Art.12 -- Calcolo teorico delle orbite quantizzate dei pianeti del sistema Solare -- Antonio Dirita

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Trattando la teoria generale degli spazi rotanti nell'   Art.10   , abbiamo visto che i punti dello spazio fisico circostante un aggregato
materiale rotante su se stesso raggiungono la condizione di equilibrio con un moto su particolari orbite, circolari e discrete, che
vengono caratterizzate dai valori :

                       Rn =  R1 / n      ;         Vn = V1 · n

Tra due orbite consecutive    Rn   ed    Rn+1  non è possibile trovare alcuna orbita circolare di equilibrio
stabile.
Se dunque, sull'orbita dello spazio rotante avente raggio Rn, mettiamo una particella materiale avente velocità rispetto al
centro dello spazio rotante, 
e risulta V² = Veq² , essa risulta in equilibrio e si mantiene ad una distanza dal centro
Rn = costante.

Il lavoro che lo spazio rotante compie per spostare la massa  m  da  R = ∞  alla distanza   dal centro vale:

Se si considera il sistema conservativo, la massa   acquista una energia potenziale:   
Se indichiamo con Ec il valore dell'energia cinetica posseduta dalla massa in moto, la sua energia totale, nel caso più generale risulta :

                                                             E = Ec + Ep
e quindi :       
Assumendo uguale a zero l'energia totale associata ad una massa ferma alla distanza R = ∞ dal centro dello spazio rotante, tale valore
si deve avere in qualsiasi punto durante il moto ( per il principio di conservazione dell'energia ) e si ottiene così  :

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sostituendo l'espressione della velocità in coordinate polari, si ottiene :
           
dalla quale si ricava :                  
Se il momento delle forze esterne, rispetto al centro di rotazione, vale zero, deve essere verificata la
conservazione del momento angolare  
e quindi si ha :                                
integrando, si ottiene l'equazione della spirale che descrive la traiettoria, fondamentale per tutta la teoria :

                      R2·(dθ/dt) = C = costante su tutta la traiettoria

si potrà dunque scrivere :                  
e quindi :                                            
che, sostituita nell'espressione di      (dR/dt)2   fornisce :
         
Se viene verificato anche il principio di conservazione dell' energia, si ha anche    E = costante   e quindi si può porre:
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da cui, differenziando, si ottiene      
sostituendo, si ottiene l'equazione differenziale :         (dR/dt)2 = α2 – u2

ossia :         

Questa relazione ha un campo di esistenza, dunque si può realizzare fisicamente solo per :      α2 ≥ u2
e quindi per  : 

            
che si può anche scrivere :        

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Ricordando che :           
si ha :         

In definitiva quindi, per poter avere soluzioni reali, dovrà essere verificata la condizione
fondamentale :
      

Il valore della costante si ricava considerando la relazione con la velocità areolare del punto sull'orbita :

e quindi :                                                                      C = 2·Va  

su ogni orbita di raggio  R si avrà quindi :
            

In uno studio grafico di tutto lo spazio rotante si avrà dunque la serie di curve descritte dalla relazione :

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E' da notare che: La relazione è indipendente dalla massa e quindi si applica a tutta la materia
indipendentemente dal livello di aggregazione.

Essa sarà quindi applicabile anche ad una qualsiasi perturbazione dello spazio
fisico puro, indotta in un solo elemento spaziale, (onde elettromagnetiche).

Per esempio, per il sistema Solare si ricavano le curve seguenti.

Art. 12 -- 5 -1
5
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Art. 12 -- 6 -2
6
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Per una più facile lettura dei risultati grafici, risolviamo anche analiticamente il sistema :


equivalente a :                             
da cui deriva l'equazione :                   
essendo                  
sostituendo, si ottiene :      
integrando si ricava l'equazione della traiettoria :                     
dove :                   
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Per tutto lo spazio rotante, con semplici sostituzioni si ricava :

                
In definitiva, tutte le traiettorie stabili possibili, in uno spazio rotante caratterizzato dal valore  , saranno dunque descritte dalle
relazioni :

E'quindi possibile avere soluzioni reali, quindi orbite stabili,
solo 
per :
                        V² ⋅ Rn > K²       che equivale a            α² > u².

Per meglio chiarire quanto è stato esposto può essere utile uno studio grafico. Ricaviamo innanzitutto gli estremi del campo di esistenza
delle orbite stabili su ciascuna falda dello spazio rotante.

Riprendendo la condizione :                    (V2 – 2·V2eq) · R2 + 2·K2·R – C≥ 0 

risolvendo si ricavano gli estremi del campo di esistenza :

          
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Dovendo essere, per la realtà fisica, necessariamente   R ≥ 0  , le soluzioni accettabili risultano le seguenti :

a) — con  (V2 – 2·Veq2) > 0   equivalente a     V2 > (2·K2)/   oppure     V > √2 · Veq = Vf
( dove Vf indica la velocità di fuga dall'orbita )
il valore del raggio orbitale fisicamente accettabile risulta :

            

In questo caso, abbiamo un solo punto di inversione della velocità radiale e ne risulta così una traiettoria aperta.

Se indichiamo con  r  l'unico punto in cui la traiettoria risulta perpendicolare al raggio vettore ( perielio ) , si avrà :

                   dR/dt = 0  ;  V = v0  ;  C = r0 · v0   ;   Veq2 = K2/r0

e quindi, sostituendo, si ottiene :                     
da cui si ricava :                       dove  r0  indica il perielio
In definitiva, con  e > risulta :              
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L'espressione analitica della traiettoria è una iperbole descritta dalla relazione :
                                   con       e > 1
b) — Nel caso limite    (V2 – 2·Veq2) = 0  si ha    e = 1 e la traiettoria risulta una parabola data dalla relazione :                                                                                  
c) — Quando abbiamo                               
equivalente a                Veq2 <  V2 < 2·Veq     oppure      Veq < V < Vf

si ottiene :                            con  e < 1   ;   r₀ = perielio
sarà quindi :                                  
e la curva che descrive l'orbita risulta l'ellisse espressa dalla relazione  :
   con       e < 1
d) — Nel caso limite in cui si ha     V = Veq

risulta :                                      Rr0costante             con                 r= C2/K2    e         e = 0
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In questo caso, la traiettoria, è diventata coincidente con la più piccola orbita circolare
stabile che è possibile 
realizzare fisicamente nello spazio rotante preso in considerazione
ed è associata all'unico punto reale, appartenente al campo di esistenza, in corrispondenza del quale diventano tangenti

la curva              γ = C2/R        con la retta       γ* = (V2 – 2·Veq2)·R + 2·K2

 

e) — Per     V < Veq   si ha     α2u       e non risultano soluzioni reali

Facciamo notare che in tutte le relazioni ricavate non compare la massa inerziale, per cui esse si potranno
applicare a tutta la materia, indipendentemente dal livello di aggregazione, dal singolo punto dello spazio 
fisico alle strutture
galattiche, fino al grande attrattore.
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 Art.12 -- Calcolo teorico delle orbite quantizzate dei pianeti del sistema Solare -- Antonio Dirita

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