Art.27-- Relatività del moto di Galileo e trasformazioni di Lorentz, calcolo teorico della legge di composizione delle velocità -- Antonio Dirita

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Introducendo la teoria degli spazi rotanti, abbiamo visto che la consapevolezza dell'esistenza dell'universo come spazio fisico
organizzato,
viene acquisita attraverso le diverse configurazioni con le quali esso si presenta.
La sua esistenza viene dunque percepita unitamente al tempo, che consente d'introdurre il concetto di velocità di un processo,senza il
quale nessuna analisi sarebbe stata possibile.
Se si considera attentamente il concetto di velocità, ci si rende subito conto delle notevoli difficoltà che si incontrano a voler passare dal
concetto intuitivo alla definizione come grandezza fisica misurabile.
In quest'ultimo caso si richiedono infatti le misurazioni "simultanee" di spazio e tempo.

E' chiaro quindi che qualsiasi sistema di trasformate, impostato per ricavare le relazioni con le quali si potrà descrivere un fenomeno che
viene osservato da diversi sistemi di riferimento in moto relativo tra loro, dovrà necessariamente fare ipotesi implicite o esplicite sui
problemi fondamentali che riguardano la natura dello spazio e del tempo.

Dato che le misurazioni di tempo e spazio si dovranno realizzare certamente con orologi e regoli materiali, il primo problema che si deve
risolvere è quello di definire il comportamento di questi strumenti con il movimento, in modo da poter fornire risultati coerenti con le
osservazioni sperimentali.
Per poter fare una scelta, dato che tutti i rilievi vengono fatti attraverso lo scambio di segnali, si dovrà fissare preventivamente
il tipo di
segnale che si desidera utilizzare.a
Questa scelta in genere non è arbitraria, ma legata allo spazio e al mezzo che viene considerato, tenendo conto che il segnale si propaga
nello spazio con una velocità Vm caratteristica del mezzo che lo occupa.
La scelta più semplice ed immediata che si può fare è quella di considerare regoli ed orologi aventi caratteristiche di funzionamento
indipendenti dalle condizioni di moto.

galileo
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Consideriamo dunque due sistemi di riferimento in moto relativo con velocità V, come è indicato in figura.
Con la scelta che è stata indicata, si assume che, se in due punti dello spazio si verificano i due eventi  E₁  e  E₁ ,  ciascuno di essi in un
certo punto x e un certo istante t , la loro distanza spaziale         Δx = (x₂ - x₁) e quella temporale     Δt = (t₂ - t₁) ,
rilevate nel riferimento immobile rispetto allo spazio, risultano coincidenti
con le distanze     Δx' = (x'₂ - x'₁)   e    Δt' = (t'₂ - t'₁) ,    osservate nel riferimento in moto con la velocità V.
Tutte le coordinate spaziali si possono però rilevare solo inviando un segnale, del tipo prescelto, dall'origine al punto considerato e
rilevare quello riflesso.
galileo 1
Consideriamo i due sistemi nel momento in cui le origini si sovrappongono e inviamo da entrambi un segnale che si muove verso  P con
la stessa velocità Vm , essendo essa indipendente dalla velocità della sorgente.
Nello stesso istante ( O ed O' coincidenti ) sincronizziamo i due orologi in modo che si abbiano le indicazioni

                                                   t(0) = t'(0) = 0.

I segnali inviati giungono nel punto P , vengono riflessi e si muovono verso le origini O ed O' con la stessa velocità Vm , in quanto il
punto P si comporta da sorgente.
Se si suppone nota la velocità Vm, quando il segnale giunge nell'origine O, immobile, il tempo segnato dall'orologio sarà :

                                                t(2x) = (2⋅x)/Vm

da cui si ricava la coordinata spaziale                     x = t(2x) ⋅ Vm/2

e quindi anche :                                      t(x) = x/Vm     ;      x = t(x) ⋅ Vm
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Per quanto riguarda invece il sistema di riferimento mobile O' , se  t'(2x)  è il tempo impiegato complessivamente dal segnale per il
percorso di andata e ritorno, nello stesso tempo l'origine  O' si sarà spostata di un tratto pari a :

                                         xO' = t'(2x) ⋅ V

Il percorso reale del segnale risulta dunque :                                      L' = 2 ⋅ x – xO

