
A questo punto osserviamo che   ts  e  t  rappresentano i tempi richiesti per realizzare lo stesso percorso " apparente ",
misurati sempre dallo stesso osservatore in due condizioni diverse.
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t  è il tempo richiesto dal segnale emesso dalla sorgente  S  per raggiungere l'osservatore  S₀  ( specchio ) posto alla distanza  L  in
condizione di quiete rispetto al mezzo.
ts  è il tempo richiesto dal segnale emesso dalla sorgente  S  per raggiungere l'osservatore  S₀  ( specchio ) posto alla distanza  L  in
condizione di moto rispetto al mezzo.
L'espressione ci dice che il tempo misurato con l'osservatore in moto è maggiore di quello
rilevato in quiete
 
ed essendo apparentemente fissa la distanza percorsa ( per la rigidità del collegamento tra osservatore e
sorgente ), si dice brevemente che il tempo misurato tra due eventi in un sistema mobile subisce una
dilatazione rispetto 
allo stesso tempo misurato nel sistema in quiete.

Se si osserva dal riferimento solidale con il mezzo di propagazione del segnale il calcolo è assolutamente identico e quindi si rilevano gli
stessi effetti.
Questa dilatazione viene normalmente associata ad effetti relativistici.
In realtà, come dimostra il calcolo, non esiste alcun effetto particolare; molto semplicemente "il moto dell'osservatore" rispetto
al mezzo, durante il 
tempo di transito del segnale, produce un aumento della distanza  L che non viene
considerata,
percorsa sempre con la stessa velocità Vm.

Come s'intuisce facilmente, non avendo noi fatto alcuna ipotesi restrittiva, per ricavare la relazione, l'effetto indicato non è affatto legato a
casi particolari e si produce con qualsiasi segnale.
Per esempio, un pipistrello, che, per valutare la sua distanza da un ostacolo, utilizza il tempo impiegato da un segnale ad ultrasuoni per
raggiungerlo, se anche esso è in moto, non considera il tempo dilatato, ma la distanza aumentata ed ha così una reazione corretta,
nonostante il moto.
Galileo 6
20
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Supponiamo ora che lo stesso sistema venga messo in moto nella direzione della congiungente OS₀ , sempre in un mezzo immobile.
Nel punto  S la sorgente emette il segnale  s₁ che si sposta verso lo specchio in moto con velocità  V.
Nel riferimento solidale con il mezzo immobile si ha :

-- equazione del moto del segnale  s₁ :                          xS1 = Vm ⋅ t

-- equazione del moto dello specchio bersaglio :         xs = L₀ + V ⋅ t

Lo specchio verrà raggiunto nel punto  S₂ , quando   xS1 = xs  , dunque dopo un tempo  t₁ che si ottiene dalla relazione

                                             Vm ⋅ t₁ = L₀ + V ⋅ t₁
da cui :          
Dopo il tempo  t₁  la coordinata dello specchio risulta quindi :
 
Nel punto  S₂ il segnale riflesso  s₂ inizia il moto verso l'osservatore  , che si trova nel punto  S'e si sta muovendo con velocità  V
come è indicato in figura. Sempre nel riferimento immobile, si ha :

-- equazione del moto del segnale s₂ :                                  xS2 = L₁ – Vm ⋅ t

-- equazione del moto dell'osservatore mobile :                xO = xS' + V ⋅ t

Il segnale  xS2  raggiungerà l'osservatore O nel punto O', quando        xS2 =  xO .

Il tempo di transito del segnale riflesso  xS2  risulta dunque :  L₁ – Vm⋅t₂ = xS' + V⋅t₂
da cui si ottiene :   
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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e quindi il percorso sarà :  
Il segnale emesso dalla sorgente  S raggiunge quindi l'osservatore  O dopo un percorso complessivo :
                
per il tempo impiegato si ha :

Tutti i calcoli si ripetono identicamente se i rilievi vengono fatti nel riferimento mobile ( solidale con il sistema mobile ) rispetto al mezzo,
considerato immobile.
Il calcolo dimostra che, con braccio verticale, sia per il segnale diretto che per quello riflesso, il moto genera un aumento del
tempo rispetto alle condizioni di quiete.

