Art.19 -- teoria generale del giroscopio -- Antonio Dirita

per approfondimenti      www.fisicauniversale.com/wp

Abbiamo finora preso in considerazione le condizioni di equilibrio dei sistemi legati, imponendo nello spazio fisico il
principio di conservazione dell'energia solo sul piano orbitale.
Nell'universo che ci circonda si osservano però dovunque aggregati materiali rotorivoluenti, variamente orientati nello
spazio, che producono importanti e vistosi effetti giroscopici che si manifestano in tutte le direzioni.
Per un'analisi più completa dell'equilibrio dei sistemi reali non si può dunque non tenerne conto.
Noi non tratteremo la teoria generale del giroscopio, ma ci limiteremo a fare solo i richiami necessari e sufficienti
per poter comprendere i processi che andremo a descrivere.

Con riferimento alla figura, consideriamo il moto di un punto materiale intorno al centro  O,  assunto come origine di
una terna di assi cartesiani  X-- Y-- Z fissi nello spazio.
Consideriamo ancora un'altra terna di assi  ξ--η--ζ  con la stessa origine  , solidali con il punto  P e dunque in
moto con esso attorno all'origine  O.
.1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sappiamo che, in generale, il momento angolare associato alla rotazione di un corpo di forma qualsiasi, calcolato come
somma vettoriale dei momenti di tutti i suoi punti, non risulta parallelo all'asse di rotazione
Qualunque sia la forma considerata, esistono tuttavia sempre tre assi tra loro perpendicolari tali che,se il corpo
ruota attorno ad uno di essi, il momento 
angolare totale risulta sempre parallelo all'asse di rotazione.
Questi assi vengono chiamati " assi principali di inerzia " ed i corrispondenti momenti di inerzia sono indicati come
momenti principali di inerzia .

Gli assi principali d'inerzia formano un sistema di riferimento solidale con il corpo preso in considerazione e  ruota con
esso. Dato che gli assi principali d'inerzia coincidono con gli assi di simmetria dei corpi materiali e visto che nei casi reali,
quasi sempre, la rotazione avviene attorno ad un asse di simmetria,esamineremo questo caso particolare.
Per poter definire l'orientamento nello spazio del punto materiale considerato, avente gli assi d'inerzia coincidenti con
quelli mobili, sarà necessario riferire questi ultimi agli assi fissi.
Se consideriamo "la linea dei nodi" di versore N , perpendicolare a entrambi gli assi  OZ e  e orientata nel
verso del prodotto esterno k Λ ν , sarà possibile utilizzare gli angoli di Eulero, definiti come segue.

angolo di precessione  ψ  :
ψ = XO N  è l'angolo di cui deve ruotare l'asse  OX  per poter coincidere con la linea dei nodi ON ,
attraverso
una rotazione antioraria rispetto ad un osservatore parallelo e concorde con l'asse OZ.
Tale angolo può assumere qualunque valore positivo o negativo.

angolo di nutazione  ϑ  :
ϑ = Z O ζ  è l'angolo formato dagli assi  OZ e , che è compreso, per definizione, tra 0 e π.

angolo di rotazione propria  ϕ  :
ϕ = NO ζ  è l'angolo di cui deve ruotare la linea dei nodi, di versore  Nper portarsi a coincidere con
l'asse  
attraverso una rotazione antioraria rispetto ad un osservatore parallelo e concorde con l'asse  .
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anche questo angolo può assumere qualsiasi valore positivo o negativo. In base a queste definizioni, risulta :

Art. 19 -- 3 -1
Possiamo, a questo punto, esprimere la rotazione istantanea  ω in funzione degli angoli di Eulero, osservando che
la posizione generica assunta dalla terna di assi mobili  O ξηζ  , caratterizzata da tre valori arbitrari degli angoli di
Eulero  ψ, ϑ, ϕ, può essere pensata ottenuta partendo dalla terna fissa  O x y z , con tre successive
rotazioni attorno ad assi concorrenti nello stesso punto fisso  O , in ciascuna delle quali varia uno solo dei suddetti
angoli di Eulero. Si avrà dunque :

Una prima rotazione  ω₁ = ψ k attorno all'asse fisso O z.
Questa operazione lascia l'asse    coincidente con l'asse  O z  mentre porta  O ξ  a coincidere con la linea dei
nodi.
L'asse   verrà ad assumere di conseguenza una ben precisa posizione sul piano fisso O x y, ruotata dello
stesso angolo  ψ  rispetto all'asse  O y.