Il tempo impiegato sarà quindi : 
da cui si ottiene :                 
moltiplicando per la velocità nota del segnale, si ricava il valore della distanza  x' valutata dal riferimento mobile :
     
e quindi anche :  
Queste relazioni mettono in evidenza che le coordinate spaziale e temporale del punto   risultano coincidenti nei due riferimenti,
mobile
e fisso, solo se  Vm → ∞ , e ciò si verifica per qualsiasi valore della velocità relativa  V.
E' ancora da notare che i due orologi sono stati sincronizzati quando le origini  O  ed  O' erano coincidenti e nello stesso istante sono
stati inviati i segnali.
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Se i segnali per i rilievi vengono inviati in un istante  t₀ ≠ 0 ,  l'origine in moto  O' si troverà nel punto         xO' = t₀⋅V
ed, essendo stati sincronizzati, entrambi gli orologi indicheranno il tempo  t₀.
Si noti che i risultati che si ottengono sono diversi a seconda che si consideri come coordinata spaziale del punto P il percorso del segnale
dalla sorgente (origine degli assi) al punto  oppure come il valore medio tra il percorso di andata e quello di ritorno del segnale.
In genere si prescinde dalle reali modalità usate per il rilievo della coordinata spaziale  x  e si considera solo il percorso di andata, senza
riflessione.
In questo caso le origini emettono il segnale, che si muove nel mezzo verso il punto  con la velocità  V, indipendente dalle
velocità delle 
sorgenti e quindi dagli spostamenti che hanno subito le origini dopo aver emesso i segnali.
Per i nostri orologi, sincronizzati con  O  ed  O'coincidenti, si avrà quindi :

                                            x = t ⋅ Vm     ;     x' = t' ⋅ Vm

Queste relazioni non esprimono altro che l'indipendenza della velocità di propagazione del segnale da
quella 
della sorgente.
Esse si possono infatti scrivere                                    V= x/t = x'/t'

Se ora consideriamo due sistemi di riferimento, con le origini   O  e  O' distanti tra loro   xO'  e gli orologi non ancora sincronizzati,
indipendentemente dal fatto che essi siano in moto relativo o meno, si pone il problema di osservare uno stesso evento da punti diversi
dello spazio, oppure
effettuare rilievi su eventi che si verificano in luoghi diversi, facendo in modo che siano confrontabili i tempi che
vengono registrati dagli orologi distanti fra loro.

Si deve dunque concordare una convenzione per sincronizzare gli orologi e, per questa operazione, è richiesta la conoscenza della
velocità del segnale
, che possiamo avere solo se disponiamo di orologi sincronizzati posti a una distanza nota.
I tempi degli eventi non possono, pertanto, essere confrontati prima che sia stato stabilito che cosa si deve intendere per " tempo
comune a eventi che si verificano in luoghi diversi,
ovvero per tempo comune di un evento rilevato da
osservatori posti in luoghi diversi ".
Vogliamo quindi sincronizzare i due orologi posti in   ed  O' in modo tale che, osservando lo stesso evento, per esempio l'emissione
simultanea, nel punto  di due segnali, forniscano la stessa indicazione del tempo. Ciò in accordo con la verifica sperimentale che
ciascuno 
 di essi può fare, intercettando i due segnali.
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Se supponiamo di conoscere la velocità di propagazione dei segnali, i tempi indicati dagli orologi, considerati entrambi immobili, risultano :

dove  t(O) e  t'(O' rappresentano i tempi indicati dagli orologi quando il punto  P  coincide con  O  ed  O' rispettivamente.
Uguagliando i due tempi, si ottiene : 
Se gli osservatori sono tutti immobili, la loro distanza   xO'   è costante e quindi la sincronizzazione è relativamente semplice. Tenendo
conto della costanza di  Vm durante il percorso di andata e ritorno, si può trascurare il percorso doppio ed assumere semplicemente :

                                             t'(O') = t(O) + xO'/Vm

Secondo Einstein, per definire " il tempo comune di due eventi  A e B distanti fra loro ", si assume, per definizione, che il tempo
impiegato dal segnale 
per propagarsi da   a   sia uguale a quello richiesto per tornare da  ad  .
Se dunque  tA  è il tempo segnato dall'orologio vicino ad    nel momento della partenza da  ,  tB  il tempo indicato dall'orologio
vicino a   nel momento in cui il segnale giunge in   e  tA  quello registrato dall'orologio vicino ad   quando il segnale ritorna in
A , i due orologi si diranno sincronizzati se è verificata la relazione :