Con il braccio orizzontale per i due segnali si ha invece un risultato diverso.
Per il segnale diretto si ha :                      
Si ottiene quindi un aumento del tempo rispetto a quello rilevato in condizioni di quiete maggiore di quello rilevato con braccio verticale,
con un rapporto : 
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Per il segnale riflesso abbiamo ricavato : 
In questo caso si ha quindi una riduzione del tempo rispetto a quello rilevato nel riferimento proprio con un rapporto rispetto al braccio
verticale :   
Anche in questi casi non si tratta di una contrazione o dilatazione del tempo, ma di una riduzione oppure aumento dello spazio percorso,
come potrà, con molta facilità, dimostrare il solito pipistrello con gli ultrasuoni.
Anche se per il problema che si sta trattando non ha nessun significato fisico, normalmente si fa riferimento ai valori medi sull'intero
percorso, assumendo
                        
Il rapporto tra i due tempi risulta :  
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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A questo punto, senza nessuna valida ragione teorica, si dice che tV e tO devono essere coincidenti, in quanto
il tempo è uno scalare 
e quindi non può dipendere dalla direzione del moto, quindi nemmeno dall'orientamento del braccio.
Questo però è in contraddizione con il calcolo stesso che è stato fatto per ottenere t.

In definitiva si afferma  arbitrariamente che la dilatazione del tempo che si verifica con il moto deve essere indipendente
dalla direzione e quindi, nel caso del braccio orizzontale, il calcolo non è corretto in quanto si trascurano effetti capaci di ridurre il fattore
di dilatazione . Dalle espressioni dei tempi si ricava :  
che si può scrivere :  
Questa relazione ci dice che per avere   tO = tV   è necessario che si verifichi una riduzione della lunghezza del braccio nella direzione
del moto in modo da avere :

Secondo queste espressioni, se un osservatore rileva nel riferimento proprio, dunque in quiete, la distanza   L₀   tra due punti, quando
viene messo in moto con velocità  nella direzione della retta congiungente i due punti, se effettua gli stessi rilievi, misura una distanza
24
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
minore, data da : 
Analogamente, se nel riferimento proprio, in condizione di quiete, vengono osservati due eventi ad una distanza temporale t₀ , rilevando
gli stessi eventi in moto con velocità  , la loro distanza temporale risulta maggiore :
 
Notiamo che, l'aumento del tempo misurato, indicato impropriamente come " dilatazione del tempo ", si ricava con il calcolo e
trova una sua 
giustificazione in un reale aumento della distanza che il segnale deve percorrere per intercettare la superficie
riflettente.

Il calcolo relativo al braccio orientato nella direzione del moto dimostra che la variazione del tempo dipende dalla direzione del moto,
tanto che con il segnale riflesso si ha una riduzione del percorso e dunque anche del tempo.

L'accorciamento delle distanze nella direzione del moto non ha invece nessun fondamento teorico e il metodo
utilizzato per ricavarlo usa il valore medio di effetti dipendenti dalla direzione del moto che, avendo segni opposti si compensano
parzialmente e consentono di derivare arbitrariamente una indipendenza della dilatazione del tempo dalla direzione del moto.
Lo stesso Einstein dava alla contrazione delle lunghezze un significato affatto reale,
definendola apparente.


Del resto, anche la dilatazione del tempo non va intesa come normalmente si dice, ma come un aumento della misura del tempo
dovuto al fatto che, per intercettare un ostacolo in moto trasversale, il segnale deve essere orientato diversamente, con un percorso
più lungo.

Consideriamo ora lo stesso dispositivo solidale con il mezzo in moto anch'esso con la stessa velocità V .
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Galileo 6
Per il moto orizzontale, nel sistema di riferimento immobile si ha :

-- equazione del moto del segnale  s₁ :                             xS1 = (Vm+ V ) ⋅ t

-- equazione del moto dello specchio bersaglio :               xs = L₀ + V ⋅ t

Lo specchio verrà raggiunto nel punto  S₂ , quando   xS1 xs  dunque dopo un tempo :

                 (Vm +V ) ⋅ t₁ = L₀ + V⋅t₁   da cui si ricava :        t₁ = L/Vm
ed un percorso :               
Per il segnale riflesso  s₂ , sempre nel riferimento immobile, si ha :

-- equazione del moto dell'osservatore mobile :                       xO = xS' + V ⋅ t

-- equazione del moto del segnale  s₂ :                                       xS2 = L₁ – (Vm – V) ⋅ t

 

Il segnale  xS2  raggiungerà l'osservatore  O nel punto  O', quando    xS2 =  xO .