Una seconda rotazione  ω₂ = ϑ N  attorno alla linea dei nodi  N, che lascia l'asse   coincidente con
la linea dei nodi e porta l'asse    nella sua posizione finale.
L'asse  Oη  verrà ad assumere di conseguenza una ben precisa posizione nel piano delle rette  Oz   e   , che
in figura abbiamo caratterizzato con il versore N*.

una terza rotazione ω₃ = ϕ ν  attorno all'asse Oζ , che porta gli assi  ed ad assumere le loro

rispettive posizioni finali, caratterizzate dai due versori  λ  e  μ  contenuti nel piano passante per l'orine O e parallelo
ai due versori  e  N* e ruotati, rispetto a questi ultimi, dello stesso angolo  ϕ .
Le tre rotazioni, concorrenti in O che abbiamo indicato si compongono così nell'unica rotazione :

   
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le componenti della rotazione istantanea ω secondo gli assi mobili solidali con il corpo considerato O ξηζ sono
date dai prodotti scalari :

Per raggiungere il nostro scopo, calcoliamo, a questo punto, separatamente il contributo che viene fornito a  p, q,
s
dalle tre rotazioni ω₁ , ω₂ , ω₃ .
Per quanto riguarda  ω₁ , conviene realizzare una scomposizione preliminare secondo le direzioni dei versori  N*
e  ν , complanari con essa :
                     
assi giroscopio
con riferimento alla figura, scomponiamo ora il primo termine senϑ N*secondo le direzioni λ e μ , che sono
complanari con esso :
          Art. 19 -- 4 -3
in definitiva si ha quindi :
4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Riguardo alla rotazioneω₂ conviene scomporla secondo le direzioni dei due versori λ e μche risultano complanari
con essa :

La terza rotazione  ω₃ non necessita di alcuna scomposizione e risulta :
Art. 19 -- 5 -3
si hanno dunque le componenti :

In alcuni problemi può risultare comodo calcolare le componenti di  ω rispetto alla terna di versori N , N*, ν,
anche se essa non è solidale con il sistema rigido in esame.
Indicando queste componenti con  p, q, s, si avrà :
Art. 19 -- 5 -5
Sostituendo le relazioni che sono state ricavate, si ottiene :

5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La rotazione istantanea ω si potrà dunque scrivere :
Art. 19 -- 6 -1
Il momento risultante delle quantità di moto  K  rispetto al punto fisso  vale :

in cui I , I , I rappresentano i momenti principali d'inerzia con i rispettivi versori  λ , μ , ν .

Particolarmente diffuso è il caso in cui il corpo considerato ruota attorno a un asse di simmetria , mentre per gli altri
due risulta I = I = J.
Si ha così, per il momento risultante delle quantità di moto  K , l'espressione :

Per ricavare la condizione di equilibrio del solido considerato, applichiamo, a questo punto, il teorema del momento
risultante della quantità di moto rispetto al punto fisso  O.
E' però da tener conto che la terna stereonodale non è animata dalla velocità di rotazione  ω , ma dalla :
Art. 19 -- 6 - 5
risulta dunque :
Art. 19 -- 6 -6

6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il momento risultante, rispetto al punto O, delle forze esterne si potrà scrivere

dovendo, per avere equilibrio dinamico, soddisfare la relazione :
Art. 19 -- 7 -2
si ricava il sistema di tre equazioni che esprime la condizione richiesta per avere equilibrio su ciascuno dei tre assi :
Art. 19 -- 7 -3
oppure, sostituendo a  p, q, s  le loro espressioni :
Art. 19 -- 7 -4
7
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il caso più frequente in astronomia e in fisica atomica è quello in cui si potrà assumere :

Si ottiene così :
Art. 19 -- 8 -2
e quindi:

ricordando infine la relazione :      

Questa relazione è fondamentale per lo studio di qualsiasi corpo rigido rotorivoluente,
in quanto descrive tutte le condizioni che consentono l'equilibrio con lo spazio fisico.
Per chiarire quanto abbiamo finora visto, consideriamo una sfera di raggio rrotante su se stessa con una  velocità
periferica vp e rivoluente con velocità Valla distanza Rn da un punto fisso O.
8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
figura 44

Per il momento d'inerzia si ha :              I = J = (2/5) · mp · rp

Se indichiamo con  la forza che agisce sulla sfera nella direzione del versore  ν , il suo momento rispetto al punto
fisso sarà :

La condizione di equilibrio diventa quindi :

          F · R · senθ = (2/5) · mp · rp2 · ωn · p – ωn · cosθ)

Se l'asse di rotazione e quello di rivoluzione sono fra loro perpendicolari, si ha   θπ/2   ed il momento assume
il valore massimo :

                   F · R = (2/5) · mp ·  rp2 · ωn · ωp 

9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Art.19 -- teoria generale del giroscopio -- Antonio Dirita

Lascia un commento