                                                     tA – tB= t– tA

da questa relazione segue che la velocità del segnale nel percorso di andata è uguale a quella del percorso di ritorno,
ossia, si ha per definizione :
 
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E' da notare che la relazione definisce una coppia di orologi sincroni senza alcun riferimento alle reali operazioni necessarie per la
sincronizzazione, ma può essere comunque utilizzata realmente per l'operazione, secondo la :

                                                    tB = tA + LAB/Vm

che coincide con la relazione che abbiamo indicato poc'anzi.
Per quanto riguarda la componente spaziale, se è nota la posizione dell'origine  O' in qualsiasi momento si ha :   x' = x – xO'

Dove tutte le misure si suppongono rilevate simultaneamente nel riferimento immobile al tempo  t  e quindi non dovrebbero porre
particolari problemi.

I due rilievi  xO'  e  x  potranno però essere simultanei solo se i due segnali, che sono partiti contemporaneamente dall'origine  O
nell'istante  tO , impiegano lo stesso tempo per raggiungere i punti  xO'  e  x , risultato che si ottiene solo se il segnale si propaga con
velocità di valore infinito.
Supponendo di essere in queste condizioni e che l'origine dei due sistemi di riferimento fossero coincidenti per   t = 0 ,   al tempo  t
vengono rilevati sia   che  xO'  e risulta         xO' = V⋅t       e quindi, sostituendo, possiamo calcolare il valore della componente
spaziale  x' valutata al tempo t  con tutte le osservazioni fatte nel riferimento immobile.

Si avrà :                                                                x'(O) = (x – V⋅t )

Per l'indipendenza della velocità di propagazione del segnale da quella delle sorgenti, possiamo sostituire le coordinate spaziali e si ottiene :

                                       t'⋅ Vm = (t⋅Vm –V⋅t )

da cui :                     
in definitiva, la relazione tra i tempi di transito dei segnali dalle origini  O  e  O' al punto  P risulta :    
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Il tempo che ciascun orologio indica quando il segnale raggiunge il punto  P  dipende dal valore indicato   t₀(O e  t'₀(O')   nel
momento in cui il segnale è stato emesso, ossia dal tipo di sincronizzazione degli orologi.

E' chiaro che le misurazioni effettuate da questi orologi, relative ad un unico evento ", potranno essere simultanee solo
se si dispone di un 
segnale che si trasmette nello spazio con velocità      V→∞ , dunque in un tempo uguale a zero
per qualunque distanza.

In questo caso, se gli orologi vengono sincronizzati nell'origine  , lo saranno in qualunque momento e " indicheranno sempre e in
qualunque luogo lo stesso tempo, indipendentemente dalle condizioni di moto.

E' questa la condizione che ha portato alla trasformazione di Galileo, il quale aveva assunto come segnali per l'indagine quelli luminosi,
che si trasmettono con una velocità tale da poter essere considerata infinita, rispetto a quelle con con le quali normalmente si lavora.
Si ottiene così :

                           x' = x – V⋅t       ;        x = x'+ V⋅t

                           y' = y                ;        y = y'

                           t' = t                 ;        t = t'

In queste relazioni, dovute a Galileo,"lo spazio ed il tempo hanno un valore assoluto", indipendente dall'osservatore,
che " assume un ruolo 
passivo ", descrivendo con le trasformazioni una realtà che non dipende dalle osservazioni e ogni
suo cambiamento viene attribuito al diverso 
modo di osservare.
Si può quindi affermare che il gruppo di relazioni, che descrivono le trasformate di Galileo, trasformano un osservatore nell'altro,
mentre esiste una 
realtà, quella descritta, che non cambia.

Non è però questa l'unica lettura possibile delle trasformazioni. Si può infatti anche pensare, lecitamente, che non esiste una realtà
indipendente, ma che essa coincide ogni volta con quello che viene osservato.
In questo caso l'osservatore assume un ruolo attivo, in quanto contribuisce a definire la realtà, attraverso le sue condizioni di moto
rispetto allo spazio osservato.
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Le relazioni descrivono così delle realtà, che vengono generate di volta in volta, con i diversi modi di osservare lo spazio.
E', per esempio, il caso delle trasformazioni di Lorentz, che prevedono reali cambiamenti delle caratteristiche dello spazio prodotte
dall'osservatore.