Risulta dunque :                                L₁ – (Vm – V)⋅t₂ = V⋅t₁ + V⋅t₂
da cui deriva il tempo    t₂ = L/Vm           e il percorso     
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Si ha dunque complessivamente :                      L = L₁+ L₂ = 2 ⋅ L

Nel riferimento solidale con il sistema (riferimento proprio) tutto accade come se il nostro dispositivo fosse immobile in un mezzo
immobile e 
quindi si osserva un percorso  L = 2 ⋅ L₀  realizzato con una velocità costante uguale a V.
Se consideriamo il moto orizzontale con dispositivo verticale, la situazione si presenta come in figura.
Galileo 7
In questo caso, essendo il mezzo solidale con il sistema sorgente -- specchio, nella fase di messa a punto, il segnale s₁ viene emesso dalla
sorgente nel punto  O, diretto verso  S₀ .
Libero dalla sorgente, dopo l'emissione il segnale si sposta verso  S₀  con la velocità Vm .
Nel sistema di riferimento immobile nel tempo  Δt  il segnale si sposta verso l'alto di un tratto            Δy = Vm⋅Δt   ,
ma nello stesso intervallo di tempo il punto del mezzo " occupato " dal segnale in quel momento si sposta in direzione orizzontale del
tratto        Δx = V ⋅ Δt .
Nel sistema di riferimento immobile si osserva quindi uno spostamento verso  S₁ con la velocità equivalente :
 
Il tempo misurato dal riferimento immobile, per il percorso  OS₁ è sempre t₁ = L/Vm   ,  come risulta anche da
  t₁ = Leq/Veq   con :   
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Dal calcolo risulta quindi che si verifica un aumento del percorso con velocità maggiore in modo da lasciare invariato il tempo impiegato.
Il percorso del segnale riflesso è perfettamente simmetrico e quindi si ottiene   t₂ = t₁   ;    L₂ = L₁ = Leq

Nel riferimento proprio, solidale con il sistema mobile, si ha :                       Leq = L₀ .

Con il sistema mobile solidale con il mezzo non si verifica dunque nessuna differenza di
percorso tra i due segnali inviati nelle
 direzioni ortogonale e parallela al moto.
Se, per esempio, si tratta di segnali sinusoidali, raccolti su un unico supporto, se partono in fase giungono ancora perfettamente in fase.
Nel caso di 
segnali luminosi questo è dimostrato dall'esperimento di Michelson.

Se arbitrariamente si assume la velocità di propagazione dei segnali attraverso il mezzo  Vm  come costante caratteristica,
indipendente dall'osservatore, e si ritiene lo spazio tra sorgente e osservatore vuoto, dei risultati che abbiamo ottenuto
si dovrà cercare di dare delle 
giustificazioni alternative.

Con riferimento alla figura, osserviamo che, quando nel punto  O  la sorgente emette il segnale  s₁, simultaneamente inizia a spostarsi
verso il punto  O₁ e lo specchio  S₀ parte verso  S₁ .
Quello che l'osservatore immobile può rilevare non è il percorso presunto del segnale  OS₁, ma la sua presenza nel punto di partenza
e di arrivo.
Il percorso osservato OS₁ risulta :                          Leq² = L² + (VS0 ⋅ t₁)²

e viene percorso, per ipotesi, con velocità  V. Si ha quindi il tempo :
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da cui si ricava :        
Questa relazione ci dice che il sistema immobile registra un tempo maggiore di quello misurato nel sistema proprio da quello mobile ed
è nota come espressione della dilatazione dei tempi.

Si deve ricordare però che la relazione è stata ricavata imponendo, con un postulato, una velocità del segnale uguale a  Vm
indipendente dal 
moto dell'osservatore e dalla direzione e del moto, dicendo che si è in presenza di uno spazio " vuoto ".