Se un corpo si muove con velocità costante  ν  rispetto al sistema immobile  , la velocità  ν' rispetto a quello mobile  O' si ottiene
immediatamente dividendo membro a membro i differenziali della prima e della terza espressione delle trasformazioni di Galileo.
Si ricava quindi :
                             Δx'/Δt' = ν'    ;    Δx/Δt = ν    ;    ν' = ν – V

derivando rispetto al tempo, si ottengono le accelerazioni :  a' = a  e, ipotizzando la costanza della massa, ossia  m' = m , per le
forze, si ottiene :
                                           F' = m'⋅ a' = m ⋅ a = F

Se nei due sistemi coincidono le forze, si verificano gli stessi trasferimenti di energia e quindi si generalizza dicendo:
Le leggi fisiche si esprimono con le stesse relazioni in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, ossia in moto relativo con velocità costante.

Abbiamo visto che queste trasformazioni sono valide solo se il segnale, che viene utilizzato per i rilievi, si propaga con velocità infinita.
Galileo era perfettamente consapevole del fatto che la luce, che egli aveva usato nella sua trasformazione, si propaga con una
velocità molto elevata, ma finita.

In mancanza di segnali che possano propagarsi nello spazio con una velocità infinita, non è più sostenibile l'esistenza di un
tempo assoluto,
avente validità universale; bisogna quindi rivedere il concetto di tempo.

Innanzitutto osserviamo che, essendo i moti relativi gli unici che si possono osservare, per una descrizione razionale del moto di un punto
o di qualsiasi processo fisico, è sempre opportuno scegliere " un sistema di riferimento fisso, con gli assi solidali con lo spazio fisico
nel quale si propagano i segnali ".

Se nello stesso spazio si assume un altro sistema di riferimento in moto rispetto al primo con velocità V, il nuovo  sistema di assi
s'intende in moto anche rispetto allo spazio fisico, che rimane fermo.

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Anche in queste condizioni, normalmente, si ritiene che lo spazio conservi il significato di spazio assoluto e quindi che le lunghezze
rimangano invariate, passando da un riferimento all'altro.
Questo assunto ha la sua validità solo in considerazione del fatto che per noi è possibile impiegare, per la misura delle coordinate, la luce
con una velocità di propagazione enormemente più elevata di quella dei corpi ordinari.

Per un'analisi corretta, bisogna però considerare che le coordinate, spaziale e temporale, vengono determinate proprio attraverso il moto
di corpi comuni e quindi il rapporto tra la loro velocità e quella dei segnali utilizzati non si può più ritenere ininfluente.

Il tempo e lo spazio perdono quindi il loro valore universale e vengono influenzati dai fenomeni stessi che si vogliono indagare.
Per il solo fatto che la velocità dei segnali utilizzati è finita, le trasformazioni di Galileo
assumono quindi la forma generalizzata:

che si riduce alla forma canonica per  Vm  → ∞.
Da questa trasformazione,  operando solo algebricamente , si ottiene quella inversa :

naturalmente, se è vera la trasformazione diretta lo è anche quella inversa.
Differenziando e dividendo membro a membro la prima e la terza relazione, delle trasformazioni di Galileo generalizzate ( senza
alcuna condizione ), si ottiene
:
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sostituendo                     Δx'/Δt' = ν'  e   Δx/Δt = ν

si ricava così la relazione :   
la quale esprime la legge di composizione delle velocità generalizzata, che
si applica
in tutti i casi in cui i segnali che si utilizzano per le osservazioni hanno una
velocità di propagazione  
Vm  di valore finito.

E' da notare che alla base della trasformazione che abbiamo ricavato e della conseguente legge di composizione delle velocità, non è
stata posta nessuna ipotesi restrittiva o particolari postulati,
quindi la sua validità è assolutamente
generale e si applica a qualsiasi velocità del segnale e non solo a quelli luminosi.