Con questa scelta, negando la presenza di un mezzo, solidale o meno con il sistema mobile, si dice che il segnale durante il tempo di
volo non può subire alcuna azione capace di deviarlo dalla direzione di emissione, in quanto non incontra nessun agente capace
di farlo
, e quindi deve essere emesso già in direzione di S₁ con la velocità Vm .

Se viene ipotizzata invece la presenza di un mezzo, se esso viene considerato solidale con l'osservatore immobile, la situazione è identica
a quella presente con lo spazio vuoto.
Se il mezzo viene pensato solidale con l'osservatore mobile, per intercettare lo specchio il segnale deve essere emesso dal punto O nella
direzione di  S₀ e si muove con la velocità caratteristica Vm nella direzione dell'asse .

Ad ogni spostamento  dy  segue uno spostamento  dx  in direzione dell'asse  x  da un elemento  spaziale a quello vicino, non del
segnale, 
ma del punto del mezzo perturbato che in quel momento è " intercettato e perturbato " dal segnale ( che talvolta si
identifica con la perturbazione stessa ).

Gli spostamenti orizzontale e verticale si verificano con continuità su ogni piccolo incremento  dS della traiettoria. Dovrà quindi essere :
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Questo vuol dire che si deve avere lungo tutto il percorso uno spostamento in direzione dell'asse  x  con velocità  V  e quindi il risultato
finale è quello dovuto a un processo d'integrazione su tutta la traiettoria.
In definitiva, dal riferimento immobile, si osserva uno spostamento del segnale lungo la traiettoria dal punto  al punto   S₁  con una
velocità maggiore di quella caratteristica del mezzo.

In realtà però le due componenti della velocità sono di natura completamente diversa.
La velocità Vè associata ad un vero spostamento del segnale, in quanto rappresenta il trasferimento di una perturbazione del mezzo
da un punto a quello contiguo , mentre  V è associata allo spostamento dello stesso punto perturbato e quindi non è un valore legato al
mezzo, ma imposto dall'esterno.
Con le due ipotesi si hanno quindi i seguenti triangoli delle velocità :
Michelson 9Michelson 8
                          spazio vuoto-mezzo immobile                                                                           con mezzo mobile
Con il braccio verticale  ( α = (π/2 ) , se abbiamo spazio vuoto oppure mezzo immobile, in fase di messa a punto, per intercettare lo
specchio, " il segnale deve essere diretto verso S₁" e nel mezzo immobile avanza con la velocità caratteristica Vm .
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Essendo nota la componente V lungo l'asse x , si ricava la velocità di avanzamento lungo l'asse y :         
A questo punto si deve notare che gli unici tempi realmente misurabili sono quelli impiegati dallo specchio a percorrere
il tratto  S₀S₁ e il segnale  OS₁.
Lo specchio non verrà mai raggiunto nel punto   S₀.  Possiamo tuttavia calcolare il tempo che impiega il segnale per avanzare di una
lunghezza  L₀  nella diredione dell'asse  y  e risulta :

Facendo riferimento alla prima forma il tempo ty viene interpretato come una dilatazione del tempo t₀ necessario al segnale
per percorrere la distanza
 L₀ misurato con il sistema in quiete rispetto al mezzo.
Questo tempo non è però misurabile, pertanto fisicamente non ha nessun
significato,
anche se gli viene erroneamente 
attribuito valore reale.

Nella seconda forma, l'espressione del tempo   ty   ci dice che quello che noi realmente misuriamo è il tempo che il segnale impiega
a percorrere la traiettoria
 OS₁  lungo la quale è stato inviato.
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Esso percorre sempre con la velocità  Vm  una " lunghezza dilatata "  
ed impiega quindi un tempo maggiore di t₀ .
Non esiste quindi nessuna dilatazione dello scorrere del tempo, ma un aumento del tempo dovuto
a un aumento di percorso e 
lo stesso effetto registra anche il riferimento solidale con il sistema in moto (sempre se si ha spazio
vuoto o mezzo immobile).
Se abbiamo invece il mezzo mobile con il sistema, per poter intercettare lo specchio, il segnale deve essere emesso dal punto  O in
direzione di  S₀ ed inizia la sua corsa con la velocità caratteristica  V nella direzione dell'asse  y.
Ad ogni spostamento   dy  segue uno spostamento del mezzo   dx  con velocità   , per cui si ha complessivamente uno spostamento
dS verso  S₁ con una velocità maggiore :                     
Il percorso osservato  OS₁  risulta :        Leq² = L² + (VS0⋅teq         e viene percorso con velocità Veq.
Si ha quindi il tempo : 
da cui si ottiene il tempo misurato dal riferimento fisso :