L'espressione della composizione delle velocità così ricavata costituisce una generalizzazione del risultato fornito da Galileo, applicato al
caso in cui  Vm  assume un valore finito ed è stata ricavata senza alcuna ipotesi restrittiva.
Da tale espressione vediamo che, se abbiamo un punto in moto con velocità   ν'  rispetto al sistema di riferimento che si muove a sua
volta con velocità  V rispetto al mezzo, e viene considerata infinita la velocità di propagazione dei segnali, la velocità del
punto rilevata da un osservatore immobile risulta :
  ν = ν' + V
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in accordo con la trasformazione di Galileo.
Se invece si considera  V di valore finito, la velocità rilevata dall'osservatore fisso risulta minore del valore  (ν' + V)  con una
differenza che aumenta con la velocità del punto  ν' fino a raggiungere il valore massimo   , quando esso si muove con una velocità
uguale a quella con la quale si propaga il segnale.
Dalla relazione risulta infatti che se una delle velocità  ν' oppure  V è uguale a  Vm , ( oppure entrambe ) ossia se l'osservatore mobile
oppure l'oggetto che viene osservato si muove con una velocità uguale a quella del segnale, la velocità rilevata dall'osservatore immobile
rispetto al mezzo è ancora uguale a Vm .

La velocità di propagazione  Vm  del segnale che si utilizza per comunicare, definisce
dunque anche il valore massimo della 
velocità osservabile.
Vm non assume per questo il ruolo di costante universale.

Se dunque l' oggetto da osservare " si muove già con la velocità  Vm " , in pratica, se esso coincide con una sorgente di segnali
dello stesso tipo di quelli utilizzati per i rilievi, tutti 
gli osservatori, indipendentemente dal valore della loro velocità V, vedranno
il segnale in arrivo sempre con la 
stessa velocità Vm.

Se un oggetto si muove con una velocità maggiore di quella dei segnali usati per rilevarne la presenza, non è osservabile e quindi,
per quell'osservatore, 
di fatto non esiste.
E' chiaro quindi che quanto più elevata è la velocità di propagazione del segnale utilizzato, tanto più elevato sarà il numero di oggetti
che si potranno osservare.

Per esempio, se per l'osservazione si utilizza un'onda sonora, come per esempio fa il pipistrello, si ha una visione del mondo molto più
limitata di quella che si può avere osservando con la luce.

Ritornando alla nostra trasformazione, se ora scambiamo i due riferimenti e trascuriamo l'esistenza del mezzo in cui si propagano i segnali,
per la relatività del moto, nelle relazioni si scambieranno :

                              x → x'   t → t'  ;  V → – V.
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Applicando questa sostituzione alla trasformazione di galileo con   V→∞  , si ottiene una trasformazione inversa coincidente con
quella che si ricava per via algebrica. Questo vuol dire che per  V→∞  i due sistemi di riferimento si trovano in una condizione di
perfetta simmetria e quindi la legge del moto non dipende da quale dei due riferimenti viene ritenuto immobile rispetto allo spazio.
Se invece si applica la sostituzione alla trasformazione generalizzata, che è stata ricavata assumendo Vm di valore finito, si ottiene la
trasformazione :

Questo vuol dire  che "con Vm  di valore finito si perde l'equivalenza dei sistemi di riferimento"
e la trasformazione generalizzata, che abbiamo 
proposto per descrivere il moto di un punto, non è corretta, oppure  
lo 
scambio dei due riferimenti, prendendo in considerazione solo la loro velocità relativa
e non quella rispetto al mezzo, " non è fisicamente accettabile ".

In definitiva abbiamo :

Se si nega al mezzo nel quale si propagano i segnali il ruolo di sistema di riferimento privilegiato, in quiete assoluta, viene a mancare il
moto assoluto e quindi i soli moti osservabili diventano quelli relativi.
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A questo punto, possiamo pensare che non esista una realtà oggettiva, indipendente dall'osservatore,ma che essa si identifichi con
ciò che si osserva e quindi assumiamo che le due trasformazioni descrivano realtà diverse .
Se invece assumiamo che la realtà fisica sia oggettiva e indipendente dall'osservatore, anche con una velocità dei segnali di valore
finito, scambiando tra loro i due riferimenti, la legge che descrive il moto di un punto deve restare formalmente invariata.

Se optiamo per questa seconda scelta, le relazioni che abbiamo ricavato non soddisfano queste condizioni e quindi si debbono modificare.

Dato che per   V / Vm → 0   si deve ottenere la trasformazione di Galileo, le relazioni non si devono stravolgere completamente,
ma vanno solo modificate affinchè si verifichi la compatibilità richiesta.
La più semplice modifica che riusciamo ad immaginare è la dipendenza da un fattore γ, che si riduca al valore unitario quando si verifica

V / Vm → 0 , ossia per  V = 0 oppure  Vm → ∞ , da determinare in modo tale da rendere la trasformazione invariante
rispetto allo scambio di riferimenti inerziali. Scriviamo dunque :

                         x' = γ⋅(x – V⋅t )   x = γ⋅(x' + V⋅t')

 

Sostituendo :                                                       x = Vm⋅ t   x' = Vm⋅ t'
si ricavano le relazioni :

Le due trasformazioni che dovranno essere compatibili sono dunque :

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Se moltiplichiamo membro a membro la prima relazione con la seconda e la terza con la quarta, si ottiene :

dividendo la prima per  (x⋅x') e la seconda per (t'⋅t) , si ottiene :

dal confronto vediamo che le due relazioni possono coincidere solo se si verifica :

                          x'/t' = x/t = Vm

ossia se la velocità del segnale risulta una caratteristica costante, dipendente solo dal mezzo.
Sostituendo queste relazioni, si ricava :

da cui si ricava il valore che deve assumere il fattore  γ per avere la trasformazione invariante, rispetto a qualsiasi
riferimento
inerziale  e risulta :  
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che, sostituito nella trasformazione generalizzata, fornisce la trasformazione di Lorentz in una delle forme equivalenti :

E' da notare che la condizione necessaria per avere una trasformazione che non dipenda dal sistema di riferimento in cui vengono fatti i
rilievi si riduce al fatto che la velocità del segnale  Vm  sia indipendente dal riferimento dal quale vengono
inviati i segnali per i rilievi.

Ricordiamo che il moto della sorgente rispetto al mezzo cambia la frequenza del segnale, per effetto Doppler, ma non modifica la velocità
di propagazione attraverso il mezzo, per qualsiasi tipo di segnale.
La velocità di propagazione del segnale non può neanche essere modificata dall'osservatore, in quanto esso, con il suo moto modifica solo
lo spazio che il segnale percorre e non la sua velocità, cosa che, del resto, abbiamo visto trattando l'effetto Doppler.
E'chiaro che l'aumento dello spazio percorso con velocità invariata comporta un aumento del tempo impiegato dal segnale per raggiungere
l'osservatore, secondo la relazione :   
da cui si ricava il valore del tempo realmente impiegato dal segnale per raggiungere l'osservatore :       
Essendo nota la distanza L₀ , misurata con V = 0 , apparentemente il segnale si è spostato con la velocità :
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Essendo la velocità del segnale rispetto al mezzo indipendente anche dalle condizioni di moto dell'osservatore, si può concludere
che :
"Esso rappresenta un riferimento privilegiato" e tutte le velocità debbono essere riferite
al 
mezzo, che viene ritenuto immobile.

Non è quindi sufficiente, per descrivere il moto, considerare
le velocità relative di un riferimento rispetto all'altro.

Differenziando la trasformazione di Lorentz nelle due forme, si ottiene :

Se nello stesso punto  x₀  del sistema di riferimento immobile vengono emessi due segnali a carattere impulsivo nei tempi   t₁  e  t₂ 
(misurati dall'orologio sul posto) , si avrà :

                                        Δt = t₂ – t₁  con   Δx = 0 .

Nel sistema di riferimento in moto i due eventi vengono registrati in due punti diversi, distanti tra loro :

                    Δx' = γ⋅(Δx – V⋅Δt ) = – γ⋅ V ⋅ Δt = – V ⋅ Δt'

e ad una distanza di tempo maggiore di  Δt , precisamente :

Analogamente, se nello stesso punto    xP0'  del riferimento mobile si verificano due eventi nei tempi    t'P1  e  t'P2   (misurati con
l'orologio locale), si avrà :
                                          ΔtP' = t'P2 – t'P1  con  ΔxP' = 0 .
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Nel riferimento immobile i due impulsi vengono registrati in due punti diversi, distanti :

                   Δx = γ ⋅ (ΔxP' + V⋅ΔtP' ) = γ ⋅  V⋅ΔtP' = V⋅Δt
ad una distanza temporale :

E' da notare che   x ,  t ,  xP' , t' sono le misure rilevate nel proprio riferimento con orologi e regoli solidali con il riferimento
stesso e si indicano come valori propri. Le espressioni ottenute per  Δt' e   Δt  esprimono la nota dilatazione dei tempi, che ciascun
osservatore avverte nell'altro ( visto in moto relativo ) e pertanto ci dicono che :

Qualsiasi osservatore in moto rispetto al riferimento proprio rileva una distanza temporale tra gli eventi sempre maggiore
di quella propria.