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Essendo il riferimento mobile solidale con il mezzo di trasporto del segnale, la traiettoria osservata dal riferimento mobile coincide proprio
con  OS₀ , che viene percorsa con la velocità  Vm  e quindi nel tempo      t₀ = L₀ / V.
Dunque, con mezzo mobile, sia nel sistema fisso che in quello mobile, si ha sempre una misura del tempo uguale
quella rilevata con il sistema in quiete.

Nel sistema fisso si osserva una traiettoria più lunga :
 
e quindi :     
percorsa con velocità più elevata :         
I risultati che abbiamo ottenuto dipendono dall'inclinazione  α  del braccio e possono essere descritti utilizzando il teorema di Carnot.
Il massimo allungamento della traiettoria, quindi la massima dilatazione apparente del tempo, si ha per α = 0 , corrispondente al
braccio orizzontale, nella direzione del moto.

In questo caso le direzioni  OS₀  e  OS₁  coincidono ; per il percorso abbiamo quindi :             Ls = L₀ + V ⋅ t

Se consideriamo lo spazio vuoto oppure il mezzo immobile, la velocità di propagazione del segnale è quella caratteristica Vm .
Il tempo richiesto per raggiungere l'osservatore sarà :
   
da cui :

     
Lo stesso valore viene misurato sia nel riferimento fisso che in quello mobile.
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Se abbiamo il mezzo mobile con il sistema, la lunghezza del percorso è ancora   Ls  ,  ma dopo che il segnale è stato emesso è
indipendente e 
si muove nel mezzo con la velocità  V.
Rispetto all'osservatore fisso rispetto al mezzo in movimento con la velocità , il segnale si sposta verso  S₁ con la
velocità :
                                                      Vs = Vm + V

Il valore massimo della velocità che l'osservatore immobile può osservare con quel segnale si ottiene utilizzando l'espressione della
composizione delle 
velocità che abbiamo ricavato con la trasformazione di Galileo generalizzata e risulta :
     
L'osservatore immobile rispetto al mezzo non può quindi vedere il segnale avanzare lungo la traiettoria.
Questo però non vuol dire che il segnale non avanza con la velocità vs .
Per capirlo, supponiamo che l'osservatore immobile sia un pipistrello che osserva un aereo ultrasonico che parte dal punto O e registra
questo istante t₁ .
Dopo la partenza l'aereo continua regolarmente la sua corsa con la velocità, per esempio, di  1000 m/sec , ma il pipistrello, inviando
ultrasuoni,
che com'è noto, si propagano alla velocità di  340 m/sec , non è in grado di raggiungerlo e quindi di vederlo.
Per tutta la durata del volo, l'animale continua ad inviare segnali ed il risultato è un silenzio assoluto aereo inesistente.
Quando l'aereo giunge a destinazione, nel punto   S₁  e si ferma, l'ultimo segnale inviato dal pipistrello lo raggiunge e viene
riflesso, ritornando all'animale nell'istante
 t₂ , che viene registrato.

A questo punto, anche se il pipistrello non ha potuto seguire l'aereo durante il percorso, registrando gli eventi di partenza e arrivo, è in
grado di calcolare la distanza percorsa ed il tempo impiegato,
" che risulta quello fornito dalla reale velocità dell'aereo ".
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Avremo quindi :   
da cui si ottengono :   
valide sia nel rifermento mobile che immobile.
Utilizzando la trasformazione di Galileo generalizzata , che è stata ricavata con l'ipotesi implicita di un mezzo (oppure lo spazio vuoto)
immobile, rispetto alla sorgente, calcoliamo ora le relazioni che descrivono " la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze "
che rileva il riferimento mobile rispetto a quello fisso. 
Scrivendo la trasformazione in termini differenziali, si ha:

Se nello stesso punto   x₀  del sistema di riferimento immobile vengono emessi due segnali a carattere impulsivo nei tempi  t₁  e  t₂
( misurati dall'orologio sul posto ) oppure vengono registrati due eventi qualsiasi negli istanti  t₁ e  t₂ , si avrà :

                                        Δt = t₂ – t₁   con   Δx = 0 .