Oppure, in termini equivalenti :
Il tempo registrato tra due eventi è sempre minore per l'osservatore che vede gli eventi realizzarsi nello
stesso luogo.

Normalmente questo risultato viene espresso sinteticamente dicendo che :
" Per l'osservatore in movimento il tempo scorre più lentamente ".
E questo non è del tutto corretto.

E' da notare che, se nell'origine  O', in moto rispetto al mezzo, abbiamo una sorgente che, quando è in quiete genera segnali impulsivi di
periodo  T0S , il tempo    ΔtP' = t'P2 – t'P1    può rappresentare la distanza temporale tra due fronti d'onda consecutivi, ossia
il periodo  TS   del segnale che viene emesso e realmente trasferito nello spazio quando di muove con velocità  V.
Studiando l'effetto doppler abbiamo visto che vale :  
e quindi anche : 
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L'osservatore, immobile, vede la sorgente in moto con un periodo dilatato secondo la relazione :

la frequenza osservata risulta quindi : 
che coincide con quella indicata dall'effetto Doppler relativistico.

Supponiamo ora che in punti diversi  x₁  e  x₂  del sistema immobile vengano emessi due segnali simultaneamente al tempo  t₀  ;
si avrà :
                                          Δx = x₂ – x₁    con   Δt = 0.
Nel sistema di riferimento in moto i due eventi vengono registrati in due tempi diversi, distanti tra loro :
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Il valore della distanza rilevata nel sistema mobile risulta :  
Analogamente, se nei punti  x'P1  e  x'P2  del sistema mobile vengono emessi due segnali simultaneamente al tempo  t'P0 , si avrà :

                                  ΔxP' = x'P2 – x'P1         con      ΔtP' = 0.

Nel sistema di riferimento immobile gli stessi eventi vengono registrati in due tempi diversi, distanti tra loro :
 
e la distanza spaziale rilevata risulta : 
Questi ultimi risultati ci dicono che qualsiasi osservatore in moto rispetto al riferimento proprio rileva una distanza spaziale tra
gli eventi sempre minore di quella propria.

Oppure, in termini equivalenti : La distanza spaziale tra due eventi è sempre minore per l'osservatore che li vede realizzati nello
stesso tempo.

Normalmente questo risultato si esprime sinteticamente dicendo che :
" Per l'osservatore in movimento le lunghezze si contraggono nella direzione del moto ".
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I risultati che abbiamo ottenuto mettono in evidenza che, se si considera solo il moto relativo tra i due sistemi di riferimento, trascurando
l'esistenza del mezzo, il sistema fisso vede ciò che accade su quello mobile esattamente come il riferimento mobile vede ciò che accade su
quello fisso.

Il risultato è assolutamente ovvio, in quanto, se viene eliminato il sistema di riferimento
solidale con lo spazio, mobile e fisso 
non hanno significato assoluto, ma relativo e noi di
fatto non siamo in grado di precisare quale dei due è in moto.

Questa indeterminazione viene superata se le velocità vengono riferite al mezzo in cui si propagano i segnali.
In base a queste considerazioni, con riferimento alla figura, se un segnale si propaga con la velocità  Vm ,  come abbiamo già visto,
qualunque sia la sua natura, purchè immateriale, la sua velocità di propagazione non dipende dalla velocità della sorgente. Essa è però
dipendente da quella dell'osservatore.
Come abbiamo già visto, l'esperimento di Michelson e tutte le altre prove a sostegno del postulato di Einstein sulla velocità della
luce non
tengono conto della presenza della sfera planetaria di spazio fisico solidale con la Terra e con qualsiasi corpo celeste,
necessaria per
rendere conto dell'osservazione sperimentale, che l'azione gravitazionale si manifesta istantaneamente.
Al postulato sulla velocità della luce sono inoltre legate molte indeterminazioni che necessitano di chiarimenti.
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 Art.27-- Relatività del moto di Galileo e trasformazioni di Lorentz, calcolo teorico della legge di composizione delle velocità -- Antonio Dirita

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