Nel sistema di riferimento in moto i due eventi vengono registrati in due punti diversi, distanti tra loro :

                                 Δx' = (Δx – V⋅Δt' ) = – V ⋅ Δt'

e ad una distanza di tempo maggiore di   Δt , precisamente :
           
da cui si ricava :                   
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Qualsiasi osservatore in moto rispetto al riferimento proprio rileva
una 
distanza temporale tra gli eventi sempre maggiore di quella
propria.

Oppure, in termini equivalenti :
Il tempo registrato tra due eventi è sempre minore per l'osservatore
che vede 
gli eventi realizzarsi nello stesso luogo.

Normalmente questo risultato viene espresso sinteticamente dicendo che :
"Per l'osservatore in movimento il tempo scorre più lentamente". E questo non è del tutto corretto.

Supponiamo ora che in punti diversi  x₁ e  x₂ del sistema immobile vengano emessi due segnali simultaneamente al tempo t₀ oppure
vengano misurate due coordinate  x₁ e  x₂  contemporaneamente ; si avrà :

                                         Δx = x₂ – x₁  con  Δt = 0.

Nel sistema di riferimento in moto i due eventi vengono registrati in due tempi diversi, distanti tra loro :

Il valore della distanza spaziale rilevata nel sistema mobile risulta :   
da cui si ricava : 
La distanza rilevata dall'osservatore immobile risulta dunque :   
La lunghezza  (x'₂ – x'₁)   misurata dall'osservatore mobile " appare " a quello immobile ridotta del fattore :

                                            α = (1 – V²/Vm²) .
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Questa relazione ci dice che :
Qualsiasi osservatore in moto rispetto al riferimento proprio rileva una distanza spaziale tra gli eventi sempre minore
di quella propria.

Oppure, in termini equivalenti : La distanza spaziale tra due eventi è sempre minore per l'osservatore che li vede realizzati nello
stesso tempo.

Normalmente questo risultato si esprime sinteticamente dicendo che :
" Per l'osservatore in movimento le lunghezze si contraggono nella direzione del moto ".

E' da notare che questa contrazione non ha nulla in comune con quella che abbiamo ricavato con ipotesi arbitrarie per avere l'indicazione
del tempo indipendente dalla direzione del moto del segnale rispetto a quella del mezzo.
In questo caso si tratta del confronto fra le osservazioni di uno stesso evento da parte di due osservatori, uno fermo e l'altro in moto
rispetto alla sorgente, ipotizzando il mezzo sempre solidale con l'osservatore che in quel momento sta effettuando i rilievi.
Queste relazioni sono state ricavate senza ipotesi arbitrarie, utilizzando unicamente la
trasformazione delle 
coordinate considerando la velocità del segnale di valore finito e
senza riferimenti a segnali particolari.

Normalmente le verifiche sperimentali di questi effetti vengono considerate prove a sostegno del postulato di Einstein sulla velocità della
luce e più in generale della relatività.
La presente trattazione dimostra che tutto si ricava considerando la velocità finita dei segnali, di qualsiasi tipo.
Per esemplificare, consideriamo qualche esempio pratico.
Una prima conferma del postulato di Einstein si ritiene l'aumento della vita media dei pioni o dei muoni generati dai raggi cosmici.
Questi pioni e muoni hanno una vita propria, misurata in quiete, di circa   2⋅10⁻⁶  sec   e dopo questo tempo si trasformano in altre
particelle.
Essendo la loro velocità uguale a circa il  99%  della velocità della luce, essi, prima di decadere, sono in grado di percorrere una distanza
pari a :
                                 d ≃ 3⋅10⁸(m/sec) ⋅ 0,99⋅ 2⋅10⁻⁶sec ≃ 600 m

Dato che vengono generati nell'alta atmosfera, ad una distanza dalla Terra di oltre 10⁴ m , sulla superficie terrestre dovrebbero essere 
37
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praticamente assenti mentre nella realtà essi arrivano fino al livello del mare.
Le relazioni che abbiamo ricavato ci dicono però che la distanza misurata dal riferimento solidale con il muone in moto è ridotta rispetto a
quella che si misura in condizione di quiete ; precisamente si ha :
 
e quindi riesce facilmente a raggiungere la superficie terrestre.

Il risultato concorda perfettamente anche con il nostro punto di vista. Infatti, la vita media che nel riferimento proprio
del muone vale  2⋅10⁻⁶ sec , nel nostro riferimento fornisce un valore più elevato :
 
la distanza che il muone riesce a percorrere in questo tempo sarà :

                              d ≃ 3⋅10⁸(m/sec) ⋅ 0,99⋅ 1,005⋅10⁻⁴ sec ≃ 29848 m

abbondantemente sufficiente per giungere sulla Terra.
Un'altra prova che viene normalmente citata a supporto della costanza della velocità della luce è il corretto funzionamento del
sistema G.P.S. .

}
GPS2 GPS1

38
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In figura è rappresentato, in maniera molto schematica, il funzionamento del sistema con la Terra in due posizioni a distanza di 12  ore
una dall'altra.
Abbiamo due satelliti geostazionari  T₁  e  T₂ , dei quali è perfettamente nota la posizione rispetto alla Terra, che trasmettono al punto
P due segnali  s₁  e  s₂  che contengono informazioni relative al tempo di emissione.
Rilevando l'istante di arrivo di ciascun segnale il punto  P ricava il tempo che essi hanno impiegato per raggiungerlo; moltiplicando i due
intervalli di tempo per la velocità di propagazione del segnale, costante per ipotesi, si calcola la distanza del punto   dai due
trasmettitori e quindi la sua posizione .

In figura abbiamo indicato la velocità di rivoluzione della Terra con VT che nell'arco di un giorno non subisce una variazione apprezzabile
del verso.
Con   VT  costante, la velocità relativa del ricevitore   P  rispetto ai segnali non è costante, ma dipende dall'istante che viene preso in
considerazione.
Con la Terra nella posizione   la velocità del segnale   s₁ rispetto a  P risulta   V₁ = Cl + VT    e quindi si ha V₁ > Cl .
Per il segnale   s₂  si ha invece   V₂ = C– VT   e quindi risulta V₂ < C.
Moltiplicando i tempi rilevati per il valore  Cl  della velocità della luce, si ottiene per T₁ una distanza minore di quella reale, mentre per
T₂  risulta una distanza maggiore della reale.  Il punto  P viene così posizionato erroneamente in  P', spostato verso  T₁.
Nelle 12 ore  successive la situazione si presenta esattamente ribaltata con il risultato di un posizionamento spostato verso T₂.
In queste condizioni un punto  P fermo sulla Terra dovrebbe fornire durante il giorno una indicazione della posizione oscillante rispetto
al verso di rotazione della Terra.
Dato che tutto questo non accade e la posizione indicata è sempre corretta, si deve concludere che, in accordo con il postulato
di
Einstein, la velocità 
della luce è costante ed indipendente dall'osservatore e ciò, secondo le teorie correnti si verifica perchè
nello spazio non esiste nessun mezzo immobile per la propagazione dei segnali.

Nella teoria degli spazi rotanti è stato dimostrato che tutti i corpi celesti sono in equilibrio con una sfera planetaria di spazio fisico con essi
solidale. Quella della Terra ha un raggio di circa 2,158⋅10⁶ Km e quindi i segnali si muovono attraverso un mezzo immobile rispetto
alla Terra, dunque sempre con la stessa velocità caratteristica.
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Il corretto funzionamento del sistema G.P.S. ci permette di affermare che nello spazio non esiste un mezzo immobile, ma mobile
con la Terra e questo 
giustifica l'azione istantanea della gravità, che invece
risulta 
in disaccordo con il postulato di Einstein.

Un altro punto a favore del postulato sulla costanza della velocità della luce è dato dall'invarianza delle equazioni di Maxwell che ne deriva.
E' però da notare che questo accordo è implicito nel metodo che Maxwell ha utilizzato per ricavare le equazioni.

Tutte le teorie prima di Einstein hanno sempre trattato lo spazio solo come un contenitore, puro spazio geometrico nel quale si sviluppano
i processi.
Se in un punto dello spazio fisico si produce una perturbazione dell'equilibrio delle caratteristiche del mezzo in esso presente, l'esperienza
dimostra che la perturbazione, rappresentabile comunque con una funzione sinusoidale, si propaga attraverso il mezzo, con una velocità
caratteristica del mezzo stesso, e si presenta così variabile, sempre con legge con legge sinusoidale, nel tempo e nello spazio.

Se indichiamo con A(r ; t)la granzezza che la descrive, trattando la propagazione dell'energia per onde (  Art.20    ) abbiamo visto che,
derivando l'espressione due volte rispetto al tempo, si ottiene " l'equazione di d'Alembert ", nota anche come equazione delle onde :         
Nella relazione il mezzo è considerato isotropo ed immobile e  Vm  la velocità di propagazione, indipendente delle condizioni di moto
dell'osservatore.
Prima di Einstein era ritenuto normale assumere spazio e tempo come grandezze indipendenti, con valore assoluto, senza alcuna necessità
di specificare. Per ricavare le coordinate r'e  t' rilevate da un sistema di riferimento in moto rispetto al mezzo, veniva applicata la
trasformazione di Galileo.
Questo è possibile se la perturbazione   A(r ; t, che si propaga attraverso il mezzo, rappresenta il messaggio da trasferire e non il
segnale utilizzato per il rilievo delle coordinate r e t.
L'equazione di d'Alembert è dunque invariante rispetto all'osservatore con le stesse condizioni in cui lo
è la trasformazione di Galileo.

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Nel paragrafo a questo dedicato, abbiamo visto come, applicando operatori matematici ed un eccezionale intuito alle relazioni già note,
Maxwell definì " le relazioni che legano il campo elettrico ed il campo magnetico variabili nel tempo e nello spazio " ( Art.68   ) :

     
Queste relazioni definiscono quantitativamente processi sperimentali noti. Esse infatti dicono che un campo elettrico variabile nel tempo
( dunque anche una perturbazione del campo elettrico ) si propaga nello spazio, generando un campo elettrico variabile nello spazio, che
genera, a sua volta, un campo magnetico variabile nel tempo.
Il campo magnetico così generato si propaga nello spazio, dando origine a un campo magnetico variabile nello spazio, che genera a sua
volta un campo elettrico variabile nel tempo e così via.

Si crea così un processo di rigenerazione continua con i due campi variabili nel tempo che si propagano nello
spazio come un'unica 
entità, definita campo elettromagnetico.
Derivando la prima equazione rispetto a r e la seconda rispetto a t si ottiene
 
da cui si ricava :     
Derivando invece la prima equazione rispetto a t e la seconda rispetto a r si ottiene :
         
Dal confronto di queste due ultime espressioni con l'equazione di d'Alembert "si evidenzia una perfetta coincidenza
formale"
e questo ci permette di ipotizzare una propagazione nello spazio per onde del campo elettrico e del campo magnetico
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variabili, quindi del campo elettromagnetico, facendo coincidere i due fattori

di proporzionalità :                         (ε⋅μ) = 1 / Vm²

da cui si ricava la velocità di propagazione :                                       Vm = 1/(ε⋅μ)1/2

ed in effetti i due membri dimensionalmente coincidono. All'epoca in cui vennero elaborate queste relazioni il valore di ε nel vuoto era
noto con un certo grado di imprecisione, tuttavia sufficiente per mettere in evidenza la coincidenza di  1/(ε₀⋅μ₀)1/2    con il
valore della  velocità della luce nel vuoto,
nota anch'essa con molta imprecisione.
Questa osservazione ha consentito di ipotizzare la natura elettromagnetica della luce con le conseguenze che conosciamo.

Quello che però interessa ora mettere in evidenza è che la velocità della luce, diventa la velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche nello 
"spazio vuoto", inteso come privo di materia organizzata. Con questa origine, è chiaro che le equazioni
di Maxwell avranno la stessa validità di quella di d'Alembert.

Non saranno quindi invarianti rispetto all'osservatore.

Il tentativo di renderle tali è una delle ragioni che hanno portato Einstein alla formulazione del postulato sulla costanza della velocità della
luce e quindi alla trasformazione di Lorentz di cui si è detto.
Come abbiamo già detto, tutto questo ha origine da un'errata interpretazione dell'esperimento di Michelson.
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